Koleksi Soal dan Pembahasan Ujian Kompre

(1)

KOLEKSI SOAL DAN PEMBAHASAN

UJIAN KOMPREHENSIF PENGANTAR

ANALISIS REAL

Arini Soesatyo Putri

MAY 18, 2016

(2)

Soal dan Pembahasan Ujian Komprehensif

Pengantar Analisis Real (Januari 2015)

1. Buktikan bahwa fungsi nilai mutlak = | | kontinu di setiap titik ∈ ℝ.

Pembahasan: Diketahui | | = { ,

− , < yang merupakan fungsi polinomial

berderajat satu, jelas bahwa fungsi polinomial akan kontinu untuk setiap ∈ , dan satu satunya titik diskontinu yang mungkin hanyalah di titik , akan tetapi

lim

�→ +| | = lim_�→ −| | = =

jadi = | | juga kontinu di 0, sehingga terbukti bahwa fungsi = | | kontinu di setiap titik ∈ . (Dapat juga dibuktikan dengan menggunakan definisi kontinuitas).

2. Tunjukkan bahwa deret ∑

7 ∞

= adalah deret yang konvergen dan tentukan

limitnya!

sehingga berdasarkan Uji Perbandingan Limit, deret ∑

7 ∞

= akan konvergen.

Kemudian perhatikan bahwa ∑

7 ∞

= merupakan deret geometri dengan rasio � = 7 dan suku awal = 9, maka dapat diperoleh jumlah atau limit dari ∑∞= 7 adalah

(3)

Pengantar Analisis Real (Maret 2015)

1. Misalkan , adalah fungsi kontinu. Tunjukkan bahwa ∘ adalah fungsi kontinu. Pembahasan: Karena fungsi yang kontinu di sebarang titik ∈ , maka ini mengimplikasikan bahwa untuk sebarang > terdapat > memenuhi

| − | < → | − | <

dan juga karena fungsi yang kontinu untuk setiap ∈ , maka ini mengimplikasikan bahwa untuk sebarang > terdapat > memenuhi

| − | < → | ( ) − ( )| < .

Selanjutnya dapat dipilih = , sehingga untuk setiap > terdapat > yang berpadanan sedemikian sehingga memenuhi

| − | < → | − | < → | ( ) − ( )| <

maka terbukti bahwa merupakan fungsi kontinu di setiap titik.

Pengantar Analisis Real (Juli 2015)

1. Tunjukkan bahwa = kontinu seragam pada , .

Pembahasan: Analisis Pendahuluan. Ambil sebarang > maka akan dipilih > sedemikian sehingga untuk |� − | < maka berlaku

| � − | = |� − | = |� − ||� + | <

karena �, ∈ , , maka berdasarkan pertidaksamaan segitiga didapat

|� + | |�| + | | < + =

oleh karena itu

|� − | = |� − ||� + | |� − | |�| + | | < |� − | + = |� − | < .

(4)

Bukti Formal. Ambil sebarang > , pilih =� sedemikian sehingga untuk |� − | < maka berlaku

| � − | = |� − | = |� − ||� + | < |� − | < . = .

Maka terbukti bahwa fungsi = kontinu seragam di , .

Soal dan

Pembahasan Ujian Komprehensif

Pengantar Analisis Real (September 2015)

1. Buktikan bahwa barisan − bukan merupakan barisan Cauchy!

Pembahasan: Pilih = , kemudian misalkan = � (bilangan genap) dan =

� + (bilangan ganjil) dengan � ∈ � dan , � sedemikian sehingga untuk

� ∈ � berlaku

| − − − | = | − �_{− −} �+ _{| = | + | = >} _{= .}

Maka terbukti bahwa − bukan merupakan barisan Cauchy.

Soal dan

Pembahasan Ujian Komprehensif

Pengantar Analisis Real (November 2015)

1. = − +

a. Tunjukkan bahwa tidak bijektif untuk ∈ [− , ] dan ∈ [− , , ] b. Tunjukkan bahwa bijektif pada ∈ [ , ] dan ∈ [− , ].

(5)

a. Akan ditunjukkan bahwa tidak bijektif untuk ∈ [− , ] dan =

(6)

Pengantar Analisis Real (Januari 2016)

(7)

1. Buktikan bahwa ln bukan merupakan barisan Cauchy!

Pembahasan: Pilih = / , kemudian misalkan = � sedemikian sehingga untuk � ∈ � berlaku

| ln − ln = |ln | = |ln ( )| = |ln | = ln > = .

Maka terbukti bahwa ln bukan merupakan barisan Cauchy.

1. Jelaskan mengenai kekonvergenan deret geometri! Dengan alasannya.

Pembahasan: Deret geometri didefinisikan sebagai ∑∞₌ � − = + � + � + ⋯ dengan ≠ dan |�| < . Selanjutnya jika didefinisikan jumlah parsial dari deret geometri, yakni

= + � + � + ⋯ + � −

kemudian kalikan persamaan dengan �,

� = � + � + � … + � − _{+ �}

Jika persamaan dan dikurangi, maka diperoleh

− � = − �

= − �_{− �}

dengan mengambil limit → ∞ untuk , yakni

(8)

maka nilai dari limit tersebut bergantung pada nilai dari �. Jika |�| , maka jelas

lim_→∞� −�_−�� = ∞, dan jika |�| < , maka lim

→∞ � −��

−� = �

−�. Oleh karenanya deret

geometri akan konvergen untuk |�| < , dan nilai limitnya adalah = �