1.5. Tegangan dan Regangan Utama (Principal Stress serta Tegangan dan Regangan Geser Maksimum - Kokoh Tegangan 14

1. 5.

Tegangan dan Regangan Utama (Principal Stress serta Tegangan dan Regangan Geser Maksimum

and Strain)

Tegangan Ut ama (Principal St ress) dan Tegangan Geser Maksimum

Tegangan Ut ama (principal st ress) adalah t egangan normal

yang t erj adi pada set sumbu koordinat baru set elah t ransf ormasi yang

menghasilkan t egangan geser

dan

nol. Tegangan-t egangan t ersebut

dit unj ukkan sebagai s1 s2 pada Gambar 1. 10. Perlu dicat at

bahwa s1 sel alu diambil l ebih besar dari s2. Sudut t ransf ormasi yang

menghasilkan t egangan ut ama t ersebut dengan sudut ut ama (principal

angl e). Secara analit ik, besar t egangan ut ama dan sudut ut ama dapat

dit urunkan dari persamaan-persamaan (1. 5a, b, c).

Menurut pengert ian t ent ang t egangan ut ama, dari persamaan (1. 5c) akan didapat

0

 

2

yy

.sin2

 

.cos2



 

xx



xy



at au

(1. 8)

Dari persamaan di at as dapat dilukiskan segit iganya sebagai berikut

sin2



p

cos2



p

Sehingga

Subst it usi

2

dan penerapan prosedur yang sama t erhadap persamaan (1. 5b), akan didapat

kedua persamaan t ersebut di at as dapat dit uliskan menj adi sat u dengan

y'y'  xx  yy 1

2.



2

2 2

Dengan mengingat bahwa secara mat emat ik haruslah 1  2 , maka

(1. 9)

Selanj ut nya, perhat ikan persamaan (1. 5c). Unt uk suat u t it ik dan j enis pembebanan t ert ent u dari suat u bagian konst ruksi, harga-harga _xx ,

_yy danxy adalah t et ap at au konst an, sehingga x’ y’ merupakan suat u

f ungsi , at au _{x’ y’} = f (). pert ama f ungsi

Harga ekst rim f ungsi t ersebut akan

diperoleh bila t urunan t ersebut t erhadap  sama

dengan nol. Jadi

Dari persamaan di at as dapat dilukiskan segit iganya sebagai berikut :

Dengan subst it usi harga-harga sin 2 ke persamaan (1. 5c) akan didapat

dan cos 2 pada gambar di at as

Persamaan (1. 10) j uga dipenuhi bila panj ang sisi di depan sudut 2

adalah (xx  yy) dan panj ang sisi di sampingnya adalah -2xy. Kondisi

Dengan demikian kedua persamaan t ersebut dapat dit uliskan menj adi sat u sebagai

(1. 11)

Regangan Ut ama dan Regangan Geser Maksimum





(



xx



yy

)



4



xy



max

 

1

2.

Sebagaimana pengert ian t ent ang t egangan ut ama, maka regangan

ut ama (principal st rain) adalah regangan normal yang t erj adi pada set

sumbu koordinat baru set elah t ransf ormasi yang menghasilkanset engah

regangan geser nol. Regangan-regangan t ersebut dit unj ukkan sebagai

₁ dan ₂ pada Gambar 1. 11. Demikian j uga, ₁ sel al u diambil lebih besar dari ₂ , sert a sudut t ransf ormasinya j uga disebut sudut ut ama

(principal angl e). Secara analit ik, dengan penerapan prosedur yang

sama dengan yang dit erapkan unt uk persamaan-persamaan (1. 7a, b, c), maka akan didapat hasil-hasil berikut .

(1. 12a)

(1. 12b)

qp = sudut ut ama

e1, 2 = regangan-regangan ut ama

g_xy= 2e_xy= regangan geser

max= sudut regangan geser maksimum xy= 2xy= regangan geser

1. 6. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang

Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman, Ot t o

Mohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan unt uk melukis t ransf ormasi

t egangan maupun regangan, baik unt uk persoalan-persoalan t iga dimensi

maupun dua dimensi. Yang perlu dicat at adalah bahwa perput aran

sumbu elemen sebesar q dit unj ukkan oleh perput aran sumbu pada

lingkaran Mohr sebesar 2q, .dan sumbu t egangan geser posit if adalah

menunj uk ke arah bawah. Pengukuran dimulai dari t it ik A, posit if bila

berl awanan arah j ar um j am, dan negat if bila sebal iknya. Pada bagian

………(1. 14a) Sedangkan pada persamaan (1. 5c), bila dikuadrat kan akan didapat

Penj umlahan persamaan-persamaan (1. 14a) dan (1. 14b) menghasilkan

(1. 15) Persamaan (1. 15) merupakan persamaan lingkaran pada bidang st yang

pusat nya di dengan j ari-j ari . Lingkaran t ersebut dit unj ukkan pada

Gambar 1. 8 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut :

Lingkaran Mohr unt uk Tegangan Bidang

Pada persamaan (1. 5a), bila suku x y dipindahkan ke ruas 2

kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadrat kan, maka akan didapat

sin2



cos2



mat emat is lebih kecil. Bila bernilai negat if j adikanlah

t egangan t ersebut sebagai t it ik yang mendekat i t epi kiri bat as melukis, sedangkan bila posit if maka t it ik yang mendekat i bat as kiri adalah t it ik ij = 0.

t ersebut sebagai t it ik yang mendekat i t epi kanan bat as melukis, sedangkan bila negat if maka t it ik yang mendekat i bat as kanan adalah t it ik ij= 0.

4. Tent ukan skala yang akan digunakan sehingga t empat melukis bisa

memuat kedua t it ik t ersebut dan masih t ersisa ruangan di sebelah

kiri dan kanannya. Tent ukan t it ik-t it ik bat as t ersebut sesuai

dengan skala yang t elah dit ent ukan.

3. Periksa harga t egangan normal, xx at au yy , yang secara

5. Tent ukan let ak t it ik-t it ik _ij = 0 dan sumbu , sert a _ij t erkecil dan ij t erbesar bila belum t erlukis pada sumbu ij.

6. Bagi dua j arak ant ara t egangan t erkecil dan t egangan t erbesar

sehingga diperoleh pusat lingkaran, P.

7. Tent ukan let ak t it ik A pada koordinat (ijt erbesar , xy).

8. Lukis lingkaran Mohr dengan pusat P dan j ari-j ari PA.

9. Tarik garis dari A melalui P sehingga memot ong lingkaran Mohr di

B. Maka t it ik B akan t erlet ak pada koordinat (ij t erkecil , xy ).

Garis AB menunj ukkan sumbu asli, = 0, elemen t ersebut .

Cont oh 1.1: Sebuah elemen dari bagian konst ruksi yang dibebani, menerima t egangan t arik pada arah

t egangan t ekan pada arah sumbu y

sumbu sebesar

x sebesar 280 MPa,

40 MPa sert a t egangan

geser pada bidang t ersebut sebesar 120 MPa.

Dimint a: a. b.

Lukisan lingkaran Mohr.

Besar rot asi mengelilingi sumbu z unt uk mendapat kan t egangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil t ersebut dari persamaan (1. 10).

c. Besar t egangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil t ersebut dengan rumus (1. 11) dan hasil yang didapat pada b. di at as.

d. Besar perput aran mengelilingi sumbu z unt uk mendapat kan t egangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (1. 8). e. Besar t egangan-t egangan ut ama menurut lingkaran Mohr.

Penyelesaian: a. Lingkaran Mohr:

1) Buat sumbu 2)

sij , horisont al.

Tegangan normal t erkecil, s_yy = -40 MPa, negat if , sehingga digunakan sebagai t it ik di dekat bat as kiri.

3) Tegangan normal t erbesar sxx = 280 MPa, posit if , sehingga

digunakan sebagai t it ik di dekat bat as kanan.

4) Diambil skala 1cm = 40 MPa. Kemudian dit ent ukan t it ik s_yy= -40 MPa di sebelah kiri, dan s_xx = 280 MPa di sebelah kanan yang berj arak (s_xx + s_yy) dari t it ik s_yy di sebelah kiri.

5) Lukis sumbu t yang berj arak 40 MPa di sebelah kanan t it ik syy .

6) Dengan membagi dua sama panj ang j arak s_yyke s_xxakan didapat t it ik P.

7) Menent ukan let ak t it ik A pada koordinat (sxx , txy) = (280, 120).

8) Dengan mengambil t it ik pusat di P dan j ari-j ari sepanj ang PA, lingkaran Mohr dapat dilukis.

9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memot ong lingkaran

Mohr di B, akan didapat kedudukan t it ik (s_{yy ,} txy) = (-40, 120).

Gambar 1. 8. Lingkaran Mohr unt uk Tegangan Bidang

b. Besar rot asi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat

_max = 0, 5 x 2_max = 0, 5 x (-53o_{) = 26}o _{30’ .}

c. Besar t egangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr

_max = 5 x 40 MPa = 200 MPa.

Sedangkan menurut persamaan (1. 11) akan didapat

d. Besar rot asi mengellilingi sumbu mengukur, didapat

z menurut lingkaran Mohr, dengan

_p = 0, 5 x 2p = 0, 5 x 37o = 18o30’ .

Sedangkan menurut persamaan (1. 10) didapat t an 2p= (2 x 120) / (280 + 40) = 

= 18o_26’

2p = 36o52’ at au max

e. Besar t egangan-t egangan ut ama menurut lingkaran Mohr

₁= 8 x 40 MPa = 320 MPa.

₂ = -2 x 40 MPa = -80 MPa.

Sedangkan menurut persamaan (1. 11) akan didapat





28040



Lingkaran Mohr unt uk Regangan Bidang

Pada persamaan (1. 7a), bila suku dipindahkan ke ruas kiri

dan kemudian kedua ruasnya dikuadrat kan, maka akan didapat

………(1. 16a) Sedangkan pada persamaan (1. 7c), bila dikuadrat kan akan didapat

………(1. 16b)

Penj umlahan persamaan-persamaan (1. 16a) dan (1. 16b) menghasilkan

(1. 17)

yang pusat nya di dengan j ari-j ari

Lingkaran t ersebut dit unj ukkan pada Gambar 1. 9 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr unt uk t egangan dengan menggant i _xx , yy dan xy bert urut -t urut menj adi _xx, yy dan xy / 2. Penerapannya, lihat Cont oh 1. 2 pada halaman 21.

Persamaan (1. 17) merupakan persamaan lingkaran pada bidang 

2 2 2 2

1. 7. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan

Unt uk def ormasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubungan ant ara t egangan dan regangan unt uk bahan-bahan isot ropis pada

pembebanan dalam bat as proporsional diberikan oleh hukum Hooke.

Jadi hukum Hooke t idak berlaku unt uk pembebanan di luar bat as

proporsional. Hukum Hooke dit urunkan dengan berdasarkan pada

analisis t ent angenergi regangan spesif ik.

Apabila besar

Hooke unt uk

t egangan-t egangannya yang diket ahui, maka hukum

ant ara secara

persoalan-persoalan t iga dimensi, hubungan

dit uliskan t egangan normal dengan

mat emat is sebagai berikut :

regangan normal dapat

(1. 18)

Dengan E dan v bert urut -t urut adalah modulus alast is at au modulus

Young dan angka perbandingan Poisson. Sedangkan pada def ormasi

geser unt uk G adalah modulus geser , hubungannya adalah:

Sedangkan unt uk mencari t egangan normal yang t erj adi bila regangan

normal dan sif at -sif at mekanis bahannya diket ahui, digunakan

persamaan-persamaan:

(1. 20)

Selanj ut nya unt uk def ormasi geser, bent uk hukum Hooke adalah:

(1. 21)

Persamaan-persamaan (1. 18) sampai dengan (1. 21) dapat j uga

diberlakukan unt uk persoalan-persoalan dua dan sat u dimensi, yakni dengan memasukkan harga nol unt uk besaran-besaran di luar dimensi yang dimaksud.

Cont oh 2: Pembebanan sepert i pada Cont oh 1, unt uk bahan dengan

sif at -sif at mekanis: modulus Young, E = 200 GPa dan angka

perbanding-an Poisson, n = 0, 29. Modulus geser dit ent ukan dengan, G = E / 2(1 + n).

Dimint a: a. Hit unglah regangan-regangan yang t erj adi.

b. Lukisan lingkaran Mohr unt uk regangan yang t erj adi.

c. Besar rot asi mengelilingi sumbu z unt uk mendapat kan

regangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil t ersebut dari persamaan (1. 10).

d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran

e. Besar perput aran mengelilingi sumbu z unt uk mendapat kan regangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (1. 8).

f . Besar regangan-regangan ut ama menurut lingkaran

Mohr. Periksa hasil t ersebut dengan persamaan-persamaan (1. 9) dan dari hasil pada pada d. di at as.

Penyelesaian:

a) Dari persamaan (1. 18) dan (1. 19) akan didapat :

b. Lingkaran Mohr:

1) Buat sumbu eij horisont al.

2) Regangan normal t erkecil, eyy = -606me, sehingga

merupakan t it ik di dekat bat as kiri.



2800,29.400,29.0



0,0014581458



400,29.2800,29.0



 0,000606 606 xx

3) Regangan normal t erbesar e_xx= 1458me, sehingga

merupakan t it ik di dekat bat as kanan.

4) Diambil skala 1cm = 250me. Kemudian dit ent ukan t it ik

e_yy = -606me di sebelah kiri, e_xx = 1458me di sebelah kanan dan berj arak (e_xx + e_yy)

kiri.

dari t it ik eyy di

sebelah

5) Lukis sumbu t yang berj arak 606me di sebelah

kanan t it ik eyy .

6) Dengan membagi dua sama panj ang j arak e_yyke e_xx akan didapat t it ik P.

7) Menent ukan let ak t it ik A pada koordinat (exx , exy) =

(1458, 774).

8) Dengan mengambil t it ik pusat di P dan j ari-j ari sepanj ang PA, lingkaran Mohr dapat di-lukis.

9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memot ong

lingkaran Mohr di B, akan di dapat kedudukan t it ik (eyy ,

'

I

'

I

I I

'

'_'

'_{' '}

'

E

Gambar 1.9. Lingkaran MohruntukReganganBidang

c. Besar rot asi mengelilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat

_max = 0, 5 x 2max = 0, 5 x (-53o) = 26o 30’ .

Sedangkan menurut persamaan (1. 10) didapat

t an 2max = (1458 + 606) / (2 x 774) =  

= 26o_34’

2_max = 53o _{08’ at au} _max

d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr

_xy-max = 5, 2 x 250 = 1300.

Sedangkan menurut persamaan (1. 11) akan didapat

e. Besar rot asi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat

_p = 0, 5 x 2p = 0, 5 x 37o = 18o30’ .

Sedangkan menurut persamaan (1. 10) didapat t an 2p= (2 x 120) / (280 + 40) = 

= 18o_26’

2p = 36o52’ at au max

_max



xymax



 (1458606) 15482  1290

2

1

f . Besar regangan-regangan dasar menurut lingkaran Mohr

₁ = 6, 9 x 250 = 1725.

₂ = -3, 5 x 250 = -875

Sedangkan menurut persamaan (1. 11) akan didapat

 1458606 ₁₅₄₈₂ 

1716

 1458606 15482  864

1 

2 

1458606 1

2 2 2

1458606 1