Galat & Analisisnya. FTI-Universitas Yarsi

(1)

BAB II

(2)

Galat - error

Galat error

Penyelesaian secara numerik dari suatu

• Penyelesaian secara numerik dari suatu

persamaan matematis hanya memberikan nilai

perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang

b

) d i

l

i

liti

benar) dari penyelesaian analitis.

• Penyelesaian numerik akan memberikan

kesalahan terhadap nilai eksak

• Ada 3 macam kesalahan dasar;

1 Galat bawaan

1.Galat bawaan

2.Galat pemotongan

3 Galat pembulatan

FTI-Universitas Yarsi

3.Galat pembulatan

(3)

Galat Relatif dan Absolut

• Galat absolut suatu bilangan adalah selisih antara

nilai sebenarnya (dengan anggapan telah diketahui)

dgn suatu pendekatan pada nilai sebenarnya.

• Hubungan antara nilai eksak (nilai sebenarnya), nilai

perkiraan dan kesalahan diberikan dalam bentuk :

x

=

x

+

e

dimana :

x =

nilai

eksak

d k

d il i

b

x

= pendekatan pd nilai sebenarnya

e

= kesalahan

(4)

e

kesalahan absolut

Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat

x

e

=

−

j y g kesalahan. Contoh :

Kesalahan 1 cm pd pengukuran pensil akan sangat terasa dibanding Kesalahan 1 cm pd. pengukuran pensil akan sangat terasa dibanding dengan kesalahan yg sama pd pengukuran panjang jembatan.

Kesalahan relatif

kesalahan absolut dibagi nilai pendekatan galat absolut dibagi nilai sebenarnya

%

100 x

e

=

ε

• Nilai eksak bila diselesaikan secara analitis

%

100 x

x

e

ε

FTI-Universitas Yarsi4

• Metode numerik nilai eksak tidak diketahui • Kesalahan diberikan (berdasar pd nilai terbaik dari nilai eksak)

(5)

%

100 x

ε

=

ε

• nilai perkiraan terbaik

%

100 x

x

a

=

ε

x

p

• Dalam metode numerik pendekatan iteratif

• Perkiraan sekarang dibuat berdasar perkiraan

b l

hi

sebelumnya, sehingga :

%

100 x

x

1 n n 1 n a ₊ +

₋

=

ε

• dimana :

• = nilai perkiraan pada iterasi ke n

x

n 1

a ₊

n

x

_{nilai perkiraan pada iterasi ke n}

(6)

Contoh-2 :

Hasil pengukuran sebuah jembatan = 9.999 cm Hasil pengukuran sebuah paku = 9 cm

Jika nilai sebenarnya berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, Hitung

Kesalahan dan Kesalahan relatif persen dari kedua hasil pengukuran Kesalahan dan Kesalahan relatif persen dari kedua hasil pengukuran

diatas. Kesalahan: J b t E 10 000 9 999 1 Jembatan : E_t = 10.000 – 9.999= 1 cm Paku : E_t = 10 – 9 = 1 cm Kesalahan relatif: Kesalahan relatif: Jembatan : e_t= 1/10.000 * 100%= 0,01% Paku : e_t = 1/10 * 100% = 10% FTI-Universitas Yarsi Kesimpulan :

(7)

Kesalahan Relatif Persen Aproksimasi (ep ( _a_a))

e_a = (Kesalahan Aproksimasi / Aproksimasi ) * 100 %

= (Aproksimasi sekarang - Aproksimasi sebelumnya) /

A k i i k * 100 %

Aproksimasi sekarang * 100 %

Pada proses iterasi, iterasi dihentikan jika telah memenuhi kondisi

|e_a| < e_s

Dimana e_s

=

tingkat kesalahan yang masih dapat diterima Hubungan e_s dengan angka signifikan

e = (0 5 * 102-n_{) %}

(8)

Contoh : (Taksiran Kesalahan Metode Iterasi):

Dalam matematika fungsi-fungsi dapat dinyatakan dalam deret tak hingga. Jadi, jika lebih banyak suku ditambahkan kedalam deret maka aproksimasi menjadi taksiran yang jauh lebih baik. Misal ingin menaksir nilai ex_{, dengan x=0,5 mengunakan}

pendekatan deret menggunakan 3 angka signifikan (e0 5 _{= 1 648721271)}

pendekatan deret, menggunakan 3 angka signifikan (e0,5 _{= 1.648721271)} ... ! 4 ! 3 ! 2 1 4 3 2 + + + + + = x x x x ex Taksiran ke 1 Taksiran ke-1 1 = x e 1 5 , 0 ₌ e *100% 39,3% 648721271 , 1 1 648721271 , 1 = − = t e , Taksiran ke-2 x ex _{= 1}₊ FTI-Universitas Yarsi 5 , 1 5 , 0 1 5 , 0 ₌ ₊ ₌ e *100% 9,02% 648721271 , 1 5 , 1 648721271 , 1 − ₌ = t e

(9)

Galat bawaan (Inheren)

Galat dalam nilai data

• Terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur.

hukum hukum fisik dari data yang diukur.

Contoh :

Pengukuran selang waktu 2,3 detik :g g

¾ Terdapat beberapa galat karena hanya dg suatu kebetulan selang waktu akan diukur tepat 2,3 detik.

¾ Beberapa batas yg mungkin pada galat inheren diketahui : ¾ 2 3± 0 1 d tik

¾ 2,3± 0,1 detik

¾ Berhub dg galat pd data yg dioperasikan oleh suatu komputer dg beberapa prosedur numerik.

(10)

Galat Pemotongan (

Truncation Error

)

Pengertian galat pemotongan biasanya merujuk pada galat yang disebabkan oleh penggantian ekspresi

t tik it d l bih d h I til h i i b l d i k bi

matematika yang rumit dengan rumus yang lebih sederhana. Istilah ini berawal dari kebiasaan mengganti suatu fungsi rumit dengan deret Taylor terpotong (hanya diambil berhingga suku).

CONTOH

Kita tahu bahwa deret konvergen ke nilai 1. Jika hanya diambil 10 suku pertama, maka diperoleh hampiran Dalam hal ini terdapat galat pemotongan sebesar

Dari kalkulus kita ketahui bahwa

Misalkan diketahui Cos1,5 = 0,070737 . Jika nilai ini dihampiri dengan mengambil empat suku pertama deret tersebut, maka diperoleh hampiran yang senilai

Dibulatkan sampai enam angka desimal. Galat hampiran tersebut sebesar 0,000550 = 0,550x10-3

dan galat relatifnya senilai 0,007753 < 0,5x10-1 _{. Jadi nilai hampiran tersebut benar sampai satu}

(11)

Galat Pembulatan

• Akibat pembulatan angka

• Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa

angka tertentu misal; 5 angka :

• Penjumlahan 9,2654 + 7,1625

hasilnya 16,4279

y

,

Ini terdiri 6 angka sehingga tidak dapat

disimpan dalam komputer kita dan akan dibulatkan

j di 16 428

(12)

Galat Pemotongan (Truncation Error)

• Berhubungan dg cara pelaksanaan prosedur numerikBerhubungan dg cara pelaksanaan prosedur numerik • Contoh pada deret Taylor tak berhingga :

...

!

9 x

!

7 x

!

5 x

!

3 x

x

sin

=

−

3

+

5

−

7

+

9

−

• Dapat dipakai untuk menghitung sinus sebarang sudut x dalam radian

• Jelas kita tdktdk dapatdapat memakai semua suku dalam deret, karena deretnya tak berhingga

• Kita berhenti pada suku tertentu misal x9

• Suku yg dihilangkan menghasilkan suatu galat

• Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting

(13)

Deret Taylor

• Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah

d l t d ik t t l i

dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial.

• Jika fungsi f(x) diketahui di titik x_i

• Semua turunan dari f terhadap x diketahui pada titik tersebut. • Dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik x_i+1 yg

terletak pada jarak ∆x dari titik xp j ₂ _i_i. ₃ _n

n n i 3 i 2 i i i 1 i

)

f

(

x

)

f

'

(

x

)

₁

_!

x

f

"

(

x

)

₂

x

_!

f

'

"

(

x

)

₃

x

_!

...

fn

(

x

)

_n

x

_!

R

x

(

f

₊

=

+

∆

+

∆

+

∆

+

∆

+

)

x

(

f

_i dimana : = fungsi di titik x = fungsi di titik x _{i + 1}

)

x

(

f

_i

)

x

(

f

_i₊₁ n g i + 1 n

f

...

,

"

f

,'

f

(14)

= jarak antara xi dan xi + 1 = kesalahan pemotongan

x

∆

n

R

! = operator faktorial, misal 2! = 1 x 2

Kesalahan pemotongan Rn :p g

...

)!

2 n

(

x

)

x

(

f

)!

1 n

(

x

)

x

(

f

R

_n n 1 _i n 1 n 2 _i n 2

+

∆

+

∆

=

+ + + +

1. Order nol (Memperhitungkan satu suku pertama)

)

(

)

(

)

x

(

f

)

x

(

f

_i₊₁

≈

_i

Perkiraan akan benar bila fungsi yg diperkirakan adalah konstan

2. Order 1 (Memperhitungkan dua suku pertama)

x

)

(

'

f

)

(

f

)

(

f

+

∆

Berupa garis lurus ( naik/turun )

!

1 )

x

(

'

f

)

x

(

f

)

x

(

f

_i₊₁

=

_i

+

_i

(15)

3. Order 2 (Memperhitungkan tiga suku pertama) 2

!

2 x

)

x

(

"

f

!

1 x

)

x

(

'

f

)

x

(

f

)

x

(

f

_i₊₁

=

_i

+

_i

∆

+

_i

∆

2 f(x) Order 2 Order 1 Order 0 y x x_i+1 i

(16)

Kesalahan Pemotongan pada Deret Taylor

)

x

(

O

R

∆

n+1

Indek n deret yg diperhitungkan sampai suku ke n

Indek n +1 kesalahan pemotongan mempunyai order n+1

)

x

(

O

R

_n

=

∆

de esa a a pe o o ga e pu ya o de

Kesalahan pemotongan akan kecil bila : 1. Interval ∆ x adalah kecil

2 Memperhitungkan lebih banyak suku deret Taylor 2. Memperhitungkan lebih banyak suku deret Taylor Pada perkiraan order 1 besar kesalahan pemotongan :