Pengantar Matematika. Toeri, Soal, dan Pembahasan

(1)

Pengantar

Matematika

Toeri, Soal, dan Pembahasan

(2)

i RINJANI_STIS

PENGANTAR MATEMATIKA

(3)

ii RINJANI_STIS Penyusun : Himpunan Mahasiswa Sekolah Tinggi Ilmu Statistik (STIS) asal Nusa

Tenggara Barat . RINJANI STIS

Email : [email protected] Blog : rinjanistis.wordpress.com

(4)

iii RINJANI_STIS

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT, karena atas berkah dan rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan penulisan buku ini. Terima kasih kami haturkan bagi semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan buku ini. Buku ini disusun dengan harapan dapat bermanfaat bagi pembaca dalam mempelajari matematika.

Dalam buku ini akan dibahas berbagau macam soal yang disertai dengan pembahasannya. Buku ini juga memberikan ulasan singkat tentang matematika.

Semoga buku ini bermnfaat bagi semua pihak yang membutuhkan dan sekaligus dapat memberikan kontribusi kecil bagi pengembangan ilmu pengetahuan.

Tak ada gading yang tak retak. Maka dari itu buku ini juga masih jauh dari kata sempurna. Kami mohon saran dan kritiknya untuk perbaikan dari buku ini.

JAKARTA, Oktober 2012

Tim Penyusun

(5)

iv RINJANI_STIS

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR DAFTAR ISI

BAB I NOTASI SIGMA DAN PRODUCT 1

Notasi Sigma 1

Teorema dan Sifat-Sifat 3

Notasi Product 4

Teorema dan Sifat-Sifat 5

Soal dan Pembahasan 7

BAB II FAKTORIAL, PERMUTASI DAN KOMBINASI 22

Faktorial 22

Permutasi 22

Kombinasi 23

BAB III TEOREMA BINOMIAL DAN MULTINOMIAL 32

Binomial 32

Identitas dan Segitiga Pascal 33

Rumus Binomial dengan n negative atau pecahan 34

Multinomial 35

BAB IV TEORI HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI 42

Himpunan 42

Definisi Himpunan 42

Penyajian Himpunan 42

(6)

v RINJANI_STIS

Himpunan Universal dan Kosong 43

Himpunan Bagian (Subset) 43

Himpunan Sama 43

Himpunan yang Ekuivalen 44

Himpunan Saling Lepas 44

Operasi pada Himpunan 44

Jumlah Anggota pada Operasi Himpunan 45

Hukum-Hukun Himpunan 45

Relasi dan Fungsi 46

Deinisi Relasi 46

Domain, Kodomain, Range 46

Definisi dan Fungsi 47

Jenis-Jenis Fungsi 47

Operasi pada Fungsi 47

Komposisi Fungsi 48

BAB V LIMIT DAN KEKONTINUAN 57

Limit 57

Menyelesaikan Limit 58

Limit-Limit Sepihak 59

Teorema Limit Utama 59

Teorema Substitusi 60

Teorema Apit 60

Limit Fungsi Trigonometri 60

Limit Trigonometri Khusus 60

Limit Tak Berhingga 61

(7)

vi RINJANI_STIS

Kekontinuan 61

Teorema Kekontinuan 62

Teorema Fungsi Komposit 62

Kekontinuan pada Selang 62

Teorema Nilai Antara 63

BAB VI TURUNAN 65

Definisi Turunan 65

Aturan Pencarian Turunan 65

Turunan Sinus dan Cosinus 66

Hukum Rantai (Chain Rule) 66

Diferensiasi Fungsi Implisit 66

Turunan Ordo yang Lebih Tinggi 68

BAB VII APLIKASI TURUNAN 79

Maksimum dan Minimum 79

Kemonotonan dan Kecekungan 79

Kemonotonan Grafik Fungsi 79

Kecekungan dan Titik Balik/Belok 80

Titik Belok 80

Maksimum dan Minimum Lokal 81

Definisi 81

Teorema A 81

Teorema B 82

(8)

vii RINJANI_STIS

BAB VIII INTEGRAL TERTENTU 93

Definisi 1 93

Definisi 2 94

Teorema Dasar Kalkulus 97 Sifat-Sifat Integral Tertentu 97

BAB IX APLIKASI INTEGRAL TERTENTU 102

Menentukan Luas Daerah 102

Menentukan Luas Daerah diatas Sumbu-x 102

Menentukan Luas Daerah dibawah Sumbu-x 102

Menentukan Luas Daerah yang dibatasi Kurva y=f(x) dan terletak di sumbu-x 103

Menentukan Luas Daerah yang terletak diantara dua Kurva 103

Menentukan Volume Benda Putar 104

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x 104

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y 104

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x 105

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y 105

Metode Kulit Tabung 105

(9)

1

∑

NOTASI SIGMA DAN PRODUCT

Dalam matematika dikenal banyak simbol yang digunakan untuk menyederhanakan penulisan persamaan matematika. Dua simbol yang sering digunakan adalah notasi sigma (Σ) untuk menyederhanakan penjumlahan dan notasi product (Π) untuk menyederhanakan perkalian.

1. NOTASI SIGMA (Σ)

Untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita tuliskan sebagai

Penulisan penjumlahan seperti di atas akan lebih sederhana jika dituliskan ke dalam bentuk notasi penjumlahan. Notasi ini dikenal dengan notasi sigma (Σ) yang berasal dari huruf Yunani. Dimana Σ disebut dengan Tanda Penjumlahan, (i). Sebagai tanda penjumlahan yang menyatakan batas-batas penjumlah, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda Σ dan berakhir dengan bilangan yang berada diatas tanda tersebut. Sehingga,

∑

(10)

2 RINJANI_STIS

∑ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∑

dan, untuk n m,

Jika semua c dalam ∑ mempunyai nilai sama, katakan c, maka

∑

Sebagai suatu hasil, kita terima perjanjian

Khususnya,

∑ ( )

∑( ) ( )

Lambang yang dipakai untuk indeks tidak menjadi masalah.

Sehingga, variabel i, j, k disebut "dummy variable" karena variabelnya bisa diubah-ubah menjadi simbol lainnya. Simbol ini hanya berfungsi untuk iterasi (pengulangan) saja.

Suku n

(11)

3 RINJANI_STIS

∑ ∑

∑(

) ∑

∑

 Teorema dan Sifat-sifat

Andaikan { + dan { } menyatakan dua barisan dan suatu konstanta. Maka :

Bukti :

∑

( ) ∑

Bukti :

∑

(12)

4 RINJANI_STIS

∑(

) ∑

∑

∑ ( )

∑ ( )( )

∑

* ( ) +

2.

NOTASI PRODUCT ( )

Untuk perkalian pada suku yang banyak, penulisannya dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi perkalian atau notasi product yang disimbolkan dengan .

∏

∑

( )( )

(13)

5 RINJANI_STIS

∏

∏( )

( ) ( ) ( ) ∏

∏

∏ ( )

∏

 Teorema dan Sifat-sifat

Dimana k adalah konstanta.

Bukti :

∏

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ∏

Suku n

(14)

6 RINJANI_STIS

∏( )

(∏

)

∏( ) ∏

Bukti :

∏( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )

Di mana c adalah konstanta.

Bukti :

∏( )

( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ))

(∏

)

(15)

7 RINJANI_STIS

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Hitunglah ∑( ) Jawab :

∑( )

∑ ∑

(

)

2. Hitunglah ∑( ) Jawab :

∑( )

∑ ∑

(

)

3. Hitunglah ∑ Jawab :

∑

(16)

8 RINJANI_STIS

4. Hitunglah ∑

Jawab :

∑

5. Tentukan notasi dari Jawab :

∑

( )

6. Tentukan notasi dari Jawab :

∑

7. Jika ∑ dan ∑ . Hitunglah ∑( )

Jawab :

∑( )

∑ ∑ ∑

( ) ( )

(17)

9 RINJANI_STIS

8. Jika ∑ dan ∑ . Hitunglah ∑( ) Jawab :

∑( )

∑ ∑

( )

9. Jika ∑ dan ∑ . Hitunglah ∑( ).

Jawab :

∑( )

∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )

10. Tentukan nilai n yang memenuhi, jika ∑( ) Jawab :

∑ ∑

∑( ) ∑( )

(18)

10 RINJANI_STIS

∑( ) ( )

∑( )

( ( )

) ( )( )

n = 6 11. Hitunglah ∑

Jawab :

∑

( )

∑

( )( )

∑

( )( )

(19)

11 RINJANI_STIS

14. Hitunglah ∑ ( ) Jawab :

∑ ( )

∑( ) ∑ ∑

( ) ( )

15. Cari suatu rumus untuk ∑( )( ) Jawab :

∑( )

( ) ∑( )

∑

∑ ∑

( )( )

( )

, -

( )

16. Tuliskan notasi sigma untuk 2 + 4 + 6 + ... + 10.

Jawab :

2 + 4 + 6 + ... + 10 = ∑

17. Tuliskan notasi sigma untuk 1 -3 + 5 – 7 + 9.

Jawab :

1 − 3 + 5 – 7 + 9 = ∑( )( )

(20)

12 RINJANI_STIS

18. Tentukan nilai dari ∑( ) Jawab :

∑( )

∑( ) ∑( )

( ∑

∑

) ( ∑

)

. ( ) / ( )

∑( )

∑

(

)

∑( )

∑ ∑

( )( )

( )

(21)

13 RINJANI_STIS

∑( )

∑ ∑ ∑

22. Tentukan nilai dari ∑ Jawab :

∑

23. Tentukan nilai dari ∑ Jawab :

Batas indeksnya bisa diubah-ubah. Kita akan mengubah batas bawah indeks k mulai dari 1. Sehingga atau . Maka,

∑

∑ ^{( )} ∑

∑

(22)

14 RINJANI_STIS

∑

∑ ∑

( )( )

∑

∑ ∑

(23)

15 RINJANI_STIS

27. Hitunglah ∑ Jawab

∑

∑ ( )(( ) )( ( ) )

( ) ( ) ( )( )

28. Hitunglah ∑. / Jawab :

∑ ( )

∑

( ( ) ) ( )

29. Tunjukkan bahwa : 1.2 + 2.3 + ... + n (n+1) = ( )( ) Jawab :

( ) ∑( )

(24)

16 RINJANI_STIS

∑ ∑

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

30. Hitunglah ∑ .

/

Jawab :

∑ .

/

. / . / . / .

/

31. Hitunglah ∑( )

Jawab :

∑( )

( ) ( ) ( )

(25)

17 RINJANI_STIS

32. Hitunglah ∑. _{( )} / Jawab :

∑ (

( ) )

(

) (

)

33. Tulislah 1 + 2 + dalam notasi sigma dengan batas bawah

* J = 0 **J = 1 ***J = 2 Jawab :

*∑ ** ∑ ^{( )} *** ∑ ^{( )}

34. Hitunglah ( ) Jawab :

∏( )

( )( ) ( ( ))

∏( )

( )( ) ( )

(26)

18 RINJANI_STIS

36. Hitunglah Jawab :

∏

37. Hitunglah ( ) Jawab

∏( )

( )( ) ( )

∏( )

( )( ) ( )

∏( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(27)

19 RINJANI_STIS

41. Hitunglah (∑ ) Jawab :

∏ (∑

)

∏ ( ( ) )

∏

( )

42. Hitunglah [(∑ ) ] Jawab :

∏ [(∑

) ]

∏[( ) ]

,( ) - ,( ) -

43. Hitunglah [∑ ] Jawab :

∏ [∑

]

, - , - , - , -

44. Hitunglah Jawab :

∏

∏ ∏

( ) ( ) (( ) )

45. Tuliskan notasi dari ( )

(28)

20 RINJANI_STIS

Jawab :

( )

∏( )

46. Tuliskan notasi dari

Jawab :

∏

47. Tuliskan notasi dari . / . / . / . / . / Jawab :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∏

48. Jabarkan rumus ∑ Jawab :

( )

∑,( ) - ∑( )

( ) ∑ ∑

∑

(29)

21 RINJANI_STIS

49. Jabarkan rumus ∑ Jawab :

( )

∑,( ) - ∑( )

( ) ∑ ∑

∑

∑ ( )

∑

( )( )

∑

(30)

22 RINJANI_STIS

FAKTORIAL, PERMUTASI, DAN KOMBINASI

1. FAKTORIAL

Faktorial merupakan perkalian bilangan dengan bilangan berurutan dari bilangan n, terus mengecil sampai bilangan 1. Faktorial dinotasikan dengan tanda !.

7! = 7x6x5x4x3x2x1 n! =

n! = nx(n-1)!

1! = 1 0! = 1

Untuk n yang sangat besar pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling:

√

Kaidah dasar menghitung :

1) Kaidah Perkalian : percobaan 1 dan 2 = pxq 2) Kaidah Penjumlahan : percobaan 1 atau 2 = p+q

2.

PERMUTASI

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula dengan memperhatikan urutan.

(31)

23 RINJANI_STIS

Permutasi-r dari n objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n dapat dinotasikan dengan P(n,r).

 Permutasi Siklis

Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah :

(n-1)!

 Permutasi benda berlainan

Banyaknya permutasi yang berlainan dari benda n benda bila n1

diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua,..., nk berjenis ke k adalah :

 Permutasi dengan Perulangan

( )

3. KOMBINASI

Kombinasi adalah pengelompokan suatu unsur dari kelompoknya dengan pilihan dari unsur yang tersedia tanpa memperhatikan urutannya.

Kombinasi dinotasikan dengan C(n,r).

( ) ( )

 Kombinasi dengan Perulangan

( )

(32)

24 RINJANI_STIS

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Hitunglah

! Jawab :

2. Buktikan 0! = 1 Jawab :

(n+1)! = n! (n+1) (0+1)! = 0! (0+1) 0! = 1

3. Sederhanakanlah ^{( )}_{( )} Jawab :

( ) ( )

( )( )( )

( ) ( ) 4. Tulislah 45 dalam bentuk notasi faktorial!

Jawab :

5. Dalam suatu perlombaan nyanyi, ke-8 orang yang masuk ke final terdiri atas 3 pelajar dan 5 mahasiswa. Carilah banyaknya kemungkinan urutan hasil perlombaan untuk :

a) keseluruhan masuk final b) ke 3 pemenang pertama Jawab :

a) 8! = 40320 b) = _{( )} =

=336

(33)

25 RINJANI_STIS

6. Lima stiker akan ditempel secara berderet pada tempat yang disediakan .Jika di antara kelima stiker tersebut satu stiker selalu menempati posisi tengah , maka banyak cara menempel ?

Jawab :

Misalkan kelima stiker itu adalah A,B,C,D,E. Misalkan stiker yang di tengah adalah stiker C. Maka hanya ada satu kemungkinan untuk posisi di tengah. Kemudian, posisi yang lain ditempati oleh A,B,D, dan E. Banyak susunannya adalah 4⋅3⋅1⋅2⋅1=4!=24.

7. Terdapat 2 orang Amerika, 3 orang Indonesia, dan 4 orang China, yg duduk berjajar pada 9 kursi kosong. Tentukan :

a. banyaknya formasi duduk

b. banyaknya formasi jika 3 orang Indonesia harus selalu berdampingan Jawab :

a. = 362880 b. x = 30240

8. Tersedia 6 huruf a,b,c,d,e,f. Berapa jumlah pengurutan 3 huruf jika a) tidak ada huruf yang diulang

b) boleh ada huruf yang berulang

c) tidak boleh ada huruf yang berulang tapi huruf e harus ada Jawab :

a) = _{( )} ==120

b)

c) Karena huruf “e” harus ada maka satu kemungkinan dari 3 huruf sudah terisi

5x4x1 = 20

Huruf “e” bisa berada diketiga tempat yang disediakan maka banyak kemungkinan keseluruhan adalah 20x3=60

(34)

26 RINJANI_STIS

9. Rani akan membuat gelang yang berisi pernak-pernik. Misal terdapat 5 jenis pernik besar dan 5 jenis pernik kecil. Pada setiap gelang diisi kelima jenis pernik besar dan diantara pernik besar terdapat lima pernik kecil. Maka rani akan mendapat sejumlah gelang yang beraneka warna. Banyak gelang yang bisa dibuat rani?

Jawab :

Perhatikan bahwa pernak-pernik itu disusun melingkar dengan susunan selang-seling antara pernik besar dan pernik kecil. Banyaknya cara menyusun pernik besar adalah (5−1)!. Banyaknya cara menyusun pernik kecil adalah (5−1)!. Sehingga, banyaknya cara menyusun pernak-pernik itu adalah (5−1)!×(5−1)!=(4!)2=576.

10. Dari 100.000 buah bilangan bulat positif pertama, berapa banyak bilangan yang mengandung tepat 1 buah angka 3, 1 buah angka 4, dan 1 buah angka 5?

Jawab :

 Bilangan 100.000 tidak memenuhi, jadi hanya ada 5 digit yang harus dipenuhi

 Ada 5 cara untuk menempatkan angka 5, sisa tempat kosong tinggal 4

 Ada 4 cara untuk menempatkan angka 4, sisa tempat kosong tinggal 3

 Ada 3 cara untuk menempatkan angka 3, sisa tempat kosong tinggal 2

 Selain angka, 3, 4, dan 5 boleh diisi berulang. Jadi untuk kedua tempat yang masih kosong dapat diisi masing-masing dengan 7 angka

 Banyak bilangan yang dapat dibentuk sesuai dengan aturan tersebut adalah 5.4.3.7.7 = 2940

(35)

27 RINJANI_STIS

11. Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata

“CONGRESS” sedemikian sehingga dua buah huruf “S” tidak terletak berdampingan.

Jawab :

String tersebut tersusun atas 8 buah huruf, dan terjadi pengulangan dua kali untuk salah satu hurufnya (huruf “S”)

Jika kedua huruf “S” boleh sembarang letaknya (tidak ada aturan khusus untuk huruf “S”), maka jumlah string berbeda yang dapat dibentuk adalah:

! 2

! 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8

! 2

!

8  = 8.7.6.5.4.3 = 20160

Jika kedua huruf “S” harus berdampingan, maka jumlah string berbeda yang terjadi adalah sama dengan permutasi dari 7 huruf dari 7 huruf yang tersedia, dimana tidak ada karakter yang berulang yaitu:

P(7,7) =

1

! 7

! 0

! 7 )!

7 7 (

!

7  

 = 7.6.5.4.3.2 = 5040

Jadi jumlah string berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf tersebut apabila dua huruf “S” tidak boleh berdampingan adalah:

20160 – 5040 = 15120 macam

12. Suatu pohon Natal dihias dengan 9 bola lampu yang dirangkai seri.

Ada berapa cara menyusun 9 bola lampu itu bila 3 diantaranya berwarna merah, 4 kuning, dan 2 biru?

Jawab :

Soal di atas merupakan permutasi benda berlainan jenis

=

=1260 cara

13. Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh?

(36)

28 RINJANI_STIS

Jawab :

Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O diulang 2 kali, huruf R diulang 2 kali, dan huruf U diulang 2 kali.

Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus

berikut:

14. Dalam berapa carakah 6 orang dapat diantrikan masuk ke bis? Bila 3 orang tertentu bertahan harus saling menyusul satu sama lain, ada berapa banyak cara yang mungkin? Bila 2 orang tertentu tidak mau saling menyusul langsung, berapa banyak cara yang mungkin?

Jawab : a) 6! = 720

b) 3!x4! = 144 (3! merupakan banyak cara 3 orang tersebut diurutkan sedangkan 4! merupakan banyak cara 6 orang mengantri dimana 3 orang dianggap sebagai 1 kelompok (jadi ada 4 kelompok))

c) Banyak cara antrian semuanya = 720

Banyak cara jika 2 orang mau saling menyusul langsung = 2!x5! = 240

Jadi banyak cara jika 2 orang tidak mau saling menyusul langsung = 720 – 240 = 480

15. C(n,4) = 35. Tentukan nilai n²! Jawab :

C(n,4) =

( )

35 = ( )( )( )( ) ( ) 35 x 4! = n(n-1)(n-2)(n-3)

35 x 24 = n⁴ – 6n³ + 11n² – 6

(37)

29 RINJANI_STIS

n⁴ – 6n³ + 11n² – 846 = 0 n = 7

n² = 49

16. Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Informatika Angkatan 2002, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga:

a. mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya;

b. mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya;

c. mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi B tidak;

d. mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi A tidak;

e. mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya;

f. setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B termasuk di dalamnya.

Jawab :

a. C(9, 4) = 126 cara.

b. C(9, 5) = 126 cara.

c. C(8, 4) = 70 cara.

d. C(8, 4) = 70 cara.

e. C(8, 3) = 56 cara.

17. Ada 5 orang mahasiswa jurusan Informatika dan 7 orang mahasiswa jurusan Elektro. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika:

a. tidak ada batasan jurusan

b. semua anggota panitia harus dari jurusan Matematika c. semua anggota panitia harus dari jurusan Informatika d. semua anggota panitia harus dari jurusan yang sama e. 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili

(38)

30 RINJANI_STIS

Jawab :

a. C(12,4) = 495 b. C(5,4)xC(7,0) = 5 c. C(7,4)xC(5,0) = 35

d. C(5,4)xC(7,0) + C(7,4)xC(5,0) = 5+35 = 40 e. C(5,2)xC(7,2) = 210

18. Berapa banyak cara membentuk sebuah panitia beranggotakan 5 orang yang dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita jika di dalam panitia tersebut paling sedikit beranggotakan 2 orang wanita?

Jawab:

Jika mengandung 2 orang wanita = C(7,3) x C(5,2) = 350 cara Jika mengandung 3 orang wanita = C(7,2) x C(5,3) = 210 cara Jika mengandung 4 orang wanita = C(7,1) x C(5,4) = 35 cara Jika semuanya wanita = C(7,0) x C(5,5) = 1

Total semuanya = 596 cara

19. Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra dan 3 putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan

banyaknya cara menyeleksi karyawan!

Jawab :

Pelamar putra = 9 dan pelamar putri = 6

Banyak cara menyeleksi = C(9,5) x C(6,3) = 2520

20. Ada 10 soal di dalam ujian akhir Matematika Diskrit. Berapa banyak cara pemberian nilai (bilangan bulat) pada setiap soal jika jumlah nilai keseluruhan soal adalah 100 dan setiap soal mempunyai nilai paling sedikit 5. Jawab dalam notasi kombinasi. (contoh soal kombinasi dengan perulangan)

(39)

31 RINJANI_STIS

Jawab :

Andaikan kita tidak menghitung lagi nilai minimal masing-masing soal 5 x 10 = 50

100 – 50 = 50

Jadi sekarang ada nilai sejumlah 50 yang harus didistribusikan ke 10 soal n = 10, r = 50, maka banyak cara pemberian nilai adalah:

C(10+50-1, 50) = C(59, 50) =

21. Berapa banyak solusi bilangan bulat dari x1 + x2 + x3 = 11 jika x1 > 1, x2  4, dan x3 = 1. (contoh soal kombinasi dengan perulangan)

Jawab :

Nilai x3 = 1, maka x1 + x2 = 10

Nilai x1 minimum 2, sisa yang belum dibagikan = 10 – 2 = 8 Nilai x2 maksimum 4

 Jika nilai x2 ≥ 0 (x₂minimum 0), maka ada 8 nilai lagi yang harus didistribusikan ke x1 dan x2

n = 2, r = 8

C(2 + 8 – 1, 8) = C(9, 8) = 9

 Jika nilai x2 ≥ 5 (x₂minimum 5), maka ada 8 – 5 = 3 nilai lagi yang harus didistribusikan ke x1 dan x2

n = 2, r = 3

C(2 + 3 – 1, 3) = C(4, 3) = 4

 Jadi jika x2  4, jumlah solusi bilangan bulat yang mungkin adalah 9 – 4 = 5 kemungkinan

(40)

32 RINJANI_STIS

TEOREMA BINOMIAL DAN MULTINOMIAL

1. BINOMIAL

Rumus Binomial untuk n bilangan positif:

( a+b )ⁿ= ( ) () () ( ) ( a+b )ⁿ= ∑( )

Dengan koefisien binomial:

. / ( ) Contoh:

1. Ekspansikan ( a+b )⁵! Jawab:

( a+b )⁵= ∑( )

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= a⁵+ 5a⁴b + 10a³b + 10a²b³ + 5ab⁴+ b⁵

2. Jabarkan ( 3x – 2 )³! Jawab:

Misal: a = 3x b = -2

( a+b )³= ( ) ( ) ( ) ( )

= a³ + 3a² b + 3ab²+ b³

= 3x³+ 3(3x)²(-2) + 3(3x)(-2)² + (-2)³

= 3x³ + 27x²(-2) + 9x.4 – 8

= 3x³– 54x²+ 36x -8

(41)

33 RINJANI_STIS

Untuk menentukan suku yang memuat pangkat tertentu dari suatu persamaan ( x+y )ⁿterlebih dahulu diubah ke dalam bentuk suku umum ( ) , di mana i merupakan pangkat dari suku yang dicari.

Contoh:

1. Tentukan suku yang memuat x¹⁰ dari ( 2x²-y³)⁸ ! Jawab:

Suku umum: ( )( )( )

= ( ) ( )

=

= -1792x¹⁰y⁹ Untuk mencari nilai i:

x^16-2i = x¹⁰ 16-2i = 10 2i = 6 i = 3

Jadi suku yang memuat x¹⁰ adalah -1792x¹⁰y⁹.

Identitas & Segitiga Pascal

(

) .

/ . /

n & k bilangan bulat positif

(42)

34 RINJANI_STIS

Bukti:

(

) .

/ . / ( )

( )

( ) ( )

( )

= ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= _{( )} _{( )}^{( )}

= ( ) ( )

= _{( )}^{( )}

= _{( )}^{( )} ( terbukti )

Rumus Binomial dengan n negative atau pecahan

( ) ^{( )} ( )( )

( )( ) ( )

Contoh:

1. Ekspansikan (2 - 3x)⁴ sampai 4 suku!

Jawab:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

(43)

35 RINJANI_STIS

2. MULTINOMIAL

Suku umum dari multinomial (a1+a2+a3+…+ai)ⁿuntuk n positif adalah:

( )

Contoh:

Carilah suku yang memuat x¹¹ dan y⁴dari (2x³-3xy²+z²)⁶! Jawab:

( ) ( ) ( ) ( )

Mencari nilai a: Mencari nilai b:

x^3a.x^b= x¹¹ y^2b = y⁴

3a+b = 11 2b = 4

3a+2 = 11 b = 2

a = 3

Mencari nilai c:

a+b+c = 6 3+2+c = 6 c = 1

Jadi suku yang memuat x¹¹ dan y⁴adalah:

( ) ( )( )( )

=

( )

= 4320 x¹¹y⁴z²

(44)

36 RINJANI_STIS

Suku umum dari (a+b+c+d+…)ⁿuntun n negative atau pecahan adalah:

( )( )( ) ( )

Di mana i merupakan bilangan bulat positif

(45)

37 RINJANI_STIS

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Ekspansikan (a+b)⁶! Jawab:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2. Ekspansikan (x-2y)⁵ ! Jawab:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

3. Berapakah suku keenam dari ekspansi ( ) ! Jawab:

( ) ( )( ) ( )( ) . / ( ) . / ( ) ( ) . / ( ) ( ) . / ( )

( ) . / ( )

Suku keenamnya adalah: ( ) . / ( ) = 126(16x²)(-

) =

(46)

38 RINJANI_STIS

4. Berapakah koefisien suku yang mengandung x¹⁴ dari ekspansi (x+2x³)¹⁰!

Jawab:

Suku umum: () ( )

= () ( )

= 45x⁸4x6

=180x¹⁴

Cara mencari nilai i: x^10-ix³ⁱ= x¹⁴ 10-i+3i = 14

2i = 4 i = 2 Jadi koefisien x¹⁴adalah 180.

5. Ekspansikan empat suku pertama dari (3a-2b)^-2! Jawab:

( ) ( ) ^{( )( )}^{( )} ( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

6. Ekspansikan empat suku pertama dari ( ) ! Jawab:

( ) ( ) . /

. / ( )

(47)

39 RINJANI_STIS

7. Carilah koefisien x²y³ z⁴ dari persamaan (ax-by+cz)⁹! Jawab:

( ) ( ) ( ) ( )

Mencari nilai d: Mencari nilai e:

x^d= x² y^e = y³

d = 2 e = 3

Mencari nilai f:

z^f= z⁴ f = 4

suku yang memuat x²y³ z⁴adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) Jadi koefisiennya adalah:

( )

8. Carilah koefisien a³b³c dari persamaan (2a+b+3c)⁷! Jawab:

( ) ( ) ( ) ( )

Mencari nilai d: Mencari nilai e:

a^d= a³ b^e = b³

d = 3 e = 3

(48)

40 RINJANI_STIS

Mencari nilai f:

c^f= c f = 1

suku yang memuat a³b³c adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) Jadi koefisiennya adalah:

( )

9. Cari koefisien x³ dari persamaan (1-3x-2x²+6x³) ! Jawab:

. /. / ( )

( ) ( ) ( )

Jadi koefisiennya adalah:

( ) ( ) ( ) ( )( ) . /. / . /

( )

(49)

41 RINJANI_STIS

10. ( √ ) ( √ ) Jawab:

= ( ( ) ( ) (√ ) ( ) (√ ) ( ) (√ ) ( )(√ )) ( ( ) ( ) ( √ ) ( ) ( √ ) ( ) ( √ ) ( )( √ )) √ √ (√ ) (√ )

(50)

42 RINJANI_STIS

TEORI HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI

1. HIMPUNAN

 Definisi Himpunan

 Himpunan : Suatu kumpulan/gugusan dari sejumlah obyek (kumpulan obyek yang berbeda).

 Secara umum himpunan dilambangkan  A, B, C, ... Z (huruf capital)

 Obyek dilambangkan  a, b, c, ... z (disebut juga anggota, elemen, atau unsur)

 Notasi : - p  A  p anggota A

- A  B  A himpunan bagian/subset dari B - A  B  A proper subset dari B

- A = B  himpunan A sama dengan B -     ingkaran/bukan anggota

 Anggota himpunan ditulis di dalam kurung kurawal {}

 Banyak anggota himpunan A: n(A)

 Penyajian Himpunan

 Mendaftar semua anggota  menuliskan setiap anggota dalam kurung kurawal

misal A = {1,2,3,4,5}

 Notasi pembentuk himpunanmenuliskan sifat-sifat yang ada pada semua anggota

misal B = {x  R | 0 < x < 6}

(51)

43 RINJANI_STIS

 Diagram Venn:

 Himpunan Universal dan Kosong

 Himpunan universal (semesta): himpunan semua obyek yang dibicarakan

Notasi: S atau U

 Himpunan kosong: himpunan yang tidak mempunyai anggota Notasi:  atau { }

 Contoh

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } A = {0,1,2,3,4}

B = {5,6,7,8,9 } C = {0,1,2,3,4 } Ø = { }

 Himpunan Bagian (Subset)

 A himpunan bagian dari B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah anggota B.  Notasi: A  B  aA, aB

   A dan A  A, A adalah himpunan bagian tak sebenarnya dari A.

 Jika A  B tetapi A  B, maka A adalah himpunan bagian sebenarnya dari B.

 Untuk himpunan yang mempunyai n anggota, banyak himpunan bagiannya adalah 2ⁿ.

 Himpunan Sama

 Himpunan A sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah anggota B dan setiap anggota B adalah anggota A.

(52)

44 RINJANI_STIS

 Notasi:

A = B  aA, aB dan bB, bA atau

A = B  A  B dan B  A

 Himpunan yang Ekivalen

 Himpunan A ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika banyak anggota A sama dengan banyak anggota B.

 Notasi: A  B  n(A) = n(B)

 Himpunan Saling Lepas

 Dua himpunan dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki anggota yang sama.

 Notasi: A  B

 Operasi pada Himpunan

 Gabungan (Union)  A  B = {x | x  A atau x  B}

 Irisan (Intersection)  A  B = {x | x  A dan x  B}

 Selisih  A – B = {x | x  A tetapi x  B}

 Komplemen  A^C = {x | x  U tetapi x  A} = U – A

(53)

45 RINJANI_STIS

 Jumlah Anggota pada Operasi Himpunan

 Pada himpunan A dan B 

 Pada himpunan A, B, dan C



 Pada himpunan A, B, C, dan D



 Hukum-Hukum Himpunan

 Idempoten

A U A = A A ∩ A = A

 Komutatif

A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A

 Asosiatif

(A U B) U C = A U (B U C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

 Distributif

A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

 Hukum Identitas

A U Ø = A A ∩ U = A

 Hukum null/dominasi

A ∩ Ø = Ø A U U = U

 Hukum komplemen

A U A^C = U, A ∩ A^C = Ø, U^C = Ø, Ø^C = U

) ( ) ( ) ( )

(A B n A n B n A B

n     

) (

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

C B A n C B n

C A n B A n C n B n A n C B A n























) (

) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

D C B A n D C B n

D C A n D B A n C B A n

D C n D B n C B n D A n

C A n B A n D n C n B n A n D C B A n



















































(54)

46 RINJANI_STIS

 Hukum Involusi (A^C)^C = A

 Hukum De Morgan

(A U B)^C = A^C ∩ B^C (A ∩ B)^C = A^C U B^C

2. RELASI dan FUNGSI

 Definisi Relasi

 Relasi adalah suatu aturan yang menghubungkan anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan lain

 Contoh relasi

 Domain, Kodomain, Range

 Relasi dari A ke B: faktor dari

 Domain (daerah asal) = A = {2,3,4,7}

 Kodomain (daerah kawan) = B = {1,2,3,4,5,6}

 Range (daerah hasil) = himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan anggota A = {2,3,4,6}

 Range  B

(55)

47 RINJANI_STIS

 Definisi Fungsi

 Fungsi adalah relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan lain.

f : A  B x  f(x)

Fungsi: xA,  yB  y = f(x) x variabel bebas,

y bergantung pada x berdasarkan aturan tertentu

 Jenis-Jenis Fungsi

 Fungsi konstan, fungsi polinomial, fungsi rasional

 Fungsi genap, f(–x) = f(x) x

grafik fungsi simetris terhadap sumbu y

 Fungsi ganjil, f(–x) = –f(x) x

grafik fungsi simetris terhadap titik asal

 Fungsi nilai mutlak, 

Ingat definisi nilai mutlak

 Fungsi floor,

= bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan x. 

 Operasi pada Fungsi

 Dua fungsi dapat ditambahkan, dikurangi, dikali, atau dibagi

 Misal terdapat 2 fungsi, f dan g

Domain f + g, f – g, f  g adalah irisan domain f dan g

 ^x

 

(56)

48 RINJANI_STIS f g

Domain f/g adalah irisan domain f dan g dengan g  0

 Komposisi Fungsi

 Misal f : A → B dan g : B → C, maka h : A → C disebut fungsi komposisi, dilambangkan dengan g ο f.

x  f(x) g(f(x)) h

(g ο f)(x) = g(f(x)) (f ο g)(x) = f(g(x))

Domain f ο g adalah x yang merupakan domain g dimana g(x) adalah domain f.

(57)

49 RINJANI_STIS

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7}

B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan:

(a) A – B (d) A U B (g) U – (A U B) (b) B – A (e) A ∩ B^C (h) A ∩ (A U B)

(c) A ∩ B (f) B ∩ (A^C)^C (i) A U (A ∩ B) Jawab:

a. {2,5}

b. {1,4,8}

c. {3,7}

d. {1,2,3,4,5,7,8}

e. {2,5}

f. {3,7}  huk. Involusi g. {6}

h. {2,3,5,7}

i. {2,3,5,7}

2. Berapa banyak bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 3 atau 5?

Jawab:

Seperti yang telah kita ketahui bahwa bilangan bulat adalah semua bilangan dari -∞ sampai dengan ∞.

Jadi A={3,6,9,12,15,…99}  himpunan yang habis dibagi 3 (kelipatannya)

(58)

50 RINJANI_STIS

B={5,10,15,20,…100}  himpunan yang habis dibagi 5 (kelipatannya)

U= {1,2,3,4,5,…100}  himpunan semesta

Karena yang diminta adalah bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 3 atau 5  A  B = {x | x  A atau x  B}

3. Dari 120 mahasiswa, 100 orang mengambil paling sedikit satu mata kuliah pilihan, yaitu QC (quality kontrol), LP (linear programming), dan RA (regression analysis). Diketahui: 65 orang mengambil QC, 45 orang mengambil LP, 42 orang mengambil RA, 20 orang mengambil QC dan LP, 25 orang mengambil QC dan RA, dan 15 orang mengambil LP dan RA. Berapa mahasiswa yang mengambil 3 mata kuliah sekaligus?

Dik: U = 120 (himpunan semesta) ≥ 1 mata kuliah = 100

QC= 65 LP=45 RA=42

QC+LP=20 QC+RA=25 LP+RA=15 Dit: Banyaknya orang yang mengambil 3 mata kuliah?

Misalkan dengan X=QC+LP+RA

Jawab: QC=65 LP=45 RA=42

QC=65 - (45-X) LP=45- (35-X) RA=42- (40-X)

QC=20+X LP=10+X RA=2+X

Ada 100 orang yang mengambil paling sedikit 1 mata kuliah ada 20 org ygan tidak mengambil mata kuliah apapun.

U =(20+X) + (10+X) + (2+X) + (20-X) + (25-X) + (15- X) + X +20

120 =92+X+20 120 =112+X 120-112= X  X=8

(59)

51 RINJANI_STIS

4. Sebuah kelompok penelitian membagi penelitian dalam 4 bidang.

Dari 100 orang anggota kelompok, 30 orang meneliti bidang 1, 20 orang bidang 2, bidang 3 dan 4 masing-masing 25 orang. Ada 10 orang masing-masing meneliti 2 bidang. Sebanyak 5 orang masing- masing meneliti 3 bidang. Ada 2 orang yang meneliti keempat bidang.

Berapa orang yang berpartisipasi dalam penelitian? Berapa orang yang meneliti bidang 1 saja?

Dik: U = 100 (himpunan semesta)

X = 10 (meneliti 2 bidang)  masing2x A = 30 (meneliti bidang 1)

Y = 5 (meneliti 3 bidang) ^masing2x B = 20 (meneliti bidang 2)

Z = 2 (meneliti 4 bidang) masing2x C = 25 (meneliti bidang 3)

D = 25 (meneliti bidang 4)

Dit:Banyaknya orang yang berpartisipasi dalam penelitian?

Banyaknya org yg meneliti bidang 1 saja?

Jawab:

 untuk menghitung banyaknya orang yang berpartisipasi dalam penelitian, bisa dilihat dari diagram venn yang digambar, jawabannya ialah 62 orang.

untuk menemukan banyaknya orang yang meneliti bidang 1 saja, juga bisa dilihat dari diagram venn yang digambar, jawabannya ialah 15 orang.

(60)

52 RINJANI_STIS

5. P adalah himpunan bilangan genap yang kurang dari 25.

a. Sebutkan anggota-anggota dari P dalam tanda kurung kurawal.

b. Nyatakan P dengan notasi pembentuk himpunan.

c. Tentukan n(P).

Jawab:

a. P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24}

b. P = {x|x<25, x bilangan genap}

c. n (P) =12.

6. Diantara himpunan-himpunan berikut, manakah yang merupakan himpunan kosong?

a. himpunan bilangan genap di antara 6 dan 8.

b. himpunan bilangan prima diantara 13 dan 19.

c. himpunan bilangan cacah yanh kurang dari 0.

d. himpunan nama bulan yang berjumlah 32 hari.

Jawab:

a. Himpunan bilangan genap diantara 6 dan 8.

Urutan bilangan genap = 2,4,6,8,10,...

Diantara 6 dan 8 tidak terdapat bilangan genap melainkan angka7 yaitu bilangan ganjil. Jadi himpunan tersebut adalah himpunan kosong.

b. Himpunan bilangan prima diantara 13 dan 19.

Urutan bilangan antara 13 dan 19.

Urutan bilangan antara 13 dan 19 adalah 14,15,16,17,18.

Angka 17 merupakan bilangan prima. Jadi,himpunan bilangan prima diantara 13 dan 19 adalah{17}, bukan himpunan kosong.