SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL BOLTZMANN LINEAR. Agus Sugandha

SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL BOLTZMANN LINEAR

Agus Sugandha

Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Jenderal Soedirman Purwokerto, Indonesia

Email : agussugandha@ymail.com

ABSTRACT. In this research, it will be discussed the way to find the solution of linear Boltzmann differential equation. The solution of linear Boltzmann differential equation is a fixed point of Markov Operator.

Keywords. Boltzmann differential equation, Markov Operator, fixed point. 1. PENDAHULUAN

Banyak metode untuk mencari solusi dari suatu persamaan diferensial. Akan tetapi secara umum adalah sulit untuk mencari solusi umum dari suatu persamaan diferensial. Pada tulisan ini akan dibahas bagaimana mencari solusi dari persamaan diferensial Boltzmann linear. Sedangkan proses untuk mendapatkan persamaan diferensial Boltzmann linear dapat dilihat di Lasota dan Mackey (1994).

2. HASIL DAN PEMBAHASAN

Sebelum membahas solusi dari persamaaan Diferensial Boltzmann linear terlebih dahulu diberikan konsep teori ukuran dan integral Lebesgue.

2.1 Ukuran dan Ruang Ukuran

Definisi 2.1.1 (Royden, 1989). Diberikan X himpunan tak kosong. Yang dimaksud dengan aljabar σ himpunan pada X adalah suatu koleksi A X

2

⊂ yang tertutup terhadap operasi komplemen dan gabungan terhitung, yaitu jika memenuhi sifat-sifat berikut :

(a) Jika A∈ A maka c∈

A A (b) Jika

{ }

A_i ⊂ A maka ∈ ∞ =

U

1 i i A A.

Selanjutnya pasangan himpunan X ≠φ dan suatu aljabar -σ himpunan A X

2

⊂

pada X , ditulis

(

X A) disebut ruang terukur (measurable space) dan setiap , anggota ruang terukur

(

X A) disebut himpunan terukur. ,

Definisi 2.1.2 (Royden, 1989). Diberikan ruang terukur

(

X A). Fungsi , himpunan µ: A→Rdisebut ukuran (measure) pada ruang terukur

(

X A), jika , memenuhi sifat-sifat berikut :

(a) µ

( )

φ =0

(b) µ

( )

A ≥0untuk setiap A∈ A

(c) Jika

{ }

A_k ⊂ A merupakan barisan himpunan-himpunan yang saling asing maka berlaku

( )

∑

∞ = ∞ = =     1 1 k k k k A A µ µ

_U

.

Selanjutnya jika µ suatu ukuran pada ruang terukur

(

X A) maka ,

(

X A, , µ ) disebut ruang ukuran (measure space). Jika A∈ A maka µ

( )

A disebut ukuran himpunan A.

Definisi 2.1.3. Ruang ukuran

(

X A, , µ) dikatakan σ-finite jika terdapat barisan

{ }

Ak ⊂ A yang memenuhi

U

∞ = = 1 k k A

X dan µ

( )

A_k <∞ untuk setiap k.

2.2 Operator Markov dan Operator Perron Frobenius

Definisi 2.2.1. Diberikan ( X A, ), µ ruang ukuran lengkap dan σ-finite. Setiap operator linear P:L1 →L1 yang memenuhi :

(a) Pf ≥0 untuk setiap f ∈L1, f ≥0 (b) Pf _L1 = f _L1 dengan f f dµ

X

L1 =

∫

disebut operator Markov.

Definisi 2.2.2. Diberikan ( X A, , µ ruang ukuran lengkap dan ) σ-finite, dan 1

1 :L L

P → operator Markov. Fungsi f ∈L1 dikatakan titik tetap ( fixed point) P jika berlaku Pf = f .

Definisi 2.2.3 (Lasota dan Mackey, 1994). Diberikan ( X A, ), µ ruang ukuran lengkap dan σ-finite. Transformasi terukur (measurable) S:X →X dikatakan nonsingular jika µ

(

S−1

( )

A

)

=0 untuk setiap A∈ A dengan µ

( )

A =0.

Definisi 2.2.4 (Lasota dan Mackey, 1994). Diberikan ( X A, ), µ ruang ukuran lengkap dan σ-finite, dan S:X →X transformasi nonsingular. Operator

1 1 :L L P_S → yang memenuhi

∫

∫

= ₋ ) ( 1 _A S A S fd fd P µ µ untuk setiap A∈ A disebut operator Perron-Frobenius yang bersesuaian dengan

Definisi 2.2.5. Diberikan operator T_t :Lp →Lp , 1≤ p≤∞ , t≥0 . Keluarga

{ }

Tt t≥0 disebut semigrup operator linear kontraksi (semigrup kontraksi) jika T t

memenuhi kondisi berikut :

(a) T_t

(

λ₁f₁+λ₂f₂

)

=λ₁T_tf₁+λ₂T_tf₂ untuk setiap f₁,f₂∈Lp, λ₁,λ₂∈R

(b) p L tf f T ≤ untuk setiap f ∈Lp (c) T₀f = f untuk setiap f ∈Lp (d) T_t+t' =T_t(T_t'f) untuk setiap f ∈Lp. Jika lim 0 0 0 = − → t t _Lp t

t T f T f maka semigrup ini dikatakan kontinu.

Solusi Persamaan Diferensial 19

Definisi 2.2.6. Operator A D(A): →Lp, 1≤ p≤∞ dengan D(A)

{

t f f T Af L f t t p = − ∈ = →0 lim

/ ada dan konvergen kuat

}

disebut dengan operator infinitesimal.

Berikut ini adalah Teorema Hille Yosida dan Akibatnya.

Teorema 2.2.7. Diberikan A D(A): →Lp operator linear D(A) ⊂Lp

adalah subruang linear di L . p Operator A adalah infinitesimal untuk semigrup kontraksi dan kontinu, adalah perlu dan cukup bahwa tiga kondisi berikut dipenuhi :

a) D(A) adalah rapat di L , yaitu setiap titik di p L adalah limit kuat dari barisan p

titik D(A)

b) Untuk setiap f ∈Lp terdapat solusi tunggal g∈ D(A) dari persamaan resolven

f Ag

g− =

λ

c) Untuk setiap g∈ D(A) dan λ>0 berlaku λg−Ag _Lp ≥λ g _Lp,

sehingga jika A memenuhi (a)-(c) maka semigrup yang berkaitan dengan A adalah tunggal dan diberikan oleh

f e f Tt tA λ λ→∞ =lim , f ∈Lp

dengan A_λ =λAR_λ dan R_λf =g(operator resolven) adalah solusi tunggal dari

f Ag

g− =

λ .

Akibat 2.2.8. Diberikan A D(A): →Lpadalah operator yang memenuhi (a)-(c) dari teorema Hille Yosida. Jika solusi R_λf =gdari (2.2.7) sedemikian sehingga

λ

λR adalah operator Markov, maka

{ }

Tt _t≥0dibangkitkan oleh semigrup kontinu

dari operator Markov.

Untuk λR operator Markov cukup diperiksa untuk kondisi (a) dan (b) dari _λ teorema Hille-Yosida , untuk kondisi (c) otomatis dipenuhi. Karena dengan mengambil f =λg−Ag , ketidaksamaan p p

L

L R f

f ≥ λ _λ selalu dipenuhi jika

λ

λR operator Markov.

2.3 Solusi Persamaan Diferensial Boltzmann Linear

Suatu persamaan diferensial yang berbentuk

) , ( ) , ( ) , ( x t Pu x t u t x t u _{=− +} ∂ ∂ (2.3.1) dengan kondisi awal u(0,x)= f(x) , disebut dengan persamaan diferensial Boltzmann Linear, dengan P adalah operator Perron-Frobenius yang berkaitan dengan transformasi nonsingular S:X →X , ( , ) ( )

0 x f P p x t u k k k

∑

∞₌ = dan

( )

t k k e k t t p = λ −λ ! ) ( .

Andaikan solusi u( xt, ) merupakan fungsi dari bilangan real positip R ke + L1

1 :R L

u + → . Sehingga persamaan diferensial (2.3.1) diatas dapat ditulis dalam bentuk

(

P I

)

u dt du − = (2.3.2) dengan P adalah operator Markov dan I adalah operator identitas.

Operator (P−I) memenuhi asumsi (a)-(c) dari teorema Hille Yosida. Karena

(

P−I

)

didefinisikan di L dan dengan mengambil D(A) =1 L maka sifat (a) 1

dipenuhi. Untuk memeriksa sifat b) Misalkan persamaaan resolven λf −Af =g

dengan A=P−I, sehingga diperoleh persamaan

(

λ+1

)

f −Pf =g. (2.3.3) Solusi Persamaan Diferensial 21

Persamaan (2.3.3) dapat diselesaikan dengan metode approksimasi suksesif. Untuk sebarang f didefinisikan ₀ f dengan _n

(

λ+1

)

f_n−Pf_n−1=g (2.3.4) Sehingga diperoleh

(

)

P f

(

)

P g f k n k k n n n 1 1 0 1 1 1 1 − =

∑

₊ + + = λ λ (2.3.5) Karena p _Lp L k g g

P ≤ dan deret dari norm p

L g konvergen maka

(

)

Pk g n k k 1 1 1 1 ₋ =

∑

_λ+ konvergen. Dan solusi tunggal f dari persamaan resolven (2.3.3) diberikan oleh

(

)

P g f g R f k k k n n 1 1 1 1 lim − ∞ = ∞ → =

∑

+ = = λ λ (2.3.6)

Untuk memeriksa persamaan diferensial Boltzmann linear memenuhi sifat c) dari teorema Hille-Yosida, integralkan persamaan (2.3.6) untuk memberikan

(

λ

)

µ µ λg x d P g x d R X k k k X ) ( 1 1 ) ( 1 1

∫

∑

∫

∞ − = + = =

(

)

∑

∞_{= +}

∫

1 ) ( 1 1 k _X k g x dµ λ =

∫

= X d x g λ µ λ 1 ) ( 1 . Sehingga diperoleh

( )

=1

∫

λRλg x dµ X _.

Karena λR linear, non negatif, dan mengawetkan integral maka _λ λR adalah _λ operator Markov. Sehingga sifat c) secara otomatis dipenuhi (Akibat 2.2.8). Dengan menggunakan teorema Hille Yosida dan Akibat 2.2.8, persamaan diferensial Boltzmann linear (2.3.1) membangkitkan semigrup kontinu dari Operator Markov

{ }

P_{t t≥0}.

Untuk menentukan rumus eksplisit ^ t P , andaikan f R I P f AR f A_λ =λ _λ =λ( − ) _λ = P I P f Pk f k k k k k 1 1 1 1 ( 1) 1 ) 1 ( 1 ) ( − ∞ = − ∞ =

∑

∑

− ₊ + − λ λ λ λ f Pf f A = = ∞ → λ λ lim .

Jadi dengan menggunakan teorema Hille-Yosida, semigrup tunggal yang berkaitan dengan A=(P−I) diberikan oleh

P f et(P I)f

^

−

= (2.3.7) dan solusi tunggal persamaan (2.3.7) dengan kondisi awal u(0,λ)= f(x) adalah

) ( ) , (t x e ( )f x u = t P−I .

3. KESIMPULAN DAN SARAN

3.1 Kesimpulan

Solusi persamaan diferensial Botzmann linear sebenarnya merupakan suatu titik tetap dari Operator Markov.

3.2 Saran

Tulisan ini hanya membahas pada P:L1→L1 , dengan Poperator Markov dan operator Perron-Frobenius yang bersesuaian dengan fungsi non singular

X X

S: → pada ruang ukuran ( X A, ), µ . Hal ini dapat dikembangkan dengan menggunakan P :L∞ →L∞ , P:Lp →Lp dengan 1< p<∞ dan P:Lp →Lq

dengan syarat p>q_.

4. DAFTAR PUSTAKA

Jain and Gupta,Lebesgue Measure and Integration, Wiley Eastern Limited,. 1986.

Kreyszeig, E 1978.

Introductory Functional Analysis With Applications,John Wiley and Sons,

Lasota, A. and Mackey, M.C.,

1994.

Chaos, Fractals, and Noise : Stochastic Aspect of Dinamic, Applied Mathematical Science, vol. 97, Springer-Verlag, New York,

Pazy, A.,

1983.

Semigroup of liniar Operatos and Applications to Partial Differential equations, Springer-Verlag, New York

Royden, H.L., Real Analysis, Third Edition, Macmillan, New York 1989. .,

,