Statistika Farmasi

(1)

613.123.15 Statistika Farmasi

Bab 5: ANOVA

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

Atina Ahdika, S.Si, M.Si 613.123.15 Statistika Farmasi

(2)

ANOVA

Analysis of Variance atau dikenal dengan nama ANOVA, merupakan suatu metode analisis data dari suatu rancangan percobaan, di mana tujuannya adalah untuk membandingkan dua atau lebih rata-rata populasi. Uji-t merupakan kasus khusus dari ANOVA yang hanya membandingkan rata-rata dua populasi.

(3)

Sampel acak berukuran n dipilih dari masing-masing k populasi.

Keseluruhan k populasi yang berbeda diklasifikasikan berdasarkan suatu kriteria seperti perbedaan perlakuan atau grup.

(4)

Asumsi pada One-Way ANOVA

Populasi-populasi yang akan diuji berdistribusi Normal Variansi masing-masing populasi sama

Sampel tidak berhubungan satu sama lain (saling bebas)

(5)

Hipotesis

H₀ : µ₁= µ₂ = . . . = µ_k

H₁ : Minimal ada satu rataan yang tidak sama Misalkan y_ij menyatakan observasi ke-j dari perlakuan ke-i dan susun data seperti tabel berikut

(6)

Partisi Total Variasi ke dalam Komponen-Komponen

SST = SSB + SSW di mana

SST =

k

X

i =1 n

X

j =1

(y_ij − ¯y_..)² = total sum of squares

SSB =

k

X

i =1

n_i(¯y_{i .}− ¯y_..)² = treatment/between sum of squares

SSW =

k

X

i =1 n

X

j =1

(y_ij − ¯y_{i .}) = error/within sum of squares

(7)

Variasi Total (Total Sum of Squares)

SST =

k

X

i =1 n

X

j =1

(y_ij − ¯y_..)²

= (y11− ¯y..)²+ (y12− ¯y..)²+ . . . + (ykn− ¯y..)²

(8)

Jumlah Kuadrat Antara (Between Sum of Squares)

SSB =

k

X

i =1

n_i(¯y_{i .}− ¯y..)²

= n₁(¯y_1.− ¯y_..)²+ n₂(¯y_2.− ¯y_..)²+ . . . + n_k(¯y_k.− ¯y_..)² Variasi di antara grup/kelompok (between-group variation)

(9)

Jumlah Kuadrat Dalam (Within Sum of Squares)

SSW =

k

X

i =1 n

X

j =1

(y_ij − ¯y_{i .})

= (y₁₁− ¯y_1.)²+ (y₁₂− ¯y_1.)²+ . . .

+ (y₂₁− ¯y_2.)²+ (y₂₁− ¯y_2.)²+ . . . + (y_kn− ¯y_k.)² Variasi dalam kelompok (within-group variation)

(10)

Tabel ANOVA Satu Arah (One-Way ANOVA)

k : jumlah populasi

N : jumlah ukuran sampel dari seluruh populasi df : degrees of freedom/derajat kebebasan H₀ ditolak jika F hitung > F tabel atau p − value < α.

(11)

Contoh

Suatu industri farmasi memproduksi tablet salut enteric dengan menggunakan 3 fasilitas yang berbeda, yakni fasilitas A, fasilitas B, dan fasilitas C. Sampel-sampel diambil secara periodik. Sebanyak 15 sampel tablet diambil dan beratnya ditimbang. Hasilnya ditampilkan pada tabel. Dengan α = 5%, apakah ada perbedaan berat tablet antara 3 fasilitas?

(12)

Data berat tablet dengan fasilitas A, B, dan C

(13)

Penyelesaian

Langkah-langkah pengerjaan ANOVA

Lihat kembali Tabel ANOVA dan lakukan langkah-langkah berikut

1 Hitung SSB dan tentukan df untuk SSB, lalu hitung MSB

2 Hitung SSW dan tentukan df untuk SSW , lalu hitung MSW

3 Hitung F hitung

4 Bandingkan dengan F tabel

5 Buat keputusan

(14)

H0: µ1 = µ2 = µ3

H1: Minimal ada satu rataan yang tidak sama

(15)

SSB, df , dan MSB

SSB =

k

X

i =1

n_i(¯y_{i .}− ¯y_..)²

= 15(276.26 − 275.083)²+ 15(275.29 − 275.083)² + 15(273.7 − 275.083)²

= 20.78 + 0.643 + 28.69 = 50.113 Nilai df adalah df = k − 1 = 3 − 1 = 2.

MSB = SSB

k − 1 = 50.113

2 = 25.06

(16)

SSW , df , dan MSW

SSW =

k

X

i =1 n

X

j =1

(y_ij − ¯y_{i .})

Nilai df adalah df = N − k = 45 − 3 = 42.

MSW = SSW

N − k = 559.13

42 = 13.31

(17)

Nilai F hitung

F hitung = MSB

MSW = 25.06

13.31 = 1.88 Nilai F tabel

1 Nilai F tabel terkait dengan 2 derajat bebas yang terpisah

2 Derajat bebas pembilang (ν₁) setara dengan k − 1

3 Derajat bebas penyebut (ν₂) sama dengan N − k Jadi, F tabelnya adalah F2,42= 3.23

Keputusan

Karena F hitung < F tabel, maka H0 tidak ditolak, artinya rata-rata berat tablet untuk 3 fasilitas adalah sama.

(18)

One-Way ANOVA dengan SPSS

Karena Sig .(p − value) > α, maka H₀ tidak ditolak.

(19)

Latihan

(20)

(21)

(22)

Uji Kesamaan Beberapa Variansi

Berikutnya, kita akan menguji kesamaan variansi dari k populasi.

H₀ : σ₁²= σ²₂ = . . . = σ²_k

H₁ : Variansi-variansi tersebut tidak semuanya sama

(23)

Uji Bartlett

Langkah-langkah uji Bartlett:

1 Hitung variansi dari k sampel s₁², s₂², . . . , s_k² dari ukuran-ukuran sampel n1, n2, . . . , n_k dengan

k

P

i =1

n_i = N.

2 Kombinasikan variansi sampel s_p² = 1

N − k

k

X

i =1

(n_i − 1)s_i²

3 Hitung

b = [(s₁²)ⁿ¹⁻¹(s₂²)ⁿ¹⁻¹. . . (s_k²)ⁿ^k⁻¹]^(N−k)¹ s_p²

(24)

Catatan:

Jika ukuran sampel sama, yaitu n1= n2 = . . . = nk = n, maka tolak H0 pada level signifikansi α jika

b < bk(α; n)

Jika ukuran sampel berbeda, maka H₀ ditolak jika b < b_k(α; n₁, n₂, . . . , n_k) di mana

bk(α; n1, n2, . . . , nk)

≈ n₁b_k(α; n₁) + n₂b_k(α; n₂) + . . . + n_kb_k(α; n_k) N

(25)

Contoh

Gunakan uji Bartlett untuk menguji hipotesis pada tingkat signifikansi 0.01 bahwa variansi populasi dari empat grup obat Latihan No 2 adalah sama.

(26)

Penyelesaian

Hipotesis

H₀: σ²₁ = σ²₂ = σ₃² = σ₄²

H₁: Tidak semua variansinya sama α = 0.01

Daerah kritis

Berdasarkan Latihan No 2, kita ketahui

n1= 20, n2= 9, n3= 9, n4 = 7, N = 45, dan k = 4. Maka tolak H₀ jika

b < b₄(0.01; 20, 9, 9, 7)

≈ (20)(0.8586) + (9)(0.6892) + (9)(0.6892) + (7)(0.6045) 45

= 0.7513

(27)

Perhitungan

s₁²= 662.862, s₂² = 2219.781, s₃²= 2168.434, s₄² = 946.032 selanjutnya

s_p²

= (19)(662.862) + (8)(2219.781) + (8)(2168.434) + (6)(946.032) 41

= 1301.861 Kemudian

b = [(662.862)¹⁹(2219.781)⁸(2168.434)⁸(946.032)⁶]^1/41 1301.861

= 0.8557

(28)

Keputusan dan kesimpulan

Karena b > b₄(0.01; 20, 9, 9, 7) maka gagal tolak H₀ dan dapt disimpulkan bahwa variansi populasi dari keempat grup obat tersebut tidak secara signifikan berbeda.