b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ

BAB 4 VEKTOR Standar Kompetensi:

3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi Kompetensi Dasar:

3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vaktor dalam pemecahan masalah 3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam

pemecahan masalah

Alokasi waktu: 22 jam pelajaran Dilaksanakan : Pert 30 s/d 41

Pertemuen ke-30 s/d 32 Rangkuman Materi

Vektor adalah besaran yang memiliki besar/panjang dan arah a. Lambang vektor : anak panah

- Arah avektor sesuai arah panah

- Panjang vektor sesuai panjang anak panah

b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ

- Panjang vektor a dinotasikan a  atau PQ

A. Vektor di Ruang Dua

1. Vektor di ruang dua adalah vektor yang terdiri dari dua komponen Misalnya: Suatu vektor Bertitik awal di pusat koordinat O (0,0) dan berujung dititik A (x, y) dapat dinyatakan dalam bentuk

- Vektor baris : QA = a = (x, y) - Vektor kolom: OA =a = _      y x

- Vektor basis : OA = a= xi+xj 2. Vektor posisi

Jika diketahui titik A(x1, y1) dan B (x2, y2) maka:

Q P

- Vektor posisi titik A adalah : a = _      1 1 y x

- Vektor posisi titik B adalah : a = _      2 2 y x

- Vektor posisi titik AB adalah : BA = b a= _        1 2 1 2 y y x x 3. Vektor satuan

Vektor satuan dari a adalah vektor yang searah dengan a dan panjangnya satu satuan.

- Notasi : vektor satuan dari a adalah

a a a ˆ

4. Vektor nol

Vektor yang panjangnya nol dan arahnya tak tentu, dilambangkan dengan 0

5. Hubungan dua vektor

- Kesamaan dua vektor : vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama

- Dua vektor berlawanan: vektor dikatakan berlawanan jika besar sama tapi arahnya berlawanan

Misalnya: AB BA

6. Operasi aljabar vektor a. Penjumlahan vektor

Diketahui dua vektor

Maka a + b adalah:

- Cara segitiga Cara jajaran genjang

a b b a  a b b a b a

b. Sifat-sifat penjumlahan vektor - Kumutatif : a + b = b + a - Asosiatif : (a +b ) + - Identitas : a o a - Invers : a (a)o c. Pengurangan vektor: ab ( b ) 7. Perkalian vektor dengan skalar

Hasil kali vektor a dengan skalar k adalah vektor ka yang arahnya sama dengan a dan panjangnya k kali a

Sifat-sifat perkalian skalar: -

 

k a k(a)ka -

 

k (a)ka - k(la) = (kl) a - (k+l)a = ka +la - k



a )b kakb



Contoh: Diketahui : a =                        2 4 1 2 , 3 6 c dan b Tentukan: a. 2a - b + 3c b. –a + 2b - 2c Jawab: a.                        2 4 3 1 2 3 6 2 =                                13 26 6 12 1 2 6 12 b.                         2 4 2 1 2 2 3 6 =                                9 18 4 8 2 4 3 6

8. Perkalian skalar dua vektor (dot product)

a. Jika a = x1i + y1j dan b = y2j maka a . b = x1 x2 + y1 y2 b. Jika diketahui a, b, dan < a ,b = 60o

Contoh: Diketahui : 0 60 , 4 3 , 3      b i jdan a b a Tentukan: a.b Jawab: a.b= a b cos  = 3 . 5 . cos 60o = 2 15 9. Panjang/lebar vektor a. Jika AB = _        1 2 1 2 y y x x maka 2 1 2 2 1 2 ) ( ) (x x y y AB    Jika a xiyj maka a  x2 y2 Contoh:

Jika titik A(-3,-1) dan B(1,-4) tentukan AB

AB = (3)2 (14)2  169 5 b. Resultan dua vektor

Jika panjang vektor a adalah a dan panjang vektor b adalah b maka: 1) ab 2. a 2  b 2 2a b cos Keterangan: a b  panjang (a b ) 2) ab 2. a 2  b 2 2a b cos Keterangan: a b  panjang (a b ) b a  b a  a  a _b

Lembar Kerja Siswa

Isilah titik-titik di bawah ini dengan benar! 1. Jika titik A(-5,2), B(-2,6) maka tentukan:

a. vektor posisi OA, OB dan AB b. Panjang vektor AB Jawab: a. OA= _      ... ... , _       ... ... OB , ABOBOA = _                    ... ... ... ... ... ... b. AB  (...)2(...)2  ......

2. Diketahui vektor a = 2c + 3j dan b = 3i – 2j tentukan a. a  (...)2(...)2  ...... b  (...)2 (...)2  ...... b. cos < a,b  ... ... ... ... ... .    b a b a < a ,b = ….. Latihan

A. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d atau e pada jawabn yang paling benar! 1. Koordinat titik P (-2, 5) dan vektor PQ4 i 2j maka koordinat titik Q

adalah….. a. (-6, 8) b. (-2,-2) c. (2,8) d. (-6,2) e. (2,2)

2. Perhatikan persegi panjang ABCD di bawah ini! Titik E adalah titik tengah AB. Jika vektor AB = p dan AD q maka vektor AO diwakilkan oleh …..

a. p q 2 1 2 1  b. p q 3 1 3 1  c. p q 3 1 3 2  d. p q 3 2 3 2 _ e. p q 4 1 4 1 _

3. Tentukan titik A(-3,5), B(1,-7), C(x,1) dan D(2,y). Jika vektor yang diwakili oleh AB berlawanan dengan DC , maka nilai x + y adalah…. a. -18

b. -13 c. 9 d. 13 e. 18

4. Vektor a (x1)i2j dan b = -i+xj, jika 2a . b = -6 maka nilai x2-x =… a. 2 b. 4 c. 6 d. -2 e. -6 A D C B E O

5. Diketahui 2 vektor p = 3i – (2x1)j dan q = 6i = 2j, jika vektor p sejajar dengan vektor q maka panjang vektor P = …..

a. 1 b. 4 c. 5 d. 9 e. 10 6. Jika _               15 1 , 7 16 AC

AB dan koordinat titik C (-5,3) maka koordinat titik B adalah…. a. (12,-19) b. (-4,-12) c. (-12,19) d. (4,-12) e. (12,19)

7. Diketahui a  xi2j dan b i j jika p a b dan p = 5, maka nilai x adalah…. a. -4 atau 4 b. -4 atau 3 c. -3 atau 5 d. -3 atau 4 e. -5 atau 3

8. Jika titik P (2,1), Q(-1,3) dan R (-1,3) maka PQ.PR adalah….. a. -13

b. -1 c. 1 d. 11 e. 13

9. Vektor p3 i 2j, q  xi5j, r  2iyj membentuk sebuah segitiga maka nilai x – 2y = …. a. 11 b. 6 c. 2 d. 1 e. -1

10. Jika p2i j,q i3j dan r  2pq maka r adalah…. a. 2

b. 3 c. 10 d. 11 e. 2 3

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!

1. Diketahui jajaran genjang ABCD, titik P dan DC sehingga DP = DC = 1 : 2 dan Q titik tengah BC. Jika a,b,c dan d berturut-turut merupakan vektor posisi titik A, B, C dan D maka tentukan:

a. Vektor AP

b. Vektor D,Q dalam a,b,c dan d

2. Segitiga PQR, koordinat titik P(-5,1), vektor PQ = 7i – 4j dan QR i5j tentukan:

a. Koordinat titik Q dan R b. Vektor posisi PR

3. Koordinat titik P(5,-7), Q(-1,2) jika 3PR = 2PQ, tentukan a. PR.PQ

4. Segitiga ABC, AB ,P ACq, jika titik D pada BC dimana BD : DC = 3 : 2 maka tentukan vektor AD dalam P dan q

Pertemuan 33 s/d 35 Rangkuman Materi

B. Sistem koordinat titik di ruang tiga (R)

Sistem koordinat titik diruang tiga digunakan tiga sumbu koordinat x, y, dan z yang saling tegak lurus dengan posisi sumbu-sumbunya mengikuti aturan tangan kanan, seperti gambar berikut:

atau

Koordinat x, y, dan z ditentukan oleh berapa jaraknya terhadap bidang: 1. zoy : koordinat x disebut absis

2. xoz : koordinat y disebut ordinat 3. xoy : koordinat z disebut aplikat

1. Penulisan vektor di ruang tiga (R3)

Diketahui vektor a dengan komponen-komponen x, y, z ditulis dalam:

a. vektor kolom :            z y x a

b. vektor baris : a (xyz) c. Basis vektor : a xi yizk

(i, j dan k vektor satuan pada sumbu x, y dan z) z

y

x x

z

2. Rumus-rumus pada vektor di R3

a. Diketahui titik P(x, y, z) dan Q (x2, y2, z2) maka vektor posisi dari: 1) titik P : p (x₁,y₁,z₁) 2) titik Q : q (x₂,y₂,z₂) 3)                 1 2 1 2 1 2 z z y y x x p q PQ

b. Panjang vektor a = xi + yj + zk adalah : a  x2 y2 z2

Panjang vektor               1 2 1 2 1 2 z z y y x x PQ adalah 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( ) (x x y y z z PQ      

c. Hal-hal lain yang berlaku pada vektor di R2 berlaku juga pada vektor si R3 3. Rumus pembagian ruas garis

a. Titik P menjadi di dalam ruas garis AB

Perbandingannya = AP = PB = m : n

A P B

b. Titik P membagi di luar garis AB

 AP : PB = m : n

A B P

c. Rumus pembagian ruas garis AB

A P B m n m -n m n O p b a

- Jika diketahui vektor a dan b maka vektor p adalah: n m nb ma p   

- Jika diketahui koordinat titik A dan B maka koordinat titik P (xp,yp,zp) adalah: n m nz mz z n m ny my y n m nx mx x B A p A B p A B p _         ; ;

4. Tiga titik yang segaris (kolinier)

a. Tiga titik A, B, dan C dikatakan segaris (kolinier) jika dipenuhi:

AB = k AC atau AB = k BC atau AC = k BC dengan k bilangan real b. Dua vektor a dan b dikatakan segaris atau sejajar jika dipenuhi

A = kb atau b = ka, elemen bilangan real 5. Tiga titik yang sebidang (koplanar)

Tiga titik A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), dan (x3, y3, z3), dikatakan sebidang atau coplanar jika dipenuhi:

Jika dipenuhi: 3 3 3 2 2 2 1 1 1 z y x z y x z y x

= 0 (diterminan matrik ordo tiga)

6. Titik berat dari sebuah segitiga

Jika diketahui segitiga ABC dengan A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), dan C(x3, y3, z3) maka koordinat titik berat segitiga tersebut adalah Z(xz, yz, zz)

) ( 3 1 3 2 1 x x x x_z    ) ( 3 1 3 2 1 y y y y_z    ) ( 3 1 3 2 1 z z z z_z   

Lembar Kerja Siswa

1. Diketahui titik P (x+1, 1,-2), Q (2,y-2, 2) dan R (5, -3, -10) Jika P, Q dan R kolinier tentukan nilai x + y !

Jawab: P, Q, R kolinier berarti PR kQR

) (r q k p r                            2 10 .. ... .. ... .. ... .. ... 1 5 k x                      .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... k ….. = k (……) k = ……. ……. = ……. ……. = ……. x = ……. y = ……. Jadi x + y = ……

2. Segitiga PQR, titik P(1,2,3). Q(2,8,3) dan R (2,-1,3) jika titik A pada QR sehingga QA : QR = 1 : 3 tentukan vektor PA.

Jawab: 1 2 . 1 . 2    PR PQ PA = ... ... ... ... ... ... ... .... ... 2 1 ... ... 2                             P R A Q 1 2

= ... ... ... ... ... ... ...                      = ... ... ... ...           =           ... ... ... Pelatuhan 15

A. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d atau e pada jawaban yang paling benar! 1. Koordinat titik P (2,-3,1), vektor posisi PQ = -3i + 5j + 4k dan OR = I +4j +

4k maka panjang vektor QR adalah…. a. 3

b. 6 c. 3 d. 2 3

2. Diketahui ruas garis AB dengan A(-3,1,-3) dan B(3,-2,6) jika titik c diperpanjangan AB dan AB AC

4 3

 maka koordinat titik c adalah…. a. (5,-3,9)

b. (5,-5,8) c. (11,-3,9) d. (11,-5,9) e. (5,03,15)

3. Segitiga ABC dengan A(-2,1,-3), B(x, y, z) dan C(3, 1, 3) jika titik berat ABC adalah Z(2, -1, 2) maka nilai x + y + z = …..

b. 4 c. 5 d. 6 e. 7

4. Diketahui P(1, -2, -1), Q(6, 3, 4) dan R(a, b, 2) jika R membagi PQ di dalam dengan perbandingan m : n, maka nilai a dan b adalah …..

a. 1 dan 4 b. 4 dan 1 c. -4 dan 1 d. 4 dan -1 e. -4 dan -1