Menggunakan Teorema Pythagoras Dalam pemecahan masalah

17  45 

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Teks penuh

(1)

Apa yang akan Anda pelajari :

* Menemukan kuadrat suatu bilangan

* Menemukan akar kuarat suatu bilangan * Mengklasifikasi bilangan real

• Menemukan Teorema Pythagoras yang berlaku pada segitiga siku-siku.

• Menuliskan Teorema Pythagoras dalam bentuk rumus pada sisi-sisi segitiga. Kosa kata:

* Kuadrat suatu bilangan

* Akar kuadrat suatu bilangan

Kata kunci:

* Segitiga siku-siku * Persegi

* Hipotenusa

* Teorema Pythagoras

LATIHAN 3.1.A

1. Artikan bentuk berikut dalam bentuk perkalian a. 32 b. -(0,3)2 c. (

2 1

)2 d. (-k)2 e. (ab)2 f. (

a c

) 2

2. Hitunglah

a. 72 b. (-3)2 c. – (4,5)2 d. ( 4 1

)2 e. ( 2 3

)2 f. 182 3. Jika x = 8 dan y = 3, nilai dari ( x + y )2 + ( x 2 – y2 ) adalah ...

4. Sebuah parkir perkantoran berbentuk persegi , jika dipasang tegel yang bentuknya STANDAR KOMPETENSI :

3.

Menggunakan Teorema Pythagoras Dalam

pemecahan masalah

KOMPETENSI DASAR :

3.1

Menggunakan teorema Pythagoras untuk

menentukan panjang sisi-sisi segitiga siku-

siku

Sebelum Anda mempelajari tentang teorema Pythagoras, terlebih dahulu marilah kita ulangi lagi tentang kuadrat dan akar kuadrat suatu bilangan yang telah Anda pelajari pada kelas VII semester 1 yang lalu.

A. Kuadrat suatu bilangan.

Kuadrat dari 5 adalah 52 = ... x ... = ...

Kuadrat dari 6 adalah ... = ... x ... = ...

Kuadrat dari -5 adalah ... = ... x ... = ...

Kuadrat dari 2,5 adalah ... = ... x ... = ...

Kuadrat dari -3,25 adalah ... = ... x ... = Kesimpulan:

(2)

persegi dengan ukuran sisinya 20 cm dibutuhkan 500 buah tegel. Maka luas parkir tersebut adalah ...

B. Akar kuadrat suatu bilangan

Akar kuadrat adalah operasi yang merupakan invers dari pengkuadratan. Semua bilangan yang akan ditentukan akarnya pada pembelajaran ini dibatasi hanya bilangan positif dan nol.

Contoh :

9 = 3, karena 32 = 9, 4 = 2, karena 22 = 4

Anda dapat dengan mudah menentukan nilai akar dari bilangan - bilangan di atas, karena nilai akarnya tepat bulat.

Tetapi bagaimana dengan 8 , 2,5? Apakah nilai akarnya bulat? Untuk menentukan nilai akar kuadrat suatu bilangan yang hasilnya tidak bulat dapat dilakukan dengan lima cara:

1. Memperkirakan

2 Menggunakan tabel akar kuadrat

3. Membaca Grafik f : x x2

4. Menggunakan kalkulator

5. Dengan menghitung

Dari lima cara tersebut yang paling baik dan praktis adalah dengan menggunakan kalkulator.

Adapun yang akan dibahas pada buku ini adalah dengan memperkirakan, dengan tabel, dengan

kalkulator, dan dengan menghitung.

1. Memperkirakan.

Bagaimana cara menetukan 55 ?

Caranya adalah sebagai berikut:

Buatlah garis bilangan pertama dengan skala 49 sampai dengan 64, karena 55 dekat dengan

bilangan kuadrat 49 dan 64

Buatlah garis bilangan kedua yang panjangnya sama dengan yang pertama dengan skala 7

sampai dengan 8 sedemikian rupa sehingga bilangan 7 berpedoman dengan 49 dan

bilangan 8 berpedoman dengan bilangan 64

Buatlah skala pada garis bilangan kedua ( antara 7 dan 8 ) sebanyak skala pada garis

(3)

I 49 55 64

II

7 7

15 6

8

Gambar 3.1.1

Jadi, nilai dari 55 adalah pada garis bilangan kedua yang berpedoman dengan bilangan 55

pada garis bilangan pertama. Bilangan tersebut adalah 7156 .

Mengapa demikian?

Nilai akar kuadrat suatu bilangan dapat diperkirakan dengan menentukan taksiran terendah

dan taksiran tertinggi dari akar kuadrat tersebut.

Jika a < b < c, sedangkan nilai a= n dan c= m maka perkiraan nilai b adalah :

Contoh :

Carilah nilai 65 dengan memperkirakan

Jawab :

65 terletak diantara 64 dan 81 atau 64 < 65 < 81 , sedang 64 = 8 dan 81 =9 maka

perkiraan 65 = 64 +

64 81

64 65

− −

= 8

7 1

8,143

Tentukan nilai akar kuadrat 75 dengan cara seperti di atas !

2. Menggunakan Tabel Akar Kuadrat.

Perhatikan sebagian tabel akar kuadrat pada Gambar 3.1.2 berikut:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a c

a b a b

(4)

1,0

1,1

1,2

1,3

1,6

1,9

1,000 ,005 ,010 ,015 ,020 ,025

,049 ,054 ,058 ,063 ,068 ,072

,095 ,100 ,105 ,109 ,114 ,118

,140 ,145 ,149 ,153 ,158 ,162

,265 ,269 ,273 ,277 ,281 ,285

,378 ,382 ,386 ,389 ,393

Gambar 3.1.2

Tabel di atas dapat kita gunakan untuk menentukan akar kuadrat bilangan dari 1,00 sampai 1,99

ke tiga tempat desimal.

Contoh : Tentukan nilai dari 1,93

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Perhatikan baris 1,9. Di sana terdapat bilangan-bilangan 1,378; 1,382; 1,386;

1,389; 1,393

2. Perhatikan kolom ketiga. Di sana terdapat bilangan-bilangan 1,015; 1,063 ; 1,109;

1,153; 1,277; 1,389.

3. Bilangan yang tepat berada pada baris 1,9 dan kolom 3 adalah 1,389.

Bilangan tersebut adalah nilai dari 1,93

Dengan cara yang sama tentukan nilai dari 1,65 dan 1,34

Untuk menentukan akar kuadrat dari bilangan - bilangan yang kurang dari 1 atau lebih dari 10,

perhatikan kembali sifat -sifat perkalian dan pembagian dalam bentuk akar yang sudah Anda

(5)

Contoh : Untuk setiap bilangan positif a dan b

berlaku sifat-sifat berikut : Jika = 1,35= 1,162,dan 13,5=3,674 tentukan :

1. a x b = axb= ab a. 135 b. 0,000135

2. a : b = a:b atau Penyelesaian:

b a

=

b a

a. 135 = 1,35x100

= 1,35 x 100

= 1,162 x 10 = 11,62

b. 0,000135 = 1,35:10000

= 1,35 : 10000

= 1,162 : 100

= 0,01162

Mengapa 0,000135 tidak dirubah menjadi 13,5:100000 ? Jelaskan !

Coba tentukan 0,0135

3. Menggunakan Kalkulator

Misal kita hendak menentukan nilai 135,45, maka caranya sebagai berikut:

• Aktifkan kalkulator dengan menekan tombol ON sehingga pada layar muncul tampilan ON DEG

0

* Selanjutnya tekan tombol-tombol berikut :

1 3 5 . 4 5 INV

* Pada layar akan muncul tampilan bilangan ...

• Ini berarti 135,45 = ...

Jika dibulatkan sampai dua tempat desimal, maka ...

(6)

Contoh:

0000000000 ,

47 = 6,855...

6 x 6 = 36 1 1 00 128 x 8 = 1 0 24 - 7600

1365 x 5 = 6825 -

77500

13705 x 5 = 68525 897500

13710 ... x ... = ... - ... LATIHAN 3.1.B

1. Tentukan nilai dari masing-masing bilangan bentuk akar berikut :

a. √4 b. √36 c. √64 d. √49 e. -√9 f. √144 g. √

9 4

h. -√64

2. Tentukan nilai dari bilangan-bilangan bentuk akar berikut dengan memperkirakan

a. √7 b. √2 c. √42 d.-√180

e. √43 f.- √98 g.- √55 h. √105

3. Jika 3,65 =1,91 dan 36,5= 6,04 tentukanlah

a. 365 b. 36500 c. 36500000 d. 0,0365 e. 0,000365 f. 0,365

4. Tentukan nilai akar kuadrat bilangan-bilangan ini dengan menghitung

a. 23,45 b.123 c. 975,897

(7)

A

6. Dari bilangan-bilangan di bawah ini manakah yang rasional dan irrasional

a. √0 b. 4,10100510.. c. √87 d. - √ 16

e. √36,5 f. √5 g. 2,2 h. 0,3245...

7. Berfikir kritis. Bilangan mana yang Anda dapatkan jika Anda mengkuadratkan √x

8. 0pen ended. Carilah tiga bilangan irrasional di antara 9 dan 10

9. Menulis. Kemarin pada saat pelajaran tentang akar kuadrat, ada satu teman Anda yang tidak

masuk. Jelaskan padanya bagaimana cara menentukan nilai √30 dengan memperkirakan.

10. √50 = 25x2 = √25 x √2 = 5 √2. Kerjakan seperti contoh di atas untuk masing-masing

bentuk akar berikut :

a. 27 b. 200 c. 7500 d. 480000

11. Carilah dua bilangan bulat yang memenuhi persamaan ini

a. a2 = 9 b. x2 = 25 c. m2 =

25 100

C. Menemukan Teorema Pythagoras. Perhatikan permasalahan berikut!

Rina mula-mula berada pada tempat A, kemudian berjalan ke arah selatan sejauh 4 meter di

tempat B, dilanjutkan ke arah timur sejauh 3 meter di tempat C. Rina ingin berjalan dari tempat

A ke tempat C tidak melalui tempat B. Berapa meter jarak tempat A ke tempat C ?

Jika 1 kotak mewakili 1 meter, maka perjalanan Rina dapat digambarkan sebagai berikut :

Gambar 3.1.3

C B

T B

S

(8)

Gambar 3.1.5

B A

C

Kuning

Merah

Biru

Untuk menentukan jarak yang ditempuh Rina dari tempat A ke tempat C, dapat kita gunakan

kertas berpetak sebagai bantuan, seperti Gambar 3.1.4 .

Pada gambar di atas sisi siku-sikunya adalah AB dan BC, sedang hipotenusanya adalahAC.

Perhatikan ∆ABC di atas. Apakah hipotenusanya lebih panjang dari sisi-sisi siku-sikunya? Selanjutnya, marilah kita pelajari bagaimana cara menemukan Teorema Pythagoras.

Perhatikan Gambar 3.1.5 di bawah ini!

Perhatikan luas tiga persegi tersebut! Apakah jumlah dua luas persegi kecil sama dengan luas

persegi terbesar? Diskusikan!

Selanjutnya lakukan kegiatan berikut ini!

1. Gambarlah segitiga siku-siku DEF pada kertas berpetak dengan panjang sisi DE= 6

satuan, panjang EF= 8 satuan. Sedang DE dan EFsaling tegak lurus di titik E

a. Berapakah panjang hipotenusa ∆DEF?

b. Gambarlah persegi-persegi dengan sisi EF, DE, dan DF.

c. Tentukan luas masing-masing persegi tersebut.

Perhatikan gambar di samping. Dengan menghitung banyak kotak, berapakah panjang AC?

Pada segitiga siku-siku, sisi-sisinya terdiri dari sisi yang saling tegak lurus yang disebut sisi siku- siku dan satu sisi di hadapan sudut siku-siku disebut hipotenusa.

Berapa luas persegi dengan sisi AB= 4 kotak, pada kertas warna merah?

Berapa luas persegi dengan sisi BC = 3 kotak, dengan warna biru?

Berapa luas persegi dengan sisi AC = 5 kotak, dengan warna kuning?

Gunting dan tempelkan ketiga persegi tersebut sehingga berimpit dengan sisi-sisi

∆ABC.

B A

C

(9)

d. Apakah luas persegi-luas persegi pada sisi siku-sikunya jika dijumlahkan

hasilnya sama dengan luas persegi pada hipotenusanya?

2. Pada kertas bertitik berikut ini, tentukan luas dari masing-masing gambar!

3.

1

2

2

1

2

1 2

1

Segitiga a

Segitiga c Segitiga d

Segitiga b

(10)

Kesimpulan :

Pada segitiga siku-siku, jumlah luas persegi pada sisi-sisi siku-sikunya sama dengan luas persegi pada sisi terpanjangnya (hipotenusa )

Pada segitiga siku-siku berlaku jumlah kuadrat sisi siku-sikunya sama dengan kuadrat hipotenusanya.

Persegi besar mempunyi panjang sisi(a+b), di dalamnya terdapat persegi kecil yang panjang sisinya c dan empat buah segitiga siku-siku yang kongruen dengan panjang sisi siku-siku-siku-sikunya a dan b

sedang sisi miringnya c.

Luas persegi besar = (a+b)2= (a+b)(a+b) = (a+b)a+(a+b)b = a2+ab +ab+b2 = a2 +2ab+b2...(1)

Luas empat segitiga di dalamnya = 4 x

2 1

a b= 2ab

Luas persegi kecil = c2 a c

Luas persegi besar = 2ab + c2...(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh a2 +2ab+b2=2ab + c2 b a2+b2 = c2

Tentukan luas masing-masing persegi pada bangun di atas dan isikan ke dalam tabel berikut!

Segitiga Luas persegi 1 Luas persegi 2 Jumlah luas persegi 1 dan 2

Luas persegi sisi hipotenusa a

b c d

Apa yang dapat Anda simpulkan dari kegiatan di atas?

Teorema Pythagoras dapat dibuktikan juga dengan bangun persegi seperti Gambar 3.1.7. di bawah ini.

a b

b c c a

a c

c b

b a

Gambar 3.1.7

Karena luas persegi merupakan bentuk kuadrat, maka dapat disimpulkan juga :

Kesimpulan di atas disebut Teorema Pythagoras.

Selain dengan kata-kata, teorema Pythagoras dapat pula dinyatakan dalam bentuk rumus.

(11)

Teorema Pythagoras Pada ABC berlaku:

Jika BAC siku-siku, maka a2 = b2 + c2 Jika ABC siku-siku, maka b2 = a2 + c2 Jika ACB siku-siku, maka c2 = a2 + b2

.

REKREASI

Menentukan sepuluh bilangan Tripel Pythagoras dengan mengambil bilangan m dan n memenuhi

syarat sebagai berikut :

1. Jika m genap, n ganjil

2. Jika m ganjil, n genap

3. Bilangan m dan n merupakan prima relatif ( FPB m dan n adalah 1)

4. m > n

No m n m2 n2 2mn m2 + n2 m2 - n2 Tripel Pythagoras

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 4 5 5 6 6 7 7

1 2 1 3 2 4 1 5 2 4

4 1 4 5 3 ( 3, 4, 5 )

Sisi di hadapan titik P diberi nama sisi p.

Sisi di hadapan titik Q diberi nama sisi q. Sisi di hadapan titik

R diberi nama sisi r. Menurut Teorema Pythagoras berlaku : PQ2 + QR2 = PR2 atau

r2 + p2 = q2 .

Tiga bilangan yang memenuhi Teorema Pythagoras disebut Tripel Pythagoras.

Contoh:

Bilangan-bilangan 3, 4, dan 5 disebut tripel Pythagoras, sebab 52 = 32 + 42.

r p

P R

q

Q

(12)

Kebalikan Teorema Pythagoras

1. Gunakan teorema Pythagoras untuk menemukan panjang garis pada masing-masing gambar berikut !

2. Sebutkan sisi-sisi siku-siku dan hipotenusa dari segitiga-segitiga berikut :

.

3. Tentukan panjang hipotenusa dari segitiga-segitiga siku-siku yang panjang sisi-sisinya

sebagai berikut :

a. 13, 12, dan 5 b. 5, 4, dan 3 c. 8, 15, dan 17 d. 3p, 4p, dan 5p

4. Tulislah Teorema Pythagoras dalam bentuk rumus, dari segitiga-segitiga siku-siku di

(13)

1 1

e d c b

a

1

1

1

1

5.Manakah pasangan di bawah ini yang merupakan tripel Pythagoras?

a. 7, 24, dan 25 b. 12, 24, dan 26 c. 28, 21, dan 35

d. 11, 60, dan 61 e. 8, 9, dan 15 f. 10, 22, dan 26.

6. a. Apakah bilangan-bilangan 3, 4, dan 5 merupakan tripel Pythagoras?

b. Apakah bilangan-bilangan 6, 8, dan 10 merupakan tripel Pythagoras?

c. Adakah hubungan antara bilangan-bilangan pada 6a dan 6b?

d. Dapatkah Anda menemukan tripel Pythagoras yang lain tetapi ada hubungan dengan

bilangan-bilangan pada 6a?

7.Tentukan panjang sisi- sisi a, b, c, d, dan e

1

8.Tentukan panjang sisi-sisi a, b, c, d, e pada gambar di bawah ini !

9.Tentukan panjang sisi yang belum diketahui

1 1

e d c b

a

c. 5

3

z

40

96 b.

p

a.

8 17

k

6 d.

m

(14)

Apa yang akan Anda pelajari :

* Menemukan jarak antara dua titik dengan mengunakan rumus

* Menemukan titik tengah dari segmen garis dengan

menggunakan rumus

10. Pada gambar segitiga siku-siku di bawah ini, hitunglah nilai x

a. 2x b.

4x

13 12 5x

12

11. Pada suatu segitiga siku-siku diketahui panjang sisi miringnya sama dengan 13 cm.

Tentukan panjang dua sisi siku-sikunya!

12.Pada suatu segitiga diketahui panjang salah satu sisinya adalah 9 cm. Tentukan panjang sisi

sisi lainnya agar segitiga tersebut siku-siku.

D.Rumus jarak dan titik tengah dari segmen garis pada koordinat cartesius

1. Menemukan rumus jarak

Pada grafik di sebelah kanan, y B (7,3)

Anda dapat menggambar titik A(2,1)

C(7,1) untuk membentuk C(7,1)

segitiga siku-siku dengan titik x A dan B. Dengan menggunakan

Teorema Pythagoras Anda dapat menemukan jarak AB. (AB)2=(AC)2+(BC)2

(AB)2=(7-2)2+(3-1)2

(AB)2=52+22

AB = 25+4= 29 ≈5,4

Anda dapat menggunakan teorema Pythagoras untuk menemukan panjang segmen garis pada

koordinat cartesius, atau dengan menggunakan rumus jarak.

Jarak antara dua titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah

d = (x2x1)2+(y2y1)2

Contoh:

Tentukan jarak antara titik A ( 6,3) dan B (1,9)

(15)

d≈7,8

Jadi jarak antara dua titik kira-kira 7,8.

Coba cari jarak antara dua titik pada masing-masing pasangan . Bulatkan sampai satu tempat

desimal.

1. (3,8), (2,4) 2.(10,3),(1,0)

2. Menemukan rumus titik tengah dari segmen garis

Titik tengah dari segmen garis ABadalah sebuah titik M yang terletak diantara titik A dan titik B dimana AM = MB. Kamu

dapat menemukan rumus mencari koordinat titik tengah A dan

B sebagai berikut :

M + + 2 2

, 1 2

2

1 x y y

x

Contoh :

Carilah titik tengah dari segmen garis GH dengan G( -3,2) dan H (7,2) dengan menggunakan rumus

jarak.

Jawab : − + + 2

2 2 , 2

7 3

= ( 2,2) . Jadi koordinat titik tengah segmen garis GH adalah ( 2,2)

LATIHAN 3.1.D

1. Carilah jarak diantara pasangan titik-titik di bawah ini sampai satu tempat desimal

a. (1,5) , (5,2) b. (7,0), (-7,5) c.(8,-1),(-5,11) d. (12,3),(-12,4)

2. Carilah koordinat titik tengah pada masing-masing segmen garis yang pasangan titik-

titiknya di bawah ini ;

a.Z (3,5) dan M95,-3) b. K(-2,0) dan L(7,-8) c.G(9,12) dan S (-9,-12)

d.B(10,-8) dan E(7,-7) e.L(23,4) dan (-2,16) f. D(3,4 , 6,5) dan (-2,1 , 3)

3. Carilah panjang sisi-sisi pada masing-masing gambar di bawah ini ! y

6- y • B F • 3

3- A• -8 • E -5 G •-2 0 x

• H -3

(16)

Latihan ulangan KD 3.1.

12.Dengan menggunakan perkiraan nilai dari 43 dan 700 adalah... a.6,45 dan 23,83 c. 6,54 dan 26,54 b.6,54 dan 26,45 d. 6,94 dan 27

(17)

16.Nilai dari 64

64 1024

× adalah...

a. 2 b. 1 c.

2 1

d.

4 1

17. Sebuah segitiga ABC siku-siku di B, Jika AB = 12 cm dan BC = 9 cm maka

panjang AC =...

a. 11cm b. 13cm c. 15 cm d.17 cm

18. x,y,z adalah tiga bilangan yang

merupakan tripel Pythagoras, jika x = 20 dan y = 48, maka nilai z adalah... a. 52 b. 56 c. 60 d. 62

19. Berikut adalah merupakan empat pasangan bilangan.

I=(2,5,6) II=(3,4,5) III=(5,12,13) IV=(9,12,15).Yang termasuk pasangan tiga bilangan triple Pythagoras adalah... a. I, II, III c. I, III, IV

b. I, II, IV d. II,III, IV 20. Diketahui empat buah segitiga dengan panjang sisi-sisinya sebagai berikut : I. 6cm, 8cm, dan 10cm

II. 8,5cm 8,4cm dan 1,3 cm III. 5cm, 12cm dan 13cm IV. 4cm, 6cm, dan 8 cm

Dari keempat segitiga tersebut yang merupakan segitiga siku-siku adalah... a. I,II, III c. I,III,IV

b. I,II,IV d. II,III,IV

21. Jika 6 dan ( x - 1) adalah dua sisi penyiku segitiga dengan (x + 1) sebagai sisi hipotenusanya, maka nilai x yang mungkin adalah....

a.8 b.9 c.10 d.12

22. Jarak antara dua titik A(-11,7) dan B (1,-2) adalah...

a. 17 satuan c. 15 satuan b. 13 satuan d. 10 satuan

23. Diketahui jarak antara titik A( a,6 ) dan titik B ( 10,21) adalah 17 satuan. Maka nilai a adalah ...

a. -10 b. -20 c. 10 d. 20

24. Diketahui titik P ( -2,-3) dan titik Q( -4,5) maka koordinat titik tengan segmen garis PQ adalah...

a. (-1,1) b. (1,3) c. (-3,2) d.(-3,1)

25. Diketehui tiga himpunan yang masing- masing terdiri dari tiga bilangan sebagai berikut :

I. {x,12,13 } II. {9,y,41} III. {4;7,5; z} Agar ketiga himpunan dengan tiga bilangan tersebut merupakan tripel Pythagoras, nilai x,y dan z secara berturut-turut adalah... a.9;80;16,2 c.5;40;8,5

Figur

Gambar 3.1.2
Gambar 3 1 2 . View in document p.4
Gambar 3.1.6
Gambar 3 1 6 . View in document p.9
Gambar 3.1.8
Gambar 3 1 8 . View in document p.11

Referensi

Memperbarui...