RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Oleh: Rifandiya, S.Pd
Satuan Pendidikan : SMA NEGERI 1 BATANG Kelas / Semester : XII / 2
Tema : Aturan Pencacahan Sub Tema : Permutasi
Pembelajaran ke : 3 (tiga) Alokasi Waktu : 45 menit
A. TUJUAN PEMBELAJARAN Kompetensi Dasar:
3.3 Menganalisis aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi) melalui masalah kontekstual
4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kaidah pencacahan (aturan penjumlahan, atuan perkalian, permutasi, dan kombinasi)
Tujuan Pembelejaran:
Melalui pendekatan saintific learning dan model pembelajaran Discovery Learning, peserta didik diharapkan dapat menganalisis aturan pencacahan (permutasi) serta menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan aturan pencacahan (permutasi) secara mandiri maupun kelompok dengan benar melalui penanaman sikap kritis dan kreatif.
B. KEGITAAN PEMBELAJARAN Pendahuluan
1. Mengucapkan salam dan berdo’a
2. Mengecek kehadiran peserta didik dan mengingatkan tentang protokol kesehatan 3. Menyampaikan tujuan dan manfaat pembelajaran
4. Memberikan apersepsi dengan menunjukkan beberapa gambar yang berkaitan dengan materi permutasi dan mengingatkan peserta didik tentang materi sebelumnya
Kegiatan Inti
1. Membagi peserta didik ke dalam beberapa kelompok yang terdiri dari 4 anggota dengan kemampuan yang heterogen
2. Meminta peserta didik untuk memperhatikan beberapa gambar dan alat peraga yang berkaitan dengan permutasi
3. Meminta setiap kelompok untuk menganalisis kemungkinan-kemungkinan cara menyusun unsur-unsur yang tersedia
4. Setiap kelompok menulis kemungkinan-kemungkinan cara menyusun unsur-unsur yang tersedia sesuai dengan kondisi yang diminta di LKPD
5. Dengan bimbingan guru, peserta didik mengintegrasikan cara penyusunan cara menyusun unsur-unsur yang tersedia tersebut ke dalam aturan permutasi sesuai dengan langkah- langkah yang ada di LKPD
6. Setiap kelompok menyelesaikan masalah yang ada di LKPD menggunakan aturan perkalian bersama kelompoknya
7. Peserta didik menyampaikan hasil diskusi kelompok mereka 8. Guru mengklarifikasi hasil pekerjaan peserta didik
Penutup
1. Bersama peserta didik, guru nmenyimpulkan permutasi untuk menyelesaikan masalah kontekstual
2. Memberikan tes tertulis tentang aturan perkalian
3. Merefleksi pembelajaran pada saat itu dan menyampaikan penugasan
4. Menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya yaitu tentang kombinasi
5. Mengakhiri pembelajaran dengan salam C. PENILAIAN PEMBELAJARAN
Pengetahuan 1. Bentuk Penilaian:
Tes tertulis
2. Instrument Penilaian:
Soal tes
3. Waktu Penilaian:
Akhir KBM (10 menit)
Keterampilan 1. Bentuk Penilaian:
Penugasan Terstruktur 2. Instrument Penilaian:
Soal tugas 3. Waktu Penilaian:
Pertemuan berikutnya
Sikap
1. Bentuk Penilaian:
Observasi
2. Instrument Penilaian:
Jurnal
3. Waktu Penilaian:
Selama KBM Batang, 22 April 2022 Guru Mata Pelajaran
Rifandiya, S.Pd NIP.
Lampiran 1
PERMUTASI Materi prasyarat:
1. Aturan perkalian 2. Faktorial
n! = n (n – 1)!
3! = 3 x 2 x 1 = 6 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Permutasi
A. Permutasi dari Unsur-unsur yang Berbeda Kegiatan 1
Terdapat 5 huruf, yaitu: a, b, c, d, dan e.
Langkah:
1. Dari kelima huruf tersebut akan disusun kata (baik yang bias dibaca atau tidak) yang terdiri atas 3 huruf. Tuliskan semua kemungkinan kata berbeda yang dapat diperoleh.
2. Hitunglah total banyak susunan yang terbentukdari langkah 1.
3. Banyak kemungkinan 3 kata berbeda di atas dapat juga dihitung dengan menggunakan aturan perkalian, yaitu sebagai berikut:
Huruf Pertama Huruf Kedua Huruf Ketiga
(banyaknya kemungkinan huruf yang dapat mengisi posisi ini)
(banyaknya kemungkinan huruf yang dapat mengisi posisi ini)
(banyaknya kemungkinan huruf yang dapat mengisi posisi ini)
… … …
Dengan demikian, total banyak kata berbeda yang terbentuk adalah : … x … x … = … 4. Banyaknya susunan berbeda penyusunan 3 huruf dari 5 huruf yang tersedia adalah:
5 x 4 x 3 atau dapat ditulis dengan:
5 × 4 × 3 × 2 × 1
2 × 1 =5!
2!= 60
Jika digeneralisasi, maka banyaknya penyusunan berbeda k objek (susunannya diperhatikan dari n objek yang tersedia dapat dicari dengan rumus
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
Banyaknya penyusunan berbeda k objek dari n objek yang tersedia ini disebut juga permutasi k objek dari n objek yang tersedia atau P(n, k).
Contoh:
Permutasi k unsur atau objek dari n unsur yang tersedia, dengan memperhatikan urutan susunannya dapat ditentukan dengan rumus:
𝑃𝑘𝑛 = 𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
Notasi lain yang sering dipakai adalah: nPk, nPk, atau P(n, k).
Di dalam sebuah kelas, akan dibentuk kepengurusan yang terdiri atas ketua, sekretaris, dan bendahara kelas. Berapa banyak cara 6 calon yang akan memperebutkan ketiga posisi tersebut?
Pembahasan:
Permutasi 3 unsur dari 6 unsur yang tersedia:
𝑃36 = 𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!= 6!
(6 − 3)! =6 × 5 × 4 × 3!
3! = 120 𝑐𝑎𝑟𝑎.
B. Permutasi Memuat Beberapa Unsur yang Sama Kegitatan 2
Perhatikan unsur penyusun “APA” yaitu A, P, dan A. Huruf A pada susunan pertama dan kedua meskipun dibalik akan mempunyai makna yang sama. Misalkan A1 dan A2 masing- masing adalah huruf A yang pertama dan kedua.
1. Permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia adalah:
𝑃33 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 Dengan susunan dalam 3 kelompok yaitu:
A1PA2
A2PA1
A1A2P A2A1P
PA1A2
PA2A1
2. Permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia, yaitu A1PA2 susunannya adalah:
APA AAP PAA
Jadi, hanya terdapat 3 cara karena setiap kelompok terdapat 2! = 2 permutasi pada penyusunan 2 huruf A yang sama, yaitu A1 dan A2.
Dengan demikian, permutasi 3 unsur dengan 2 unsur yang sama dari 3 unsur tersebut adalah:
𝑃 =3!
2!= 3 × 2!
2! = 3 Secara umum:
Contoh:
Permutasi n unsur, dengan k unsur sama dari n unsur itu (𝑘 ≤ 𝑛) adalah:
𝑃 =𝑛!
𝑘!
Jika unsur yang sama lebih dari satu, maka:
𝑃(𝑘
1,𝑘2,𝑘3,… 𝑘𝑛)
𝑛 = 𝑛!
𝑘1! 𝑘2! 𝑘3! … 𝑘𝑛!
1. Tentukan banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari unsur huruf-huruf pembentuk kata PENDIDIKAN.
Pembahasan:
n = 10
k1 = 2 (huruf N) k2 = 2 (huruf D) k3 = 2 (huruf I) Jadi,
𝑃(2,2,2)10 =10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!
2! × 2! × 2! = 453.600 𝑠𝑢𝑠𝑢𝑛𝑎𝑛
2. Terdapat 6 kelereng yang terdiri atas 2 kelereng berwarna merah, 3 kelereng berwarna putih, dan 1 kelereng berwarna biru. Berapa banyak susunan yang dapat dibuat untuk menyusun kelereng itu secara berdampingan?
Pembahasan:
n = 6
k1 = 2 (merah) k2 = 3 (putih) Jadi,
𝑃(2,3)6 =6 × 5 × 4 × 3!
2! × 3! = 60 𝑠𝑢𝑠𝑢𝑛𝑎𝑛
C. Permutasi Siklis Kegiatan 3
Perhatikan susunan melingkar pada gambar 2, 3, dan 4. Susunan itu sebenarnya sama (tidak berubah). Bandingkan dengan gambar 1. Jadi, banyak susunan dari 3 titik, yaitu A, B, dan C pada susunan melingkar sebenarnya hanya ada 2, yaitu susunan 1 dan 2.
Untuk menentukan bentuk susunan n objek yang disusun melingkar, ada sebuah titik yang dianggap sebagai titik tetap, sisanya dianggap sebagai penyusunan (n – 1) unsur dari (n – 1) unsur yang berbeda.
Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut:
A
B C
C
B A
A
B C
B
A C
1 2 3 4
Jika terdapat n unsur yang berbeda disusun melingkar, maka banyaknya susunan dapat ditentukan dengan permutasi siklis sebagai berikut:
𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (𝑛 − 1)!
Contoh:
Sebanyak 6 orang mengadakan rapat. Mereka duduk menghadap sebuah meja bundar. Berapa banyak cara mereka menempati kursi yang disusun melingkar itu?
Pembahasan:
Banyak cara mereka menempati kursi adalah:
𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠= (6 − 1)! = 5! = 120 𝑐𝑎𝑟𝑎
Lampiran 2
PENILAIAN PEMBELAJARAN A. Penilaian Pengetahuan
Bentuk Penilaian : Tes tertulis Instrument Penilaian : Soal tes Waktu Penilaian : Akhir KBM Alokasi Waktu : 10 menit
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tepat
1. Dari 7 calon pengurus koperasi, akan dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Berapa banyak susunan pengurus yang mungkin dibuat?
2. Terdapat 11 novel dan 3 kamus yang akan disusun dalam satu rak buku yang sama. Berapa banyak cara menyusun novel dan kamus tersebut?
3. Terdapar 10 satelit buatan yang mengelilingi bumi dalam satu orbit yang sama dan berbentuk lingkaran. Jarak sebuah satelit dengan satelit lainnya adalah sama. Tentukan banyak cara 10 satelit tersebut menempati posisinya dalam orbit.
KUNCI JAWABAN DAN PEDOMAN PENILAIAN
NO. PENYELESAIAN SKOR
1. Banyak susunan pengurus yang mungkin dibuat:
𝑃37 = 𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!= 7!
(7 − 3)!= 7 × 6 × 5 × 4!
4! = 210 𝑐𝑎𝑟𝑎.
35 2. Banyak cara menyusun novel dan kamus:
𝑃(11,3)14 =14 × 13 × 12 × 11!
11! × 3! = 364 𝑠𝑢𝑠𝑢𝑛𝑎𝑛
35
3. Banyak cara 10 satelit menempati posisinya dalam orbit:
𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (10 − 1)! = 9! = 362.880 𝑐𝑎𝑟𝑎 30
JUMLAH SKOR 100
NILAI = Jumlah Skor
B. Penilaian Keterampilan
Carilah permasalahan sehari-hari di sekitarmu yang berkaitan dengan materi permutasi (permutasi unsur beda, permutasi dengan unsur sama, dan permutasi siklis), kemudian selesaikan permasalahan tersebut bersama kelompokmu. Catat hasilnya dalam kertas folio disertai dengan gambar.
C. Penilaian Sikap
Penilain sikap diperoleh melalui observasi sikap dan perilaku peserta didik selama pembelajaran dengan memperhatikan instrumen penilaian sikap berikut.
No Nama Siswa
Aspek Perilaku yang
Dinilai Jumlah Skor
Skor Sikap
Kode Nilai Kritis Kreatif
1 ... ... ... ... ...
2 ... ... ... ... ...
3 ... ... ... ... ...
Keterangan
1. Aspek perilaku dinilai dengan kriteria:
100 = SangatBaik 85 = Baik 75 = Cukup 50 = Kurang
2. Jumlah Skor = jumlah nilai dari sikap yang dinilai
3. Skor sikap = jumlah skor dibagi jumlah sikap yang dinilai = ... : 2 = ...
4. Kodenilai / predikat :
91, 00 – 100,00 = SangatBaik (SB) 83,00 – 90, 00 = Baik (B)
75,00 – 82, 00 = Cukup (C) 00,00 – 74,00 = Kurang (K)
5. Format di atas dapat diubah sesuai dengan aspek perilaku yang ingin dinilai.
PERMUTASI Materi prasyarat:
1. Aturan perkalian 2. Faktorial
n! = n (n – 1)!
3! = … x …x … = … 4! = … x … x … x … = … Permutasi
A. Permutasi dari Unsur-unsur yang Berbeda Kegiatan 1
Terdapat 5 huruf, yaitu: a, b, c, d, dan e.
Langkah:
1. Dari kelima huruf tersebut akan disusun kata (baik yang bias dibaca atau tidak) yang terdiri atas 3 huruf. Tuliskan semua kemungkinan kata berbeda yang dapat diperoleh.
………
………
Petunjuk:
1. Bacalah setiap petunjuk dengan seksama.
2. Ikuti setiap petunjuk yang diberikan.
3. Diskusikan dengan kelompok terkait pertanyaan yang ada, kemudian jawablah pertanyaan tersebut.
4. Tanyakan kepada guru jika mengalami kesulitan.
Lembar Kegiatan Peserta Didik
Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : XII / 2
Materi : Permutasi Alokasi Waktu : 20 menit
Anggota Kelompok:
1. ………
2. ………
3. ………
4. ………
: ………….
Tujuan
Dapat menganalisis aturan pencacahan (permutasi) serta menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan aturan pencacahan (permutasi).
2. Hitunglah total banyak susunan yang terbentukdari langkah 1.
………
3. Banyak kemungkinan 3 kata berbeda di atas dapat juga dihitung dengan menggunakan aturan perkalian, yaitu sebagai berikut:
Huruf Pertama Huruf Kedua Huruf Ketiga
(banyaknya kemungkinan huruf yang dapat mengisi posisi ini)
(banyaknya kemungkinan huruf yang dapat mengisi posisi ini)
(banyaknya kemungkinan huruf yang dapat mengisi posisi ini)
… … …
Dengan demikian, total banyak kata berbeda yang terbentuk adalah : … x … x … = … 4. Banyaknya susunan berbeda penyusunan 3 huruf dari 5 huruf yang tersedia adalah:
… x … x … atau dapat ditulis dengan:
… × … × … × … × …
… × … =… !
… != ⋯
Jika digeneralisasi, maka banyaknya penyusunan berbeda k objek (susunannya diperhatikan dari n objek yang tersedia dapat dicari dengan rumus
… ! (… − ⋯ )!
Banyaknya penyusunan berbeda k objek dari n objek yang tersedia ini disebut juga permutasi k objek dari n objek yang tersedia atau P(n, k).
Contoh:
Di dalam sebuah kelas, akan dibentuk kepengurusan yang terdiri atas ketua, sekretaris, dan bendahara kelas. Berapa banyak cara 6 calon yang akan memperebutkan ketiga posisi tersebut?
Pembahasan:
Permutasi 3 unsur dari 6 unsur yang tersedia:
𝑃…… = ⋯
Permutasi k unsur atau objek dari n unsur yang tersedia, dengan memperhatikan urutan susunannya dapat ditentukan dengan rumus:
𝑃𝑘𝑛 = … ! (… − ⋯ )!
Notasi lain yang sering dipakai adalah: nPk, nPk, atau P(n, k).
B. Permutasi Memuat Beberapa Unsur yang Sama Kegitatan 2
Perhatikan unsur penyusun “APA” yaitu A, P, dan A. Huruf A pada susunan pertama dan kedua meskipun dibalik akan mempunyai makna yang sama. Misalkan A1 dan A2 masing- masing adalah huruf A yang pertama dan kedua.
1. Permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia adalah:
𝑃33 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 Dengan susunan dalam 3 kelompok yaitu:
… A2PA1
A1A2P
…
…
…
2. Permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia, yaitu A1PA2 (A1 dan A2 diandaikan sama), susunannya adalah:
………
Jadi, hanya terdapat 3 cara karena setiap kelompok terdapat 2! = 2 permutasi pada penyusunan 2 huruf A yang sama, yaitu A1 dan A2.
Dengan demikian, permutasi 3 unsur dengan 2 unsur yang sama dari 3 unsur tersebut adalah:
𝑃 =… !
… != ⋯ Secara umum:
Contoh:
1. Tentukan banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari unsur huruf-huruf pembentuk kata PENDIDIKAN.
Pembahasan:
………
………
Jadi,
𝑃(…,…,… )… = ⋯ 𝑠𝑢𝑠𝑢𝑛𝑎𝑛
2. Terdapat 6 kelereng yang terdiri atas 2 kelereng berwarna merah, 3 kelereng berwarna putih, dan 1 kelereng berwarna biru. Berapa banyak susunan yang dapat dibuat untuk menyusun kelereng itu secara berdampingan?
Pembahasan:
Permutasi n unsur, dengan k unsur sama dari n unsur itu (𝑘 ≤ 𝑛) adalah:
𝑃 =… !
… ! Jika unsur yang sama lebih dari satu, maka:
𝑃(𝑘
1,𝑘2,𝑘3,… 𝑘𝑛)
𝑛 = … !
… ! … ! … ! … 𝑘𝑛!
………
………
Jadi,
𝑃(…,…,… )… = ⋯ 𝑠𝑢𝑠𝑢𝑛𝑎𝑛
C. Permutasi Siklis Kegiatan 3
Perhatikan susunan melingkar pada gambar 2, 3, dan 4. Susunan itu sebenarnya sama (tidak berubah). Bandingkan dengan gambar 1. Jadi, banyak susunan dari 3 titik, yaitu A, B, dan C pada susunan melingkar sebenarnya hanya ada 2, yaitu susunan 1 dan 2.
Untuk menentukan bentuk susunan n objek yang disusun melingkar, ada sebuah titik yang dianggap sebagai titik tetap, sisanya dianggap sebagai penyusunan (n – 1) unsur dari (n – 1) unsur yang berbeda.
Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut:
Contoh:
Sebanyak 6 orang mengadakan rapat. Mereka duduk menghadap sebuah meja bundar. Berapa banyak cara mereka menempati kursi yang disusun melingkar itu?
Pembahasan:
Banyak cara mereka menempati kursi adalah:
𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = ⋯ 𝑐𝑎𝑟𝑎
A
B C
C
B A
A
B C
B
A C
1 2 3 4
Jika terdapat n unsur yang berbeda disusun melingkar, maka banyaknya susunan dapat ditentukan dengan permutasi siklis sebagai berikut:
𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠= (… )!
