BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

BAB III

RUANG HAUSDORFF

Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada ruang Hausdorff dan ruang regular lengkap. Pembahasan diawali dengan mendefinisikan Ruang Hausdorff dan beberapa sifatnya kemudian dilanjutkan dengan kekompakkan dari ruang Hausdorff, diantaranya jika suatu ruang Hausdorff X adalah kompak, maka ruang X juga normal. Pembahasan diakhiri dengan mengkaji ruang reguler lengkap, yaitu membuktikan bahwa ruang normal adalah ruang regular lengkap.

3.1 Ruang Hausdorff

Ruang Hausdorff adalah ruang dimana setiap dua buah elemen yang berbeda dapat dipisahkan oleh dua buah persekitaran yang disjoint. Berikut adalah definisi dari ruang Hausdorff.

Definisi 3.1.1 Ruang Hausdorff

Diberikan ruang topologi

(

^X,τ

)

. Ruang X dikatakan ruang Hausdroff jika dan hanya jika untuk setiap pasangan ,x y∈X ada persekitaran U V, ⊂X sedemikian sehingga x U∈ , y∈V dan U∩ =V φ.

Berikut beberapa contoh ruang topologi yang merupakan ruang Hausdorff dan ruang yang bukan ruang Hausdorff

Contoh 3.1.2

Diberikan ruang topologi

(

^X,τ

)

^{, dengan X =}

{

^{a b c d, , ,}

}

^{dan τ=2X . Ruang}

topologi X adalah ruang Hausdorff, karena untuk setiap x y, ∈X ada

{ }

^,

{ }

U = x V = y ⊂ X sedemikian sehingga x U∈ , y∈V dan U∩ =V φ. Maka X adalah Ruang Hausdorff

Contoh 3.1.3

Diberikan ruang topologi

(

^M,τ

)

^{, dengan M =}

{

^{a b c d, , ,}

}

^dan

{ } { }

{

φ

}

τ= ^{a,b ,c,d ,X,} . Ruang topologi M bukan ruang Hausdorff, karena ada ,

a b∈M sedemikian sehingga untuk setiap persekitaran U V, ⊂X a U b V∈ , ∈ tetapi ^{U∩ =V}

{ }

^{a b, ≠φ}

Maka X bukan Ruang Hausdorff

Ruang Hausdorff memiliki sifat diantaranya: setiap subruangnya adalah juga Hausdorff; hasil jumlah dan hasil kali dari anggota-anggota koleksi ruang Hausdorff yang disjoin adalah juga Hausdorff. Dibawah ini akan ditunjukkan beberapa sifat dari ruang Hausdorff

Teorema 3.1.4 Setiap subruang E dari ruang Hausdorff X adalah ruang Hausdorff.

Bukti :

Misal ,a b∈E. Karena X ruang Hausdorff, maka ada himpunan buka U dan V di X sedemikian sehingga a U∈ , b V∈ dan U ∩ =V φ. Misal U^*= ∩E U dan V^* = ∩E V. Karena E U V, , , himpunan buka, maka U^* dan V^* juga himpunan buka dari subruang E . Karena a U∈ ^*, b V∈ ^*dan U^*∩V^*=φ. Dari definsi ruang Hausdorff maka E dalah Ruang Hausdorff.

Teorema 3.1.5 Jumlah topologi X dari sebarang disjoint koleksi

{

^{Xµ µ∈M}

}

dari ruang Hausdorff adalah ruang Hausdorff.

Bukti :

Misalkan ^{X =}

{

^{Xµ µ∈M}

}

^{dan ,a b∈X a, ≠b} sembarang. Dari definisi jumlah topologi X maka ada ,z v∈M sedemikian sehingga a∈X_z dan b∈X_v, dimana

z, v

X X ∈X . Terdapat dua kasus Kasus 1 : z≠v,

Ambil U = X_z dan V = X_v, Karena X_z, X_v∈X ^maka Xz∩Xv =φ. Kasus 2 : z=v

Ini berarti ,a b∈X_z dengan a≠b. Karena X ruang Hausdorff maka terdapat _z himpunan buka U dan V di X sedemikian sehingga a U_z ∈ dan b V∈ dan U∩ =V φ.

Dari kedua kasus diatas dapat disimpulkan bahwa X adalah Ruang Hausdorff.

Teorema 3.1.6

Hasil kali topologi X dari sebarang koleksi

{

^{Xµ µ∈M}

}

dari ruang Hausdorff adalah ruang Hausdorff.

Bukti :

Misal ,a b sebarang dua titik yang berbeda di X . Dari hasil kali Cartesian (2.2.1), a≠b mengakibatkan keberadaan dari v∈M sedemikian sehingga ^{a v}

( )

^dan

( )

b v adalah dua elemen yang berbeda di X . Karena _v X adalah ruang Hausdorff, _v maka ada himpunan buka U dan V di X_v sedemikian sehingga ^{a v}

( )

^{∈U dan}

( )

b v ∈V ^{dan U}∩ =^V φ. Misal U dan ^* V dinotasikan sebagai subbasis ^* himpunan buka di X yang didefinisikan oleh

{ ( ) }

U* = ∈x X x v ∈U

{ ( ) }

V*= ∈x X x v ∈V

Karena ^{a v}

( )

^{∈U b v,}

( )

^{∈V maka a U∈ *, b V∈ * dan U*∩V* =φ}. Akibatnya X adalah Ruang Hausdorff

3.2 Kekompakan pada ruang Hausdorff

Pada pasal ini akan dibahas sifat kekompakan pada ruang Hausdorff.

Sebelumnya akan didefinisikan terlebih dahulu suatu ruang dikatakan kompak dan beberapa sifat yang dipenuhi oleh sebuah ruang yang kompak.

Pada teorema 3.2.3 dibahas sifat suatu himpunan kompak pada suatu ruang Hausdorff. Sifat ini penting untuk menunjukkan bahwa ruang Hausdorff yang kompak adalah ruang normal

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa hasil kali topologi X dari ruang Hausdorff yang kompak adalah juga kompak. Untuk membuktikannya diperlukan teorema Tychonoff dan teorema Heine Borel.

Berikut pembahasan di mulai dengan definisi ruang yang kompak.

Definisi 3.2.1

Sebuah ruang X dikatakan ruang yang kompak jika dan hanya jika setiap cover buka dari X mempunyai sebuah subcover hingga.

Teorema 3.2.2

Setiap himpunan tutup K di dalam sebuah ruang X yang kompak adalah kompak.

Bukti:

Diberikan C adalah cover dari K oleh himpunan-himpunan buka dari X . Karena K tutup, maka komplemen X K\ adalah buka. Anggota-anggota dari C dengan himpunan buka X K\ membentuk sebuah cover buka dari X . Karena X adalah kompak, cover buka dari X mengandung sebuah subcover hingga dari X . Dengan kata lain, ada sebuah bilangan batas dari himpunan- himpunan buka U U₁, ₂,...,U _n di dalam C sedemikian sehingga

1 2 ... _n \

U ∪U ∪ ∪U ∪X K = X.

Akibatnya

{

^{U U1, 2,...,Un}

}

adalah cover dari K . Karena C memiliki subcover hingga maka K kompak.

Teorema 3.2.3

Jika K adalah sebuah himpunan yang kompak di dalam sebuah ruang Hausdorff X dan p adalah sebuah titik di dalam X K\ , maka ada himpunan- himpunan buka U dan V yang saling lepas dari X sedemikian sehingga K ⊂U dan p V∈ .

Bukti:

Ambil a∈K sembarang K ⊂X, dan diketahui p∈X K\ . Karena X ruang Hausdorff maka ada himpunan-himpunan buka U_a dan V_a dari X sedemikian sehingga a U∈ _a dan p V∈ _a. Misal ^{F =}

{

^{U aa ∈K}

}

^{dengan U a}

himpunan buka dari X maka F adalah sebuah cover dari , K Karena K . kompak, maka F memiliki sebuah subcover hingga dari K , yaitu ada berhingga titik a a₁, ₁,...,a_n dari K sedemikian sehingga K terkandung di dalam U yaitu

nn

n U

U

U = ∪...∪

1 .

Di lain pihak, misalkan

nn

n V

V

V = ∩...∩

1 .

Diperoleh U dan V adalah himpunan-himpunan buka dari X sedemikian , sehingga K ⊂U , p V∈ , dan U∩ =V φ. Terbukti teorema diatas

Akibat 3.2.4

Setiap himpunan K yang kompak pada ruang Hausdorff X adalah tutup.

Bukti:

Untuk setiap p∈X K\ , berdasarkan teorema 3.2.3 terdapat himpunan- himpunan buka U dan V yang saling lepas dari X sedemikian sehingga K ⊂U dan p V∈ . Selanjutnya diperoleh V ⊂X U\ ⊂ X K\ . Karena untuk setiap

\

p∈X K , ada persekitaran V sedemikian sehingga p V∈ ⊂X K\ . Dengan demikian, X K\ buka dan K tutup.

Akan ditunjukkan bahwa ruang Hausdorff yang kompak adalah ruang normal, sebelumnya berikut ini adalah definisi dari ruang normal.

Definisi 3.2.5

Ruang normal X adalah ruang yang untuk setiap himpunan tutup A , B yang disjoint terdapat himpunan buka F , G sedemikian sehingga

,

A⊂F B⊂Gdan G∩ =F φ.

Teorema 3.2.6

Setiap ruang Hausdorff yang kompak adalah normal.

Bukti:

Diberikan A dan B sebarang dua himpunan-himpunan tutup yang disjoint pada ruang Hausdorff X yang kompak. Berdasarkan teorema 3.2.2, maka A dan B adalah himpunan kompak. Selanjutnya berdasarkan 3.2.3 untuk setiap b∈B

terdapat dua himpunan buka yang saling lepas U dan _b V dari X sedemikian _b sehingga A⊂U_b dan b V∈ _b. Misalkan ^{F =}

{

^{V bb ∈B}

}

adalah koleksi dari himpunan-himpunan buka dari X , maka F adalah cover dari B . Karena B kompak, maka F mempunyai sebuah subcover hingga dari B . Dengan kata lain, ada elemen b b₁, ₂,...,b_n dari B sedemikian sehingga B termuat di dalam V dimana

bn

b V

V

V = ∪...∪

1 .

Di lain pihak, misalkan

bn

b U

U

U = ∩...∩

1 , maka U dan V adalah himpunan- himpunan buka dari X, sedemikian sehingga A⊂U, B⊂V dan U ∩ =V φ . Dengan demikian, X adalah normal.

Berikut akan ditunjukkan bahwa jika X adalah ruang Hausdorff yang kompak maka hasil kali X juga ruang Hausdorff yang kompak. Namun terlebih dahulu akan dibuktikan hasil kali Topologi dari keluarga ruang yang kompak adalah kompak.

Definisi 3.2.7 Keluarga himpunan F dikatakan memiliki finite intersection property jika dan hanya jika irisan berhingga subkeluarga dari F adalah tidak kosong

Teorema 3.2.8

Ruang X kompak jika dan hanya jika setiap keluarga dari himpunan tutup di X yang memiliki finite intersection property memiliki irisan yang tidak kosong

Bukti:

( )

^⇒ Misal Y sebarang keluarga himpunan tutup di ruang kompak X.

Asumsikan irisan dari seluruh anggota Y adalah kosong. Akan ditunjukkan bahwa Y tidak memiliki finite intersection property.

Misal ^G=

{

^{X A A\ ∈Y}

}

. Karena irisan dari elemen Y adalah kosong, berdasarkan dalil De Morgan (Teorema 2.1.7), maka G adalah cover buka pada ruang X . Karena X kompak, maka G memiliki subcover hingga. Dengan kata lain terdapat himpunan A A₁, ₂,...,A_n di Y sedemikian sehingga

{

^{X A X A\ 1, \ 2,...,X A\ n}

}

adalah cover di X . Berdasarkan dalil De Morgan maka

1 2 ... _n

A ∩ ∩ ∩A A =φ. Artinya Y tidak memiliki finite intersection property.

( )

^⇐ Misal B sebarang cover buka dari X dan ^F=

{

^{X U U\ ∈B}

}

^adalah

keluarga himpunan tutup dari X . Karena B cover dari X , maka berdasarkan dalil De Morgan diperoleh bahwa irisan dari seluruh anggota Y adalah kosong.

Ini berarti Y tidak memiliki finite intersection property . Dengan kata lain ada himpunan buka U U₁, ₂,...,U_n di B sedemikian sehingga

(

X U\ 1

) (

∩ X U\ 2

)

∩ ∩...

(

X U\ _n

)

=φ. Berdasarkan dalil De Morgan diperoleh

( ) ( )

^{U1 ∪ U2 ∪ ∪...}

( )

^{Un =X} . Dengan kata lain B memiliki subcover hingga di X , selanjutnya terbukti bahwa X kompak

Teorema 3.2.9 Teorema Tychonoff

Hasil Kali Topologi dari keluarga ruang kompak adalah kompak.

Bukti :

Misal ^{Y =}

{

^{Xµ |µ∈M}

}

adalah sebuah keluarga dari ruang kompak dan misalkan X merupakan hasil kali topologi dari keluarga Y . Akan dibuktikan kekompakan dari X , dengan membuktikan jika U adalah sebuah keluarga dari himpunan-himpunan bagian dari X yang memiliki finite intersection property, maka

^I {

^{Cl B B}

( )

^∈U

}

^≠φ (Teorema 3.2.7).

Misal V kelas dari semua keluarga dari himpunan-himpunan bagian dari X yang mempunyai finite intersection property, maka berdasarkan definisi 2.1.9 kelas V ini adalah finite character. Berdasarkan Lemma Tukey (Lemma 2.1.10) ada sebuah anggota maksimal dari V yang memuat keluarga U yang diberikan.

Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan bahwa U itu sendiri adalah anggota maksimal dari kelas V .

Dari kemaksimalan U , itu berarti bahwa irisan dari anggota-anggota setiap keluarga-keluarga bagian hingga dari U adalah anggotaU . Selain itu, jika sebuah himpunan bagian E dari X beririsan dengan setiap anggota dari U , maka E juga merupakan anggota dari U .

Sekarang, diberikan µ∈M dan proyeksi

µ

µ X X

p : → ,

misalkan keluarga ^{Uµ =}

{

^pµ

( )

^{B |B∈U}

}

adalah himpunan bagian dari X , _µ maka U memiliki finite intersection property. Karena _µ X kompak, maka _µ berdasarkan teorema 3.2.7, ^{Hµ =}

^I {

^{Cl p µ}

( )

^{B  B∈U}

}

^≠φ.

Pilih sebuah elemen x_µ ∈H_µ untuk setiap µ∈M.

Misalkan x adalah elemen dari hasil kali topologi X yang koordinat ke- µ^{-nya x}

( )

µ ^adalah xµ ∈Xµ.

Akan dibuktikan bahwa ^{x∈Cl B}

( )

untuk setiap B∈U .

Untuk tujuan ini, anggap sebarang subbasic himpunan buka U_µ^* dari X yang memuat titik x, dengan µ∈M ^{dan U}_µ adalah sebuah himpunan buka dari

Xµ memuat titik x_µ. Karena x_µ∈Cl p B _µ( ) untuk setiap B∈U , ini berarti bahwa U_µ beririsan p B_µ( ) untuk setiap B∈U . Dengan demikian, himpunan

( )

* 1

U_µ = p_µ⁻ U_µ beririsan setiap anggota B dari U . Dari kemaksimalan U

bahwa U_µ^* termasuk U , dan irisan dari sebarang berhingga subbasic himpunan buka yang memuat x adalah anggota dari U . Akibatnya setiap persekitaran dari x di X beririsan dengan setiap anggota B∈U . Konsekuensinya, x∈Cl(B) untuk setiap persekitaran dari x di X beririsan dengan B , untuk setiap B∈U . Dengan kata lain ^{x∈Cls B}

( )

^,B∈U . Akibatnya

^I {

^{Cl B B}

( )

^∈U

}

^≠φ.

Berdasarkan teorema 3.2.7 diperoleh hasil kali topologi dari keluarga dari ruang yang kompak adalah kompak.

Teorema 3.2.10 Teorema Heine Borel

Misalkan K himpunan bagian dari . K adalah kompak jika dan hanya jika K tutup dan terbatas

Bukti :

( )

^⇒ Akan ditunjukkan K tutup dan terbatas

Misalkan K kompak, artinya untuk setiap cover buka V dari K , maka ada sub cover hingga W ⊂V sedemikian sehingga W cover dari K .

Misal ^{Hm:= −}

(

^{m m,}

)

^{untuk m∈ , maka} H buka dan ^m

1 m m

K H

∞

=

⊆

U

= ^{. Dengan}

kata lain ^{_ =}

{

^{Hm m∈}

}

adalah cover buka dari K . Karena K kompak maka

_ memiliki berhingga subkoleksi sedemikian sehingga

( )

1

,

M

m M

m

K H H M M

=

⊆

U

= = − untuk suatu M∈ . Ini berarti K terbatas

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa K tutup dengan menunjukkan \K buka.

Misalkan u∈ \K , dan didefinisikan himpunan 1

: :

Gn y y u

n

 

= ∈ − > 

 

untuk n∈ . Diperoleh G tidak memuat _n u untuk n∈ . Selanjutnya G dapat _n

dibuat menjadi bentuk 1 1

Gn y y u y u

n n

 

= ∈ > − ∪ < + 

 , dengan

1

1

Gn y y u

n

 

= ∈ > − 

 ,

2

1

Gn y y u

n

 

= ∈ < + 

  dan

1 2

n n n

G =G ∪G . Akan

dibuktikan G buka dengan membuktikan _n

1, 2

n n

G G buka.

1) Untuk

1

1

Gn y y u

n

 

= ∈ > − 

 .

Ambil sebarang

n1

a∈G , misal

1 2

a u

n

 

− − 

 

∂ = , maka

(

^{a− ∂ + ∂,a}

)

^adalah

persekitaran yang memuat a. Karena 1

a u

− ∂ > −n , maka

(

a− ∂ + ∂ ⊂,a

)

G_n1. Akibatnya

(

^{a− ∂ + ∂,a}

)

adalah persekitaran dari a. Karena untuk sebarang

n1

a∈G ada persekitaran

(

^{a− ∂ + ∂,a}

)

sedemikian sehingga

(

a− ∂ + ∂ ⊂,a

)

G_n1^{, maka} G buka. n₁

2) Untuk

2

1

Gn y y u

n

 

= ∈ < + 

 .

Ambil sebarang

n2

b∈G , misal

1 2

b u

n

 

− − 

 

∂ = , maka

(

^{b− ∂ + ∂,b}

)

^adalah

persekitaran yang memuat b. Karena 1

b u

+ ∂ < +n, maka

(

b− ∂ + ∂ ⊂,b

)

G_n2. Akibatnya

(

^{b− ∂ + ∂,b}

)

adalah persekitaran dari b . Karena untuk sebarang

n2

b∈G ada persekitaran

(

^{b− ∂ + ∂,b}

)

sedemikian sehingga

(

b− ∂ + ∂ ⊂,b

)

G_n2^{, maka} G buka. n₂

Dari 1) dan 2) diperoleh kesimpulan bahwa G buka untuk n_n ∈ .

Klaim

{ }

1

\ _n

n

u G

∞

=

=

U

. Karena u∉K maka

1 n n

K G

∞

=

⊂

U

. Selanjutnya karena K

kompak akibatnya ada m∈ sedemikian sehingga

1 m

n m

n

K G G

=

⊆

U

= ^.

Dari definisi G_n diperoleh bahwa K ∩ 1 1 ,

u u

m m

 

− +

 

  =φ dan interval

1 1

, \

u u K

m m

 

− + ⊆

 

  .

Karena untuk u∈ \K ada persekitaran 1 1 ,

u u

m m

 

− +

 

  sedemikian sehingga

1 1

, \

u u K

m m

 

− + ⊆

 

  , maka \K buka akibatnya K tutup Terbukti bahwa K terbatas dan tutup.

( )

^⇐ Akan ditunjukkan bahwa K kompak

Misalkan K tutup dan terbatas dan ^G=

{ }

^ga cover buka dari K .

Akan dibuktikan dengan kontradiksi dengan mengandaikan bahwa K tidak

kompak. Artinya untuk setiap m∈ maka

1 m

a a

K g

=

⊄

U

^.

Dari pemisalan K terbatas maka ada r>0sedemikian sehingga ^{K⊆ −}

[

^{r r,}

]

^.

Misal I1:= [-r,r], I1 dibagi menjadi dua sub-interval tutup ^{I1':= −}

[

^{r, 0}

]

^dan

[ ]

'' 1: 0,

I = r ^{, maka} K∩ ≠I1^' φ atau K∩ ≠I₁^" φ .

Jika K∩ ≠I₁^' φ, maka ada z ₁∈ ∩ ⊂K I₁^' I₁ . Karena ₁^'

1

,

m a a

K I g m

=

∩ ⊄

U

∈ ^maka

ambil I₂:=I₁^' kemudian I dibagi menjadi dua subinterval tutup ₂ I dan ₂^' I . Jika ₂^"

'

K∩I2 tidak kosong maka ada z ₂∈ ∩ ⊂K I₂^' I₂. Karena ₂^'

1

,

m a a

K I g m

=

∩ ⊄

U

∈

maka ambil I₃:=I^"₂. Dengan melanjutkan sampai n kali akan diperoleh barisan interval tutup bersarang

( )

In . Berdasarkan Nested Interval Property (Teorema2.1.8) diperoleh, ada titik z sedemikian sehingga z∈I n_n, ∈ . Karena untuk setiap interval I_n ada z_n sedemikian sehingga z_n∈I_n dimana z_n ≠z maka z adalah titik akumulasi dari K . Karena K tutup dari teorema 2.2.15 diperoleh z∈K , oleh karena itu ada himpunan g_λ di G dengan z g∈ _λ. Karena g_λ buka, ada ε >0sedemikian sehingga

(

^z−ε^,z+ ⊆ε

)

^gλ. Dilain pihak karena interval I_n diperoleh dengan membagi dua ^{I1:= −}

[

^{r r,}

]

secara berulang-ulang diperoleh panjang dari interval I_n adalah ₂

2ⁿ r

− , untuk n yang cukup besar, ₂ 2ⁿ

r₋ <ε maka

(

^,

)

In ⊆ −z ε z+ ⊆ε g_λ^{. Artinya jika} n cukup besar sedemikian sehingga ₂

2ⁿ

r₋ <ε, maka K∩I_n termuat di satu himpunan g_λ di G . Kontradiksi

dengan pengandaian, maka haruslah K termuat di berhingga gabungan himpunan di G . Dengan kata lain K haruslah kompak

Akibat 3.2.11

Setiap hasil kali topologi I^M dari unit interval tutup ^{I =}

[ ]

^0,1 adalah ruang Hausdorff yang kompak

Bukti :

Dari Teorema Heine-Borel (Teorema 3.2.10) diperoleh bahwa I kompak, Dari Teorema Tychonoff (Teorema 3.2.9) jika I kompak maka I^M kompak dan dari teorema 3.1.4 diperoleh I ruang Hausdorff. Dari teorema 3.1.6 jika I ruang Hausdorff maka I^M ruang Hausdorff. Artinya hasil kali topologi I^M adalah ruang Hausdorff yang kompak

3.3 Ruang Reguler Lengkap

Pada pasal ini akan dibuktikan bahwa ruang normal adalah ruang reguler.

Definisi 3.3.1 Ruang X dikatakan regular lengkap di titik p dari X jika dan hanya jika, untuk setiap lingkugan N dari p di X , ada fungsi kontinu

: X I

χ →

Sedemikian sehingga^χ

( )

^{p =0 dan χ}

(

^{X N\}

)

^=1.

Ruang X dikatakan ruang regular jika dan hanya jika regular lengkap di setiap p∈X .

Berikut akan dibuktikan Lemma Urysohn yaitu jika X normal maka X adalah reguler lengkap, namun akan dibuktikan beberapa teorema yang akan digunakan pada pembuktian Lemma Urysohn

Teorema 3.3.2

Ruang X normal jika dan hanya jika untuk setiap himpunan tutup F dan himpunan buka H yang memuat F ada himpunan buka G sedemikian sehingga

( )

F ⊂ ⊂G Cls G ⊂H

Bukti :

( )

^⇒ Misal X normal dan F ⊂H, dengan F tutup dan H buka. Maka X H\

tutup, dan F∩X K\ =φ. Karena X normal maka ada himpunan buka G G , ^* sedemikian sehingga F ⊂G X H, \ ⊂G^* dan G∩G^* =φ. …..(1)

G∩G* =φ maka G⊂X G\ ^*. Dari definisi closure diperoleh

( )

^{\ *}

G⊂Cls G ⊂X G ^…(2)

\ *

X H ⊂G maka X G\ ^* ⊂H …...(3) dari (1), (2) dan (3) diperoleh

( )

^{\ *}

F ⊂ ⊂G Cls G ⊂ X G ⊂H^{makaF ⊂ ⊂G Cls G}

( )

^⊂H

Terbukti Jika X ruang normal maka untuk setiap himpunan tutup F dan himpunan buka H yang memuat F ada himpunan buka G sedemikian sehingga

( )

F ⊂ ⊂G Cls G ⊂H^.

( )

^⇐ Misal untuk setiap himpunan tutup F dan himpunan buka H yang memuat F ada himpunan buka G sedemikian sehingga ^{F⊂ ⊂G Cls G}

( )

^{⊂H. Misal F , 1}

F himpunan tutup yang disjoint, maka 2 F₁⊂X F\ ₂ dengan X F buka. Dari \ ₂ pemisalan ada himpunan buka G sedemikian sehingga

( )

1 \ 2

F ⊂ ⊂G Cls G ⊂ X F ^.

( )

^{\ 2}

Cls G ⊂X F ^{, maka F2 ⊂ X Cls G\}

( )

^{dan G⊂Cls G}

( )

^{, maka}

( )

\

G∩X Cls G =φ^{, dengan X Cls G\}

( )

^buka.

Diperoleh untuk setiap himpunan tutup F , ₁ F yang disjoint ada himpunan buka ₂ G dan^{X Cls G\}

( )

sedemikian sehingga ^{G∩X Cls G\}

( )

^=φ, akibatnya X normal

Teorema 3.3.3

Jika D himpunan bilangan dyadic pada unit interval

[ ]

^{0,1 yaitu}

1 1 3 1 3 5 7 1 15 0, , , , , , , , ,..., ,...,1

2 4 4 8 8 8 8 16 16

D  

= 

 , maka D padat di

[ ]

^0,1

Bukti:

Akan dibuktikan D padat di

[ ]

^0,1 dengan menunjukkan setiap interval buka

(

^{a− ∂ + ∂,a}

)

dengan pusat di sebarang ^a∈

[ ]

^0,1 memuat elemen D . Perhatikan

bahwa ¹

2

lim

ⁿ 0

n→∞ = , maka ada q=2ⁿ⁰ sedemikian sehingga 1

0< < ∂q . Kemudian

perhatikan interval 1 1 2 2 3 2 1 1

0, , , , , ,..., q ,q , q ,1

q q q q q q q q

       − −   − 

         

          , maka

[ ]

¹

0

0,1 , 1

q

k

k k q q

−

=

 + 

=  

 

U

^{. Karena a∈}

[ ]

^{0,1 , a} termuat disalah satu interval 1 k k, q q

 + 

 

 ,

misal 1

m m,

a q q

 + 

∈ 

  yaitu m m 1

q a q

≤ ≤ + , artinya m h, 0 1,

a h

q

= + ≤ ≤ dilain

pihak 1 1

, 0 ,

l l l

q q

< ∂ = + < ∈ akibatnya

(

^{m+ − + =h}

) ( ) (

^{1 l m+ − − <h 1}

)

^{l m.}

Dengan kata lain m

a− ∂ < q dan m

a a

q ≤ < + ∂. Diperoleh m

a a

− ∂ < q < + ∂,

dengan m

q ∈D. Diperoleh kesimpulan, sebarang interval buka

(

^{a− ∂ + ∂,a}

)

memuat elemen D yaitu m

q , maka D padat di

[ ]

^0,1

Lemma 3.3.4 Lemma Urysohn

Jika A dan B dua buah himpunan tutup yang disjoint pada ruang normal X , maka ada fungsi kontinu

I X → χ :

sedemikian sehingga ^χ

( )

^{A =0 dan χ}

( )

^{B =1}

Bukti :

Dari hipotesis bahwa A∩ =B φ, maka A⊂X B\ . Karena B tutup makaX B\ buka dan X B\ memuat A dimana A tutup. Dari teorema 3.3.2

dijamin keberadaan ₁

2

U sedemikian sehingga ^{A⊂U12 ⊂Cls U}

( )

^{12 ⊂ X B\ .}

Karena ₁

2

U buka dan ^{Cls U}

( )

¹² tutup, maka ada ₁

4

U , ₃

4

U sedemikian sehingga

( ) ( ) ( )

1 1 1 1 3 3

4 4 2 2 4 4

\

A⊂U ⊂Cls U ⊂U ⊂Cls U ⊂U ⊂Cls U ⊂X B. Dengan

melanjutkannya, diperoleh himpunan keluarga ^{F =}

{

^{U tt ∈D}

}

yang memiliki sifat

jika t t₁, ₂∈D dan t₁<t₂ maka ^{Cls U}

( )

^{t1 ⊂Ut2}

Didefinisikan fungsi χ: X →Iyaitu :

( )

^inf

{

^:

}

1

t x Ut untuk x B

x untuk x B

χ =^ ^{∈ ∉}

 ∈

Karena A⊂U t_t, ∈D maka ^χ

( )

^{A =0}. Dari definisiχ^{diperoleh χ}

( )

^{B =1.}

Selanjutnya akan dibuktikanχ kontinu. Dari teorema 2.3.3 χ kontinu jika invers dari himpunan subbasic

[

^{0, a}

)

^dan

(

^b,1

]

adalah himpunan buka di X.

Akan dibuktikan ^χ−1

[

^0,a

)

^⁼

U {

^{U tt: <a}

}

i). Misal ^{x∈χ−1}

[

^0,a

)

^ , maka ^χ

( )

^{x ∈}

[

^0,a

)

^{yaitu 0≤χ}

( )

^{x <a}. Karena D padat di

[ ]

^0,1 , maka ada t_x∈Dsedemikian sehingga ^χ

( )

^{x < <tx a. Dengan}

kata lain ^χ

( )

^{x =inf}

{

^{t x U: ∈ t}

}

^{< <tx a. Karena}

x U ∈

tx dimana t_x <a, maka

{

^t:

}

x∈

U

U t<a ^{. Karena x} sebarang maka ^χ−1

[

^0,a

)

^^⊂

U {

^{U tt: <a}

}

^.

ii). Misal ^y∈

U {

^{U tt: <a}

}

, maka ada t_y∈D sedemikian sehingga t_y<a dan

ty

y U ∈

, oleh karena itu ^χ

( )

^{y =inf}

{

^{t y U: ∈ t}

}

^{< <ty a}. Akibatnya

[ )

1 0,

y∈χ^{− } a ^ . Dengan kata lain ^χ−1

[

^0,a

)

^^⊃

U {

^{U tt: <a}

}

Dari i) dan ii) diperoleh ^χ−1

[

^0,a

)

^⁼

U {

^{U tt: <a}

}

^{. Karena} U buka untuk t

t<a maka ^χ−1

[

^0,a

)

^⁼

U {

^{U tt: <a}

}

Akan dibuktikan ^χ−1

(

^b,1

]

^=

^U {

^{X Cls U\}

( )

^{t :t>b}

}

iii) Misal ^{x∈χ−1}

(

^b,1

]

^ , maka ^χ

( ) (

^{x ∈ b,1}

]

^{yaitu b<χ}

( )

^{x ≤1}. Karena D padat di

[ ]

^0,1 , maka ada t t₁, ₂∈D sedemikian sehingga ^b< < <^{t1 t2 χ}

( )

^{x .}

Dengan kata lain ^χ

( )

^{x =inf}

{

^{t x U: ∈ t}

}

^{>t2. Jadi} x∉Gt2. Perhatikan jika

1 2

t <t maka ^{Cls G}

( )

^{t1 ⊂Gt2. Karena x∉Gt2 maka x∉Cls G}

( )

^{t1 artinya}

( )

¹

\ _t

x∈X Cls G dimana t₁ >b. Akibatnya ^x∈

^U {

^{X Cls U\}

( )

^{t :t>b}

}

^{. Karena}

x sebarang, ^χ−1

(

^b,1

]

^⊂

^U {

^{X Cls U\}

( )

^{t :t>b}

}

iv). Misal ^y∈

^U {

^{X Cls U\}

( )

^{t :t >b}

}

, maka ada t_y∈D sedemikian sehingga

ty >b dan ^{y∈X Cls U\}

( )

^{ty atau y U∉ ty}. Dilain pihak untuk t<t_y mengakibatkan ^{Ut⊂Uty ⊂Cls U}

( )

^{ty maka y U∉ t untuk t<ty}. Oleh karena itu

( )

^{y inf}

{

^{t y U: t}

}

^{ty b}

χ = ∈ ≥ > , mengakibatkan ^y∈χ−1

( (

^b,1

] )

. Karena y sebarang maka ^χ−1

(

^b,1

]

^⊃

^U {

^{X Cls U\}

( )

^{t :t>b}

}

dari iii) dan iv) diperoleh kesimpulan ^χ−1

(

^b,1

]

^=

^U {

^{X Cls U\}

( )

^{t :t>b}

}

^{. Karena}

( )

\ _t

X Cls U buka untuk t>b, maka ^χ−1

(

^b,1

]

^=

^U {

^{X Cls U\}

( )

^{t :t>b}

}

^buka

Karena gabungan dari setiap himpunan buka adalah buka, maka

( ] { ( ) }

1 b,1 X Cls U\ _t :t b

χ^{− } ^=

U

> ^{gabung χ−1}

_[

^0,a

)

^⁼

U {

^{U tt: <a}

}

^adalah

buka. Dari teorema (2.3.3) diperoleh χ kontinu.

Terbukti jika A dan B dua buah himpunan tutup yang disjoint pada ruang normal X , maka ada fungsi kontinu

I X → χ :

Sedemikian sehingga ^χ

( )

^{A =0 dan χ}

( )

^{B =1}