HIMPUNAN KUBIK ASIKLIK DAN KUBUS DASAR

(1)

Vol. No. Hal. 43 – 49 ISSN : 2303–2910

c

Jurusan Matematika FMIPA UNAND

HIMPUNAN KUBIK ASIKLIK DAN KUBUS DASAR

WIWI ULMAYANI

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

[email protected]

Abstract. _{Given a topological space} _{X. Then define an algebra object}_H_∗(X_{) which} is called the homology group of X.H∗(X) is the collection thekth

homology group of X which is denoted byHk(X). An elementary cubeQis a finite product of elementary intervalsI = [l, l+ 1] orI = [l, l], for some l∈ Z. In this paper, it is proved that all elementary cubes are acyclic, which means thatHk(Q) is isomorphic toZifk= 0, and Hk(Q) is isomorphic to 0 ifk >0.

Kata Kunci: Topological space, acyclic, isomorphic

1. Pendahuluan

Misalkan diberikan ruang topologiX. Selanjutnya didefinisikan suatu objek aljabar

H∗(X)yang disebut dengan homologi dariX, dimana secara topologiH∗(X)adalah

sebuah invarian, artinya jikaX danY adalah homeomorfik makaH∗(X)danH∗(Y)

adalah isomorfik,

X ≈Y ⇒H∗(X)∼=H∗(Y),

dimanaH∗(X) merupakan koleksi dari grup homologi ke-k dariXyang dinotasikan

dengan Hk(X).

Misalkan diberikan suatu ruang topologi G ⊂ Rn_{, yang mana dapat}

diseder-hanakan menjadi suatu graf. Kemudian graf tersebut diobservasi dan direpresen-tasikan secara kombinatorik dan dari kombinatorik ini diperoleh suatu objek aljabar

H∗(G)yang disebut homologi dariG.

Pada tulisan ini, penulis akan fokus pada homologi kubik dimana ruang topologi dapat direpresentasikan sebagai sebuah kubik. Sebuah kubus dasarQ adalah suatu hasil kali hingga dari interval-interval dasarI= [l, l+ 1] atauI= [l, l] untuk suatu

l∈Z. Jadi, Q=I1×I2× · · · ×In⊂Rn. Himpunan kubik merupakan suatu kelas

khusus dari ruang topologi.

Berdasarkan definisi, sebuah himpunan kubikX disebut asiklik jika

Hk(X)∼=

Z,jika k= 0 0, selainnya

untukk≥0 dank∈Z.

Makalah ini bertujuan untuk mengkaji hubungan antara himpunan kubik asiklik dan kubus dasar.

(2)

2. Himpunan Kubik Asiklik dan Kubus Dasar

Berikut akan diberikan definisi tentang himpunan kubik asiklik.

Definisi 2.1. [5]Suatu himpunan kubik X dikatakan asiklik jika

Hk(X)∼=

Z,jikak= 0 0, selainnya

untuk k≥0 dank∈Z.

MisalkanQ=I1×I2×· · ·×Idsebuah kubus dasar. Untuk suatui∈ {1,2,· · · , d}

misalkanIi(Q)nondegenerate, denganIi(Q) = [li, li+ 1], untuk suatuli ∈Z. Pilih

k >0. Keluargaface berdimensik dariQdapat diuraikan sebagai berikut

Kk(Q) =Kk([l], i)∪ Kk([l, l+ 1], i)∪ Kk([l+ 1], i),

dimanaKk(∆, i) :={P∈ Kk(Q)|Ii(P) = ∆}, dengan ∆ := [l],[l, l+ 1],[l+ 1].

Berikut adalah contoh keluargaface berdimensik= 2.

Contoh 2.2. MisalkanQ= [p, p+ 1]×[l, l+ 1]×[q]. Maka

K1(Q) ={[p, p+1]×[l]×[q],[p]×[l, l+1]×[q],[p+1]×[l, l+1]×[q],[p, p+1]×[l+1]×[q]}

dan

K2(Q) ={[p, p+ 1]×[l, l+ 1]×q},

sehingga diperoleh

K1([l],2) ={[p, p+ 1]×[l]×[q]},

K1([l, l+ 1],2) ={[p]×[l, l+ 1]×[q],[p+ 1]×[l, l+ 1]×[q]}

K1([l+ 1],2) ={[p, p+ 1]×[l+ 1]×[q]} (2.1)

dan

K2([l],2) =∅,

K2([l, l+ 1],2) ={[p, p+ 1]×[l, l+ 1]×[q]}

K2([l+ 1],2) =∅. (2.2)

Misalkan z ∈Zk(Q) yang memiliki sifat bahwa |z|tidak memuat kubus dasar

dengan komponen [l+ 1]. Maka|z| tidak memuat kubus dasar dengan komponen [l, l+ 1].

Lema berikut digunakan untuk membuktikan Teorema 2.4.

Lema 2.3. [5] Asumsikan Q∈ Kd _dan_i _{∈ {}₁_,₂_,_{· · ·}_{, d}_}_{. Jika} _z _{merupakan siklik}

ke-k pada Qsedemikian sehingga hz,Pbi= 0 untuk setiap P ∈ Kk([l+ 1], i), maka

hz,Pbi= 0 untuk setiapP ∈ Kk([l, l+ 1], i).

Bukti. Karenaz merupakan rantai padaQ, maka

z= X

P∈Kk(Q)

(3)

Oleh karena itu, untuk sebarang R∈ Kk−1(Q), berlaku

h∂z,Rbi=h∂( X

P∈Kk(Q)

hz,PbiPb),Rbi

=h X

P∈Kk(Q)

hz,Pbi∂P ,b Rbi

= X

P∈Kk(Q)

hz,Pbih∂P ,b Rbi.

Karena zsiklik, maka untuk sebarangR∈ Kk−1(Q) berlaku

0 = h∂z,Rbi= X

P∈Kk([l],i)

hz,Pbih∂P ,b Rbi+ X

P∈Kk([l,l+1],i)

hz,Pbih∂P ,b Rbi+

X

P∈Kk([l+1],i)

hz,Pbih∂P ,b Rbi

Karena hz,Pbi= 0 untuk setiapP ∈ Kk([l+ 1], i), maka

0 =h∂z,Rbi= X

P∈Kk([l],i)

hz,Pbih∂P ,b Rbi+ X

P∈Kk([l,l+1],i)

hz,Pbih∂P ,b Rbi (2.3)

Misalkan P0 ∈ Kk([l, l+ 1], i), dan misalkan R0 kubus dasar yang didefinisikan sebagai

Ij(R0) =

[l+ 1], jika j = i

Ij(P0),selainnya. (2.4)

Maka, R0 bukan face dari P untuk P ∈ Kk([l], i), karena Ii(P) = [l] sedangkan

Ii(R0) = [l+ 1]. AkibatnyaPP∈Kk([l],i)hz,Pbih∂P ,b Rbi pada ruas kanan (2.3) tidak muncul untuk R =R0. Namun, R0 adalah face dariP untuk P ∈ Kk([l, l+ 1], i)

jika dan hanya jika P =P0. Ini berarti bahwa persamaan (2.4) direduksiR =R0 menjadi 0 =hz,cP0ih∂Pc0,Rb0i.

Perhatikan bahwa

R0=I1×I2× · · · ×Ii× · · · ×Id

=I1×I2× · · · ×[l+ 1]× · · · ×Id

c

R0=I1×I2× · · · ×\[l+ 1]× · · · ×Id

=Ib1⋄Ib2⋄ · · · ⋄[\l+ 1]⋄ · · · ⋄Ibd

=[\l+ 1]⋄Ib1⋄Ib2⋄ · · · ⋄Idi−1⋄Idi+1⋄ · · · ⋄Ibd

| {z }

c J′

(4)

dan

P0=I1×I2× · · · ×Ii× · · · ×Id

=I1×I2× · · · ×[l, l+ 1]× · · · ×Id

c

P0=I1×I2× · · · ×\[l, l+ 1]× · · · ×Id

=Ib1⋄Ib2⋄ · · · ⋄[l, l\+ 1]⋄ · · · ⋄Ibd

=[l, l\+ 1]⋄Ib1⋄Ib2⋄ · · · ⋄Idi−1⋄Idi+1⋄ · · · ⋄Ibd

=[l, l\+ 1] | {z }

b I′

⋄Ib1⋄Ib2⋄ · · · ⋄Idi−1⋄Idi+1⋄ · · · ⋄Ibd

| {z }

c J′

.

Sehingga,

∂Pc0 =∂Ib′⋄Jb′+ (−1)dimI

′ b

I′_⋄

∂Jb′

=∂[l, l\+ 1]⋄Jb′

+ (−1)[l, l\+ 1]⋄∂Jb′

= ([\l+ 1]−[bl])⋄Jb′_{+ (}₋₁₎_[_{l, l}\_{+ 1]}_⋄_∂_Jb′

=[\l+ 1]⋄Jb′ ₋_[b

l]⋄Jb′_{+ (}₋₁₎_[\

l, l+ 1]⋄∂Jb′

.

Karena h∂Pc0,Rb0i 6= 0, diperolehhz,Pb0i= 0.

Teorema berikut merupakan hasil kajian utama dalam makalah ini.

Teorema 2.4. [5]Setiap kubus dasar adalah asiklik.

Bukti. Misalkan Q adalah kubus dasar. KarenaQ connected, maka menurut [5],

H0(Q)∼=Z. Sehingga cukup ditunjukkan bahwaHk(Q) = 0 untukk >0, yang

eki-valen dengan menunjukkan bahwa setiap siklik ke-k padaQ adalah batas ( bound-ary). Dalam hal ini akan ditunjukkan dengan induksi padan:= dimQ.

• Untukn= 0.

Jika n= 0, makaZk(Q) =Ck(Q) = 0 =Bk(Q) yang menunjukkan bahwa

Hk(Q) = 0.

• Untukn >0.

Asumsikan bahwa Hk(Q) = 0, untuk semua kubus dasar dengan dimensi

yang lebih kecil darin. Karenan >0, pilih sebarangisedemikian sehingga

Ii(Q) nondegenerate. Untuk setiap P ∈ Kk([l+ 1], i), misalkan P∗ kubus

dasar yang diberikan oleh

Ij(P∗) :=

[l, l+ 1], jikaj=i Ij(P), selainnya.

MakaP adalahface dariP∗. Misalkanz sebuah siklik ke-k padaQ. Defin-isikan

c:= X

P∈Kk([l+1],i)

hz,Pbih∂Pc∗_,_Pb_i_Pc∗_,

(5)

Untuk setiapP0∈ Kk([l+ 1], i), berlaku

h∂c,Pc0i=h∂( X

P∈Kk([l+1],i)

hz,Pbih∂Pc∗_,_Pb_i_Pc∗₎_,_Pc 0i

=h X

P∈Kk([l+1]

hz,Pbih∂Pc∗_,_Pb_i_∂_Pc∗_,_Pc 0i

= X

P∈Kk([l+1]

hz,Pbih∂Pc∗_,_Pb_ih_∂_Pc∗_,_Pc 0i.

KarenaIi(P∗) = [l, l+ 1] danIi(P0) = [l+ 1], akibatnyah∂Pc∗,Pc0i 6= 0 jika dan hanya jikaP =P0. Oleh karena itu,h∂c,cP0i=hz,cP0idanhz

′

,Pc0i= 0. Berdasarkan Lema 2.3,|z′| ⊂Q′ , dimanaQ′ merupakan kubus berdimensi

n−1 yang didefinisikan sebagai

Ij(Q

′ ) :=

[l], jikaj=i Ij(Q),selainnya.

Dari induksi, diperolehz′ =∂c′. Ini menunjukkan bahwa

z=∂c+z′

=∂c+∂c′

=∂(c+c′),

dengan zadalah batas.

Kebalikan dari Teorema 2.4 tidak berlaku, karena setiap himpunan kubik yang asiklik belum tentu merupakan kubus dasar.

Contoh 2.5. Misal himpunan kubik

Γ′ = [1,3]×[2].

DefinisikanQ1= [1,2]×[2] danQ2= [2,3]×[2]. Himpunan-himpunan dari kubus dasarQ1 danQ2adalah

K0(Q1) = [1]×[2],[2]×[2]

K0(Q2) = [2]×[2],[3]×[2]

K1(Q1) = [1,2]×[2]

K1(Q2) = [2,3]×[2]

Maka basis untuk himpunan rantai-rantai dariQ1 danQ2adalah

b

K0(Q1) ={[1]\×[2],[2]\×[2]}

={[1]c⋄[2]c,c[2]⋄[2]c},

b

K0(Q2) ={[2]\×[2],[3]\×[2]}

(6)

b

Untuk menghitung operator batas dari Γ′, perlu dihitung batas dari anggota-anggota basisnya.

Selanjutnya tentukan basis dariQ1 danQ2

∂([1d,2]⋄[2]) =c −[1]c⋄[2]) +c c[2]⋄c[2]

=−1([1]c⋄[2]) + 1(c c[2]⋄[2])c .

∂([2d,3]⋄[2]) =c −[2]c⋄[2]) +c c[3]⋄c[2]

=−1([2]c⋄[2]) + 1(c c[3]⋄[2])c ,

sehingga basis dari Γ′ dapat ditulis dalam bentuk matriks

∂1=

(7)

Untukk= 0,

b

Q(R) =

1, R= [1]×[2]

0,selainnya. (2.5)

c([1]×[2]) = α[1]\×[2]([1]×[2]) = α, dimana α ∈ Z. Lebih khusus, Z0(X) ∼=

C0(X) =Z. Oleh karena itu,H0(X)∼=Z.

3. Kesimpulan

Misalkan X adalah himpunan kubik. Selanjutnya misalkan Q ⊂X adalah kubus dasar. Setiap kubus dasar Qadalah asiklik, yang berarti bahwa

Hk(Q)∼=

Z,jikak= 0 0, selainnya.

Namun tidak semua himpunan kubik yang asiklik adalah kubus dasar.

4. Ucapan Terima kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Admi Nazra, Ibu Nova Noliza Bakar, M.Si, Bapak Prof. Dr. Syafrizal Sy, Bapak Prof. Dr. I Made Arnawa dan Bapak Dr. Mahdhivan Syafwan yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik.

Daftar Pustaka

[1] Bartle, R.G. dan D.R. Sherbert. 2000.Introduction To Real Analysis, 3rd

ed., USA: Copyright Act

[2] Herstein, I. N. 1999. Topics in Algebra. 2nd _{ed. John Wiley and Sons, New}

York

[3] Jacob, Bill. 1990.Linear Algebra. W. H. Freeman and Company. New York [4] Kaczynski. T, K. Mischaikow, M. Mrozek. 2000. Algebraic Topology : A

Computational Approach. New York

[5] Kaczynski. T, K. Mischaikow, M. Mrozek. 2004.Computational Homology. Springer-Verlag. New York