Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Contoh 5

Buktikan, jika c  0, maka x c c x   lim Analisis Pendahuluan

Akan dicari bilangan  0 sedemikian sehingga apabila 0 x – c berlaku c x   untuk setiap  0. Perhatikan: x c = c x c x c x    )( ) ( = c x c x   = c x c x    c c x Dapat dipilih  =  c Bukti:

Ambil sembarang  0 dipilih  =  c. Oleh karenanya jika 0 x – c maka berlaku x c  c c x  c c  _ .  2.4 Teorema Limit Teorema 2.4.1

Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka:

1) k k c x   lim 2) x c c x   lim 3) lim kf(x) k lim f(x) c x c x  

Bukti teorema 2.4.1 ini dibiarkan untuk latihan.

Dengan menggunakan teorema ini maka penentuan nilai limit suatu fungsi akan menjadi lebih mudah.

Contoh 6 Carilah 2 3 5 lim x x Penyelesaian: 2 3 5 lim x x = 5 2 3 lim x x teorema 2.2.1 3) = 5 2 3 lim _    x x teorema 2.2.1 8) = 5(3)2 teorema 2.2.1 2) = 45. Contoh 7 Carilah lim(5 2 20) 3   x x Penyelesaian: lim(5 2 20) 3   x x = lim 5 lim 20 3 2 3   x x x teorema 2.2.1 5) = 45 – 20 teorema 2.2.1 1) = 25.

4) lim[f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x)

c x c x c x     

5) lim[f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x)

c x c x c x     

6) lim[f(x).g(x)] lim f(x).lim g(x)

c x c x c x    7) ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x f c x c x c x     , asalkan xlimcg(x)  0 8) n c x n c x x f x f        [ ( )] lim ( ) lim 9) n c x n c x x f x f( ) lim ( ) lim    , asalkan xlimc f(x)0

Contoh 8 Carilah x x x 20 5 lim 2 3   Penyelesaian: x x x 20 5 lim 2 3   = x x x x 3 2 3 lim 20 5 lim    _{teorema 2.2.1 7)} = 3 20 5 lim 2 3   x x teorema 2.2.1 2) dan 9) = 3 25 dari contoh 7. = 3 5

Ingat, bentuk f(x)a₀a₁xa₂x2...a_nxn disebut polinom dan hasil bagi polinom disebut fungsi rasional,

m m n n x b x b x b b x a x a x a a         ... ... 2 2 1 0 2 2 1 0 _.

Teorema 2.4.2 ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema 2.4.1.

Dengan adanya teorma 2.4.2 maka penentuan nilai limit fungsi polinom atau fungsi rasional menjadi sangat mudah, tentunya asalkan syarat perlu pada teorema tersebut untuk fungsi rasional dipenuhi.

Teorema 2.4.2

1) Jika f fungsi polinom maka lim f(x)

c x

= f(c) 2) Jika f fungsi rasional maka lim f(x)

c x

Contoh 9 Tentukan lim 7 5 10 4 13 6 2     x x x x Penyelesaian: lim 7 5 10 4 13 6 2     x x x x = 7(2)5 – 10(2)4 – 13(2) + 6 = 44 Contoh 10 Tentukan 8 6 3 6 13 10 7 lim 2 4 5 2       _{x x} x x x x Penyelesaian: 8 6 3 6 13 10 7 lim 2 4 5 2       _{x x} x x x x = 8 ) 2 ( 6 ) 2 ( 3 6 ) 2 ( 13 ) 2 ( 10 ) 2 ( 7 2 4 5      = 8 44  = 2 11  . Contoh 11 Tentukan 1 2 7 3 lim 2 3 1      _{x x} x x x = 2 3 1 _{( 1)} 7 3 lim     _x x x x Penyelesaian:

Teorema 2.4.2 tidak dapat digunakan karena nilai penyebut di x = 1 adalah nol dan teorema 2.4.1 bagian 7) juga tidak dapat dugunakan karena limit penyebut nol. Tetapi, karena limit pembilang 11, maka selama x mendekati 1 terjadi pembagian bilangan yang dekat 11 dengan bilangan positif dekat 0. Hasilnya adalah sebuah bilangan positif yang besar dan dapat dibuat besar sekehendak kita dengan membiarkan x cukup dekat dengan 1. Dalam hal ini dikatakan limitnya tidak ada. Contoh seperti ini akan diuraikan lebih lanjut pada bagian lain.

Contoh 12 Tentukan 6 10 3 lim ₂ 2 2      _{x x} x x x Penyelesaian:

Sebelum mencoba mengambil limitnya terlebih dahulu diadakan penyederhanaan pecahan dengan faktorisasi.

6 10 3 lim ₂ 2 2      _{x x} x x x = _{( 2)( 3)} ) 5 )( 2 ( lim 2      _{x x} x x x = 3 5 lim 2    _x x x = 5 7

Bukti:

Diberikan bilangan  0 Karena lim f(x)

c x

= L, berarti terdapat bilangan 1 0 sedemikian hingga 0 x – c1f(x) – L L –  f(x)  L + . Karena lim h(x)

c x

= L, berarti terdapat bilangan 2 0 sedemikian hingga 0 x – c2h(x) – L L –  h(x)  L +  Dipilih  = min{1, 2}

Apabila 0 x – c maka berlaku

L –  f(x)  g(x)  h(x)  L +   L –  g(x)  L +   g(x) – L Terbukti lim g(x) c x = L. Contoh 13

Dapat diselidiki bahwa 1 – 6 2 x  x x sin

 1 untuk semua x yang mendekati tetapi tidak 0. Tunjukkan bahwa

x x x sin lim 0  = 1. Penyelesaian: Misalkan f(x) = 1 – 6 2 x , g(x) = x x sin

, dan h(x) = 1, maka lim ( ) 0 f x x = lim1 ₆ 2 0 x x  = 1 dan lim ( ) 0h x x = 1, sehingga diperoleh 6 1 lim 2 0 x x   _x x x sin lim 0   limx01  1  x x x sin lim 0   1

Teorema 2.4.3 (Teorema Apit)

Misalkan f, g dan h adalah fungsi-fungsi dengan f(x)  g(x)  h(x) untuk setiap x di sekitar c, kecuali mungkin di c. Jika lim f(x)

c x = lim h(x) c x = L, maka lim g(x) c x = L.

Berdasarkan teorema 2.4.3 maka dapat disimpulkan x x x sin lim 0  = 1. SOAL 2

1. Untuk fungsi f(x) = 3x3 + x, hitunglah masing-masing nilai

a. f(1) c. f(₂1 ₎ b. f(–6) d. f( x 1 ) 2. Untuk fungsi g(t) = ₂ 1 t t

 , hitunglah masing-masing nilai

a. f(1) c. f(₄1 ₎ b. f(9) d. f( 4 1 x ) 3. Gambarlah grafik fungsi

a.           1 , 3 1 , 4 ) ( 2 x x x x x f b.             2 , 1 2 0 , 1 0 , 1 ) ( 2 x x x x x x g 4. Jika f(x) = x2 + x dan g(x) = 3 2  x , tentukan: a. (f + g)(2) d. (f / g)(1) b. (f – g)(2) e. (g o f)(1) c. (f g)(1) f. (f o g)(1) 5. Jika f(x) = x2 1 dan g(x) = x 2 , tentukan: a. (f g)(x) d. (f o g)(x) b. (f / g)(x) e. f 4(x) + g 4(x) c. (g o f)(x)

Dalam soal nomor 6 – 10, buktikan limit-limit tersebut. 6. lim(3 7) 2 3    x x 7. lim(2 4) 8 2     x x

8. 10 5 25 lim 2 5     _x x x 9. 7 1 6 5 lim 2 1      _x x x x 10. lim 2 2 2   x x

11. Buktikan bahwa jika lim f(x)

c

x = L dan limxc f(x) = M, maka L = M.

12. Misalkan F dan G adalah fungsi-fungsi sedemikian sehingga 0  F(x)  G(x) untuk semua x dekat dengan c, kecuali mungkin di c, buktikan bahwa jika

) ( limG x

c

x = 0 maka limxcF(x) = 0.

Untuk soal-soal berikut (no. 13 s.d. 20), tentukan nilai limit fungsi berikut 13. lim(7 4) 3   x x 14. lim(2 3 5 ) 1 x x x  15. lim(4 2 3)(7 3 2 ) 0 x x x x   16. 24 8 3 lim ₃ 4 2     _x x x 17. 4 2 lim ₂ 2 2    _u u u u 18. 5 4 7 7 lim ₂ 2 1       _{t t} t t t 19. 4 4 ) 6 )( 2 ( lim ₂ 2 2        _{w w} w w w w 20. 1 2 ) 3 2 )( 1 ( lim ₂ 2 1       _{y y} y y y y

2.5 Limit Kiri dan Limit Kanan Contoh 14 f(x) =         1 , 1 , 2 2 x x x x Tentukan lim ( ) 1 x f x , lim ( ) 1 x f x , dan lim ( ) 1 f x

x , selanjutnya gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian: ) ( lim 1 x f x = lim 2 1 1   x x ) ( lim 1 x f x = lim2 1 1    x x Karena lim ( ) 1 x f x = lim ( ) 1 x f x = 1 maka lim ( ) 1 f x x = 1. Definisi

Limit f(x) untuk x mendekati c dari kiri adalah L, ditulis ) ( lim f x c x = L

jika untuk setiap bilangan   0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan   0 sedemikian sehingga apabila 0  c – x  , maka berlaku f(x)L .

Limit f(x) untuk x mendekati c dari kanan adalah L, ditulis

) ( lim f x c x = L

jika untuk setiap bilangan  0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan  0 sedemikian sehingga apabila 0  x – c  , maka berlaku f(x)L .

Teorema 2.5.1 L x f c x ( )

lim jika dan hanya jika lim f(x)

c x = lim f(x) c x = L

Contoh 15 g(x) =         1 , 1 , 3 2 x x x x Tentukan lim ( ) 1 x g x , lim ( ) 1 x g x , dan lim ( ) 1g x x , selanjutnya gambarkan grafik fungsi g

Tentukan lim ( ) 1 g x

x , xlim1g(x), dan limx1g(x), selanjutnya gambarkan grafik

fungsi f. Penyelesaian: ) ( lim 1 x g x = lim 2 1 1   x x ) ( lim 1 g x x = limx13x2 Karena lim ( ) 1 g x

x ≠ xlim1g(x) maka limx1g(x) tidak ada.

2.6 Limit Tak Hingga

Contoh 16 Carilah ₂ 0 1 lim x x jika ada. Penyelesaian: x 2 1 x  1 1  0,5 4  0,2 25  0,1 100  0,05 400  0,01 10.000  0,001 1.000.000

Untuk menunjukkan jenis perilaku seperti uang ditunjukkan dalam contoh ini kita gunakan notasi

Semakin x mendekati 0, x2 juga semakin dekat dengan 0, dan nilai 1₂

x menjadi sangat besar

(lihat tabel di samping). Nampak dari grafik fungsi f(x) = 1₂

x yang diperlihatkan pada gambar 2.4 bahwa nilai f(x) dapat dibuat sangat besar dengan mengambil x cukup dekat ke 0. dengan demikian nilai f(x) tidak mendekati suatu bilangan , sehingga ₂ 0 1 lim x x tidak ada.

2 0 1 lim x x = 

Hal ini tidak berarti bahwa kita menganggap  sebagai suatu bilangan. Tidak juga bermakna bahwa limit tersebut ada. Notasi tersebut hanyalah menyatakan cara khusus untuk menunjukkan bahwa limit tersebut tidak ada.

Secara umum kita tuliskan

) ( lim f x

c

x = 

untuk menunjukkan nilai f(x) menjadi semakin besar ketika x semakin mendekati c. Limit jenis serupa, untuk fungsi yang menjadi negatif tak berhingga ketika x mendekati c dituliskan dengan

) ( lim f x c x = –  Contoh 17       ₀ 2 1 lim x x = – 

Hal ini juga dapat diberlakukan untuk limit kiri dan limit kanan

) ( lim f x c x =  lim f(x) c x =  ) ( lim f x c x = –  lim f(x) c x = – 

Sebuah garis x = c disebut asimtot tegak kurfa y = f(x) jika paling sedikit salah satu dari pernyataan berikut benar:

) ( lim f x c x =  xlimc f(x) =  lim f(x) c x =  ) ( lim f x c x = –  xlimc f(x) = –  lim f(x) c x = –  Sebagai contoh, sumbu Y atau x = 0 merupakan asimtot tegak kurva y = 1₂

x karena 2 0 1 lim x x = .

Contoh 18 Hitunglah   x x tan lim 2 

 dan _xlim  tanx 2   Penyelesaian:   x x tan lim 2   =   _x x x cos sin lim 2   =     x x x x cos lim sin lim 2 2       =    x x tan lim 2   =   _x x x cos sin lim 2   =     x x x x cos lim sin lim 2 2       = –  2.7 Kekontinuan Fungsi

Definisi a mengandung arti bahwa f dikatakan kontinu di c  A jika dipenuhi ketiga syarat berikut: 1) lim f(x) c x ada 2) Nilai f(c) ada 3) lim f(x) f(c) c x  Definisi

Misalkan f : A  R suatu fungsi, maka

a. Fungsi f dikatakan kontinu di c  A jika lim f(x) f(c)

c

x 

Contoh 19 1. f(x) =            2 , 2 , 1 2 4 2 x x x x Apakah f kontinu di x = 2? Gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian: 1) lim ( ) 2 f x x = ₂ 4 lim 2 2    _x x x = ₂ ) 2 )( 2 ( lim 2     _x x x x = limx2(x2) = 4 (ada) 2) f(2) = 1 (ada) 3) Karena lim ( ) 2 f x

x ≠ f(2) maka f tidak kontinu di x = 2. Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada pembaca.

2. f(x) = 2 4 2   x x Apakah f kontinu di x = 2? Gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian: 1) lim ( ) 2 f x x = ₂ 4 lim 2 2    _x x x = ₂ ) 2 )( 2 ( lim 2     _x x x x = limx2(x2) = 4 (ada) 2) f(2) tidak ada

3) Karena f(2) tidak ada, maka f tidak kontinu di x = 2. Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada pembaca.

3. f(x) =            2 , 2 , 4 2 4 2 x x x x Apakah f kontinu di x = 2? Gambarkan grafik fungsi f.

Penyelesaian: 1) lim ( ) 2 f x x = ₂ 4 lim 2 2    _x x x = ₂ ) 2 )( 2 ( lim 2     _x x x x = limx2(x2) = 4 (ada) 2) f(2) = 4 (ada) 3) Karena lim ( ) 2 f x x = f(2) maka f kontinu di x = 2. Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada mahasiswa.

4. f(x) =         1 , 1 , 2 2 x x x x Apakah f kontinu di x = 1? Gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian: 1) lim ( ) 1 x f x = lim 2 1 1   x x ) ( lim 1 x f x = lim2 1 1    x x Karena lim ( ) 1 f x

x = xlim1 f(x) = 1 maka limx1 f(x) = 1 (ada)

Lihat kembali contoh 14. 2) f(1) = 2 – 1 = 1 (ada) 3) Karena lim ( )

1 f x

x = f(1), maka f kontinu di x = 1. Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada mahasiswa.

5. g(x) =         1 , 1 , 3 2 x x x x Apakah g kontinu di x = 1? Gambarkan grafik fungsi g. Penyelesaian: 1) lim ( ) 1 x g x = lim 2 1 1   x x lim ( ) 1 x g x = lim3 2 1    x x

Karena lim ( ) 1 g x

x ≠ xlim1g(x) maka limx1g(x) tidak ada.

(lihat kembali contoh 15) Karena lim ( )

1g x

x tidak ada, maka g tidak kontinu di x = 1

SOAL 2

1. Tentukan limit (sepihak) berikut: a. x x x1 lim b. x x x1 lim c.               1 , 2 1 0 , 0 , ) ( 2 x x x x x x x f , ) ( lim 0 x f x , ) ( lim 0 x f x  , ) ( lim 1 x f x , dan ) ( lim 1 x f x

2. Apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di 2?

a. h(t) =            2 , 2 , 12 2 8 3 t t t t Teorema 2.7.1

1. Fungsi polinom (fungsi suku banyak) kontinu pada R.

2. Jika fungsi-fungsi f dan g keduanya kontinu di c dan k sembarang konstanta maka fungsi f + g, f – g, kf , f /g (asal limg(x)

c

x ≠ 0) juga kontinu di c.

3. Jika g fungsi yang kontinu di c dan f fungsi kontinu di g(c) maka f o g kontinu di c.

b. h(t) =            2 , 2 , 2 2 8 4 t t t t c. g(x) =          2 , 2 , 1 3 2 x x x x d. f(x) =           2 , 2 , 2 4 3 x x x 3. f(x) =              1 , 2 1 0 , 0 , 2 x x x x x x a. Apakah f kontinu di 0? b. Apakah f kontinu di 1? 4.               1 , 1 0 , 0 , ) ( 2 x x x x x x x g a. Apakah g kontinu di 0? b. Apakah g kontinu di 1?