ALIRAN GAS SATU DIMENSI PADA KECEPATAN TINGGI

ALIRAN GAS SATU DIMENSI

PADA KECEPATAN TINGGI

Sub-chapters

z

8.1. The speed of sound

z

8.2. Steady, frictionless, adiabatic,

one-dimensional flow of a perfect gas

z

8.3. Nozzle choking

z

8.4. High-velocity gas flow with friction,

heating, or both

Perbedaan prinsip antara aliran gas kecepatan tinggi dengan aliran fluida yang telah dipelajari sebelumnya mencakup hal berikut:

z Pada ekspansi aliran gas kecepatan tinggi, ada perubahan dari energi dalam ke energi kinetik. Akibatnya ada penurunan temp yang besar dan

kenaikan velocity.

z Kecepatan dari aliran gas sering = atau > kecepatan suara, yang dapat menimbulkan fenomena choking (tak ada kenaikan laju alir massa dengan penurunan tekanan di

downstream) dan shock waves (ledakan fluida pada satu lokasi sementara fluida kecepatan supersonic (> kec suara) bergerak.

Kecepatan Suara

z Dengan neraca massa dan momentum suatu volume kecil dalam aliran gas dengan tekanan sebagai satu-satunya gaya yang bekerja, maka:

z . (8.6)

z Pada Persamaan (8.6) P tidak hanya fungsi dari

ρ, tetapi juga fungsi dari temperatur. Pers (8.6)

berlaku untuk setiap perubahan tekanan termasuk gelombang suara. 2 / 1 d dP V ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ρ =

z Suara adalah gangguan kecil tekanan udara yang berosilasi dengan frekwensi antara 20– 20000 Hz. Magnitude dari gangguan tekanan ini biasanya kurang dari 10-3 _{psi absolut atau 7}

Pa.

z Ketika suara melalui fluida gas, aliran gas mengalami proses reversible adiabatic

compression-expansion. Temperature gas tidak konstan (tempÊ, ketika kompresi, tempË,

ketika ekspansi) tetapi entropi konstan. Dengan gelombang suara yang kecepatannya tinggi, gas tidak sempat mengalirkan panas ke bagian gas yang dingin di sekitarnya

z Pada kecepatan suara, Pers 8.6 memenuhi kondisi reversible adiabatic (entropi konstan)

sehingga (8.7a)

z Sebagai suatu kuantitas yang berbeda dengan kecepatan gas, Pers 8.7a berubah menjadi

z . (8.7b)

di mana c = kecepatan suara

1/ 2 s dP V d ⎛ ⎞ = ⎜ _ρ ⎟ ⎝ ⎠ 1 / 2 s dP c d ⎛ ⎞ = ⎜ _ρ ⎟ ⎝ ⎠

z Untuk suara yang melalui media gas ideal: (D.26)

z (8.11)

dimana (lihat Tabel 8.1) dan M = berat molekul

Dalam perhitungan engineering k dianggap konstan, meskipun berkurang sedikit dengan pertambahan temperature. ρ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ρ kP d dP s v p /C C k = 1 2 1 2 1 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} = _{⎜ ⎟ = ⎜ ⎟} ρ ρ _{⎝ ⎠} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ / / / s dP kP kRT c d M

Table 1. Values of the ratio of specific

heats

1.3 or less More complex gases 1.30-1.33 Triatomic gases: H₂O, CO₂, etc

Not quite exact and temperature dependent

1.40 Diatomic gases:

N₂, O₂, H₂, CO, NO, air etc

Exactly 1.666

Monatomic gases: He, Ar, Ne, Kr etc

Comment k

Contoh 8.2:

z Berapakah kecepatan suara pada udara dengan temperatur 68o_F=528o_{R ?} Jawab: 2 / 1 2 / 1 2 / 1 M kT R M kRT c ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 / 1 2 / 1 o 2 / 1 2 2 2 o 3 2 2 / 1 K . mol g s m 2 . 91 R . lbmol lbm . s ft 223 s . lbf ft . lbm 2 . 32 ft in 144 R lbmol ft in lbf 73 . 10 R ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

z

.

z Kecepatan suara adalah fungsi dari temperature

dan bukan fungsi dari velocity.

z Kecepatan suara adalah sifat dari materi, bukan sifat dari aliran. Kalau temperatur berubah,

maka kecepatan suara juga berubah apakah fluida mengalir atau tidak

s / m 344 s / ft 1126 lbmol / lbm 29 R 528 x 4 . 1 . R . lbmol lbm . s ft 223 M kT R c 2 / 1 o 2 / 1 o 2 / 1 2 / 1 = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

Steady, Frictionless, Adiabatic,

One-Dimensional Flow of Perfect Gas

z

.

z Gambar 1. Sistem untuk steady, frictionless,

adiabatic, one dimensional flow

z Fluida mengalir dari reservoir R ke titik 1. Aliran dianggap bekerja satu dimensi pada arah aliran. Hukum Bernoulli: z . (8.13) R 1 1 2 R 2 2 V gz h 2 V gz h _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + +

z Perubahan energi potensial ∆gz diabaikan untuk kebanyakan aliran gas kecepatan tinggi.

Diasumsikan R adalah reservoir pada upstream, di mana luas penampang sangat besar

dibanding luas penampang pipa Ö V_R ≈ 0.

z . (8.14) 1 R R

0

;

z

z

V

=

=

(

_{R 1}

)

_p

(

_{R 1}

)

(

_{R 1}

)

2 1 T T ) 1 k ( M Rk 2 T T C 2 h h 2 V − − = − = − =

z

.

(lihat Appendix D)

z

.

(8.15)

z

.

z

.

(8.16)

[

M (k 1)

]

Rk C _p − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 1 T T 1 k 2 RkT MV 1 R 1 2 1 ; M c / V ; c RkT M 1 1 1 2 1 1 = = 1 2 1 k M T T ₂ 1 1 R = − +

z V/c = M = Mach number = rasio of local flow velocity to local speed of sound

z Untuk aliran supersonic, M >1; aliran sonic, M

=1; aliran subsonic, M <1 z . (8.17) z . (8.18) k /(k 1) _{k /(k 1)} 2 R R 1 1 1 P T k 1 1 P T 2 − ₋ ⎛ ⎞ _{⎛ − ⎞} = _{⎜ ⎟} = _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ M 1/(k 1) _{1/(k 1)} 2 R R 1 1 1 T k 1 1 T 2 − ₋ ⎛ ⎞ ρ _⎛ − _⎞ =_{⎜ ⎟} =_⎜ + _⎟ ρ _{⎝ ⎠ ⎝}M _⎠

Contoh 8.3:

z Udara mengalir dari reservoir dimana

kecepatannya dapat diabaikan, pada temp 68o_F.

z Berapakah temperatur gas pada titik dimana Mach numbernya adalah 2 ?

z Berapa kecepatan udara pada kondisi tsb. ?

z Jika tekanan udara di reservoir 2 bar dengan

density sebesar 2.39 kg/m3_{, berapa tekanan dan}

Jawab:

z . (8.16)

z .

z .

z Temperatur gas turun ke -110o_{C menunjukkan}

adanya konversi energi dari energi dalam ke energi kinetik. 80 . 1 1 2 1 4 . 1 2 T T ₂ 1 R = − + = K 15 . 293 R 528 F 68 T_R = o = o = C 110 K 163 F 167 R 293 8 . 1 R 528 80 . 1 T T o o o o R 1 = = = = − = = −

z . z . z . z . (8.17) z . (8.18) s / ft 839 lbmol / lbm 29 R 293 x 4 . 1 . R . lbmol lbm . s ft 223 M kT R c 2 / 1 o 2 / 1 o 2 / 1 2 / 1 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 V = c M =839ft / s . 2.0 1678ft / s= =511m / s psia 71 . 3 bar 256 . 0 82 . 7 bar 2 P ; 82 . 7 8 . 1 P P 1 ) 1 4 . 1 /( 4 . 1 1 R = − = = = = 3 3 1 ) 1 4 . 1 /( 1 1 R _{0.549kg / m} 35 . 4 m / kg 39 . 2 ; 35 . 4 8 . 1 = ρ = = = ρ ρ ₋

z Jika A* dan V* adalah kondisi kritis di mana Mach number = 1 sebagai referensi:

.

(8.20)

z Substitusi rasio ρ = f(T) dan V=c M, maka

.

(8.21) z . Gambar 8.3. Efek M terhadap A dari M<1 hingga M >1 1 1 1 V * V * * A A ρ ρ = (k 1) / 2(k 1) 2 1 1 1 A 1 M (k 1) / 2 1 A * (k 1) / 2 1 + − ⎡ − + ⎤ = _{⎢ ⎥} − + ⎣ ⎦ M 1.0 1.0 M * A A₁

z Gambar 8.3 menunjukkan, pada daerah M <1, jika V ingin lebih besar, A diperbesar.

z Sebaliknya pada daerah M >1, jika ingin V lebih besar, A diperbesar.

Gambar 8.4. Relasi antara jarak dengan ρ, A dan

V pada sistem steady, frictionless, adiabatic, one dimesional flow

z Misalkan V mempunyai nilai kecil saat masuk

pipa dan bertambah secara linear dengan jarak. Karena aliran ini mengembang dengan naiknya A, ρ berkurang dengan jarak.

z Di daerah M <1, V naik lebih cepat dibanding turunnya ρ atau -(dρ/dx) < (dV/dx). Untuk

menjaga ρVA konstan, A harus diturunkan. Tetapi ketika V makin besar, ρ turun makin

besar, hingga pada M = 1, ρ turun secepat V naik atau -(dρ/dx) = (dV/dx).

z Ketika M >1, ρ turun jauh lebih cepat dibanding naiknya V atau -(dρ/dx) > (dV/dx). Untuk

z Juga dapat diturunkan:

. (8.23)

z Untuk gas ideal:

.

(8.24) ) 1 k ( 2 / ) 1 k ( 2 / 1 R R ] 1 2 / ) 1 k [( ) M / kRT ( * A m − + + − ρ = & ) 1 k ( 2 / ) 1 k ( 2 / 1 2 / 1 R R ] 1 2 / ) 1 k [( 1 R Mk T P * A m − + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = &

Contoh 8.6:

z Udara pada 30 psia dan 200o_{F mengalir dari}

suatu reservoir ke dalam saluran (duct). Aliran adalah steady, adiabatic, dan frictionless. Laju alir udara adalah 10 lb_m/s.

z Berapa luas penampang, temperatur, tekanan dan bilangan Mach di suatu titik dimana

Jawab: z .(8.14)

z

.

K 276 R 497 ] R lbmol / lbm [ s / ft 10 x 98 . 4 x 4 . 1 x 2 ) lbmol / lbm 29 )( 1 4 . 1 ( ) s / ft 1400 ( R 660 R 2 M k 1 k V T T o o 2 2 4 2 o 2 1 R 1 = = − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = s / m 333 s / ft 1092 lbmol / lbm 29 R 497 . 4 . 1 . R . lbmol lbm . s ft 223 M kT R c 2 / 1 o 2 / 1 o 2 / 1 2 / 1 = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

z

.

z .(8.17)

z

.

z

.

(8.24) 1 1400ft / s 1.282 1092ft / s = = M 70 . 2 497 660 T T P P k/(k 1) 1.4/(1.4 1) 1 R 1 R ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − − kPa 5 . 76 psia 1 . 11 70 . 2 psia 30 P₁ = = =

(

)

2 2 ) 1 4 . 1 ( 2 / ) 1 4 . 1 ( 2 2 / 1 o 2 / 1 o 2 / 1 2 m . s kg 437 in . s lbm 62 . 0 ] 1 2 / ) 1 4 . 1 [( )] s . lbf /( ) ft . lbm ( 2 . 32 [ ) R 660 ( ] R lbmol / lbm [ s / ft 223 4 . 1 . lbmol / lbm 29 in / lbf 30 * A m = = + − = _{+ −} &

z

.

z .(8.21) 2 2 2 2 16.1in 0.0104 m ) in . s /( lbm 62 . 0 s / lbm 10 ) in . s /( lbm 62 . 0 m * A = & = = = 2 2 ) 4 . 0 ( 2 / 4 . 2 2 m 011 . 0 in 0 . 17 * A 059 . 1 A ; 059 . 1 1 2 / 4 . 0 1 2 / 4 . 0 x 282 . 1 282 . 1 1 * A A = = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + =

Nozzle Choking

z

.

Gambar 8.8. Sistem untuk nozzle choking, P₁ =

konstan, P₂ < P₁.

z Udara mengalir dari reservoir dengan tekanan P₁ ke reservoir dengan tekanan P₂ melalui nozzle yang konvergen (A berkurang). Dengan menjaga P₁

konstan, P₂ mulai dikurangi.

z Semakin kecil P₂ ditetapkan, semakin besar laju alir massa .

z Saat P₂/P₁ mencapai 0,5283, laju alir massa menjadi konstan (tak ada lagi kenaikan laju alir massa). Rasio P₂/P₁ terjadi pada M =1.

z Peristiwa ini disebut choking. Choking terjadi pada

nozzle atau pipa konvergen

Aliran Gas Kecepatan Tinggi dengan

Friksi, Pemanasan, atau Keduanya

A. Aliran Adiabatik dengan Friksi

z .

z

Gambar 8.11. Sistem untuk aliran adiabatic

dengan friksi. P₀ > P₃. P₁ P₀ P₃ ∆x frictionless nozzle

z Momentum balance:

z . (8.25)

z . (8.26)

z Sistem yang ditinjau adalah dari titik 1 ke titik 2

di mana ada friksi. Karena itu sistem tidak

isentropic; ada kenaikan entropi dari gas yang mengalir. Dengan penurunan yang rumit

didapatkan (Streeter & Wylie):

dx D dP A dV AV 0 = ρ − − τ_wallπ

2

V

f

2 wall

=

ρ

τ

z

.

(8.27)

z Dalam system ini, dengan adanya friksi, tekanan turun. Penurunan tekanan membuat densitas

turun, sehingga velocity naik.

z Karena efek friksi ∝ V2_{, -dP/dx tak sama untuk}

setiap titik di mana -dP/dx Ê ketika xÊ. Pipa dengan friksi memberi efek seperti pipa

konvergen.

(

)

(

)

2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 k 1 / 2 4f x 1 1 1 k 1 ln 0 D k 2k 1 k 1 / 2 ⎧ _{+ ⎡ − ⎤} ⎫ ⎛ ⎞ ∆ _{− − +} + ⎪ _{⎣ ⎦} ⎪ ₌ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ _{+ ⎡ − ⎤} ⎝ ⎠ ⎪_⎩ ⎣ ⎦ ⎪_⎭ M M M M M M

z Pada awalnya P₀ = P₃. Ketika P₀ = konstan dan P₃ diturunkan, laju alir akan naik dan Mach

number akan naik hingga M = 1.

z Penurunan P₃ lebih lanjut tak menyebabkan laju alir di outlet naik dan aliran tercekik (flow is

choked).

z Ketika aliran di outlet M < 1, P₂ = P₃. Ketika aliran di outlet M = 1, aliran tercekik (laju alir konstan).

z Ketika P₃ diturunkan lagi, M > 1 dan P₂ tak berubah walau P₃ turun (P₂ > P₃). P₂ tak berubah karena laju alir konstan

z Dari titik 0 ke titik 1, dianggap tak ada friksi

(gunakan rumus converging, isentropic nozzle).

z Dari titik 1 ke 2 ada friksi dan gunakan Pers 8.27. Laju alir massa di titik 1 dihitung dengan Pers 8.24.

z Hubungan antara tekanan P₃ dengan laju alir ditunjukkan oleh Figure 8.12. di mana N =

D x f

z Untuk memecahkan lajualir massa untuk nilai P_o dan P₃ yang diketahui, terka harga M₁.

z Dari Pers 8.24, hitunglah (ṁ/A)₁.

z Dari Pers 8.16 hitunglah T₁, dan dari Pers 8.11.

hitung V₁

z Dari Pers 8.27 (korelasi titik 1 dan 2) hitunglah

M₂ dan V₂,

z Sebab (ṁ/A)₁ = (ṁ/A)₂ atau (ρV)₁ = (ρV)₂, P₂ bisa dihitung dengan rumus gas ideal. Kalau

tekanan P₂ sesuai dengan P₃, maka terkaan M₁

benar. Bila tidak, ganti terkaan M₁ dengan harga lain. Iterasi mulai lagi.

z Ini tedious job (ribet bangeet). Untuk

mengatasinya sebagai alternatif gunakan Gambar 8.12

z .

Gambar 8.12. Relasi tekanan-laju alir massa

Contoh 8.10 (penggunaan Gambar 8.12):

z P_o = 30 psia, T_o = 200o_{F. Pipa penghubung}

berdiameter 1 in, schedule 40 dari steel

sepanjang 8ft. Hitung laju alir untuk berbagai kondisi P₃.

Jawab:

z Relative roughness (ε/D) untuk pipa commercial steel berdiameter 1 in adalah 0.0018 (Lihat

Tabel 6.2). Dari Figure 6.10 untuk bilangan

z

.

z Dari Contoh 8.6, didapat bahwa untuk kondisi P_o dan T_o ini (frictionless, adiabatic)

z .

z Untuk P₃ = 27psia, maka P₃/P_o = 0.9, dengan menggunakan Gambar 8.12, didapat:

z . 01 . 2 ) 12 / 049 . 1 ( 8 ) 0055 . 0 ( 4 D x f 4 N = ∆ = = 2 2 m . s kg 437 in . s lbm 62 . 0 * A m = = & 36 . 0 * A / m A / m ₌ & &

z Jadi:

z .

z Untuk pipa 1 in schedule 40:

z .

z Dengan menggunakan cara yang sama dapat dibuat table sbb: 2 2 2 m . s / kg 152 in . s / lbm 22 . 0 in . s / lbm 62 . 0 x 36 . 0 A / m& = = = s / kg 086 . 0 s / lbm 19 . 0 in 864 . 0 . in . s / lbm 22 . 0 m&= 2 2 = =

0.403 0.65 0.34 <10 0.397 0.64 0.5 15 0.38 0.61 0.6 18 0.35 0.56 0.7 21 0.30 0.48 0.8 24 0.19 0.36 0.9 27 0.00 0.00 1.0 30 lbm/s P₃ / P_o, P₃ * A / m A / m & &

Pada P₃ = 10.2 psia, aliran tercekik, pengurangan tekanan lebih lanjut tidak menaikkan laju alir

B. Aliran Isothermal

z Pada pipa pendek, ketika M ∼ 1 pada outlet, dibutuhkan laju transfer panas tak terhingga untuk menjaga kondisi isothermal karena

penurunan temperatur yang signifikan. Kondisi yang umum adalah adiabatik.

z Aplikasi lebih banyak pada pipa panjang, mis untuk gas alam, yang dikubur di dalam tanah yang memberi panas untuk menjaga kondisi isotermal.

z Dari Pers 8.25 dan 8.26, momentum balance menjadi: z . (8.28)_D dx 2 V f 4 dP dV V 2 ρ = + ρ

z Untuk pipa panjang ρVdV << suku-suku lain (lihat soal 8.40), maka Pers 8.28 menjadi

z . (8.29)

z Untuk gas ideal:

z . sehingga z . atau z . (8.30) D dx 1 A m 2 f 4 dP 2 ρ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = & RT PM = ρ dx A m DM RT 2 f 4 PdP 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = &

(

)

(

)

₂ 1/ 2 2 2 5 1 2 P P D M / 4 m 4f x RT ⎡ _{− π} ⎤ ⎢ ⎥ = ∆ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ &

z Kalau f = 0,0080/(D in)1/3 _{disubstitusi ke Pers}

19, maka akan diperoleh persamaan

Weymouth, yang banyak dipakai dalam

rancangan awal pipa gas.

Latihan

1. Udara mengalir melewati suatu nozzle secara isentropic. Jika tekanan dan temperatur

reservoir adalah 60 psia dan 100o_{F, berapa}

tekanan, temperatur dan kecepatan pada suatu titik dimana bilangan Mach = 0,6 ?

2. Udara mengalir dari suatu reservoir melalui suatu nozzle secara isentropic. Jika tekanan dan temperatur reservoir adalah 60 psia dan 40o_{F, berapa tekanan, temperatur pada suatu}

titik dimana kecepatan = 1300 ft/s?

3. Suatu saluran udara bertekanan di suatu

bengkel berisi udara bertekanan 50 psia pada temperatur 70o_{F. Ketika kita membuka valve}

dan udara mengalir menuju atmosfir, berapa temperatur udara keluar ? Seringkali

temperatur ini cukup dingin untuk

menkondensasikan air yang ada di atmosfir. Pernah lihat gejala ini ?

4. Udara mengalir melewati suatu nozzle secara isentropic. Jika tekanan dan temperatur

reservoir adalah 60 psia dan 100o_{F, berapa}

tekanan, temperatur dan kecepatan pada suatu titik dimana bilangan Mach = 0,6 ?

5. Udara mengalir dari suatu reservoir melalui suatu nozzle secara isentropic. Jika tekanan dan temperatur reservoir adalah 60 psia dan 40o_{F, berapa tekanan, temperatur pada suatu}

6. Suatu saluran udara bertekanan di suatu

bengkel berisi udara bertekanan 50 psia pada temperatur 70o_{F. Ketika kita membuka valve}

dan udara mengalir menuju atmosfir, berapa temperatur udara keluar ? Seringkali

temperatur ini cukup dingin untuk

menkondensasikan air yang ada di atmosfir. Pernah lihat gejala ini ?