RESUME 11.18
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
Luluk Makziyah (H72216034)
Siti Tarwiyatul Fifi I. (H72216045)
Putri Wulandari ( H72216063)
PERTUMBUHAN
POPULASI UMUR – TERTENTU
Model Leslie merupakan salah satu model pertumbuhan populasi yang paling umum digunakan. Model ini menjelaskan pertumbuhan jenis kelamin perempuan pada populasi hewan atau manusia yang dibagi menjadi beberapa kelas umur dalam durasi waktu yang sama.
Umur maksimum yang dicapai sebarang perempuan dalam suatu populasi dianggap sebagai L tahun (atau dalam satuan waktu lainnya). Kemudian populasi
tersebut dibagi menjadi n kelas umur. Maka, tiap-tiap kelas mempunyai durasi L/
n tahun.
Kelas Umur Interval Umur
1 2 3
⋮ n - 1
n
[ 0, L/ n ]
[ L/ n , 2L/ n ]
[ 2L/ n , 3L/ n ]
⋮
[ ( n - 2)L/ n , ( n
- 1)L/ n ]
[ ( n - 1)L/ n , L ]
Pada waktu t = 0, terdapat x1 (0)
perempuan pada kelas pertama, x2 (0)
perempuan pada kelas kedua, dan seterusnya. Hingga dengan n bilangan membentuk
vektor kolom yang disebut vektor distribusi umur awal.
x(0)=
[
x1(0) x2(0) ⋮ xn(0)
]
Pada Model Leslie, durasi antara dua waktu observasi yang berurutan sama dengan durasi interval umur.
t0=0
t1=¿ L/ n ] t2=¿ 2L/ n ]
⋮
tk=k L/ n ] ⋮
Dengan asumsi diatas, seluruh perempuan pada kelas ke - (i+1) pada waktu
tk+1 sebelumnya berada pada kelas ke - i pada waktu tk . Proses kelahiran dan
kematian, dijelaskan dengan parameter demografi berikut. ai
( i = 1, 2, ..., n )
Rata-rata jumlah anak perempuan lahir dari tiap perempuan
ketika si ibu berada dalam kelas umur ke - i
bi
( i = 1, 2, ..., n
-1 )
Fraksi perempuan pada kelas umur ke - i yang diharapkan
dapat bertahan dan mencapai kelas umur ke - (i+1)
Berdasarkan definisi di atas,
(i) ai≥ 0 untuk i = 1, 2, ..., n
(ii) 0 ¿bi≤ 1 untuk i = 1, 2, ..., n – 1
Berdasarkan asumsi, tidak diperbolehkan bi = 0, yang berarti tidak ada
perempuan yang hidup melewati kelas umur ke - i . Juga untuk ai haruslah bernilai
positif sehingga terdapat sejumlah kelahiran. Setiap kelas umur yang memiliki ai
positif disebut kelas usia subur. Berikut vektor distribusi umur x(k) pada waktu t
k .
x(k)=
[
x1(k)x2(k)
⋮
xn(k)
]
Pada waktu tk , perempuan yang berada dalam kelas umur pertama adalah
{
Jumlah perempuan pada kelas 1 pada waktu tk}
=
{
Jumlah anak perempuan yang lahir dari perempuan dalam kelas 1 antara waktu
tk−1 dengantk
}
+
{
Jumlah anak perempuan yang lahir dari perempuan dalam kelas 2 antara waktu
tk−1 dengantk
}
+ … +
{
Jumlah anak perempuan yang lahir dari perempuan
dalam kelas n
antara waktu
tk−1 dengantk
}
Atau secara matematis,
x1 bertahan hidup dan memasuki kelas i+1
}
{
Jumlah perempuan pada kelas i
pada waktu tk−1
}
Atau secara matematis,
xi+1(k)=b1x1(k−1) , i = 1, 2, ..., n – 1 (2)
Dengan menggunakan notasi matriks, Persamaan (1) dan (2) dapat dituliskan sebagai
Dari persamaan (3) akan dihasilkan
x(1)
=Lx(0)
x(2)
=Lx(1)
=L2x(0)
x(3)
=Lx(2)
=L3x(0)
⋮ x(k)
=Lx(k−1)
=Lkx(0)
(5)
Sehingga apabila telah diketahui distribusi umur awal x(0) dan matriks Leslie
Contoh 1. Distibusi Umur Hewan Betina
Anggaplah umur tertua yang dapat dicapai oleh hewan betina dalam suatu populasi tertentu adalah 15 tahun dan populasi tersebut dibagi menjadi tiga kelas umur dengan durasi yang sama sebesar lima tahun. Misalkan matriks Leslie populasi ini adalah
L =
[
0 4 3
½ 0 0
0 ¼ 0
]
Jika awalnya terdapat 1000 betina dalam masing-masing dari ketiga kelas umur tersebut, maka dari persamaan (3) sehingga mempunyai
�(0) =
[
berumur antara 10 sampai 15 tahun.Sifat - Sifat Limit
Meskipun distribusi umum dari suatu populasi pada setiap waktu telah ditunjukkan, namun tidak serta merta memberikan sebuah gambaran umum tentang dinamika proses pertumbuhan yang terjadi. Maka harus menentukan nilai eigen dan vektor eigen dan matriks Leslie terlebih dahulu. Nilai eigen dari L adalah akar-akar dari polinomial karakteristiknya.
p(λ) = | λI – L| = λn- a
Untuk menganalisis akar – akar dari persamaan polinimial ini, akan lebih mudah bila mengenali fungsi
q(λ) = a1
λ
+
a2b1λ2
+
a3b1b2
λ3
+ . . . +
anb1b2⋯bn−1
λn (6)
Dengan menggunakan fungsi ini, persamaan karakteristik p(λ) ≠ 0 dapat ditulis
q(λ) = 1 untuk λ ≠ 0 (7)
Karena seluruh ai dan bi adalah tak negatif, q(λ) berkurang secara monoton
untuk λ yang lebih besar dari nol. Lebih jauh lagi, q(λ) mempunyai sebuah asimtot
vertical pada λ = 0 dan mendekati nol ketika λ ∞ . Konsekuensinya terdapat sebuah
λ yang unik, misalnya λ = λ1, sedemikian hingga q(λ1) = 1. Dalam hal ini, matriks L
mempunyai sebuah nilai eigen positif unik. Dapat diperlihatkan pula bahwa λ1
mempunyai kelipatan satu yaitu λ1 bukan merupakan akar berulang dari persamaan
karakteristik.
�1 =
[
1
b1 λ1 b1b2
λ12 ⋮ b1b2⋯bn−1
λ1n−1
]
(8)
Karena λ1 mempunyai kelipatan satu, maka ruang eigen yang berhubungan dengannya
mempunyai dimensi satu. Demikian pula vektor eigen yang berhubungan dengannya
mempunya kelipatan �1.
Contoh 2 Matriks Leslie tanpa Nilai Eigem Dominan
Misalkan,
L =
[
0 0 6
½ 0 0
0 ⅓ 0
]
Maka persamaan polinomial karskteristik L adalah
p(λ) = | λI - L| = λ3 - 1
λ = 1, - 1
2 +
√3 2 i, -
1
2 -
√3
2 i
Ketiga nilai-nilai eigen tersebut di atas mempunyai nilai absolut 1, sehingga nilai eigen
positif unik λ 1 = 1 tidak dominan. Matriks tersebut mempunyai sifat L = I. Artinya,
untuk pilihan distribusi unsure awal �(0) yang manapun, sehingga mempunyai
�(0) = � (3) = � (6) = ... = � (3k) = ...
Sehingga vektor distribusi umur akan berosilasi dengan periode 3 satuan waktu.
Osilasi atau yang disebut gelombang populasi tidak dapat terjadi jika λ 1 bersifat
dominan. Jika suatu populasi perempuan mempunyai dua kelas usia subur yang berurutan. Maka matriks Leslienya mempunyai nilai eigen yang dominan. Ini merupakan populasi yang realistik, jika durasi dari kelas-kelas umur relatif kecil.
Diasumsikan bahwa L dapat didiagonalisasikan. L mempunyai n nilai eigen, λ 1, λ 2, ... , λ n yang tidak harus berbeda dan n vektor-vektor eigen independen
yang linier, �1, �2, ..., �n , yang berhubungan dengannya. Nilai eigen dominan λ 1
ditempatkan dalam urutan pertama. Matriks P dibentuk oleh vektor-vektor eigen dari L.
P = [�1 | �2 | �3 | . . . .| �n]
Diagonalisasi L dinyatakan dengan persamaan
L = P
[
λ1 0 0 ⋯ 0
0 λ2 0 ⋯ 0
⋮
0 ⋮0 ⋮0 ⋯ ⋮λn
]
P-1Dari sini akan dihasilkan
Lk = P
[
λ1k 0 0 ⋯ 0
0 λ2k 0 ⋯ 0
⋮
0 ⋮0 ⋮0 ⋯ ⋮λnk
]
P-1Untuk k = 1, 2, ... untuk vektor distribusi umur awal x(0) manapun, diperoleh
Lkx(0)=P
[
λ1k 0 0
⋯ 0
0
⋮
0
λ2 k
⋮
0
0 ⋯ 0
⋮ ⋮
0 ⋯ λnk
]
Untuk k = 1, 2, ... dengan membagi kedua sisi persamaan ini dengan λ1
Dengan menggunakan fakta tersebut, diambil limit di kedua sisi dari persamaan (9) untuk mendapatkan
lim
Kemudian dinyatakan entri pertama dari vektor kolom P-1 x(0) dengan konstanta c.
Sisi kanan dari persamaan (10) dapat ditulis sebagai c�1, dimana c adalah konstanta
positif yang hanya tergantung pada vektor distribusi umur awal x(0) . Sehingga,
persamaan (10) menjadi
lim
Persamaan (11) memberi suatu hampiran
x(k) ≈ c λ 1 k
�1 (12)
Untuk nilai-nilai k yang besar. Dari persamaan (12) mempunyai
x(k−1) ≈ λ1
k−1
x1 (13)
Dengan membandingkan persamaan (12) dan (13) dapat dilihat bahwa
x(k)
≈ λ1x(k−1) (14)
Untuk nilai-nilai k yang besar. Untuk nilai-nilai waktu yang besar, tiap vektor distribusi
tersebut merupakan nilai eigen positif dan matriks Leslie. Konsekuensinya, proporsi dari perempuan pada tiap kelas umur menjadi konstan.
Contoh 3 Pengulangan Contoh 1
Matriks Leslie dalam contoh 1 adalah
L =
[
0 4 3
½ 0 0
0 ¼ 0
]
Polinomial karakteristiknya adalah p( λ )= λ3 - 2λ - 3
8 , dan nilai eigen
positifnya adalah λ1 = 3
2 . Dari persamaan (8) vektor eigen �1 yang berhubungan
adalah
�1=
[
1 b1 λ1
b1b2 λ1
2
]
=
[
1 1 2 3 2 (1
2 )( 1
4)
(3 2 )
2
]
=
[
1 1 3 1 18
]
Dari persamaan (14) mempunyaix(k)≈3
2 x
(k−1)
Untuk nilai k yang besar. Sehingga, setiap lima tahun, jumlah perempuan di dalam
masing-masing dari ketiga kelas akan meningkat sekitar 50%, sebagaimana jumlah total perempuan didalam populasi tersebut.
Dari persamaan (12) mempunyai
x( k ) ≈ c (3 2)
k
Konsekuensinya, para perempuan akan didistribusikan ke dalam ketiga umur dengan
rasio 1 : 1
3 : 1
18 . Hal ini bersesuaian dengan distribusi 72% perempuan pada
kelas umur pertama, 24% perempuan pada kelas umur kedua, dan 4% perempuan pada kelas umur ketiga.
Contoh 4 Distribusi umur manusia perempuan
Pada contoh ini, menggunakan parameter kelahiran dan kematian pada tahun 1965 untuk komunitas perempuan di Canada. Karena kebanyakan perempuan diatas umur 50 tahun sudah tidak produktif, maka kami membatasi pada populasi perempuan antara umur 0 sampai 50 tahun. Data diambil dari kelas umur dengan interval lima tahun, sehingga terdapat total sepuluh kelas umur.ketimbang harus menuliskan matriks Leslie 10 x 10 secara penuh, diberikan daftar parameter kelahiran dan kematian sebagai berikut :
Interval Umur ai bi
[0,5] [5,10] [10,15] [15,20] [20,25] [25,30] [30,35] [35,40] [40,45] [45,50]
0,00000 0,00024 0,05861 0,28608 0,44791 0,36399 0,22259 0,10457 0,02826 0,00240
0,99651 0,99820 0,99802 0,99729 0,99694 0,99621 0,99460 0,99184 0,98700
λ1=1,07622 dan x1=
[
1,00000 0,92594 0, 85881 0,79641
0,73800 0,68364 0,63281 0,58482 0,53897
0,49429
]
Sehingga, jika para perempuan Canada tetap melahirkan dan meninggal seperti perempuan dahulu pada tahun 1965, maka setiap lima tahun jumlah perempuan akan
meningkat sebesar 7,622%. Dari vektor eigen �1, jika melihat bahwa, dalam limit, untuk
setiap 100.000 perempuan yang berumur antara 0 sampai 5tahun, terdapat 92.594 perempuan yang berumur antara 5 sampai 10tahun, 85.881 perempuan yang berumur antara 10 sampai 15tahun, dst.
Pada persamaan (12) memberikan vektor distribusi umur untuk suatu populasi dalam rentang waktu yang panjang.
x(k)
≈ c λ1kx1 (15)
Tiga kasus yang muncul berkaitan dengan nilai dari nilai eigen positif λ1:
(i) Suatu populasi akhirnya meningkat jika λ1>1
(ii) Suatu populasi akhirnya berkurang jika λ1<1
(iii) Suatu populasi cenderung stabil jika λ1=1
Kasus dimana λ1=1 secara khusus merupakan kasus yang menarik karena
menunjukkan suatu populasi yang mempunyai pertumbuhan populasi nol. Untuk
distribusi umur awal manapun, populasi ini mendekati sebuah limit distribusi umur
yang merupakan kelipatan dari vektor eigen �1. Dari persamaan (6) dan (7), λ1=1
adalah sebuah nilai eigen jika dan hanya jika
a 1 + a 2 b 1 + a 3 b 1 b 2 + ... + a n b 1 b 2 ... b n - 1 = 1 (16)
persamaan berbentuk
Disebut laju reproduksi bersih dari suatu populasi. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa populasi mempuyai pertumbuhan populasi nol jika dan hanya jika laju reproduksi bersihnya bernilai 1.
PENGERJAAN SOAL
1. Suatu populasi hewan dibagi menjadi 2 kelas umur dan mempunyai matriks Leslie :
L =
[
b. Dimulai dengan vector distribusi awal
x(0) terdekat jika perlu.
�(3) = Lx (2) =
[
menggunakan rumus hampiran x(6)
≈ λ x(5)
2. Hitunglah laju reproduksi bersih dari populasi hewan dengan matriks Leslie
L =
[
3. Hitunglah laju reproduksi bersih dari populasi perempuan Canada
[35,40] [40,45] [45,50]
0,10457 0,02826 0,00240
0,99184 0,98700
-R = a 1 + a 2 b 1 + a 3 b 1 b 2 + a 4 b 1 b 2 b 3 + a 5 b 1
b 2 b 3 b 4 + a 6 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 + a 7 b 1 b 2 b 3
b 4 b 5 b 6 + a 8 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 + a 9 b 1
b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 + a 10 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5
b 6 b 7 b 8 b 9
= 0 + 0,00024 × 0,99820 + 0,05861 × 0,99651 × 0,99820 + 0,28608 × 0,99651 × 0,99820 × 0,99802 + 0,44791 × 0,99651 × 0,99820 × 0,99802 × 0,99729 + 0,36399 × 0,99651 × 0,99820 × 0,99802 × 0,99729 × 0,99694 + 0,22259 × 0,99651 × 0,99820 × 0,99802 × 0,99729 × 0,99694 × 0,99621 + 0,10457 × 0,99651 × 0,99820 × 0,99802 × 0,99729 × 0,99694 × 0,99621 × 0,99460 + 0,02826 × 0,99651 × 0,99820 × 0,99802 × 0,99729 × 0,99694 × 0,99621 × 0,99460 × 0,99184 + 0,00240 × 0,99651 × 0,99820 × 0,99802 × 0,99729 × 0,99694 × 0,99621 × 0,99460 × 0,99184 × 0,98700