BAB 3
FUNGSI
1. Pengertian Fungsi
Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut.
Pandang himpunan A dan B. R adalah suatu cara yang menghubungkan elemen A dengan elemen B. Dikatakan terdapat suatu relasi R antara A dan B. Misalkan f suatu relasi antara A dan B dengan sifat f menghubungkan setiap elemen A, dengan satu dan hanya satu elemen B; f disebut fungsi dari A ke B, ditulis f : A
→ B
Pandang suatu fungsi f : A → B. Himpunan A disebut daerah definisi (domain) dari f, ditulis A = Df. Himpunan B disebut codomain dari f. Rf ={ y│y = f(x), x ϵ A}. Suatu himpunan bagian dari B merupkan himpunan semua peta dari f. Himpunan Rf disebut daerah nilai (range) dari fungsi t.
Contoh :
1. Perhatikan suatu fungsi f dari A = {a, b, c, d} ke B = {x, y, z, w} berikut. Tentukan :
a) Rf dari setiap elemen di A b) Rf dari f
c) Tuliskan f sebagai himpunan dari pasangan terurut A B a f x b y c z d w Penyelesaian : a) f(a) = y, f(b) = x, f(c) = z, f(d) = y b) f(A) = {x, y, z}
c) f = {(a, y), (b, x), (c, z), (d, y)}
2. Nyatakan apakah setiap diagram berikut mendefinisikan suatu fungsi dar A = {a, b, c} ke B = {x, y, z} A B A B A B a) a x b y c z b) a x b y c z c) a x b y c z Penyelesaian : a. Tidak. Tidak ada elemen B yang dipetakan ke elemen b Є A b. Tidak. Dua elemen x dan z dipetakan ke c Є B c. Ya. Karena setiap elemen A dipetakan secara unik ke elemen B Latihan Soal : 1. Misalkan A adalah himpunan dari mahasiswa-mahasiswa di kampus. Tentukan manakah dari pemetaan berikut yang mendefinisikan sebuah fungsi pada himpunan A. a. Setiap mahasiswa memetakan usianya b. Setiap mahasiswa memetakan dosennya c. Setiap mahasiswa memetakan jenis kelaminnya d. Setiap mahasiswa memetakan suami atau istrinya 2. Perhatikan himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan fungsi f : A → A yang didefinisikan oleh gambar di bawah ini. Tentukan : a. Rf dari setiap elemen A b. Rf f(A) dari fungsi f c. Tulislah f sebagai himpunan pasangan terurut 1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
3. Misalkan X = {1, 2, 3, 4}. Tentukan apakah setiap relasi pada himpunan berikut merupakan sebuah fungsi dari X ke X
a. f = {(2, 3), (1, 4), (2, 1), (3, 2), (4, 4)} b. g = {(3, 1), (4, 2), (1, 1)}
c. h = {(2, 1), (3, 4), (1, 4), (2, 1), (4, 4)}
4. Misalkan W = {a, b, c, d}. Tentukan apakah setiap himpunan pasangan terurut berikut merupakan sebuah fungsi dari W ke W
a. {(b, a), (c, d), (d, a), (c, d), (a, d)} b. {(d, d), (c, a), (a, b), (d, b)}
c. {(a, b), (b,b), (c, b), (d, b)}
d. {(a, a), (b, a), (a, b), (c, d), (d, a)}
2. Fungsi Satu-satu
Definisi fungsi satu-satu (injektif) : Sebuah fungsi f : A → B dikatakan satu-
satu jika elemen-elemen yang berbeda dalam domain A mempunyai range yang berbeda. Cara lain mengatakannya yaitu f adalah fungsi satu-satu jika f (a) = f(a’) maka a = a’.
Definisi fungsi onto atau pada : Sebuah fungsi f : A → B dikatakan “pada” jika
setiap elemen B merupakan range dari beberapa elemen A. Dengan kata lain f : A → B adalah “pada” jika range dari f semuanya adalah codomain yaitu jika f A = B. Dikatakan bahwa f adalah fungsi dari A “pada” B atau f memetakan A pada B.
Definisi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif) : Sebuah fungsi f : A → B
dikatakan korespondensi satu-satu atau fungsi bijektif antara A dan B jika f adalah satu-satu dan “pada”. Ini berasal dari kenyataan bahwa setiap elemen A kemudian akan berkorespondensi secara unik ke elemen B dan sebaliknya.
Definisi fungsi invertibel ( mempunyai invers) : Sebuah fungsi f : A → B
dikatakan invertibel jika ada sebuah fungsi g : B → A sedemikian sehingga f o g = 1g dan g o f = 1A (dimana 1g dan 1A adalah pemetaan identitas). Dalam hal ini,
fungsi g disebut invers dari f dan dinyatakan dengan f-1. Dengan demikianf invertibel
jika f-1 adalah fungsi dari B ke A. Juga,
Contoh : 1. a b c 1 r 2 s v x 3 t w y 4 u z f1 f2 f3 f4 A B C D E Manakah fungsi pada gambar diatas yang :
Penyelesaian :
a) f1 dan f2, karena tidak ada elemen kedua yang menjadi range lebih dari satu
b) f2 dan f3, karena setiap elemen kedua merupakan range dari elemen pertama
c) f2 karena setiap elemen pertama akan berkorespondensi secara unik ke
elemen kedua dan sebaliknya.
d) f2, karena f2 fungsi bijektif maka f2 fungsi invertibel dan f2-1 adalah sebuah
fungsi dari C ke B
2. Misalkan A = {a, b, c, d, e} dan B adalah himpunan huruf-huruf abjad. Misalkan fungsi f, g dan h dari A ke B didefinisikan sebagai berikut :
a. a →f r b. ag→ z c. ah→ a
b → a b → y b → c c → s c → x c → e d → r d → y d → r e → e e → z e → s Apakah fungsi-fungsi di atas satu-satu?
Penyelesaian :
a. Tidak, f memetakan r ke a dan d b. Tidak, g memetakan z ke a dan e
c. Ya, h memetakan range yang berbeda untuk elemen yang berbeda dari domain.
Latihan soal :
1. Tentukan apakah setiap fungsi berikut satu-satu? a. Setiap orang di bumi memetakan jumlah usianya
b. Setiap negara di dunia memetakan letak garis lintang dan garis bujur ibukotanya
c. Setiap buku yang ditulis oleh pengarangnya memetakan nama pengarangnya d. Setiap negara di dunia yang mempunyai seorang perdana menteri
memetakan nama perdana menterinya
2. Misalkan f : A → B, g : B → C, dan h : C → D yang didefinisikan pada gambar berikut. Tentukan yang mana fungsi “pada”, satu-satu dan invertibel?
A B C D f g x h a 1 4 y b 2 5 z c 3 6 w
3. Tentukan komposisi f ο g о h dari fungsi di atas.
4. Perhatikan fungsi f(x) = 2x, g(x) = x3 , h(x) = x2 yang grafiknya ada gambar berikut. Tentukan manakah fungsi yang satu-satu, “pada” dan invertibel?
f(x) = 2x g(x) = x3 h(x) = x2
5. Misalkan W = {1, 2, 3, 4, 5} dan f : W → W, g = W → W dan H : W → W yang didefinisikan oleh digram panah berikut. Tentukan apakah setiap fungsi tersebut invertibel dan jika benar tentukanlah fungsi inversnya.
f g h 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5
3. Fungsi pada Perkalian
Fungsi Kaki (Floor dan Ceiling)
Misalkan x adalah sembarang bilangan real, maka x berada diantara dua bilangan bulat terbesar yang disebut floor dan ceiling dari x. Secara khusus :
⌊x⌋, disebut floor dari x menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi x. ⌈x⌉, disebut ceiling dari x menyatakan bilangan bulat terkecil yang tidak lebih kecil dari x.
Jika x adalah bilangan bulatnya sendiri maka ⌊x⌋ = ⌈ ⌉ ; sebaliknya ⌊x⌋ + 1 = ⌈x⌉
Contoh :
Tentukan :
1. ⌊7,5⌋, ⌊-7,5⌋, ⌊-18⌋
Peny : Menurut definisi ⌊x⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi x sehingga ⌊7,5⌋ =7 , ⌊-7,5⌋ = -8, ⌊-18⌋ = -18
Peny : Menurut definisi ⌊x⌋ menyatakan bilangan bulat terkecil yang tidak lebih kecil dari x sehingga ⌈7,5⌉ = 8, ⌈-7,5⌉ = -7, ⌈-18⌉ = -18
Latihan Soal : Tentukan : 1. ⌊3,14⌋, ⌊√ ⌋, ⌊-8,5⌋ 2. ⌈3,14⌉, ⌈√5⌉, ⌈-8,5⌉ 3. ⌊√ ⌋, ⌊ √ ⌋, ⌊π⌋ 4. ⌈√30⌉, ⌈∛30⌉, ⌈π⌉
Fungsi Sisa; Aritmatika Modular
Misalkan k adalah sembarang bilangan bulat dan M adalah bilangan bulat positif. k (mod M) menyatakan sisa angka ketika k dibagi oleh M. Secara lebih tepat k (mod
M) adalah bilangan bulat r yang unik sedemikian hingga k = Mq + r dimana 0 ≤ r ≤M dan q adalah pembagi. Bila k positif, M membagi k untuk mendapatkan sisa r; maka r = k (mod M). Bila k negatif, bagi | | oleh modulus untuk mendapatkan sisa r; maka k (mod M) = M – r bila r ≠ 0
Contoh : Tentukan : 1. 26 (mod 7) = 5 -26 (mod 7) = 7 – 5 = 2 2. 34 (mod 8) = 2 -34 (mod 8) = 8 – 2 = 6 3. 2345 (mod 6) = 5 -2345 (mod 6) = 6 – 5 = 1 4. 495 (mod 11) = 0 - 495 (mod 11) = 0 Latihan soal :
1. 25 (mod 7) dan -25 (mod 7) 2. 25 (mod 5) dan -25 (mod 5) 3. 35 (mod 11) dan -35 (mod 11) 4. 3 (mod 8) dan -3 (mod 8)
Fungsi Faktorial
Fungsi faktorial adalah hasil kali bilangan positif dari 1 sampai n dinyatakan
n! = 1 . 2 . 3 … (n-2) (n-1) n Contoh : 1. 2! = 1.2 = 2 2. 7! = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040 3. atau Latihan Soal : 1. 4!, 5!, 6! 2. 3. ( ) 4. ( )
Fungsi Eksponensial dan Logaritma
Fungsi f(x) = ax didefinisikan untuk eksponen bilangan bulat (dimana m adalah
bilangan positif) dengan :
am = a.a … a (m kali), a0 = 1, a-m =
Ekponen diperluas untuk mencakup semua bilangan rasional dengan mendefnisikan, untuk sembarang blangan rasional m/n :
Am/n = √ ( √ )
Eksponen diperluas untuk mencakup semua bilangan real dengan mendefinisikan, untuk sembarang x real :
ax = , dimana r mendekati x melalui nilai rasional.
Logaritma dihubungkan dengan eksponensial; misalkan b adalah sebuah bilangan positif, maka logaritma dari suatu bilangan positif x berdasar b, ditulis :
Mewakili eksponen :
dan by = x
Untuk sembarang b, dan Logaritma dari bilangan negatif dan nol tidak terdefinisi
Contoh :
1. 24 = 2.2.2.2 = 16 2. 2-4 =
4. 5. Latihan soal : Hitunglah : 1. 25 2. 82/3 3. 125-2/3 4. 5. 6. 7. ( )
4. Invers dari Fungsi
Jika f : A → B maka f-1(b) = {x I x Є A, f(x) = b)
Contoh :
Misalkan f : A → B didefinisikan oleh diagram :
A B a f x b y c z
Maka f-1 (x) = (b, c), karena b dan c keduanya memiliki x sebagai titik peta mereka. Juga, f-1 (y) = (a), karena hanya a yang dipetakan kepada y. Invers dari z,
f-1(z), adalah himpunan kosong Ø, karena tak ada elemennya di A yang dipetakan kepada z.
Latihan soal :
1. Misalkan f : R → R, bilangan –bilangan riil yang didefinisikan oleh bentuk f(x) = x2. Maka tentukan f-1(4), f-1(-3), f-1(16) dan f-1(-9)
A B
x r y s z t
Tentukan f-1(r, s) dan f-1(r, t)
3. Misalkan R = {(1, a), (1, c), (2, b), ( 3, a), (3, d)}. Tentukan f-1(a) dan f-1(b, d}
5. Kardinalitas
Dua buah himpunan A dan B dikatakan mempunyai jumlah himpunan yang sama atau kardinalitas sama, ditulis : | | | |
jika terdapat suatu korespodensi satu-satu f : A → B.
Sebuah himpunan A adalah berhingga jika A adalah himpunan kosong atau jika A mempunyai kardinalitas yang sama seperti himpunan {1, 2,..., n}untuk suatu bilangan positif n. Suatu himpunan adalah tak berhingga jika elemennya tak terhingga. Contohnya adalah himpunan bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan real R.
Kita menggunakan simbol yang jelas untuk bilangan kardinal dari himpunan- himpunan berhingga, yaitu 0 ditujukan untuk himpunan kosong ∅, dan n ditujukan untuk himpunan {1, 2, ..., n}. Maka | | = n jika dan hanya jika A mempunyai kardinalitas yang sama dengan (1, 2, ..., n} yang menerangkan bahwa A mempunyai n elemen.
Bilangan kardinal dari himpunan tak berhingga N dari bilangan bulat positif adalah N0 (aleph-naught). Maka |A| = N0 jika dan hanya jika A mempunyai kardinalitas
yang sama seperti N. Sebuah himpunan dengan kardinalitas N0 disebut tak
berhingga terhitung. Sebuah himpunan yang berhingga dikatakan dapat dihitung Bilangan kardinal dari himpunan bilangan real R dinyatakan dengan c. |I|= |R| = c dimana I = {0, 1} dan N0 ≠ c. sebuah himpuna A dengan kardinalitas c dikatakan
mempunyai kekuasaan (kuasa) kesatuan.
Contoh :
1. Misalkan E = {2, 4, 6, …}, himpunan bilangan positif genap. Tunjukkan bahwa |E| = N0
Fungsi f : N → E yang didefinisikan oleh f(n) = 2n adalah korespondensi satu- satu antara bilangan bulat positif N dan E. maka E mempunyai kardinalitas yang sama seperti N sehingga kita dapat menuliskan |E| = N0
2. Tentukan bilangan kardinal dari setiap himpunan berikut : a. A = {a, b, c, …, y, z} b. B = {1, -3, 5, 11, -28} c. C = {x : x Є N, x2 = 5} Penyelesaian : a. |A| = 26 b. |B| = 5
c. |C| = 0. C adalah himpunan kosong.
3. Tentukan bilangan kardinal untuk setiap himpunan a. A = {10, 20, 30, 40, …}
b. B = {6, 7, 8, 9, …} Penyelesaian :
a. |A|= N0 karena f : N → A yang didefinisikan oleh f(n) = 10n adalah
korespondensi satu-satu antara N dan A
b. |B| = N0 karena f : N → B yang didefinisikan oleh g(n) = n + 5 adalah
korespondensi satu-satu antara N dan B
Latihan Soal :
1. Tentukan bilangan kardinal dari setiap himpunan berikut : a. A = {Senin, Selasa, …, Minggu}
b. B = {x : x2 = 25 dan 3x = 6}
2. Tentukan bilangan kardinal dari setiap himpunan berikut : a. Koleksi X fungsi dari A = {a, b, c} ke B = {1, 2, 3, 4} b. Himpunan Y dari semua relasi pada A
3. Tentukan bilangan kardinal dari setiap himpunan berikut : a. A = {1, 3, 5, 7, …}
b. B = {x : x Є R, x2 = 81}
4. Tentukan bilangan kardinal dari setiap himpunan berikut : a. A = {a, b, c, …, n, o}
b. B = {x : x Є N, 2x + 5 = 15}
5. Tentukan bilangan kardinal dari setiap himpunan berikut : a. A = {2, 4, 6, …, 22, 24}
