Universitas Indonesia
Asimetri Isospin Pada Materi Quark
Skripsi
Ali Ikhsanul Qauli 1006659123
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Program Studi Fisika
Depok April 2014
Universitas Indonesia
Asimetri Isospin Pada Materi Quark
Skripsi
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana
Ali Ikhsanul Qauli 1006659123
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Program Studi Fisika
Depok April 2014
HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS
Skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri,
dan semua sumber baik yang dikutip maupun yang dirujuk telah saya nyatakan dengan benar.
Nama : Ali Ikhsanul Qauli
NPM : 1006659123
Tanda tangan :
i HALAMAN PENGESAHAN
Skripsi ini diajukan oleh
Nama : Ali Ikhsanul Qauli
NPM : 1006659123
Program Studi : S1 Reguler Fisika
Judul Skripsi : Asimetri Isospin Pada Materi Quark
Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan di-terima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk mempe-roleh gelar sarjana Sains pada Program Studi S1 Reguler Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas In-donesia
DEWAN PENGUJI
Pembimbing I : Dr. Anto Sulaksono ( )
Penguji I : Prof. Dr. Terry Mart ( )
Penguji II : Dr. Agus Salam ( )
Ditetapkan di : Depok
Tanggal : 21 April 2014
v
HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di bawah ini;
Nama : Ali Ikhsanul Qauli
NPM : 1006659123
Program Studi : S1 Reguler Fisika Departemen : Fisika
Peminatan : Fisika Nuklir dan Partikel
Fakultas : Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jenis Karya : Skripsi
demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive Royalty Free Right ) atas karya ilmiah saya yang berjudul :
Asimetri Isospin Pada Materi Quark
beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan, mengalihmedia-/formatkan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta.
Demikian Pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Depok, 21 April 2014
ABSTRAK
Nama : Ali Ikhsanul Qauli Program Studi : S1 Reguler Fisika
Judul Skripsi : Asimetri Isospin Pada Materi Quark
Pada skripsi ini, kebergantungan persamaan keadaan materi quark terhadap parameter isospin dikaji secara teoritik. Model materi quark yang digunakan adalah pengembangan dari model CDDM (Confined Density Dependent Mass) dengan menambahkan suku interaksi isospin pada massa quark. Selanjutnya model ini disebut CIDDM (Confined Isospin Density Dependent Mass). Model CIDDM diuji dengan membandingkan relasi massa-radius bintang yang diha-silkan dengan observasi astrofisika dan hasil prediksi tekanan materi quark pada daerah nilai rapat bilangan baryon yang besar berdasarkan perhitungan pQCD. Hasil yang kami dapatkan menunjukkan bahwa model CIDDM tidak bisa menjelaskan hasil perhitungan pQCD pada daerah nilai densitas baryon yang besar tetapi cukup konsisten dengan observasi bintang kompak dengan massa dua kali massa matahari untuk set parameter DI-2500.
Kata kunci:
Materi quark, isospin, densitas baryon, pQCD, CDDM, CIDDM, bag
ABSTRACT
Name : Ali Ikhsanul Qauli
Program of Study : Undergraduate Program in Physics Title : Isospin Asymmetry In Quark Matter
In this bachelor thesis, the isospin dependence in quark matter’s equation of state have been studied theoretically. The quark matter model used in this study is an extended version of CDDM model where the isospin term in quark’s mass is included. Then this model is called CIDDM (Confined Isospin Density Dependence Mass). CIDDM model has been tested by comparing mass-radius relation which come from astrophysical observation and the equation of state obtained from perturbative QCD (Quantum Chromo Dynamics) calculation. We have found that CIDDM model cannot explain the equation of state from pQCD in large baryon density region but it’s maximum mass prediction is quite consistent with the one from compact stars observation. Namely the pulsar’s mass is about two times larger than solar mass if we use the parameter set DI-2500.
Keywords:
Quark matter, isospin, baryon density, perturbative QCD, CDDM, CIDDM, bag
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah dan petunjuk-Nya kepada kita umat muslim. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurahkan pada Nabi Muhammad SAW, keluarga, para sahabat dan pengikutnya.
Berangkat dari waktu sekitar empat tahun lalu ketika penulis mengikuti pelatnas TOFI (Tim Olimpiade Fisika Indonesia), banyak hal yang penulis dapatkan dan pelajari terkait fisika. Selanjutnya keingintahuan akan suatu topik fisika terkait benda angkasa menjadikan penulis melakuan penelitian lebih lanjut di universitas. Skripsi ini terkait dengan peristiwa kenukliran dalam suatu objek angkasa yang penulis telusuri lebih lanjut yang sebelumnya pernah penulis temui dalam bentuk yang sederhana ketika mengikuti pelatnas. Dalam penulisan skripsi ini, tak lepas dari bantuan dan dukungan berbagai pihak sehingga penulisan skripsi bisa selesai sesuai dengan apa yang penulis rencanakan. Oleh karena itu, patut kiranya penulis mengucapkan terimakasih kepada berbagai pihak yang sudah membantu selama ini.
Penulis mengucapkan banyak terimakasih pada kolega di TOFI, pengeta-huan awal tentang benda angkasa yang diberikan sungguh sangat membantu dalam penulisan skripsi ini. Juga kepada guru pembina yang dengan sabar dan tekun membina penulis sedari sekolah menengah, Pak Purwedi Bambang Rusdiyanto, terimakasih pak telah merelakan waktu, tenaga dan pikiran untuk membina kami.
Dukungan teman-teman fisika terutama fisika angkatan 2010 juga sangat-sangat berpengaruh dalam studi yang penulis lakukan. Kepada sahabat pe-nulis; Ihsan dan Jaka, waktu empat tahun ini terasa cepat, tetapi juga terasa hebat berkat anda. Semoga silaturrahim tetap terjalin dengan baik.
Kepada dosen, Pak Muhammad Hikam, terimakasih sudah menjadikan pe-nulis sebagai asisten mengajar selama kurang lebih 2 tahun, hal tersebut juga merupakan pembelajaran bagi penulis agar bisa menyampaikan gagasan atau ide kepada orang lain dengan tepat. Juga kepada dosen fisika nuklir dan par-tikel, Pak Terry, Pak Anto, Pak Handoko, Pak Imam, Pak Agus dan Pak Handhika, terimakasih telah mengajarkan banyak hal terkait fisika nuklir dan
x
partikel sehingga penulis sadar bahwa banyak misteri di alam ini yang belum terungkap dan perlu diungkap.
Kepada rekan-rekan asisten laboratorium fisika lanjutan, ’joke’ dan diskusi yang rekan-rekan berikan sunggu luar biasa tetapi juga tetap scientific. Keep up the good work buddies!
Untuk teman-teman perantauan dari Madura, kak Desy, kak Danang, kak Qamqam, Ramadhan, Melly, Nur Atika, Dani, Mulya, Ghafiqi, Edwin, Afi-fun, Kadir, dan semua adik-adik angkatan 2011, 2012, dan juga 2013 yang tidak cukup jika saya sebutkan semua di sini, terimakasih sudah menunjukkan bagaimana seharusnya orang Madura itu dengan baik, semoga akan semakin banyak teman-teman kita dari Madura yang akan menyusul ke kampus ini. Beberapa patah kata untuk meneruskan semangat pendahulu saya di kampus ini, let’s dominate this university guys!.
Terimakasih juga penulis ucapkan untuk BATAN, yang telah memberikan bantuan berupa beasiswa, pelatihan ,seminar dan berbagai kegiatan terkait teknologi nuklir. Penulis menjadi paham betapa pentingnya pengembangan teknologi nuklir di Indonesia, dan semoga kedepannya semua pihak bisa turut serta mensukseskan pengembangan teknologi nuklir di Indonesia agar Indone-sia bisa menjadi negara yang mandiri di sektor energi dan lingkungan.
Kepada keluarga di rumah, ayahanda Masdawi Dahlan, ibunda Indra Su-listyawati, adinda Basri Qomari, Azizah Kusuma Dara, dan Cahya Imani Fitri yang sudah mendukung dan menemani penulis selama studi di fisika UI, pe-nulis selalu mendoakan kebaikan untuk kita semua.
Akhir kata penulis berharap agar skripsi ini bisa membawa manfaat bukan hanya untuk bagi pengembangan ilmu pengetahuan fisika secara umum tetapi juga untuk pengembangan metode dan teknik perhitungan komputasi yang lebih cepat dan efisien.
Depok, Mei 2014 Ali Ikhsanul Qauli
DAFTAR ISI
HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS iii
HALAMAN PENGESAHAN i
HALAMAN PERNYATAAN PERSUTUJUAN PUBLIKASI v
ABSTRAK vii
KATA PENGANTAR ix
DAFTAR ISI xi
DAFTAR GAMBAR xiii
1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang . . . 1 1.2 Perumusan masalah . . . 2 1.3 Metode Penelitian . . . 2 1.4 Tujuan Penelitian . . . 2 1.5 Sistematika Penulisan . . . 2 2 MATERI QUARK 3 2.1 Materi Quark dengan model bag MIT . . . 3
2.2 Materi Quark Strange dengan model CDDM dan CIDDM . . . 3
2.3 Persamaan keadaan Materi Quark . . . 4
2.4 Persamaan TOV . . . 6
3 METODE PERHITUNGAN 9 3.1 Perhitungan Persamaan Keadaan Materi Quark . . . 9
3.2 Metode Fixed-Point . . . 11
4 HASIL PERHITUNGAN DAN ANALISIS 13 4.1 CIDDM . . . 13
4.2 Prediksi pQCD . . . 16
xii 5 KESIMPULAN 21 5.1 Kesimpulan . . . 21 5.2 Saran . . . 21 DAFTAR ACUAN 23 A Persamaan TOV 24
DAFTAR GAMBAR
2.1 Prediksi tekanan pada materi quark, diambil dari referensi [8]. . 6 4.1 Fraksi quark up, down, strange dan elektron para model
CI-DDM dengan menggunakan set parameter DI-0. . . 13 4.2 Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-300. . . 13 4.3 Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-2500. . . . 14 4.4 Persamaan keadaan materi quark dengan variasi DI berdasarkan
model CIDDM. . . 15 4.5 Relasi massa dan radius bintang. . . 16 4.6 Prediksi tekanan sebagai fungsi potensial kimia baryon pada
materi quark berdasarkan model CIDDM. . . 17 4.7 Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM
de-ngan nilai parameter yang bervariasi pada DI-300. . . 18 4.8 Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM
de-ngan variasi parameter pada DI-2500. . . 19
BAB 1
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Bintang neutron dipercaya sebagai hasil akhir dari ledakan supernova [1] dan merupakan bintang dengan densitas massa yang sangat besar. Namun ilmuwan percaya bahwa bintang neutron bukanlah satu-satunya hasil akhir dari ledakan supernovae, melainkan ada jenis bintang lain yang lebih besar densitas massanya yakni bintang quark.
Bintang quark bisa muncul dikarenakan densitas massa yang sangat besar dapat memecah neutron menjadi quark-quark penyusunnya. Dari beberapa penelitian menunjukkan bahwa materi quark, sebagai penyusun bintang quark, memiliki kestabilan yang lebih baik dibandingkan dengan materi nuklir [2], sehingga sangat dimungkinkan untuk terbentuk pada bintang quark.
Selanjutnya dengan model Bag MIT, ilmuwan mulai mempelajari struktur dan dinamika bintang quark itu [3], [4], dan [5]. Selama beberapa waktu model Bag MIT mengalami banyak pengembangan sampai dikenal suatu model CDDM (Confined Density Dependent Mass) yang mengikut sertakan densitas materi quark pada perumusannya.
Model CDDM awalnya digunakan untuk menganalisa materi quark yang hanya terdiri dari quark up dan quark down saja [6], namun kemudian ju-ga digunakan untuk materi quark yang terdiri dari tiju-ga quark, yakni quark up, down dan strange. Pada model CDDM massa quark diasumsikan dapat berubah-ubah sesuai dengan densitas massa dari materi quark. Dalam hal ini massa quark diparameterisasi dengan densitas bilangan baryon (nB). Mirip
dengan model Bag MIT, model CDDM ini juga menganggap quark bergerak bebas pada suatu hadron. Hanya saja, pada model CDDM massa quark bi-sa berubah-ubah sesuai dengan densitas masbi-sa disekitarnya sedangkan pada model Bag MIT, massa quark diasumsikan tetap.
Dari semua model tersebut, terdapat suatu batasan, bahwa materi quark yang terdiri dari 2 quark (u dan d) harus memiliki energi minimum per baryon yang lebih besar dari pada 930 MeV, sedangkan untuk tiga quark (u, d dan s) harus lebih rendah dari 930 MeV [2, 3].
2
1.2 Perumusan masalah
Pada penelitian ini, penulis menggunakan model lanjutan dari model CDDM yakni mengikutsertakan isospin pada suku massa quark yakni CIDDM (Confi-ned Isospin Density Dependent Mass). Hal ini dilakukan agar bisa menjelaskan bagaimana karakteristik keadaan materi quark pada temperatur rendah dan densitas baryon rendah. Selanjutnya persamaan keadaan dari materi quark akan bandingkan dengan persamaan keadaan berdasarkan perturbative QCD pada daerah densitas baryon besar untuk mengetahui seberapa baik model ini memberikan perkiraan pada persamaan keadaan quark pada daerah dengan densitas baryon yang besar.
1.3 Metode Penelitian
Penelitian dilakukan dengan analitik dan numerik. Asimetri isospin dan pengaruh densitas baryon pada materi quark dipelajari dengan menambah beberapa suku pada massa quark. Penambahan suku tersebut dikendalikan dengan menggunkan parameter pengali yang disesuaikan sehingga bisa mem-peroleh limit massa dan radius bintang yang sesuai dengan pengamatan. Se-lanjutnya dengan menggunakan metode numerik parameter yang didapat akan dicocokkan dengan perhitungan pQCD.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mempelajari pengaruh isospin dan den-sitas baryon pada bintang quark serta melakukan perbandingan dengan massa maksimum bintang kompak dan mengkaji konsistensi model yang kami gunak-an denggunak-an perhitunggunak-an pQCD.
1.5 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
Bab I berisi pendahuluan, Bab II membahs materi quark, Bab III mendis-kusikan metode penelitian sedangkan hasil perhitungan dan analisa diberikan di Bab IV. Bab V berisi penutup berupa kesimpulan dan saran.
BAB 2
MATERI QUARK 2.1 Materi Quark dengan model bag MIT
Materi quark pada model bag MIT dirumuskan dengan menggunakan pen-dekatan, quark terkurung dalam sebuah bag dimana di dalam bag itu quark bergerak bebas. Dalam penelitian ini, digunakan pendekatan pada suhu nol, maka perumusan rapat energi untuk quark dalam bag menjadi
i = gi 2π2 Z νi p k2+ m i2k2dk, (2.1)
dengan gi adalah faktok degenerasi untuk quark yang bernilai 6 , i = u, d, s. Kemudian dengan menggunakan relasi termodinamika akan diperoleh [12]
Pi = ni
∂i ∂ni − i
, (2.2)
dengan faktor ∂i/∂ni yang dikenal dengan nama potensial kimia.
Selanjutnya untuk tekanan total dari materi quark [2]
P + B = X i Pi = − X i i+ B ! +X i ni ∂ ∂ni , (2.3)
sehingga diperoleh rapat energi untuk materi quark adalah =X
i
i+ B, (2.4)
dimana B adalah konstanta bag.
2.2 Materi Quark Strange dengan model CDDM dan CIDDM Pada model bag MIT, quark diasumsikan bermassa konstan dan bergerak bebas dalam bag. Konstanta bag merupakan representasi interaksi dari quark
4
yang tidak dimasukkan ke dalam suku massa quark melainkan langsung dile-takkan kedalam persamaan densitas energi quark. Pada model CDDM, massa quark dengan densitas baryon nB didefinisikan sebagai:
mq = mq0+ mI = mq0+
D
nBz, (2.5)
dengan mI = nD
Bz adalah suku interaksi quark dan bentuk ini adalah bentuk
fenomenologis. Parameter D ditentukan dari argumen kestabilan materi quark strange (Strange Quark Matter ). Parameter z merupakan parameter skala quark, yang dibuktikan oleh [7] bahwa nilanya adalah z = 1/3. Pada penelitian ini, penulis menggunakan bentuk massa quark dengan adanya kebergantungan terhadap isospin sebagai
mq = mq0+ D nB1/3 − τq
δDInαBe−βnB, (2.6)
dengan DI, α, β adalah parameter yang menentukan kebergantungan pada
isospin, δ adalah parameter asimetri isospin, τqadalah bilangan kuantum
isos-pin pada quark, τq = 1 untuk q = u (quark up), τq =−1 untuk q = d (quark
down) dan τq= 0 untuk q = s (quark strange).
Densitas baryon didefinisikan sebagai nB =
nu+ nd+ ns
3 , (2.7)
yang mana setiap densitas baryon untuk quark didefiniskan sebagai ni =
νi3
π2 (2.8)
νi adalah momentum Fermi untuk tiap quark (i = u, d, s). Kemudian faktor asimetri dari isospin didefinisikan sebagai:
δ = 3nd− nu nd+ nu , (2.9) kemudian didapatkan νu = (1− δ/3) 1 3 ν, (2.10) νd = (1 + δ/3) 1 3 ν. (2.11)
2.3 Persamaan keadaan Materi Quark
Penelitian ini, kami fokus pada materi dengan kondisi temperatur nol (T = 0), sehingga beberapa besaran yang dicari pada materi quark dengan Universitas Indonesia
5
model CIDDM atau CDDM secara umum ditulis dalam bentuk
= X i gi 2π2 Z νi p k2+ m i2k2dk, (2.12) P = − + X i=u,d,s,e niµi, (2.13) µi = ∂ ∂ni . (2.14)
Dimana adalah densitas energi quark, P adalah tekanan dan µ adalah po-tensial kimia. Untuk popo-tensial kimia elektron dirumuskan sebagai
µe =
p
νe2 + me2. (2.15)
Pada perumusan ini, persamaan keadaan untuk quark pada persamaan (2.12) dan (2.13) tidak memasukkan konstanta bag B seperti pada model bag MIT. Hal ini dikarenakan interaksi quark pada sudah dimasukkan kedalam massa quark yang menjadi lebih berat dengan kenaikan kerapatan. Kemudian untuk kondisi kesetimbangan potensial kimia yang terpenuhi adalah
µu+ µe = µd= µs. (2.16)
Kemudian bintang quark diasumsikan netral sehingga 2 3nu = 1 3nd+ 1 3ns+ ne. (2.17)
Dari perumusan (2.16), (2.17) dan (2.7) akan diperoleh beberapa persama-an ypersama-ang npersama-antinya akpersama-an digunakpersama-an untuk mendapatkpersama-an parameter momentum Fermi untuk quark up, down dan strange yang digunakan untuk menghitung persamaan keadaan dari bintang quark.
Dari hasil perhitungan peturbative QCD [8], dirumuskan suatu prediksi tekanan materi quark pada kondisi nB sangat besar. Perumusan tekanan pada
kondisi tersebut adalah
PQCD(µB) = PSB(µB) c1− d1X −ν1 (µB/GeV )− d2X−ν2 , (2.18)
dengan nilai konstanta-konstanta di atas adalah
c1 = 0.9008 (2.19)
d1 = 0.5034 (2.20)
d2 = 1.452 (2.21)
ν1 = 0.3553 (2.22)
6
dan nilai X bisa divariasikan dari 1 sampai 4.
Diperkenalkan suatu besaran yakni tekanan oleh tiga quark bebas (non-interacting) dan tak bermassa sebagai
PSB = 3 4π2 µB 3 4 , (2.24) µB = µu + µd+ µs. (2.25)
Kemudian digunakan perbandingan tekanan pada materi quark P dengan tekanan tiga quark bebas PSB yang kemudian diperoleh grafik sebagai berikut
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 T [GeV] 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 P/P SBFree quarks and gluons Bag model, B=(150MeV)4 pQCD
Lattice
Fig. 1.— Predictions for the pressure of the hot three-flavor QGP obtained from lattice QCD (black dots), the MIT bag model (blue dashed curve) and perturbative QCD (orange band). The error bars in the first and the width of the band in the last result re-flect statistical and systematic uncertainties. The quantities are normalized by the pressure of a system of free quarks and gluons (red line at 1).
J1614-2230, with M = 1.97
± 0.04M⊙ (Demorest et al.
2010), and PSR J0348+0432, with M = 2.01
± 0.04M⊙
(Antoniadis et al. 2013), have changed the situation in a
dramatic way.
In the letter at hand, our aim is to use the
state-of-the-art perturbative QCD calculation of Kurkela et al.
(2010) to construct a simple, easy-to-use EoS for cold
quark matter in compact stars. Although the
diagram-matic computation behind the original result is very
in-volved, it is possible to condense the EoS into a simple
analytic fitting function that provides an accurate
de-scription of the pressure and its two first derivatives with
respect to the chemical potentials. As we will explicitly
demonstrate, this result is immediately amenable to a
determination of the structure of quarks stars, and can
in addition be matched to low energy nuclear EoSs with
considerable ease.
While being as convenient to use as the MIT bag model
EoS, the result we provide improves it in two important
ways. First, as demonstrated in the case of high
temper-ature and vanishing density in Section 2, the MIT bag
model crudely underestimates the importance of
inter-actions at large and intermediate energies, thus leading
to an inaccurate description of the EoS. Secondly — and
perhaps more importantly — our perturbative EoS
auto-matically includes an estimate of its inherent systematic
uncertainties via a dependence on the renormalization
scale parameter. Thus, it replaces the fallaciously
single-valued prediction of the MIT bag model EoS by a band,
whose width correctly increases at low densities, where
the uncertainty of any quark matter EoS is bound to be
sizable.
2.
THE QUARK-GLUON PLASMA EQUATION OF STATETo motivate our upcoming discussion of the EoS of
cold quark matter, we first briefly discuss the
analo-gous problem at high temperature and vanishing baryon
density. Here, one is faced with the task of
connect-ing a low-energy hadron resonance gas EoS to the
high-temperature limit, where a perturbative description of
the thermodynamics is expected to be feasible. At
in-termediate temperatures, one has the possibilities of
us-ing resummed perturbation theory, the MIT bag model,
0 1 2 3 4 5 6 µB [GeV] 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 P/P SB Free quarks
Bag model, B=(150MeV)4 pQCD
Fig. 2.— Same as in Fig. 1, but for the pressure of zero-temperature quark matter in β equilibrium as a function of the baryon chemical potential.
or other, more elaborate model calculations to estimate
the behavior of the EoS. The matching of these EoSs to
the hadron resonance gas results can in addition be used
to determine the approximate location of the crossover
transition, where the degrees of freedom used to describe
the system effectively change from hadronic to partonic
ones.
Despite the obvious similarities of the two systems,
there is one crucial difference between the description
of QCD matter at high density and high temperature:
for the hot and dilute QGP, lattice QCD provides a
reli-able nonperturbative first principles method to evaluate
bulk thermodynamic quantities, and thus check the
ac-curacy of the perturbative and model predictions. This
is illustrated in Fig. 1, where we plot the pressure of the
hot QGP at vanishing baryon number density,
normal-ized to that of a free system. The figure exhibits a
per-turbative band obtained from the so-called ‘Dimensional
Reduction (DR) resummation’ (see Blaizot et al. (2003);
Laine & Schroder (2006)) of the highest complete
weak-coupling result of order α
5/2s(Zhai & Kastening 1995;
Kajantie et al. 2002),
2as well as a curve corresponding
to the prediction of the MIT bag model, in which we
have used the typical value of (150 MeV)
4for the bag
constant. The two predictions are compared to
state-of-the-art lattice data from Borsanyi et al. (2010),
corre-sponding to two massless and one massive flavor of
dy-namical quarks.
What one sees in Fig. 1 is quite striking: whereas the
resummed perturbative EoS clearly provides a successful
description of the zero density EoS (and even more so
at small but nonzero baryon number chemical potential
µ
B(Mogliacci et al. 2013)), the MIT bag model
predic-tion badly fails in the same task. Inspecting the figure,
one quickly sees that this can be attributed to the
ex-tremely sharp rise of the bag curve towards the
nonin-teracting Stefan-Boltzmann limit, proportional to 1/T
4.
At the same time, the logarithmic dependence of the
per-turbative EoS on the temperature, originating from the
running of the strong coupling constant, is in excellent
2 Note that at high temperatures the strong infrared (T /p)-tail
of the gluonic Bose-Einstein distribution renders the EoS sensitive to the dispersion relation of soft gluons (with p∼ α1/2s T ), creating
a need for performing resummations. This complication is largely absent in the case of cold fermionic matter where there are no strong infrared tails.
Gambar 2.1: Prediksi tekanan pada materi quark, diambil dari referensi [8].
2.4 Persamaan TOV
Persamaan TOV menjelaskan bagaimana tekanan pada suatu benda yang bermassa besar bergantung dengan posisi atau jarak dari pusat benda.
Persamaan TOV ditulis dalam bentuk persamaan differensial sebagai ber-ikut dp dr = − G ρ +cp2 M + 4πr3 pc2 r r− 2M Gc2 , (2.26) dM dr = 4πr 2ρ. (2.27) Universitas Indonesia
7
Persamaan (2.26) dan (2.27) menggunakan satuan yang disesuaikan, yakni ¯
h = c = 1. Untuk menyelesaikan persamaan differensial tersebut, dibutuhkan syarat batas sebagai berikut:
1. M (r = 0) = 0 2. p (r = R) = 0
3. Nilai (r = 0) dan p (r = 0) di pusat bintang bisa dipilih dari persamaan keadaan untuk materi quark.
Untuk mendapatkan relasi massa dan jari-jari bintang dengan mengguna-kan persamaan differensial pada (2.26) dan (2.27), penulis menggunamengguna-kan me-tode numerik Runge-Kutta orde 4.
Pada metode Runge-Kutta orde 4, persamaan (2.26) dan (2.27) dimodi-fikasi sedemikian hingga dalam proses perhitungan tidak muncul suatu nilai yang sangat-sangat besar. Hal ini sangat penting mengingat pada penelitian ini digabungkan antara dua skala yang sangat berbeda. Satu dari sektor nuklir dimana interaksi quark terjadi pada skala Fermi, sedangkan satu lagi dari sek-tor gravitas bintang dimana materi quark terbentuk dengan skala kilometer.
Algoritma metode Runge-Kutta orde 4 untuk sistem persamaan differensial adalah sebagai berikut: Sistem persamaan differensial orde satu yang didefi-nisikan sebagai
u0j = du
dt = fj(t, u1, u2, ..., um) , (2.28) dimana m adalah jumlah persamaan differensial dalam sistem persamaannya yang berada pada daerah a ≤ t ≤ b dengan kondisi awal uj(a) = αj.
Kemu-dian definisikan atau inisialisasi interval nilai t dalam setiap perhitungan, kita sebut h
h = (b− a)
N , (2.29)
dengan N + 1 adalah jumlah titik yang akan dihitung dan terdapat N inte-rval. Kita tentukan wj = αj, untuk kondisi mula-mula output yang dihasilkan
adalah (t, w1, w2, w3, ..., wm), sedangkan untuk langkah selanjutnya mengikuti
prosedur sebagai berikut:
Pada setiap langkah iterasi i = 1, 2, ..., N 1. Untuk tiap j = 1, 2, 3..., m
8 2. k1,j = hfj(t, w1, w2, w3, ..., wm) 3. k2,j = hfj([t + h/2] , [w1+ k1,1/2] , [w2+ k1,2/2] , ..., [wm+ k1,m/2]) 4. k3,j = hfj([t + h/2] , [w1+ k2,1/2] , [w2+ k2,2/2] , ..., [wm+ k2,m/2]) 5. k4,j = hfj([t + h] , [w1 + k3,1] , [w2 + k3,2] , [w3 + k3,3] , ..., [wm+ k3,m]) 6. wj = wj + (k1,j + 2k2,j + 2k3,j + k4,j) /6 7. Jadikan t = a + ih 8. Output (t, w1, w2, w3, ..., wm) .
Kemudian dari metode Runge-Kutta di atas, persamaan (2.26) dan (2.27) dimodifikasi sedemikian hingga bisa didefinisikan
f1(p, M ) = dp dr = −G ( (p) + p) (M + 4πr 3p) r r− 2GMr . (2.30) f2(p) = dM dr = 4π (p) r2. (2.31)
Densitas energy (p) didapat dari hasil fitting data pada persamaan keadaan materi quark yang didapat sebelumnya.
BAB 3
METODE PERHITUNGAN 3.1 Perhitungan Persamaan Keadaan Materi Quark
Pada bab ini akan kami kompilasi hasil-hasil perhitungan analitik yang kami dapat. Dari persamaan (2.12) dengan menggunakan proses integral Z √ k2+ m2k2dk = 1 8 h k√k2+ m2 2k2+ m2 − m4lnk +√k2+ m2i, diperoleh =X i gi 2π2 1 8 " νi q νi2+ m2i 2νi2+ m2i − m4i lnνi+pν 2 i + m2i mi # . (3.1)
Kemudian dari persamaan potensial kimia (2.14) akan diperoleh : potential kimia quark up sebagai
µu = p ν2 u+ m2u+ 3 2π2 " muνu p ν2 u+ m2u − m3uln νu+pν2 u + m2u mu # × ( 1 3 " − D 3n4/3B + δDInαB−1e−βnB(βn B− α) # + 6nd (nd+ nu)2 DInαBe−βnB ) + 3 2π2 " mdνd q νd2+ m2d− m3dlnνd+pν 2 d + m2d md # × ( 1 3 " − D 3n4/3B − δDIn α−1 B e−βnB (βnB− α) # − 6nd (nd+ nu)2DIn α Be−βnB ) ,
sedangkan untuk quark down adalah
µd = q ν2 d+ m2d+ 3 2π2 " muνu p ν2 u+ m2u− m3uln νu+pνu2+ m2u mu # × ( 1 3 " − D 3n4/3B + δDIn α−1 B e−βnB(βnB− α) # − 6nu (nd+ nu)2 DInαBe−βnB ) + 3 2π2 " mdνd q νd2+ m2d− m3dlnνd+pν 2 d+ m2d md # × ( 1 3 " − D 3n4/3B − δDIn α−1 B e−βnB (βnB− α) # + 6nu (nd+ nu)2DIn α Be−βnB ) .
10
Kemudian untuk quark strange adalah
µs = p ν2 s + m2s+ 3 2π2 " muνu p ν2 u+ m2u− m3uln νu+pν2 u+ m2u mu # ×1 3 " − D 3n4/3B + δDInα−1B e−βnB (βn B− α) # + 3 2π2 " mdνd q νd2+ m2d− m3dlnνd+pν 2 d+ m2d md # ×13 " − D 3n4/3B − δDIn α−1 B e−βnB(βnB− α) # + 3 2π2 " msνs p ν2 s + m2s− m3sln νs+pνs2+ m2s ms # − D 3nB4/3 1 3. sehingga selisih keduanya adalah
µu− µd = pν2 u+ m2u− q ν2 d+ m2d +DInαBe−βnB f νu mu 6nu nu+ nd − f νd md 6nd nu+ nd , (3.2) dan µu− µs = p νu2 + mu2− p νs2+ ms2 +DInBe−βnB 6nd (nd+ nu)2 f νu mu nu− f νd md nd + D 9n4/3B nsf νs ms . (3.3)
Di sini f (x) didefinisikan sebagai f (x) = 3
2x3
h
x√x2+ 1− lnx +√x2+ 1i.
Pada proses perhitungan, besaran yang menentukan persamaan keadaan ma-teri quark adalah momentum Fermi untuk tiap konstituen (quark up, down, strange dan electron). Selanjutnya dari momentum Fermi yang diperoleh nan-tinya akan didapatkan persamaan keadaan (tekanan dan densitas energi) dari materi quark strange. Hasil dari persamaan keadaan yang didapat akan digu-nakan sebagai input untuk menghitung persamaan TOV.
Dari persamaan (2.16) dan (2.17) juga (3.2) dan (3.1) bisa diperoleh per-umusan untuk perhitungan numerik. Pertama, dari (2.16) bisa diperoleh dua Universitas Indonesia
11
persamaan sebagai berikut
Eu− Es+ DInαBe−βnB nuf νu mu − ndf νd md 6nd (nu+ nd)2 + µe = 0 (3.4) Ed− Es+ DInαBe−βnB ndf νd md − nuf νu mu 6nu (nu+ nd)2 = 0 (3.5) dengan Ei = q νi2+ m2i.
Dari tiga persamaan (3.4), (3.5), (2.7) dan (2.17) bisa dicari nilai momen-tum Fermi untuk masing-masing konstituen pada nilai densitas baryon terten-tu. Secara umum, momentum Fermi masing-masing konstituen bisa ditemuk-an dengditemuk-an cara mencari solusi untuk sistem persamaditemuk-an non-linear. Metode dalam perhitungan numerik yang dikerjakan dalam penelitian adalah metode fixed-point.
3.2 Metode Fixed-Point
Pada metode fixed-point [10] sistem persamaan non-linear diselesaikan de-ngan memberikan suatu nilai solusi tebakan. Kemudian dari solusi tebakan di awal perhitungan tersebut, dicari solusi baru yang lebih akurat. Begitu seterusnya sampai tercapai suatu keadaan konvergen, yakni ketika solusi yang diperoleh pada setiap proses perhitungan sudah tidak mengalami perubahan yang signifikan.
Tahap pertama adalah menentukan persamaan apa saja yang masuk dalam sistem persamaan non-linear, dalam penelitian ini persamaan tersebut adalah persamaan (3.4), (3.5), (2.7) dan (2.17). Ada 4 (empat) variable yang ingin dicari, sehingga perlu ada 4 (empat) persamaan yang tersedia. Dalam hal ini penulis menggunakan variable nB sebagai nilai input untuk menghitung νu,
νd, νs dan νe. Namun dari keempat persamaan tersebut, bisa disederhanakan
menjadi 2 persamaan saja. Berikutnya persamaan yang digunakan ke dalam teknis komputasi adalah
p ν2
u + m2u− F1(νu, νd) = 0, (3.6)
q
12 sehingga dihasilkan νu = q F12(νu, νd)− m2u, (3.8) νd = q F22(νu, νd)− m2d.. (3.9)
Perumusan di atas menggunakan fungsi yang hanya bergantung dari νudan
νdsaja, karena variabel lain seperti νsdan νe sudah disubtitusi dari persamaan
(2.7) dan (2.17) ke persamaan (3.4) dan (3.5).
Selanjutnya dengan metode fixed-point, dari persamaan (3.8) dan (3.9) menjadi νui+1 = νui − C νui − q F2 1 (νui, νdi)− m2u , (3.10) νdi+1= νdi − C νdi − q F22(νi u, νdi)− m2d , (3.11)
dengan i adalah iterasi perhitungan dan C adalah suatu konstanta tak berdi-mensi yang nilainya cukup kecil. Konstanta ini berguna untuk menghindari perubahan nilai solusi yang signifikan. Semakin kecil nilai C maka semakin akurat dalam pencarian solusi.
Kemudian syarat agar solusi bisa didapatkan adalah nilai berhenti dari perhitungan menunjukkan hasil yang konvergen. Pada penelitian ini, penulis menggunakan syarat konvergen saat hasil dari persamaan berikut
p ν2 u + m2u− F1(νu, νd)' 0, (3.12) q νd2+ m2d− F2(νu, νd)' 0. (3.13) Universitas Indonesia
BAB 4
HASIL PERHITUNGAN DAN ANALISIS
4.1 CIDDM
Pada bab ini kami akan memberikan hasil-hasil perhitungan numerik ber-dasarkan analisisnya. Dari hasil perhitungan, diperoleh beberapa hasil plot yang kami tunjukkan pada Gambar 4.1 - 4.3.
-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.5 1 1.5 Fraction nB(fm-3) (a) DI-0 u d s e
Gambar 4.1: Fraksi quark up, down, strange dan elektron para model CIDDM dengan
menggunakan set parameter DI-0.
-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.5 1 1.5 Fraction nB(fm-3) (a) DI-300 u d s e
14 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.5 1 1.5 Fraction nB(fm-3) (a) DI-2500 u d s e
Gambar 4.3: Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-2500.
Pada Gambar 4.1, Gambar 4.2 dan Gambar 4.3 untuk set parameter DI−0
kami menggunakan parameter DI = 0, α = 0, β = 0, D1/2 = 156 MeV pada
perhitungan, set parameter ini merupakan parameter yang biasa digunakan pada model CDDM [11]. Untuk set parameter DI − 300 set parameter yang digunakan adalah DI = 300 MeV.fm3α, α = 1, β = 0.1 fm3, D1/2 = 151
MeV dan untuk set parameter DI− 2500, parameter yang digunakan adalah
DI = 2500 MeV.fm3α, α = 0.8, β = 0.1 fm3 dan D1/2 = 144 MeV. Terlihat
bahwa fraksi quark up, down dan strange akan bernilai sama para kondisi rapat bilangan baryon yang tinggi. Pada saat itu juga fraksi elektron bernilai sangat kecil mendekati nol. Hal ini mengindikasikan bahwa pada kondisi nilai nByang besar untuk mencapai keadaan yang netral, lepton (dalam hal ini elektron) tidak berperan penting. Sedangkan pada kondisi nByang cukup kecil, terdapat
perbedaan nilai fraksi antara ketiga parameter isospin terutama pada fraksi quark down, strange dan elektron. Pada parameter isospin yang lebih besar kondisi keseimbangan dan netralitas tetap terpenuhi dimana efeknya dikontrol oleh nilai dari parameter DI.
Dilihat dari persamaan keadaan yang dihasilkan dari model CIDDM, dari Gambar 4.4 terlihat bahwa semua energi minimum materi quark strange ber-ada di bawah nilai 930 MeV. Hal ini sesuai dengan prediksi dari referensi [3]. Dimana kestabilan materi quark membutuhkan energi minimum yang kurang dari 930 MeV. Nilai dari tekanan pada daerah nilai nB → 0 menunjukkan nilai negatif sedangkan pada rapat energi menunjukkan nilai positif. Hal ini sesuai dengan kriteria model bag MIT yang mengindikasikan hal yang sama [7].
Plot relasi massa dan radius bintang pada Gambar 4.5. Terlihat bahwa Universitas Indonesia
15 50 150 250 350 450 550 650 750 850 950 1050 1150 1250 0.4 0.8 1.2 1.6 2 nB(fm-3) (a) DI-0 P(MeV/fm-3) E(MeV) 0.4 0.8 1.2 1.6 2 nB(fm-3) (b) DI-300 0.4 0.8 1.2 1.6 2 nB(fm-3) (c) DI-2500
Gambar 4.4: Persamaan keadaan materi quark dengan variasi DI berdasarkan model
CIDDM.
pada persamaan keadaan yang kebergantungan pada isospinnya paling besar memiliki massa maksimum paling besar. Pada hasil pengamatan massa pulsar PSR J1614-2230 dengan massa 1.97± 0.04 massa solar menunjukkan bahwa pada pulsar atau bintang quark yang memiliki massa maksimum lebih besar, maka kebergantungan pada isospin juga semakin besar.
Selanjutnya dapat dilihat di Gambar 4.6, tekanan materi quark dengan te-kanan quark bebas (free) menunjukkan nilai asimtotik yang berbeda dengan hasil perhitungan pQCD (Gambar 2.1). Hasil dari model CIDDM memberi-kan prediksi bahwa pada nilai densitas baryon nB yang besar, materi quark
menjadi quark yang tidak saling berinteraksi. Hal ini diindikasikan dengan nilai perbandingan P/PSB yang bernilai 1 dinilai nB yang besar.
Namun pada kondisi nilai rapat bilangan baryon nByang kecil, berdasarkan
Gambar 4.8, kondisi awal materi quark lebih ditentukan oleh besarnya nilai parameter D. Dengan memperbesar nilai D pada suku massa quark, maka diperoleh grafik prediksi yang mulai pada nilai nB yang lebih besar.
16 0.5 1 1.5 2 2 4 6 8 10 12 M/M sun Radius (km) J1614-2230 DI-0 DI-300 DI-2500 B1/4=154.5 MeV
Gambar 4.5: Relasi massa dan radius bintang.
4.2 Prediksi pQCD
Dari kurva plot prediksi tekanan pada materi quark strange, bisa dilakukan perumusan analitik bagaimana perilaku tekanan pada model CIDDM pada kondisi rapat bilangan baryon (nB) yang sangat besar.
Pada kondisi nilai nB yang cukup besar, maka terjadi kondisi
1. νu = νd= νs= ν
2. nu = nd= ns = nB = ν
3
π2
3. mu = md = m6= ms= constant
juga pada perumusan potensial kimia pada materi quark menjadi 1. µu = µd' √ ν2+ m2 2. µs' √ ν2+ m s2 3. µe' 0
yang menyebabkan beberapa besaran seperti tekanan dan densitas energi
17 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1000 1500 2000 2500 3000 3500 P/P SB µB(MeV) DI-0 DI-300 DI-2500
Gambar 4.6: Prediksi tekanan sebagai fungsi potensial kimia baryon pada materi quark
berdasarkan model CIDDM.
tang perumusannya menjadi
P = − + X i=u,d,s,e niµi, ' − 6 8π2 " ν√ν2+ m2 2ν2+ m2 − m4ln ν m + r ν m 2 + 1 !# − 3 8π2 νpν2+ m s2 2ν2+ ms2 − ms4ln ν ms + s ν ms 2 + 1 +2ν 3 π2 √ ν2+ m2+ ν 3 π2 p ν2 + m s2. (4.1)
Dengan menggunakan pendekatan matematis berupa (1 + x)n' 1 + nx,
untuk nilai x = m/ν << 1, sehingga persamaan (4.1) dengan menjaga orde m/ν tidak lebih dari 2, menjadi
P ' − 6 8π2 2ν2 ν2+ m2 − 3 8π2 2ν2 ν2+ ms2 +3ν 4 π2 + m2ν2 π2 + ms2ν2 π2 . (4.2)
Kemudian pada perumusan pressure untuk tiga quark tak bermassa PSB = 3 4π2 µB 3 4 , (4.3) µB = 3ν, (4.4)
18
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
P/P
SBµ
B(MeV)
DI-300
=1; =0.1; D=0.58
=2; =0.1; D=0.58
=2.5; =0.1; D=0.58
=3.0; =0.1; D=0.58
=1.0; =0.1; D=1.0
=1.0; =0.1; D=1.5
=1.5; =0.1; D=1.0
Gambar 4.7: Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM dengan nilai
parameter yang bervariasi pada DI-300.
sehingga
PSB = 3 4π2ν
4. (4.5)
Selanjutnya, rasio dari pressure P pada materi quark CIDDM model de-ngan PSB menjadi P PSB = − + P i=u,d,s,eniµi 3 4π2 (µB/3) 4 , ' 1 −2 3 m2 ν2 − 1 3 ms2 ν2 , (4.6)
Dari perumusan dan hasil grafik bisa diperkirakan bahwa dari model CI-DDM, pada kondisi rapat bilangan baryon nB yang sangat besar, quark
cen-derung bersifat bebas dan tak terikat satu sama lain. Hal itu ditunjukkan pada persamaan (4.6) yang akan bernilai P/PSB ' 1 ketika nilai nB atau ν
menjadi sangat besar. Nilai 1 mengindikasikan bahwa tekanan pada materi quark adalah sama dengan tekanan pada tiga quark yang saling bebas.
Hal ini disebabkan pada keadaan nilai nB yang besar, masing-masing quark yang terkurung dalam suatu bag dengan suatu tekanan tertentu (konstan) bisa menembus dinding bag yang menyebabkan quark menjadi bebas. Dalam hal ini diambil analogi model bag MIT karena hasil yang sama juga terjadi pada model ini. Dan kalau kita telusuri lebih lanjut, memang model CIDDM adalah suatu model yang dikembangkan berdasarkan model bag MIT.
19
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
P/P
SBµ
B(MeV)
DI-2500
=0.8; =0.1; D=0.53
=1.5; =0.1; D=0.53
=2.0; =0.1; D=0.53
=1.0; =2.5; D=0.53
Gambar 4.8: Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM dengan variasi
parameter pada DI-2500.
Jika dibandingkan dengan hasil pQCD, menunjukkan pada kondisi nilai nB
yang besar pun quark tetap berinteraksi dalam bag, tetapi kali ini nilai bag tidak konstan namun berubah (membesar) seiring membesarnya nilai nB.
Pada tekanan materi quark yang bernilai nol yang berarti tekanan materi quark sama besar dengan konstanta bag B. Konstanta bag diibaratkan sebagai tekanan yang digunakan untuk membuat vakum bag.
Ketika melakukan variasi dengan menaikkan nilai D, terlihat pada plot prediksi Gambar 4.8 bahwa tekanan pada nilai nol bergeser ke nilai nB yang
lebih besar. Hal ini disebabkan interaksi antar quark semakin kuat dengan memperbesar nilai parameter D, interaksi yang terjadi adalah interaksi tarik-menarik. Pada nilai nB tertentu, tekanan akibat interaksi tarik-menarik pada
materi quark bisa diimbangi dengan energi kinetiknya. Sehingga untuk nilai D yang semakin besar, dibutuhkan energi kinetik yang lebih besar (dalam hal ini energi kinetik berkaitan dengan nilai dari nB). Sedangkan dengan menaikkan
nilai parameter isospin, ternyata tidak terjadi pergeseran grafik yang meng-indikasikan bahwa interaksi isospin tidak memegang peranan penting dalam menentukan keadaan materi quark terutama pada nilai nB yang besar.
Melihat dari persamaan (4.6) dan dari Gambar 4.6 dan juga Gambar 4.8 dapat diperkirakan bahwa dibutuhkan suatu perumusan tekanan materi quark yang tidak bernilai asimtotik 1 pada nilai nByang besar. Penulis
20
suatu nilai bag tertentu yang nilainya bergantung pada nilai nB, semakin besar
nilai nB maka semakin besar nilai bag.
Melihat dari hasil perumusan (4.6), nilai bag yang dibutuhkan pada peru-musan pressure agar konsisten dengan hasil pQCD perlu ditulis dalam bentuk
B = B0PSB (4.7)
dengan B0 adalah suatu parameter yang menunjukkan seberapa besar interaksi rata-rata antar quark.
BAB 5 KESIMPULAN 5.1 Kesimpulan
Dari basil perhitungan untuk model CIDDM dan perbandingan dengan perhitungan perturbative QCD, bisa disimpulkan bahwa
1. Sebagai pengembangan dari model bag MIT, model CIDDM sesuai de-ngan kriteria model bag MIT para nilai densitas baryon rendah.
2. Model CIDDM cukup akurat dalam menentukan relasi mass-radisu bin-tang. Gambar 4.5 menunjukkan bahwa kebergantungan isospin berper-an dalam menentukberper-an harga massa maksimum pada relasi massa-radius bintang.
3. Persamaan keadaan bintang pada densitas baryon yang rendah bisa dip-rediksi dengan menggunakan CIDDM.
4. Pada daerah nilai densitas baryon yang besar, berdasarkan model CI-DDM, quark cenderung bersifat bebas (free) terlihat dari Gambar 4.6. Berbeda dengan prediksi perturbative QCD yang memprediksi bahwa qu-ark pada daerah nilai densitas baryon besar ququ-ark cenderung memiliki interaksi rata-rata yang bergantung densitas baryon. Hal ini terlihat dari Gambar 2.1.
5. Untuk menghasilkan prediksi yang sesuai dengan perhitungan pertur-bative QCD, dibutuhkan nilai tekanan yang sebanding dengan tekanan materi quark bebas (free) pada nilai densitas baryon yang besar.
5.2 Saran
Dari hasil yang disajikan dalam skripsi ini, beberapa kesimpulan didapat seperti dengan model CIDDM ternyata pada nilai densitas baryon besar quark cenderung bersifat bebas dan bertentangan dengan prediksi perturbative QCD yang mana quark cenderung berikatan. Dengan demikian, penelitian lebih lanjut diperlukan untuk mendapatkan perumusan persamaan keadaan bintang
22
yang lebih baik berdasarkan model CIDDM. Persamaan keadaan tersebut ha-rus sesuai dengan kriteria model bag MIT pada nilai densitas baryon rendah dan sesuai dengan perhitungan perturbative QCD pada nilai densitas baryon tinggi.
DAFTAR ACUAN
[1] Lattimer. J. M. (2005). Neutron Stars. SLAC Summer Institute on Par-ticle Physics.
[2] Weber, F. (2004). Strange Quark Matter and Compact Stars. arXiv: astro-ph/0407155v2.
[3] Farhi, E., Jaffe, R. L. (1984). Strange Matter. Phys. Rev. D, 30, 2379. [4] Chodos, A., Jaffe, R. L., Johnson, K., Thorn, C. B., Weisskopf, V.
F.(1974). New Extended Model of Hadrons. Phys. Rev. D, 9, 3471. [5] A. Chodos, R. L. Jaffe, K. Johnson, C. B. Thorn.(1974). Baryon Structure
in The Bag Theory. Phys. Rev. D 10, 2599.
[6] Fowler, G. N., Raha, S., Weiner, R. M.(1981). Z. Phys. C, 9, 271. [7] Peng, G. X., Chiang, H. C., Yang, J. J., Li, L., Liu, B.(1999). Mass
For-mulas and Thermodynamic Treatment in The Mass-Density-Dependent Model of Strange Quark Matter. Phys. Rev. C, 61, 015201.
[8] Fraga, E. S., Kurkela, A., Vourinen, A.(2013). Interacting Quark Matter Equation of State for Compact Stars. arXiv:1311.5154v1 [nucl-th].
[9] Ryder, Lewis.(2009). Introduction to General Relativity, P.146-150, 243-250, University of Kent, UK: Cambridge University Press.
[10] Richard, L. B., J. Douglas F(2010). Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning
[11] Chu, P. C., Chen, L. W. (2012). Quark Matter Symmetry Energy and Quark Stars. arXiv:1212.1388v1 [astro-ph.SR].
[12] Glendenning, N. K(2000). Compact Stars: Nuclear Physics, Particle Physics, and General Relativity (2nd ed). Springer.
LAMPIRAN A Persamaan TOV
Dari referensi [9], persamaan TOV mulai dari perumusan tensor energi-momentum untuk fluida yang diam
˜ Tµν = ρ 0 0 0 0 cp2 0 0 0 0 cp2 0 0 0 0 cp2 , (A.1)
atau bisa ditulis dalam bentuk ˜ T00 = ρ, (A.2) ˜ Tij = p c2δij, (A.3) dan ˜ Tµν = 0, (A.4) untuk nilai µ6= ν.
Selanjutnya, bentuk kontravarian (agar tensor energi-momentum invariant terhadap transformasi Lorentz) dari ˜Tµν adalah
Tij = ΛiµΛjνT˜µν, (A.5) dengan Λik = δki +γ − 1 v2 v iv k, (A.6) Λi0 = γv i c, (A.7) Λ00 = γ, (A.8)
adalah elemen-elemen matriks Lorentz.
Sehingga, perumusan tensor energi-momentum menjadi Tij = ΛikΛjmT˜km+ Λi0Λj0T˜00 = δki +γ− 1 v2 v iv k δmj +γ − 1 v2 v jv m p c2δ km+ γ2vivj c2 ρ, (A.9) T00 = Λ0iΛ0jT˜ij + Λ002T˜00 = γ2− 1 p c2 + γ 2ρ, (A.10) 24 Universitas Indonesia
25
atau bisa ditulis dalam bentuk yang lebih kompak Tµν = p c2g µν+ρ + p c2 uµuν, (A.11) dengan gµνuµuν =−1 = gµνuµuν. (A.12) Untuk mendapatkan tensor metrik gµν, berawal dari ansatz yang sudah umum digunakan [9] gµν = −e−2k 0 0 0 0 e−2m 0 0 0 0 r12 0 0 0 0 r2sin12θ , (A.13) gµν = −e2k 0 0 0 0 e2m 0 0 0 0 r2 0 0 0 0 r2sin2θ . (A.14)
Kemudian persamaan-persamaan di atas digunakan untuk menyelesaikan per-samaan medan Einstein sebagai
Rµν − 1 2δ µ νR = 8πG c2 T µ ν, (A.15)
untuk mendapatkan perumusan metrik untuk interior bintang dengan suatu jari-jari Rstar tertentu.
Dengan beberapa relasi berikut
Tνµ = Tµαgαν, (A.16)
Rµν = gµαRαν, (A.17)
R = gµνRµν
= R00+ R11+ R22+ R33, (A.18) dengan definisi Christoffel symbol
Γνµκ = 1 2g
νρ(g
µρ,κ+ gκρ,µ− gµκ,ρ) , (A.19)
dan tensor Ricci
26 akan diperoleh R00 = e−2m −k00− (k0)2+ k0m0− 2k 0 r , (A.21) R11 = e−2m −k00− (k0)2+ k0m0− 2m 0 r , (A.22) R22 = R33 = e−2m −1 r2 − k0 r + m0 r + 1 r2, (A.23) R = e−2m −2k00− 2 (k0)2+ 2k0m0 −4 r (k 0 − m0)− 2 r2 +2 r2, (A.24) dengan a0 = da dr, (A.25) dan Tνµ = −ρ 0 0 0 0 cp2 0 0 0 0 cp2 0 0 0 0 cp2 . (A.26)
Subtitusi relasi (A.21), (A.22), (A.23), (A.24), dan (A.26) ke dalam persa-maan medan Einstein (A.15), maka kita mendapatkan hasil sebagai berikut
e−2m −2 rm 0+ 1 r2 − 1 r2 = − 8πGρ c2 (A.27) e−2m 2 rk 0+ 1 r2 − 1 r2 = − 8πG c2 p c2, (A.28) e−2m k00+ (k0)2− k0m0 +k 0 r − m0 r = 8πG c2 p c2. (A.29)
Dari persamaan (A.27) akan didapat bahwa e−2m = 1− 8πGρ
3c2 r
2, (A.30)
juga dari persamaan (A.28) setelah didifferensialkan terhadap r lalu disubti-tusikan ke persamaan (A.29) untuk mendapatkan
8πG c4 p 0 =−2k0 r (k 0+ m0) e−2m. (A.31) Universitas Indonesia
27
Jumlahkan persamaan (A.27) dan (A.28) untuk mendapatkan e−2m(k0+ m0)2 r = 8πG c2 ρ + p c2 . (A.32)
Kemudian bandingkan persamaan (A.31) dan (A.32) untuk mendapatkan p0 c2 =−k 0ρ + p c2 . (A.33)
Dari persamaan (A.33) ini bisa didapatkan persamaan TOV, dengan mensub-titusi k0 ke persamaan (A.28) untuk mendapatkan
dp dr = − 4πG r− 2M Gc2 p c2 + ρ 3 p c2 + ρ r2. (A.34)
Sejauh ini, dalam mendapatkan persamaan (A.34), masih digunakan asum-si bahwa nilai ρ adalah konstan atau dengan kata lain massa bintang terdistri-busi secara merata (uniform). Namun pada kenyataanya, persamaan tersebut bisa digunakan untuk bintang dengan densitas massa yang tidak uniform [9], dengan beberapa modifikasi menjadi
dp dr = − G ρ + cp2 M + 4πr3 pc2 r r− 2M Gc2 , (A.35) dengan dM dr = 4πρr 2dr. (A.36)
LAMPIRAN B
Materi Quark dengan CIDDM
Materi quark pada CDDM dan CIDDM bermula dari perumusan yang sama, dimulai dari perumusan massa, untuk CIDDM massa quark dirumsukan sebagai mq = mq0+ mI+ miso = mq0+ D nB1/3 − τq δDInBαe−βnB, (B.1)
dengan beberapa variabel didefinisikan sebagai δ = 3nd− nu
nd+ nu
, (B.2)
nB = nu+ nd+ ns
3 , (B.3)
yang mana nilai dari τq bisa bernilai 0 untuk quark strange, 1 untuk quark
up, dan -1 untuk quark down. Kemudian rapat bilangan untuk masing-masing quark adalah
n = ν
3 i
π2, (B.4)
dengan i adalah quark up, down dan strange. Kemudian momentum Fermi untuk quark up dan down bisa diekspresikan dengan
νu = (1− δ/3)1/3ν, (B.5)
νd = (1 + δ/3)1/3ν. (B.6)
Kemudian, untuk persamaan keadaan materi quark, disini didefinisikan densitas energi pada materi quark
= X i gi 2π2 Z νi p k2+ m i2k2dk = X i gi 2π2 1 8 " νi q νi2+ m2i 2νi2+ m2i − m4i lnνi+pν 2 i + m2i mi # ,(B.7) dan tekanan didapat dari relasi termodinamika dimana sistem bintang quark diasumsikan sebagai sistem yang terisolir dan energi dari bintang ini adalah kekal. Dari hukum pertama termodinamika
d0Q = dE + pdV, (B.8)
29
yang mana d0Q = 0 sehingga
p = −∂E
∂V . (B.9)
Jika persamaan (B.9) dimodifikasi dengan memperkenalkan suatu nilai N (dari [12]) yakni jumlah partikel yang nilainya tetap sehingga didapat beberapa besaran sebagai berikut
= E
V , (B.10)
n = N
V , (B.11)
sehingga tekanannya menjadi
p = −∂ nN ∂ Nn = n2∂ (/n) ∂n = n∂ ∂n− . (B.12)
atau lebih lengkapnya menjadi
p = − +X
i
ni ∂ ∂ni
, (B.13)
yang mana faktor ∂/∂ni disebut potensial kimia.
Dari densitas energi pada persamaan (B.7) didapatkan perumusan poten-sial kimia quark
µi = X j νj2 q νj2+ m2j∂νj ∂ni + 1 2 ∂mj ∂ni mjνj q νj2+ m2j − m3jln νj + q νj2+ m2j mj .
Potensial kimia quark up: ∂mu ∂nu = 1 3 " − D 3n4/3B + δDIn α−1 B e−βnB(βnB− α) # + 6nd (nd+ nu)2 DInαBe−βnB, (B.14) ∂md ∂nu = 1 3 " − D 3n4/3B − δDIn α−1 B e−βnB(βnB− α) # − 6nd (nd+ nu)2 DInαBe−βnB, (B.15)
30 ∂νu ∂nu = π2 3ν2 u , (B.16) ∂νd ∂nu = 0, (B.17) didapatkan µu = p ν2 u+ m2u+ 3 2π2 " muνu p ν2 u+ m2u − m3uln νu+pνu2 + m2u mu # × ( 1 3 " − D 3n4/3B + δDIn α−1 B e−βnB(βnB− α) # + 6nd (nd+ nu)2DIn α Be−βnB ) + 3 2π2 " mdνd q ν2 d+ m2d− m 3 dln νd+pνd2 + m2d md # × ( 1 3 " − D 3n4/3B − δDIn α−1 B e−βnB (βnB− α) # − 6nd (nd+ nu)2 DInαBe−βnB ) .
Kemudian untuk quark down ∂mu ∂nd = 1 3 " − D 3n4/3B + δDIn α−1 B e−βnB(βnB− α) # − 6nu (nd+ nu)2 DInαBe−βnB, (B.18) ∂md ∂nd = 1 3 " − D 3n4/3B + δDInα−1B e−βnB(βn B− α) # + 6nu (nd+ nu)2DIn α Be−βnB, (B.19) ∂νu ∂nd = 0, (B.20) ∂νd ∂nu = π 2 3νd2, (B.21) Universitas Indonesia
31 didapatkan µd = q ν2 d+ m2d+ 3 2π2 " muνupν2 u+ m2u− m3uln νu+pνu2+ m2u mu # × ( 1 3 " − D 3n4/3B + δDIn α−1 B e−βnB(βnB− α) # − 6nu (nd+ nu)2 DInαBe−βnB ) + 3 2π2 " mdνd q νd2+ m2d− m3dlnνd+pν 2 d+ m2d md # × ( 1 3 " − D 3n4/3B − δDIn α−1 B e−βnB (βnB− α) # + 6nu (nd+ nu)2 DInαBe−βnB ) ,
dan untuk quark strange adalah
µs = p ν2 s + m2s+ 3 2π2 " muνu p ν2 u+ m2u− m3uln νu+pνu2+ m2u mu # ×13 " − D 3n4/3B + δDIn α−1 B e−βnB (βnB− α) # + 3 2π2 " mdνd q ν2 d+ m2d− m 3 dln νd+pνd2+ m2d md # ×1 3 " − D 3n4/3B − δDIn α−1 B e−βnB(βnB− α) # + 3 2π2 " msνs p ν2 s + m2s− m3sln νs+pνs2+ m2s ms # − D 3nB4/3 1 3.