Stabilitas benda terapung di atas air

(1)

KESEI MBANGAN BENDA

TERAPUNG

Mempelajari masalah : Mempelajari masalah :

•

Prinsip hukum Archimedes

•

Prinsip keseimbangan dan kestabilan

•

Menghitung besar gaya apung dan letak

pusat apung

(2)

(3)

(4)

Kesimpulan

•

• Benda yang terrendam di dalam air mengalami gaya berat Benda yang terrendam di dalam air mengalami gaya berat

sendiri benda

sendiri benda ( FG)( FG) yang bekerja vertikal ke bawah dan yang bekerja vertikal ke bawah dan

gaya apung

gaya apung ( FB)( FB) yang bekerja vertikal ke atas. Besar gaya yang bekerja vertikal ke atas. Besar gaya

apung sama dengan berat zat cair yang dipindahkan

benda. Gaya berat bekerja pada pusat berat benda

benda. Gaya berat bekerja pada pusat berat benda ( G)( G); ; dan gaya apung bekerja pada pusat apung

dan gaya apung bekerja pada pusat apung ( B)( B), yang sama , yang sama dengan pusat berat zat cair yang dipindahkan benda.

dengan pusat berat zat cair yang dipindahkan benda. –

– FG FG > FB > FB ⇒⇒Benda tenggelamBenda tenggelam –

– FG = FB FG = FB ⇒⇒Benda melayang (terendam)Benda melayang (terendam) –

– FG < FB FG < FB ⇒⇒Benda mengapungBenda mengapung •

• Benda terendam akan stabil jika pusat berat Benda terendam akan stabil jika pusat berat GGberada di berada di

bawah pusat apung

bawah pusat apung BB.. •

• Benda terapung dalam kesetimbangan stabil apabila pusat Benda terapung dalam kesetimbangan stabil apabila pusat

beratnya

beratnya GGberada di bawah pusat apung berada di bawah pusat apung ( B)( B).. •

• Benda terapung dengan kondisi tertentu dapat pula dalam Benda terapung dengan kondisi tertentu dapat pula dalam

kesetimbangan stabil meskipun pusat beratnya berada di

atas pusat apung. Kondisi stabilitas benda dapat diketahui

berdasarkan tinggi metasentrum.

Menghitung tinggi metasentrum

BG

BM

GM

=

−

V

I

BM

=

0

OB

OG

BG

=

−

Dimana dengan : GM = tinggi metasentrum I o = momen inersia tampang benda yang terpotong permukaan zat cair V = volume zat cair yang dipindahkan benda

BG = jarak antara pusat berat dan pusat apung

OG = jarak antara pusat berat dan dasar

OB = jarak antara pusat apung dan dasar

Apabila :

Stabil Tidak

Benda M

Netral Benda

M

Stabil Benda

M

− −

⇒ 〈

− ⇒

=

− ⇒

〉

0 0 0

Soal :Stabilitas Benda Terapung

1.

1. Batu di udara mempunyai berat 500 N, sedang beratnya Batu di udara mempunyai berat 500 N, sedang beratnya di dalam air adalah 300 N. Hitung volume dan rapat

di dalam air adalah 300 N. Hitung volume dan rapat

relatif

relatif batu itubatu itu..

2.

2. Balok segi empat dengan ukuran 75 cm x 50 cm x 50 cm Balok segi empat dengan ukuran 75 cm x 50 cm x 50 cm mengapung di air dengan sisi panjangnya sejajar muka

mengapung di air dengan sisi panjangnya sejajar muka

air. Apabila bagian dari balok yang berada di atas

permukaan air adalah 10 cm,

permukaan air adalah 10 cm, hitunghitungberat balok.berat balok.

3.

3. Kubus kayu dengan panajang sisiKubus kayu dengan panajang sisi--sisinya 0,5 m sisinya 0,5 m

mempunyai rapat relatif 0,6 mengapung di air.

mempunyai rapat relatif 0,6 mengapung di air. Hitung Hitung

bagian kubus yang terendam dalam air.

bagian kubus yang terendam dalam air. 4.

4. Balok kayu dengan panjang 1,0 m lebar 0,4 m dan Balok kayu dengan panjang 1,0 m lebar 0,4 m dan tingginya 0,3 m mengapung secara horizontal di air

tingginya 0,3 m mengapung secara horizontal di air

dengan sisi tingginya vertikal. Rapat relatif kayu S= 0,7.

Hitung

Hitungvolume air yang dipindahkan dan letak pusat volume air yang dipindahkan dan letak pusat

apung.

apung. 5.

5. Kubus kayu sisi 0,5 m mengapung di dalam air. Kubus kayu sisi 0,5 m mengapung di dalam air. Berapa

Berapakah berat beban yang harus diletakan di atas balok kah berat beban yang harus diletakan di atas balok

supaya balok terendam seluruhnya. Rapat relatif kayu

S= 0,7.

TUGAS 3

(5)

7.

7. Kubus dengan sisi 25 cm dan rapat relatif 0,9 Kubus dengan sisi 25 cm dan rapat relatif 0,9

mengapung di air dengan salah satu sisinya

sejajar muka air.

sejajar muka air. BerapakahBerapakahbeban harus beban harus

diletakkan di atas kubus supaya kubus tersebut

tenggelam di dalam air.

6.

6. Suatu balok ponton dengan lebar Suatu balok ponton dengan lebar

B= 6,0 m, panjang L= 12 m dan sarat

d= 1,5 m mengapung di air taw ar (

d= 1,5 m mengapung di air taw ar (ρρ= = 1000 kg/ m3) .

1000 kg/ m3) . Hitung:Hitung: a.

a.Berat balok pontonBerat balok ponton

b.

b.Sarat apabila berada di Sarat apabila berada di

air laut (

air laut (ρρ22= 1025 = 1025

kg/ m

kg/ m33₎₎

c.

c. Beban yang dapat Beban yang dapat

didukung oleh ponton di

air taw ar apabila sarat

maksimum yang

diijinkan adalah 2,0 m.

8.

8. Balok kayu mengapung di air taw ar dengan bagian yang berada di aBalok kayu mengapung di air taw ar dengan bagian yang berada di atas tas permukaan air adalah 10 cm. Apabila balok tersebut diapungkan di permukaan air adalah 10 cm. Apabila balok tersebut diapungkan didalam dalam minyak dengan rapat relatif 0,8; bagian balok yang berada di ata minyak dengan rapat relatif 0,8; bagian balok yang berada di atas s permukaan minyak adalah 7,5 cm.

permukaan minyak adalah 7,5 cm. berapakahberapakahrapat reatif balok. rapat reatif balok.

9. Tangki berbentuk kotak dengan panj ang 1 m dan lebar 0,5 m diisi air taw ar dan air raksa sampai ¾ kali tingginya. Berat tangki adalah 175 N. volume air adalah 49 kali volume air raksa. Tangki tersebut diletakan di air laut sehingga mengapung dengan bagian yang berada di atas air adalah setinggi 0,2 m. Apabila rapat relatif air raksa adalah 13,6 tentukan tinggi maksimum tangki. Rapat massa air laut dan air taw ar adalah 1020 kg/ m3 dan 10 00 kg/ m3.

10.Pelampung silinder dengan diameter 3 m dan tinggi 3 m mengapung dengan sumbunya vertikal. Berat pelampung adalah 3 ton. Selidiki stabilitas pelampung.

11.Silinder berdiameter 3 meter dan tingginya 3 meter terbuat dari bahan dengan rapat relatif 0,8. Benda tersebut mengapung di dalam air dengan sumbunya vertikal. Hitunglahtinggi metasentrum dan selidiki stabilitas benda.

12.Balok berpenampang bujur sangkar dengan panjang sisinya 0,5 m dan tinggi H mengapung di dalam air. Rapat relatif balok 0,8. Berapakahtinggi H supaya balok dapat terapung stabil dengan sisi tingginya vertikal.

13.Balok terbuat dari bahan dengan rapat relatif 0,8. mempunyai panjang L= 1,0 m dan tampang lintang bujur sangkar dengan sisi 0,8 m diapungkan di dalam air dengan sumbu panjangnya vertikal. Hitung tinggi metasentrum dan selidiki stabilitas benda.

14.Silinder berdiameter 45 cm dan rapat relatif 0,9. Apabila silinder mengapung di dalam air dengan sumbunya vertikal, tentukan panjang

(6)

15.Silinder dengan diameter 0,5 m dan panjang 1 m mengapung secara vertikal di laut. Rapat massa air laut adalah 1020 kg/ m3. Tentukan rapat massa bahan silinder apabila benda dalam kondisi tidak stabil.

16.Silinder kayu dengan rapat relatif 0,7 mengapung di air taw ar dengan sisi

panjangnya vertikal. Apabila panjang dan diameter silinder adalah L dan D, berapakah perbandingan antara D dan L sedemikian sehingga silinder dapat mengapung stabil.

17.

17.Balok dengan panjang L= 1,0 m, lebar B= 0,8 m dan tinggi Balok dengan panjang L= 1,0 m, lebar B= 0,8 m dan tinggi H= 0,6 m diapungkan di dalam air dengan sisi tingginya H= 0,6 m diapungkan di dalam air dengan sisi tingginya vertikal. Rapat relatif balok adalah S= 0,8. Selidiki stabilitas vertikal. Rapat relatif balok adalah S= 0,8. Selidiki stabilitas benda. Apabila di atas balok tersebut diletakan plat besi benda. Apabila di atas balok tersebut diletakan plat besi dengan panjang dan lebar yang sama dengan balok dan dengan panjang dan lebar yang sama dengan balok dan tebalnya T= 0,01 m,

tebalnya T= 0,01 m, selidiki stabilitas benda gabunganselidiki stabilitas benda gabungan. Rapat . Rapat relatif besi S= 7,85.

relatif besi S= 7,85.

18.Ponton segiempat dengan panjang 13 m, lebar 10 m dan tinggi 3 m mempunyai berat 1000 kN. Di bagian atas ponton diletakan silinder dengan diameter 7 m dan berat 600 kN. Pusat berat silinder dan ponton dianggap terletak pada garis vertikal yang sama dan melalui pusat berat ponton. Hitung tinggi metasentrum. Rapat relatif air laut 1,02.

19.Suatu balok dengan panjang 1 m

mempunyai tampang lintang bujur sangkar dengan sisi 20 cm mempunyai rapat relatif 0,5. Bagian baw ah balok tersebut setebal 2,5 cm mempunyai rapat relatif 8. Balok diapungkan dengan posisi berdiri ( lihat gambar) .

• Selidiki stabilitas benda

• Apabila benda tidak stabil, berapakah panjang bagian balok yang mempunyai rapat relatif 0,5 supaya benda bisa mengapung stabil.

20.

Silinder terbuat dari dua bahan berdiameter 0,25 m mengapung di dalam air. Bagian atas sepanjang 1,0 m terbuat dari kayu dengan rapat relatif 0,8; sedangkan bagian baw ah mempunyai rapat relatif 5. Hitung panjang bagian baw ah agar silinder dapat mengapung dengan sisi panjang vertikal.

21.

Silinder dengan panjang L, diameter D dan rapat relatif S mengapung dalam zat cair dengan rapat relatif 2S. Tunjukan bahw a silinder akan mengapung stabil dgn,

(7)

22.

Ponton dibuat dengan menghubungkan dua buah balok sepanjang 10 m, lebar 0,3 m dan tinggi 0,25 m yang mengapung di dalam air taw ar. Rapat relatif balok kayu S= 0,6.

Selidiki stabilitasbalok tunggal dan Selidiki stabilitas ponton. Apabila di atas ponton terdapat beban seberat 750 kg dengan pusat berat pada jarak 0,5 m dari sisi atas balok. Beban tersebut berada pada tengah-tengah ponton.

23.

Pelampung silinder berdiameter 3 m dan panjang 4 m mempunyai berat 4 0 kN diapungkan diair laut ( S= 1,02 ) dengan sumbu memanjangnya vertikal.

• Selidikistabilitas benda.

• Apabila pelampung tidak stabil, berapakah gaya tarik yang harus diberikan pada rantai yang dipasang pada pusat dasar silinder supaya silinder dalam kondisi stabil ( mengapung stabil) .

24.Kerucut padat mengapung di dalam air dengan sumbunya vertikal sedemikian sehingga puncaknya berada di baw ah. Apabila sudut puncak kerucut adalah 40o, tentukan rapat relatif benda sedemikian sehingga benda dalam kesetimbangan stabil.

25.Kerucut terbuat dari bahan dengan rapat relatif S1= 0,7 mengapung di atas zat cair dengan rapat relatif S2= 0,90. Hitung sudutpuncak kerucut minimum sedemikian sehingga kerucut dapat mengapung dengan puncaknya dibawah.

26.Pelampung silinder berdiameter D= 1,0 m dan tinggi H= 0 ,75 m mempunyai berat 3500 N mengapung di air laut ( S= 1,025) dengan sumbu vertical. Di pusat sisi atas silinder diberi beban. Letak pusat berat beban adalah 0,5 m dari sisi atas silinder.

Berapakah berat beban

maksimum supaya pelampung tetap dalam kondisi stabil.

27.Kapal dengan panjang 60 m lebar 8,4 m dan berat 15 MN. Muatan diatas kapal seberat 150 kN bergerak pada arah lebar sejauh 4 m sehingga menyebabkan kapal miring 3o. Momen I nersia tampang kapal pada elevasi muka air adalah 72% dari momen inersia segi empat yang mengelilinginya. Pusat apung terletak pada 1,5 m di baw ah muka air. Tentukan tinggi metasentrum dan posisi pusat berat kapal. Rapat massa air laut ρ= 1025 kg/ m3.

(8)

Jawaban Tugas No 3.01

N

200 300 500− = =B diudara diair

W W

F = −

V xV

x V

g V

FB=γ. =ρ. . =1000 9,81 =9810

Gaya apung ( FB) adalah sama dengan perbedaan antara berat batu di udara dan di dalam air:

Menurut hukum Archimedes, gaya apung ( FB) adalah sama dengan berat air yang dipindahkan batu. Berat air yang dipindahkan batu ( FB) adalah sama dengan perkalian antara volume air yang dipindahkan ( V) dan berat j enis air.

Dari kedua nilai FB di atas, 200=9810.V⇒V=0,0204m3 Volume air adalah sama dengan volume batu, sehingga volume batu adalah V= 0,0204 m3_{. Berat batu di udara adalah sama dengan berat} jenis batu dikalikan volume batu,

5 , 2 1000 2500 /

2500

0204 , 0 81 , 9 500

. . .

3_⇒ ₌ ₌ ₌

= =

air diudara

S m kg

x x

V g V W

ρ ρ ρ

ρ

ρ γ

Pusat apung( B) adalah titik pd mana gaya apung bekerja. Pusat apung ini merupakan pusat berat dari volume zat cair yang dipindahkan

Jawaban Tugas No 3.02

3

15 ,

0

75 ,

0

5 ,

0

4 ,

0 x

x

m

V

=

m

cm

d

=

50 −

10 =

40 =

0 ,

4 kgf

x

V

air

.

=

1000

0 ,

15 =

150 = γ

Tinggi balok yang terendam di dalam air:

Berat balok = berat zat cair yang dipindahkan

Volume bagian balok yang terendam di air:

Jawaban Tugas No 3.03

N x

V

W = γ_benda. =600 0,53=75,0 3 0 , 600 1000 6 , 0 .

m kgf x

S

S benda air

air

benda⇒ = = =

= γ γ

γ γ

Misal W : berat kubus, FB : gaya apung d : kedalaman bagian kubus yang terendam air

Rapat relatif :

Berat benda :

Gaya apung :

m d d F

W = _B ⇒75,0=250,0 ⇒ =0,3 Pada kondisi mengapung,

berat benda adalah sama dengan gaya apung:

d xd

x x

V

FB air air yg dipindahkan 0 , 250 ) 5 , 0 5 , 0 ( 1000

. _{_} _{_}

= =

= γ

Jadi kedalaman kubus yang terendam air= 0,3 m.

Jawaban Tugas No 3.04

N x

x x

W=0,7 1000 9,81 0,12=824,04

m x

A V

air muka pd balok tampang

n dipindahka yg

air Volume d

21 , 0 4 , 0 0 , 1

084 , 0

_ _ _ _

_ _ _

= =

⇒= =

V S V g

W =ρBalok. . = .ρair.

Volume balok : V= 1.0x0,4x0,3= 0,1 2 m3

Berat Balok :

Volume air yang dipindahkan :

Kedalaman bagian balok yg terendam air :

m d

OB 0,105

2 21 , 0

2 = =

=

Letak pusat apung :

Jadi letak pusat apung adalah 0,105 m dari dasar balok. Jadi letak pusat apung adalah 0,105 m dari dasar balok.

3 084 , 0 81 , 9 1000

04 , 824 _

_ _

m x

air jenis berat

balok Berat

(9)

Jawaban Tugas No 3.05#1

kgf x

x

W₁=0,7 1000 0,125=87,5

m

x

A

V

d

0 ,

35

5 ,

0

5 ,

0 0875

,

0 =

=

V S V

W₁ =γ_Balok. = .γ_air. Volume balok : V1= 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0 ,125 m3

Berat Balok :

Volume air yang dipindahkan :

Kedalaman bagian balok yg terendam air :

3 1

1 0,0875

1000 5 , 87

m W

V

air

A = _γ = =

Jawaban Tugas No 3.05#2

2 2

1 W 87,5 W

W

W_total= + = +

kgf

x

V

F

_B

= γ

_air

.

_A₂

=

1000

0 ,

125 =

125 ,

0

Jika diatas Balok diberi beban dengan berat W2,maka berat total balok+ beban adalah:

Apabila balok terendam seluruhnya, berarti kedalaman balok yg terendam air adalah d2= 0,5 m. Volume air yang dipindahkan benda :

Gaya apung :

kgf W

W F

W_total = _B ⇒87,5+ ₂ =125,0⇒ ₂ =37,5 Dengan menyamakan berat total dan gaya apung :

Jadi berat beban di atas balok adalah W

Jadi berat beban di atas balok adalah W₂2= 37,5 kgf= 37,5 kgf

3 2

2 A.d 0,5x0,5x0,5 0,125m

V_A = = =

Jawaban Tugas No 3.06

3

/

1025

kg

m

=

ρ

kN N

x x x x

d L B g F F_G _B

48 , 059 . 1 480 . 059 . 1

5 , 1 0 , 12 0 , 6 81 , 9 1000

. . . . 1

= =

= ρ

a. Dalam keadaam terapung, berat benda adalah sama dengan berat air yang dipindahkan benda ( FB) :

Jadi berat benda adalah ( FG) :1059,48 kN b. Mencari sarat ( draft) di air laut :

Rapat massa air laut :

N x

x x x d

L B g

F_Bmak = ρ. . . . _max =1000 9,81 6,0 12,0 2,0=1412640 Pada kondisi mengapung,

berat benda adalah sama dengan gaya apung: Pada kondisi mengapung, berat benda adalah sama dengan gaya apung:

Jadi beban yg dpt didukung adalah:1.412,64-1.059,48= 353,16kN

m x

x x L B g F d

d L B g F F

G B G

463 , 1 0 , 12 0 , 6 81 , 9 1025

480 . 059 . 1 .

. .

. . . .

2 2

= =

= = =

ρ ρ

c. Mencari sarat maksimum ( draft max) dmaks = 2,0 m, gaya apung total

Jawaban Tugas No 3.07#1

g B

g V

FG . b. . b.

3 ρ

ρ = =

g

d

B

g

B

3

.

ρ

_b

.

=

2

.

ρ

_a

.

3

/ 900 1000 9 ,

0 x kg m

b = =

⇒ ρ

Sisi kubus : B= 25 cm

Rapat relatif : S= 0,9

Misalkan tinggi kubus yang terendam air adalah d Gaya apung :

Dalam Keadaan mengapung :FG= FB

g

d

B

g

d

A

F

_B

=

.

ρ

_a

.

=

2

.

ρ

_a

.

Berat benda :

m x

SB B d

a

b = =₀_,₉ ₀_,₂₅=₀_,₂₂₅

= ⇒

(10)

Jawaban Tugas No 3.07#2

2 Jika diatas kubus diberi beban dengan berat W2,maka berat total kubus dan beban adalah:

Apabila kubus terendam seluruhnya, berarti kedalaman kubus yang terendam air adalah d= 0,25 m. Gaya apung pada keadaan tersebut :

N

Dengan menyamakan berat total dan gaya apung :

Jawaban Tugas No 3.08

g Misal h adalah tinggi balok yang berada di atas permukaan zat cair. Di dalam air taw ar Sa= 1 ⇒h = 10 cm

Berat balok :

Gaya apung di minyak:

g

Pada kondisi mengapung, berat benda adalah sama dengan gaya apung:

Di dalam minyak : Sm = 0,8 ⇒h = 7,5 cm

Misalkan tinggi balok H dan luas dasar balok A cm2_.

Gaya apung di air taw ar:

g

Dengan menyamakan persamaan di atas:

m

H

100

800

60

0 ,

20 1000

−

=

−

⇒

=

Substitusi nilai tersebut ke dalam persamaan aw al :

3

Jawaban Tugas No 3.09

3

Berat tangki, air dan air raksa adalah :

Misalkan tinggi tangki adalah H, sedang V1dan V2adalah volume air dan air raksa.

Volume air dan air raksa :

(11)

1 , 5003

795 , 4605 175

1 , 5003 4605

175+ H = d ⇒d = + H

Bagian tangki yang berada di atas permukaan air adalah 0,2m, berarti bagian yang terendam adalah:

m

H

d

=

−

0 ,

20

Dengan menyamakan kedua bentuk nilai d di atas didapat

m

H

didapat

H

959 ,

2 :

795 ,

4605

175

62 ,

1000

1 ,

5003

1 ,

5003

795 ,

4605

175

2 ,

0 =

+

=

−

+

=

−

a

Gaya apung : F_B= A.d_{air laut}.g= 0,5 dx1020x9 ,81= 5003 ,1d N

Dalam keadaan mengapungW= FB, sehingga:

Jawaban Tugas No 3.10

m d

OB 0,2122 2= =

d d

F d

D

FB air B 3 . .1000 7068,58 4

. . 4

2 2

= =

⇒

=π γ π

Berat pelampung : FG = 3 ton

Jarak pusat berat terhadap dasar silinder :

Jarak pusat apung terhadap dasar silinder :

m

OB

OG

BG

=

−

=

1 ,

5 −

0 ,

2122

=

1 ,

2878

Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

Misalkan bagian dari pelampung yang terendam air adalah d. Gaya apung:

Dalam keadaan mengapung : FG= FB⇒3000= 7068,58 d, maka

d= 0,4244 m

m

OG 1,5

2 0 , 3

= =

4 4

4

0 3 3,9708

64

64 xD x m

I = π = π =

Volume air yang dipindahkan:

3 2

2

0 ,

3 4244

,

0

3

4

4 D

d

x

m

V

=

π

=

π

=

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

m

V

I

BM

1 ,

3254

0 ,

3 97608

,

3

0

=

Moment inersia tampang pelampung yang terpotong muka air:

Tinggi metasentrum: GM=BM−BG=1,3254−1,2878=0,0376m

Karena GM > 0 , berarti pelampung dalam kondisi stabil

Jawaban Tugas No 3.11

Benda

G D H

F π . .γ

4

2

=

m

OB 1,2

2 4 , 2

= =

3

/ 800 1000 8 , 0 8

,

0 x kgf m

S _benda

air

Benda = ⇒ = =

= γ

γ γ

Berat benda :

Jarak pusat berat terhadap dasar silinder :

Jarak pusat apung terhadap dasar silinder :

m

OB

OG

BG

=

−

=

1 ,

5 −

1 ,

2 =

0 ,

3

Dalam keadaan mengapung : FG= FB, sehingga :

m x

xH d

d D H

D

Air Benda Air

Benda . . 0,8 3 2,4

4 .

. 4

2

2 ₌ ₌ ₌ ₌

γ γ γ

π γ

π

a

m

OG 1,5

2 0 , 3

(12)

4 4

4

0 3 3,9708

64

64 xD x m

I = π = π =

Volume air yang dipindahkan:

3 2

2

9649

,

16

4 ,

2

3

4

4 D

d

x

m

V

=

π

=

π

=

m

V

I

BM

0 ,

234 9646

,

19 9761

,

3

0

=

Tinggi metasentrum: GM=BM−BG=0,234−0,3=−0,066m

Karena GM

Karena GM < 0 , berarti benda dalam kondisi tidak stabil< 0 , berarti benda dalam kondisi tidak stabil

Jawaban Tugas No 3.12

g H

F_G =0,52. .ρ_Benda,

H d OB 0,4

2=

=

3

/ 800 1000 8 , 0 8

,

0 x kgf m

S _benda

air

Benda = ⇒ = =

= ρ

ρ ρ

Berat benda :

Jarak pusat berat terhadap dasar : Jarak pusat apung terhadap dasar :

H

OB

OG

BG

=

−

=

0 ,

1

H H S xH d

g d g H

Air Benda Air

Benda. 0,5. . . . 0,8

. . 5 ,

0 2 = 2 = = =

ρ ρ ρ

ρ a

H H

OG 0,5

2 =

= Gaya Apung :

Gaya Apung : F_B =0,52.d.ρ_air.g

4 3 4

3

0 0,5 5,2083 10

12 1 . . 12

1

m x x

B B

I = = = −

H

x

d

B

V

=

2

=

0 ,

5

2

0 ,

8 =

0 ,

2 H

H

x

V

I

BM

0 ,

0260415

2 ,

0

10 2083

,

5

3

0

=

−

Benda akan stabil jika BM > BG :

Benda akan stabil jika BM > BG : H H m H 0,1 0,51

0260415 , 0

< ⇒ >

Jadi benda akan stabil apabila tinggi balok maksimum 1,02

Jawaban Tugas No 3.13

kgf x

x L

A

F_G= . .γ_Benda=0,64 1,0 800=512

m d

OB 0,4

2 8 , 0 2= =

=

3

/ 800 1000 8 , 0 8

,

0 x kgf m

S benda

air

Benda = ⇒ = =

= γ

γ γ

Berat benda :

Jarak pusat berat terhadap dasar Balok : Jarak pusat apung terhadap dasar Balok :

m

OB

OG

BG

=

−

=

0 ,

5 −

0 ,

4 =

0 ,

1

Jadi Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

m

d

0 ,

8 .

640

512 =

a

=

m L

OG 0,5

2 0 , 1 2 = =

=

Luas Tampang lintang balok: A=B.H =0,8x0,8=0,64m2

(13)

4

3

m

Moment inersia tampang bujursangkar yang terpotong muka air:

Tinggi metasentrum: GM=BM−BG=0,06667−0,1=−0,03333m

Karena GM < 0 , berarti benda dalam kondisi tidak stabil

Jawaban Tugas No 3.14

kgf

S benda

air

Benda = ⇒ = =

= γ

γ γ

Berat benda :

Jarak pusat berat terhadap dasar : Jarak pusat apung terhadap dasar :

H

Jarak antara pusat berat dan pusat apung: Dalam keadaan mengapung

:

Gaya Apung :

kgf

3

Tinggi metasentrum:

m

Jadi tinggi silinder maksimum adalah 0,53 m.

Benda akan stabil apabila BM> BG

Jawaban Tugas No 3.15

g dan bahan silinder.

Volume air yang dipindahkan :

Gaya apung :

Pada kondisi mengapung, berat benda ( W) adalah sama dengan gaya apung ( FB) , sehingga:

Jarak antara pusat berat benda dan pusat apung

g

Jarak pusat apung benda dari dasar silinder

Jarak pusat berat benda dari dasar silinder OG h x1 0,5m

(14)

4

Moment inersia tampang lingkaran yang terpotong muka air:

Jarak antara pusat apung dan Titik metasentrum:

2

Silinder dalam kondisi stabil apabila tinggi metasentrum BM> BG

Didapat: 2 3

3

2a =870,624kg/m ⇔ρ b =149,375kg/m

ρ

Apabila kedua hasil tersebut disubstitusikan kedalam persamaan

1020

Jawaban Tugas No 3.16

air

Gaya apung :

Pada kondisi mengapung, berat benda ( FG) adalah sama dengan gaya apung ( FB) , sehingga:

Jarak antara pusat berat benda dan pusat apung

g

Jarak pusat apung benda dari dasar silinder

Jarak pusat berat benda dari dasar silinder OG L 0,5L

2=

Moment inersia tampang lingkaran yang terpotong muka air:

Jarak antara pusat apung dan Titik metasentrum:

( ) Τϕ / Φ3 11. 3906 Τφ 1. 037 0 0 1 602. 28 140. 1156 Τµ ( )( ) Τϕ / Φ3 11. 3906 Τφ 1. 037 0 0 1 690. 1199 140. 1156 Τ µ ( )

Silinder akan stabil apabila BM> BG Volume air yang dipindahkan

(15)

Jawaban Tugas No 3.17

kN

FG Benda Benda

76704

S benda

air

Benda= ⇒ = =

= γ

ρ ρ

Berat benda :

Jarak pusat berat terhadap dasar Balok : Jarak pusat apung terhadap dasar Balok :

m

OB

OG

BG

=

−

=

0 ,

3 −

0 ,

24 =

0 ,

06

Dalam keadaan mengapung :

m Berat air yang dipindahkan:

kN

3

m

Moment inersia tampang segi empat :

Tinggi metasentrum: GM=BM−BG=0,1111−0,06=0,0511m

Karena GM > 0 , berarti benda dalam kondisi stabil

4

Dari kedua hasil nilai tersebut ambil yang terkecil, yaitu Ix= 0,042667m4

Apabila diatas balok ditempatkan plat setebal T= 0,01 m

Berat plat :

Berat total benda

: W =FG+FGt =3,76704+0,616068=4,3831kN

Berat air yang dipindahkan:

kN

Dalam keadaan

mengapung :_W _F _d _d _m

B⇒4,3831=7,848 ⇒ =0,5585

=

Jarak pusat apung terhadap dasar Balok :

Jarak pusat berat gabungan terhadap dasar Balok dihitung berdasarkan momen statis terhadap dasar balok:

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 258. 72 107. 1156 3. 36 9. 96 ρε Ω ν 0 γ 0 Γ ΒΤ / Φ3 10. 5078 Τφ 0. 9565 0 0 1 258. 72 109. 3956 Τµ 10. 5078 ΤΛ ( )

Volume air yang

dipindahkan: ₃

4468

m BG

BM

GM = − =0,0955−0,06362=0,0319

(16)

Jawaban Tugas No 3.18

kN W

W

W = ₁+ ₂=1000+6000=1600

m d

OB 0,615

2 23 , 1

2= =

=

Berat total kedua benda :

Jarak pusat berat gabungan dan dasar ponton dihitung dengan momen statis terhadap dasar Balok :

Jarak antara pusat apung dan dasar ponton :

Dalam keadaan mengapung W= FB, sehingga :

m d

d 1,23 8

, 1300

1600= a =

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 323. 52 333. 4356 3. 36 9. 84 ρε Ω ν 0 Γ ΒΤ_m / Φ3 10. 5156 Τφ 0. 9563 0 0 1 323. 52 335. 7156 Τµ 10. 5156 ΤΛ ( )

x x

W W

xOG W xOG W

OG 3,375

1600

5 , 3 3 600 5 , 1 1000

2 1

2 2 1

1 = + + =

+ + =

Gaya apung: FB=13x10xxdx1020x9,81=1300806dN=1300,8d_N

Berat Ponton: W₁= 1000 kN Berat Silinder : W₂= 600 kN

Dalam gambar, G1 dan G2 adalah pusat berat ponton dan silinder, sedang G adalah pusat berat benda gabungan

4 3

3

0 13 10 1083,3333

12 1 . . 12

1

m x

x B

L

I = = =

3

9 ,

159

23 ,

1

10

13 x

x

m

V

=

m V

I

BM 6,775

9 , 159

3333 , 1083

0 = =

=

Moment inersia tampang ponton muka air :

Jarak antara pusat apung dan pusat berat:

m OB

OG

BG= − =3,375−0,615=2,76

Karena GM > 0 , berarti benda dalam kondisi stabil

m BG

BM

GM = − =6,775−2,76=4,015

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

Jawaban Tugas No 3.19

m d

d 0,6875 4

, 392 775 ,

269 = a =

N W

W

W = 1+ 2=191,295+78,48=269,775

m

OB 0,34375

2 6872 , 0

= =

Berat total kedua benda :

Jarak antara pusat apung terhadap dasar :

Gaya apung: FB=A.d.ρair.g=0,04xdx1000x9,81=392,4d

S₁= 0 ,5 S₂= 8 ,0

a. Stabilitas Benda Terapung

3 1=0,5x1000=500kg/m

⇒ ρ

3 2=8,0x1000=8000kg/m

⇒ ρ

Panjang benda dg ρ1: L1= 100-2,5= 97,5 cm Panjang benda dg ρ2: L2= 2,5 cm Luas tampang lintang benda dg A = 0,2x0,2= 0,04 m2

Berat benda 1 W1= ρ1.g.A.L1=500x9,81x0,04x0,975=191,295N

N x

x x L A g

W2= ρ2. . . 2=8000 9,810,04 0,025=78,48 Berat benda 2

m x

x W W

xOG W xOG W OG

36705 , 0 48

, 78 295 , 191

2 025 , 0 48 , 78 2

975 , 0 025 , 0 295 , 191

2 1

2 2 1 1

= +

+    



 ₊

=

+ + =

Jarak pusat berat ke dasar O :

m OB

OG

BG= − =0,36705−0,34375=0,0233

Moment inersia tampang lintang benda :

4 3

3

0 0,2 0,2 0,00013333 12

1 .

12 1

m x

x bh

I = = =

Volume air yang

dipindahkan: 3

0275

,

0 6875

,

0

04 ,

0 .

d

x

m

A

(17)

m V

I

BM = 0 =0,00484848

Karena GM < 0 , berarti benda dalam kondisi tidak stabil

m BG

BM

GM = − =0,00484848−0,0233=−0,01845

b. Panjang L1 supaya Benda Terapung stabil

Misalkan L1 Panjang benda dg ρ1 akan dihitung jarak antara pusat berat benda gabungan G dan dasar O.

Berat benda 1 W₁= ρ₁.g.A.L₁=500x9,81x0,04xL₁=196,2L₁_{_}N Jarak pusat apung dari dasar :

Gaya apung: FB=392,4d

( ) Τϕ / Φ3 16. 7773 Τφ 0. 7462 0 0 1 608. 8799 344. 8356 Τµ ( )

( ) Τϕ / Φ3 16. 7773 Τφ 0. 7462 0 0 1 706. 3199 344. 8356 Τµ ( )

0,5 0,2

Bentuk diatas dapat disederhanakan menjadi

m

Benda akan terapung stabil apabila panjang benda dengan rapat massa ρ1 lebih kecil atau sama dengan 0,8877 m

Jawaban Tugas No 3.20

3

1 0,8 0,8x1000 800kg/m

S benda

air

Berat benda 1:

Misalkan h adalah panjang benda bagian baw ah : Benda bagian atas

3 2 5,0 5,0x1000 5.000kg/m

S _benda

air

Benda = ⇒ = =

= γ

ρ ρ

Benda bagian bawah

kgf

Berat benda 2:

h

F

_G

=

_G₁

+

_G₂

=

39 ,

27 +

245 ,

43

Berat benda total:

(18)

Pusat berat benda gabungan terhadap dasar dihitung dengan momen statis terhadap dasar Balok :

( ) Τϕ / Φ3 14. 4141 Τφ 0. 9253 0 0 1 227. 16 421. 8756 Τµ ( )

Gaya apung :

kgf

Dalam keadaan mengapung F_G= F_Bsehingga:

8

Jarak pusat apung terhadap dasar Balok :

Jarak antara pusat apung dan pusat berat :

( ) Τϕ / Φ3 8. 6563 Τφ 0. 9244 0 0 1 706. 92 408. 4356 Τµ ( )

_V

_D

_.

_d

4

π

=

8

Moment inersia tampang Silinder yang terpotong air : Benda akan stabil bila BM > GM :

(19)

Jawaban Tugas No 3.21

L L

S S d S dx D S

Lx

D 0,5

2 2000

4 1000 4

2

2 = π ⇒ = =

π

L d

OB 0,25 2 = =

3

/ _ 1000S kgf m

b=

⇒ γ

Dalam keadaan mengapung FG= FB, sehingga :

S_b= S S_a= 2S

a. Silinder mengapung dengan sumbunya vertikal

3 / _ 2000S kgf m a=

⇒ γ

Berat benda FG FG D Lx1000S 4

2 π

= Gaya Apung FB FB Ddx2000S 4

2 π =

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :OG L 0,5L 2 = = Jarak antara pusat apung dan pusat berat :

4 25 , 0 25 , 0 5 ,

0 L L L L

OB OG

BG= − = − = =

Moment inersia tampang silinder yang terpotong air :₀ 4

64D

I = π

Volume air yang

dipindahkan:

V

₄

D

.

d

2

π

=

L D d D d D

D V

I BM

8 16

2 2

2 64

4 64

0 = = =

= _ππ

terbukti D

L D L L

L D

⇒ 〈 → 〈 → 〉

2 2

4 8

2 2 2

Benda akan stabil apabila: BM> BG, sehingga:

b. Silinder ,mengapung dengan sumbunya horisontal

Karena berat jenis silinder (S) adalah setengah berat jenis zat cair (2S), berarti silinder terendam setengah bagiannya (muka air melalui pusat lingkaran).

D d=0,5

Pusat apung adalah sama dengan pusat berat setengah lingkaran

π

π 3

2 3

4r D

PB = =

Jarak Pusat apung dari

dasar: 3π

2 2

D D

OB = −

Jarak Pusat Berat dari dasar:

2 D OG =

D L L

D DL V

I BM

2

2 8

3 12

1 0

3 2

π

π =

= =

π π 3

2 3 2 2 2

D D D D OB OG

BG =

  

  − − = − =

Jarak antara pusat apung dan pusat berat:

Moment inersia tampang silinder yang terpotong air : ₀ 3

12 1

DL I =

Volume air yang

dipindahkan: V x D L D L . 8 . 4 2

1 π ₂ π ₂ = =

Benda akan stabil apabila : BM> BG

D L D L D D L

〉 ⇒ 〉 ⇒

〉 2 2

2

3 2 3

2

(20)

Jawaban Tugas No 3.22

m H

OG 0,125 2 = =

m d

OB 0,075 2= =

kgf d xdx

x LBd

FB= .γa=10 0,3 1000=3000 _

Bagian balok yang terendam air adalah d.

γp= berat jenis ponton

γa= berat jenis air

3

/ 600 1000 6 , 0 6 ,

0 x kgf m

S p

a p

= =

⇒ =

= γ

γ γ

Berat benda FG F_G=LBH.γ_p=10x0,3x0,25x600=450,0kgf

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :

m OB

OG

BG= − =0,125−0,075=0,05

a. Balok tunggal:

Berat air yang dipindahkan :

Karena mengapung, maka FB= FG, sehingga didapat kedalaman:

m d 0,15

3000 450

= =

Moment inersia tampang silinder yang terpotong air :

4 3

3

0 10 0,3 0,0225

12 1 12

1

m x

x LB

I = = =

Jadi benda dalam keseimbangan netral ( akan mengguling)

m x

x V

I

BM 0,05

15 , 0 3 , 0 10

0225 , 0

0 = =

=

0 05 , 0 05 ,

0 − =

= − = BM BG GM

Tinggi metasentrum :

b. PONTON

Berat papan di atas balok diabaikan. Momen inersia total terhadap sumbu ponton,

( ) Τϕ ΕΤ Θθ 178. 2 234. 3156 3. 24 15. 24 ρε Ω ν 0 γ 0 Γ ΒΤ / Φ3 15. 9141 Τφ 0. 6137 0 0 1 178. 2 237. 7956 Τµ 15. 9141 ΤΛ ( )

[

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 302. 28 234. 7956 3. 24 14. 76 ρε Ω ν 0 γ 0

]

Γ ΒΤ / Φ3 13. 1172 Τφ 0. 7445 0 0 1 302. 28 237. 7956 Τ µ 13. 1172 ΤΛ ( ) ( ) Τϕ / Φ3 13. 1172 Τφ 0. 7445 0 0 1 217. 32 220. 7556 Τµ ( )

[

2

]

4

2 2

26 , 1 45 , 0 3 , 0 10 0225 , 0 2

3 , 0 5 , 0 6 , 0 5 , 0 2

2

m x

x x

LxBx I AX I I_t

= +

=

+ +

= + =

Bagian balok ponton yang terendam air adalah d= 0,15 m, ( karena berat papan diabaikan) .

Volume air yang dipindahkan:V =2.A.d=2x10x0,3x0,15=0,9m3

m V

I

BM t ₁_,₄₀

9 , 0

26 , 1

= =

= Jarak antara pusat

apung dan titik metasentrum :

Jarak pusat apung ponton dan pusat berat ponton terhadap dasar balok ponton adalah sama dengan kondisi a, sehingga:

m OB

OG

BG= − =0,125−0,075=0,05

stabil m

BG BM

GM = − =1,40 −0,05 =1,35 → Tinggi metasentrum :

c. Apabila di atas PONTON terdapat beban seberat W b= 750 kgf.

Berat ponton :Wp= 2FG= 900 kgf

Berat ponton :dan beban : Wpb= 900 + 750= 1.650 kgf

Setelah ada beban, bagian balok ponton yang terendam air Adalah d1.

( ) Τϕ / Φ3 13. 4688 Τφ 0. 7443 0 0 1 648. 6 85. 8756 Τµ ( )

OG m x

x xOG

xOG W xOG W xOG

W_pb _p _b

4091 , 0 5

, 0 25 , 0 750 25 , 0 5 , 0 900 650

, 1

2 1

= ⇔ + +

=

+ =

m d

OB 0,1375

2 275 , 0

2= =

=

kgf d x

xd x x

FB1=2 10 0,3 1 1000=6000 _

Jarak antara pusat Berat dihitung dengan momen statis terhadap titik 0 :

Berat air yang dipindahkan :

Kedalaman balok ponton yang terendam air :d 0,275m

6000 1650

(21)

Jarak pusat apung dan pusat berat :

m OB

OG

BG= − =0,4091−0,1375=0,2716

m V

I

BM 0,7732 6296

, 1

26 , 1

0 = =

=

Karena balok ponton tidak tenggelam maka momen inersia sebelum dan sesudah ada beban adalah sama:

Volume air yang

dipindahkan: 3

6296 , 1 2716 , 0 3 , 0 10 2 . .

2 Ad x x x m

V = = =

m BG

BM

GM = − =0,7732−0,2716=0,5016 4

26 , 1 m I_t =

PONTON TETAP STABI L

Jawaban Tugas No 3.23

m L OG 2,0

2= =

m d

OB 0,2828

2 5655 , 0

2= =

=

Gaya apung :

Berat Silinder :F_G=40kN

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :

m OB

OG

BG= − =2,0−0,2828=1,7172

a. Menyelidiki stabilitas benda :

Karena mengapung, maka FB= FG, sehingga didapat kedalaman:

m

d

FB

FG

=

⇒

40 =

70 ,

73 ⇒

=

0 ,

5655

( ) Τϕ / Φ3 12. 2539 Τφ 0. 7458 0 0 1 649. 3199 455. 1156 Τµ ( )

kN d dN

x xdx

g d D FB

_ 730 , 70 730 . 70

81 , 9 020 , 1 3 4

4

2 2

= =

= = π

ρ π

Moment inersia tampang lintang benda yang terpotong air :

( ) Τϕ / Φ3 14. 6563 Τφ 0. 8015 0 0 1 268. 2 234. 3156 Τµ ( )

4 4 4

0 3 3,97608

64

64D x m

I = π = π =

Tinggi metasentrum adalah negatif, jadi benda dalam kondisi tidak stabil. Berarti benda tidak bisa mengapung dengan sumbu panjangnya vertikal.

m V

I

BM 0,9947

9973 , 3

97608 , 3

0 = =

=

m BG

BM

GM = − = 0,9947 −1,7172 = −0,7225 Tinggi metasentrum :

( ) Τϕ / Φ3 14. 5352 Τφ 0. 7434 0 0 1 244. 56 201. 3156 Τµ ( )

2 3 9973

, 3 5655 , 0 3 4

.d x x m

A

V = =π =

( ) Τϕ / Φ3 11. 2891 Τφ 0. 7465 0 0 1 593. 7599 164. 5956 Τµ ( )( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 699. 48 167. 3556 2. 7599 10. 68 ρε Ω ν ΒΤ / Φ3 11. 2891 Τφ 0. 7465 0 0 1 699. 48 169. 8756 Τµ 11. 2 891 ΤΛ ( )

730 . 70

000 . 40 730

. 70 000 .

40 +P = d⇒d= +P

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 687. 6 146. 9556 2. 88 10. 8 ρε Ω ν 0 Γ ΒΤP _m / Φ3 11. 5273 Τφ 0. 7461 0 0 1 687. 6 149. 4756 Τµ 11. 52 73 ΤΛ ( )

d OB

460 . 141 000 . 40 2

+ =

=

Jarak antara pusat apung dari dasar :

Gaya apung :

Misalkan P adalah gaya tarik yang bekerja pada rantai di pusat dasar pelampung. Berat benda dan gaya tarik P adalah:

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 563. 4 229. 9956 3. 48 13. 56 ρε Ω ν 0 γ 0

P N

Γ ΒΤ / Φ3 13. 9414 Τφ 0. 747 0 0 1 563. 4 232. 9956 Τµ 1 3. 9414 ΤΛ ( )

P

FG+ = 40.000+

b. Pusat dasar benda diberi gaya tarik:

Dalam keadaan mengapung, maka FB= FG+ P :

( ) Τϕ / Φ3 12. 2383 Τφ 0. 7463 0 0 1 605. 16 215. 4756 Τµ ( )

kN d dN

x xdx g

d D F_B

_ 730 , 70 730 . 70

81 , 9 020 , 1 3 4 4

2 2

= =

= =π ρ π

Dalam keadaan gaya tarik di 0, letak pusat berat berubah. Letak pusat Berat dihitung berdasarkan momen terhadap titik 0.

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 512. 52 105. 1956 3. 72 10. 56 ρε Ω ν 0 γ 0 Γ ΒΤ / Φ3 10. 8359 Τφ 1. 0492 0 0 1 512. 52 107. 5956 Τ µ 10. 8359 ΤΛ ( ) ( ) Τϕ / Φ3 10. 8359 Τφ 1. 0492 0 0 1 528. 48 89. 9556 Τµ ( )

P OG

x xOG

P

Px FGxOG

xOG P FG

+ =

⇒ + =

+

+ =

+

40000 80000 0

2 40000 40000

(22)

Jarak pusat berat benda dan gaya tarik P terhadap dasar adalah:

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 330. 48 481. 6356 4. 08 15. 12 ρε Ω ν 0 γ 0

Γ ΒΤ / Φ3 16. 2539 Τφ 0. 7465 0 0 1 330. 48 485. 1156 Τ µ 16. 2539 ΤΛ ( )

141460 40000 40000

80000 P

P OB

OG

BG − +

+ =

− =

( ) Τϕ / Φ3 14. 5352 Τφ 0. 7432 0 0 1 354. 6 439. 9956 Τµ ( )

P x

d A

V = = + =9,9938 10− 40000+ 70730

40000 3

4

. π 2 5

( ) Τϕ / Φ3 15. 2695 Τφ 0. 8016 0 0 1 286. 8 381. 4356 Τµ ( )

P P x

V I BM

+ =

= ₋

40000 47 , 785 . 39 40000

10 9938 , 9

97608 , 3

5 0

Moment inersia tampang lintang benda setelah adanya gaya tarik P

adalah sama dengan sebelum adanya gaya tarik, yaitu = 3,976 08m4

460 . 141 40000

40000 000 . 80

40000 47 , 785 .

39 P

P P

+ −

+ 〉

+

Jadi gaya tarik minimum yang harus diberikan adalah P = 35,4238 kN

kN N

P

P 75.423,8 35.423,8 35,4238

40000 + 〉 ⇒ 〉 =

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 533. 52 444. 0756 4. 08 14. 28 ρε Ω ν ΒΤ / Φ 3 15. 2695 Τφ 0. 8021 0 0 1 533. 52 447. 4356 Τµ 15. 269 5 ΤΛ ( )

P

+ 〉

+

40000 53 , 214 . 40 460 . 141 40000

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 534. 72 412. 1556 4. 08 16. 8 ρε Ω ν ΒΤ / Φ3

40000 + P 2〉141.460x40.214,53

15. 2109 Τφ 0. 8052 0 0 1 534. 72 415. 5156 Τµ 15. 2109 ΤΛ ( )

Jawaban Tugas No 3.24

α

α D htg

h D h D

tg 2

2 2

/ *

* *

= ⇒ = =

α

α D htg

h D h D

tg 2

2 2 /

= ⇒ = =

gh x x D

FG 1

2 3 1

4 ρ

π =

h : tinggi kerucut D: diameter dasar kerucut

α: setengah sudut puncak kerucut

d: bagian kerucut yang terendam air

ρ1: rapat massa kerucut

ρ2: rapat massa air

Misalkan:

Berat Kerucut :

( ) Τϕ / Φ3 13. 9219 Τφ 0. 7436 0 0 1 238. 32 93. 7956 Τµ ( )

htg x xhx g h3tg2 x ₁g 1

2

3 1 3

1 .

2

4 α ρ π α ρ

π ₌

=

g tg

d

FB . 3. 2 ₂

3 1

ρ α

π 

  

  =

Berat air uyang dipindahkan dihitung dengan cara yang sama seperti di atas Untuk kedalaman air yang dipindahkan benda sebesar d.

Supaya benda mengapung FB= FG:

g tg

h g

tg

d 1

2 3 2

2 3

. . 3 1 .

. 3 1

ρ α π

ρ α

π 

  

  =    

 

  

 ₌

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = ⇒ =

2 1 3

2 1

3 _. 31

ρ ρ ρ

ρ

denganS S

h d h d

3 1

4 3 4 3

hS d OB= =

Jarak pusat apung dari puncak kerucut O :

Jarak pusat berat dari puncak kerucut:

Jarak pusat berat dari puncak kerucut: OG h

4 3 =

( ) Τϕ ΕΤ Θθ 729. 3599 106. 0356 3. 36 20. 28 ρε Ω ν 0 Γ ΒΤ / Φ3 19. 6484 Τφ 0. 5081 0 0 1 729. 3599 110. 3556 Τ µ 19. 6484 ΤΛ ( )

3 1

1 4 3

S h OB OG

BG= − = −

Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

(23)

Moment inersia tampang lingkaran kerucut pada permukaan air :

α

Untuk kesetimbangan stabil, BM =BG :

( ) Τϕ ΕΤ Θθ 584. 4 476. 4756 4. 32 28. 56 ρε Ω ν 0 γ 0 Γ ΒΤ / Φ3 23. 8594 Τφ 0. 545 0 0 1 584. 4 481. 6356 Τµ 2 3. 8594 ΤΛ ( )

_{( ) Τϕ / Φ3 23. 8594 Τφ 0. 545 0 0 1 675. 6 470. 2356 Τµ ( )}

₃1

Jadi supaya kerucut stabil maka rapat relatif kerucut adalah S=0,6885

Jawaban Tugas No 3.25

α

h : tinggi kerucut D: diameter dasar kerucut

D’: diameter tampang kerucut

d: kedalaman kerucut yang terendam air 2α: sudut puncak kerucut

Misalkan:

ρ Berat Kerucut :

( ) Τϕ / Φ3 12. 8633 Τφ 0. 7449 0 0 1 611. 7599 236. 3556 Τµ ( )htg h g xh tg g

Berat zat cair yang dipindahkan :

Oleh karena benda mengapung, maka FB= FG, sehingga:

(24)

3

Jarak pusat apung dari puncak kerucut O :

Jarak pusat berat dari puncak kerucut: OG h

4

Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

Moment inersia tampang lingkaran kerucut pada permukaan air :

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 210. 96 373. 3956 3. 96 21. 48 ρε Ω ν 0 γ 0 Γ ΒΤ / Φ3 17. 7813 Τφ 0. 6608 0 0 1 210. 96 377. 3556 Τ µ 17. 7813 ΤΛ ( )

π

( ) Τϕ / Φ3 14. 6563 Τφ 0. 8016 0 0 1 289. 56 377. 3556 Τµ ( )

α π α

α

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

Agar benda dalam kesetimbangan stabil, titik metasentrum M harus di atas atau berimpit dengan G : BM=BG .

Jadi sudut puncak kerucut adalah 2

Jadi sudut puncak kerucut adalah 2αα= 32,94= 32,9400_{= 32}_{= 32}00₅₆₅₆’’

Jawaban Tugas No 3.26

m

Gaya apung :

Berat Pelampung :

N F_G =3500

Pada kondisi mengapung, maka FB= FG+ W, sehingga:

375

(25)

Jarak antara pusat Berat dan beban terhadap dasar dihitung berdasarkan momen statis terhadap titik 0,:

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 155. 52 475. 6356 3. 72 14. 28 ρε Ω ν 0 γ 0

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 289. 68 475. 6356 3. 72 14. 28 ρε Ω ν 0 γ 0

Γ ΒΤ / Φ3 14. 7813 Τφ 0. 7467 0 0 1 155. 52 478. 8756 Τ µ 14. 7813 ΤΛ ( )

Γ ΒΤ / Φ3 14. 7813 Τφ 0. 7467 0 0 1 289. 68 478. 8756 Τ µ 14. 7813 ΤΛ ( )

( ) Τϕ / Φ3 14. 7813 Τφ 0. 7467 0 0 1 161. 88 461. 9556 Τµ ( )

( ) Τϕ / Φ3 14. 7813 Τφ 0. 7467 0 0 1 331. 08 461. 9556 Τµ ( )

75 , 794 . 15

3500 3500

25 , 1 5 , 1312 3500

25 , 1 5 , 1312

5 , 0 75 , 0 75 , 0 5 , 0 3500 3500

5 , 0 2

+ − + + =

− =

+ + =

+ +

= +

+ + =

+

W W

W OB

OG BG

W W OG

W x

x xOG

W

H W FGxOG xOG

FG W

Moment inersia tampang Silinder yang terpotong muka air :

( ) Τϕ / Φ3 19. 5 Τφ 0. 8009 0 0 1 244. 8 353. 8356 Τµ ( )

4 4 4

0

1

0 ,

0490874

64

64 D

x

m

I

=

π

=

π

=

3500 5861 , 493

25 , 055 . 10

3500 049087 ,

0

+ = +

= =

W W

V I BM

( ) Τϕ / Φ3 14. 5195 Τφ 0. 7439 0 0 1 596. 04 479. 3556 Τµ ( )

25 , 055 . 10

3500

375 , 7897

3500 1

4

. = 2 + = +

=Ad x xW W

V π

75 , 794 . 15

3500

3500 25 , 1 5 , 1312

3500 5861 ,

493 +

− +

+ 〉

+

W W

75 , 794 . 15

3500

3500 25 , 1 914 ,

818 +

〉 +

−

− W

W

0 9 , 541 . 684 4

, 743 . 12

2 − − =

W W

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 314. 64 249. 3156 4. 08 16. 8 ρε Ω ν ΒΤ / Φ3

2

15. 3086 Τφ 0. 7992 0 0 1 314. 64 252. 6756 Τµ 15. 3086 ΤΛ ( )

3500

4 , 743 . 19 9 , 541 . 934 .

12 + W〈W +

Penyelesaian dari persamaan tersebut menghasilkan :

N W₁ =12.796

N W₂ =−53,5

Jadi berat beban minimum sedemikian sehingga Jadi berat beban minimum sedemikian sehingga benda dalam kondisi stabil adalah

benda dalam kondisi stabil adalah W = 12.796 NW = 12.796 N

Jawaban Tugas No 3.27

Berat muatan : Wm= 150 kN= 1 50x103_N

Berat Kapal : W = 15 MN = 15 x 106_N

Lebar Kapal : B = 8,4 m.

Panjang Kapal : L= 60 m

Jarak bergesernya muatan : l = 4 m

Kemiringan sudut : α= 300

kNm

x

M

₀