Penyisipan Sebarang Modul ke dalam Suatu Modul Bersih.

Pada

keseluruhan

tulisan

ini,

.irrg

yang digunakan merupakan

ring

dengan

elemen

satuan,

yang

dimaksud

modul

adalah modul

kanan, sedangkan

notasi

U(S)

dimaksudkan

grup yang elemen-elemennya merupakan elemen

unit

dari

suatu

ring

.S.

Selanjutnya,

jika

diberikan himpunan

A

dan

M ,

suatu fungsi

g:A-+M

dan

suatu himpunan

tak

kosong

A'c.

A,

maka

notasi

glT,dimaksudkan pembatasan fungsi

g

pada

himpunan A'yaitu

fungsi yang

memetakan

himpunan

A'

ke

himpunan

g(A')

e

M

.

Lebih lanjut

lagi,

himpunan semua

bilangan

bulat,

bilangan

rasional

dan bilangan bulat modulo

n

secara berturut-turut dinotasikan dengan Z,

Q

danZn.

S;<

i6oo

_.. tvLSi

Nicholson

(1977)

dalam Nicholson dan Zhou

(2004) _{memberikan definisi bahwa} suatu ring -R

dikatakan ring bersih apabila setiap elemen dari

ring

.R merupakan elemen bersih, sedangkan suatu elemen dalam suatu

ring

R

dikatakan

bersih apabila dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan suatu elemen idempoten dan suatu elemen

unit

dari

ring

R.

Camillo, dkk. (2006) memberikan

definisi

bahwa suatu

modul

atas

ring R

dikatakan

bersih

apabila

ring endomorfi.sma

dari

modul tersebut merupakan

ring bersih.

Diberikan ring R, R-modul

M

dan

aksioma-aksioma:

(Cl)

Setiap submodul komplemen dari Mmerupakan suku jumlah langsung dari M, (C2) Setiap submodul darl.

M

yang isomorfis dengan

Penyisipan Sebarang

Modul

ke

dalam

Sua

Kartika Sari

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana ( s _{ari _kaartika@Jtaho} o.

co.i0

Indah Emilia

Wijayanti

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gaj ah Mada (ind_wU qtanti@)tahoo. com)

Abstract Given any ring R with

unity.

A ring R is is called clean

if

each element of R is the sum

of

a

unit

and an idempotent

while

an R-modul

M

is

called clean

if

its endomorphism ring is clean. Based on the property that every continuous modules is clean, in this study,

it

is shown that any module can be embedded into a clean module.

Keywords: clean ring, clean module, embedded.

Abstrak:Diberikan ring R dengan elemen satuan. Suatu ring R dikatakan bersih apabila

setiap elemennya dapat dinyatakan dalam bentuk jumlahan suatu elemen unit dan suatu elemen idempoten dari ring R, sedangkan suatu R-modul

M

dikatakan bersih apabila

ring endomorfismanya merupakan ring bersih. Berdasarkan sifat bahwa modul kontinu merupakan

modul

bersih, dalam penelitian

ini

ditunjukkan bahwa sebarang modul

dapat disisipkan ke dalam suatu modul bersih.

Kata kunci: ring bersih, modul bersih, penyisipan.

SNHPA.

suatu

suku

jumlah

langsung

dari

M

juga merupakan suku jumlah langsung dari

M,

(C3) Jika

A

dan

B

keduanya merupakan suku jumlah langsung dari

M

dan

AaB

=

{0}

maka A@

B

juga merupakan suku jumlah langsung dari M.

Suatu

modul

M

dikatakan

kontinu

apabila memenuhi aksioma-aksioma

(C1) dan

(C2), sedangkan suatu

modul

M

yang

memenuhi

aksioma-aksioma

(C1)

dan

(C3)

dinamakan

modul

quasi-kontiru (Muhammed dan Muller,

1990).

Camillo,

dkk,

(2006)

menunjukkan bahwa setiap modul kontinu merupakan modul

bersih.

Lam (1998) menunjukkan bahwa setiap

modul quasi injektif merupakan modul kontinu.

Di

lain pihak, terdapat kenyataan bahwa setiap modul

injektif

merupakan

modul

quasi-injektif dan sebarang modul dapat disisipkan

ke

dalam

suatu modul

injektif.

Berdasarkan sifat ini, dapat

ditunjukkan

bahwa

sebarang

modul

dapat

disisipkan ke dalam suatu modul bersih sebagai

submodul.

Penelitian

ini

merupakan

studi

literatur. Sebagai tinjauan pustaka

dari

penelitian

ini

diberikan sebagai berikut.

Definisi dari

ring

dan elemen bersih diperoleh

dari

Nicholson

(1977)

dalam Nicholson dan

Zhou (2004),

sedangkan

definisi dan sifat modul

injektif

diberikan oleh Hazewinkel, dkk.

(2004).

Selanjutnya, definisi dan beberapa sifat modul

kontinu

dan quasi-kontinu, termasuk beberapa

sifat ring

endomorfismanyadiperoleh dari

Mohammed dan Muller (1990).

Sehubungan dengan konsep ring bersih, Han dan Nicholson (2001) memberikan suatu syarat

cukup suatu ring bersih dalam kaitannya dengan

ring

faktor dan elemen-elemen idempoten dari

ring faktornya.

Lebih lanjut

lagi,

Lam (1998) memberikan

contoh suatu

jenis

ring yang memenuhi aksioma

(C2)

dan definisi ring kontinu kanan. Selain itu,

Lam

(1998)

juga

memberikan

sifat

elemen

idempoten dalam

ring

endomorfisma dari suatu

modul

quasi-kontint, sedangkan beberapa sifat

.itg

endomorfisma

dari modul kontinu

dan quasi-kontinu lairurya diberikan

oleh

Camillo, dkk. (2006).

Sebagai hasil dari penelitian

ini

diperoleh bahwa

ing Z,

merupakan

ring

bersih

dan

sebarang

modul dapat disisipkan

ke

dalam suatu modul bersih sebagai submodul (Sari, 2012).

MODTIL INJEKTIFDAN MODT]L KONTINU

Terlebih dahulu, berikut

ini

dibahas mengenai

modul injektif.

Definisi 2.1(Hazewinkel, dkk.,

2004\

Diberiknn

ring R

dan R-modul

M.

Modul

M

dikatakan modul injeWif apabila untuk setiap R-modul A

dan

B

dengan

A

submoduldari

B

dan

untuk

setiap

homomorfisma

f :A-+M

terdapat

homomorfisma

g:

B -+

M

dengan

stfat

1ln =

f

.Dengan

kata lain

terdapat

h o mo mo

rfi

s rna g y an g memp er lua s

f.

Contoh 2.2

(a)

Modul

nol

merupakan modul

injektif. (b) Setiap ruang vektor atas lapangan F merupakan modul inj ektif.

Padakenyataannya,

tidak

mudah menunjukkan suatu modul merupakan modul

injektif

dengan

menggunakan

Definisi 2.1.

Berikut

diberikan

Teorema 2.3(Kriteria Baer) (Hazewinkel, dkk.,

2004) Suatu R-modul

M

injektif

jika

dan hanya

jika

untuk

setiap

ideal

kanan

ldi

R,

setiap

homomorfisma

d: I

->

M

dapat

diperluas menj adi homomorfisme _{B : R->M.}

Dengan menggunakan

Kriteria

Baer,

berikut diberikan contoh modul injektif lainnya.

Contoh2.4

Diperhatikan

bahwa ideal-ideal

dari

ring bilangan

bulat

Z

berbentuk

nZ,

ne Z.

Oleh

karena itu,

terdapatpemetaan

inklusi

h:

nZ

)

Z

.Dibeikan sebarang homomorfisma

f

:

nZ ->

Q

,

maka terdapat q e

@"

yang

memenuhi

f(r)=q.

Lebih lanjut

lagi,

didefinisikan

suatu

pengaitan

g:Z

--> @

dengan

g(z): zL,

maka

g

terdefinisi dengan

n

baik

dan

merupakan

suatu

homomorfisma. Kemudian, untuk setiap nz e

nZ,

berlaku

f(nz)=f(n)z=q(l)z

(n\

(

=ql!lr=4

ns=g(l)nz

\n,/

n

=

g(nz)

=

(g

_{" h)(nz)}

Dari sini diperoleh,

g

memperluas

/.

Dengan kata _{lainZ-modul Q injektif.}

Selanjutnya, diberikan contoh Z-modul yang

tidak injektif.

Contoh 2.5

Salah

satu ideal

dari

ring

Z

adalah

22.

Homomorfisma/: 22 -+ Z didefinisikan sebagai

f

(221=

,

untuk

setiap

z

eZ

.

Andaikan

terdapat

homomorfisma

g:Z+Z

yang

memperluasf maka

Sari, Penyisipan Sebarang Modul ke Dalam Suatu Modul Bersih3

r=

f

(2.t)=

f

(2)=(s"h)(2)

=

g(2)

=

s(l)z

Kontradiksi dengan

g

:Z

+

Z

.ladi seharusnya,

homomorfismaf tidak dapat diperluas. Dengan kata lain, Z-modul

Zblkanmodul

injektif.

Diperhatikan bahwa Z-modul

Z

yang bukan

modul

injektif

merupakan submodul

dari

Z-modul

A

yang

merupakan

modul

injektif.

Dengan kata lain, Z-modul

Z

dapat disisipkan ke

dalamZ-modul

Q

sebagai

submodul.

Sehubungan dengan

hal

tersebut,

berikut ini

diberikan suatu teorema yang menjamin bahwa

sebarang modul dapat disisipkan ke dalam suatu

modul injektif.

Teorema

2.6

(Hazewinkel

dkk.,

2004) Setiap

modul merupakan submodul

dari

suatu modul injektif.

Selain modul injektif, juga dikenal adanya modul quasi-injektif, yang merupakan generalisasi dari modul

injektif,

seperti diberikan dalam definisi

berikut ini.

Definisi 2.7(Lam,1998) Dibeikan R-modul M.

Modul

M dinamakan

quasi-injektif apabila

untuk setiap submodul A dari M dan untuk setiap homomorfismaf

:A-+

M

terdapat

homomor-fisma

g:M -+M

sehinggaberlakugln=f

.

Berdasarkan Definisi

2.7,

setiap modul

injektif

merupakan

modul quasi-injektif.

Contoh lain

dari modul quasi-injel<tif adalah modul Zn atas Z.

Selanjutnya, dibahas mengenai modul kontinu

dan quasi-kontinu.

Pada pandahuluan telah

quasi-kontinu. Berikut

ini

diberikan beberapa sifat

yang berkaitan dengan modul kontinu dan quasi-kontinu.

Teorema

2.8(Mohammed

dan Muller,

1990)

Diberikan R-modul

M

Jika

M

memenuhi alcsioma (CZ) maka M

juga

memenuhi aksioma (c3).

Berdasarkan Teorema 2.7, setiap modul kontinu

merupakan modul qua s

i-kontintl

Berikut

ini

diberikan contoh

.irg,

yang

apabila dipandang sebagai modul atas dirinya

sendiri memenuhi aksioma (C2).

Contoh 2.9 (Lam,

1998) Jika

R

ring

reguler (Von Newmarur) dan

f

suatu ideal dalam ring R,

maka-i'ideal utama yang dibangun

oleh

suatu elemen idempoten dan merupakan suku jumlah

langsung dari

R.

Oleh karena

itu,

R

yangdipan-dangs eb a gaimodulkananatas

dirinyasendirime-menuhiaksioma(C2).

Berdasarkan Contoh 2.9, berlaku sifat berikut ini.

Teorema 2.10(Lanr, 1998) Untuk setiap ring

reguler R, penyataan-pernyataan

di

bawah

ini

ekuivalen.

1.

Rp kontinu.

2.

Rpquasi-kontinu.

3.

Rpmemenuhiaksioma(Cl).

Berdasarkan Teorema 2.10, berikut

ini

diberikan

defurisi ring reguler kontinu kanan.

Definisi 2.11 (Lam,

1998)

Suatu

ring

reguler (von Newmann) dikatakan kontinu kanan apabila memenuhi

salah

satu

dari

ekuivalensi pada Teorema2.l0.

Lebih lanjut lagi, berikut

ini

diberikan suatu sifat lain dari modul kontinu.

Lemma 2.12 (Sari,2012) Suku jumlah langsung

dari suatu modul kontinu juga merupakan modul kontinu.

Berikutnya,

untuk

Teorema

2.13

sampaii

2.15, diberikan ring l?, R-modul M,

S:

Endp(M) dan A

=

{f

e

Slrerff)

c"

M}

.

Teorema

2.l3(Muhamed

dan

Muller,

1990)

Jika

R-modul

M

kontinu,

maka

A

radikal Jacobson

dari

ring

S

dan ring

faktor

%

merupakan ring reguler.

Teorema 2.l4(Muhamed dan Muller, 1990) Jika R-modul

M

quasi-kontinu, maka elemen-elemen

idempoten

dari

ring

fafuor

SA

dapat diangkat menjadi elemen idempoten dari ring S.

Teorema 2.l5(Muhamed dan Muller, 1990) Jika

R-modul

M

kontinu, maka

ring

faktor

%

merupaknn ring kontinu knnan.

Sehubungan dengan

ideal

suatu

ring

yang

merupakan

bagian dari radikal Jacobson

ring

tersebut dalam kaitannya dengan

elemen-elemen idempoten ring faktomya dan sifat bersih

ring faktomya, diberikan sifat berikut ini.

Teorema

2.16 (Han dan

Nicholson, 2001)

Diberikan

f ileal

dari

suatu

ring

.R

dan

I

gJ(R)dengan J(R\

radikal

Jacobson dari

ring

R.

Jika

ring

foktor

/J

*"*lokan

ring

(

dapat diangkat menjadi elemen idempoten dari

ring R, maka ring R merupakan ring bersih.

PEI\TYISIPAN SEBARANG MODUL KE DALAM SUATU MODTJL BERSIH

Mengingat

definisi modul

bersihberkaitan dengan

sifat

bersih

dari

ring

endomorfisma

modul tersebut, maka berikut

ini

dibahas syarat

perlu dan syarat cukup suatu elemen bersih dari suatu ring endomorfisma dari suatu modul.

Teorema3.l (Camillo dkk.,2006) Diberikan ring

R, R-modul

M,

S:

End*(M)dane,f

e S

den-gane

suatuendomorfismaidempoten,

A=

Ker(e)dan8

₌ Im(e)

.

Elemen

f

meru-pakane I emenbe rs ihj ikadanhanyaj ika R-mo dul

M

d ap a t di d eko mp o s i s i kans eba gai

M

=

A@B

= C @

D

danberlaku

f(A) e

C,

(l

- f)(B)

c. D serta

f

: A

)

C dan

l- f

: B

-+

D keduanyamerupakaniso-morfisma.

Bukti:

(=)

Berdasarkan

yarrg diketahui,

berlaku

M

= A@B.Karena diasumsikan/suatu elemen bersih, maka terdapat

u

eU(S)

danberlaku

f :"+u.

Olehkarenaitu

dapat

dibentukC =

uAdanD

= uB ,

sehingga

mengakibatkan

berlaku

M

=C@D.

Karena

A =

Ker(e)

=

Im(l

-

e)

maka

f(r-e)=(u*e)(t-e)

=

u(l-

e)

(3.1)

dankarenaB ₌

Im(e),

diperoleh

Sari, Penyisipan Sebarang Modul ke

(r- f)e

= (e

-

fe)

=

-Lle

G)

B

erdasarkankesamaanduafungsidank-arenau :unit, makadaripersamaan (3.1) dan (3.2) diperolett'dan

(1

-

/

)keduan-yamerupakanisomorfisma _dan

f(A)=c,(r-f)(B)c.D.a

(e)

Diketahuiterdapatdekomposisi R-modul

M

= C

@D,

yaitu C

=uAdanD =uB

dengan

u

eU(S)sehinggaberlaku

f(A\=c,

(t-

f)(B)

c.

D

dan

f

:A-+

C,

I-

f

:B

-+

Dkeduan-yamerupakanisomorfi sma. Ol ehkarenaituj ugab erlaku

f(l-e)=u(l-e)

€ f

--fe=u-ue

ef-fn=u+(t_f)e

e f

-.fn=u+e-.fe

€'f=u+e

Dengan kata lain/merupakan elemen bersih dalam S.n

Sifatpada

Lemma

3.lakandigunakandalammenunjukkansifat ring

endomorfi smadari suatumodulkontinumerupakan ring bersih.

Lebihlanjutlagi,

apabiladiketahuiR-modtilMquasi-kontinudaneZ = e e End

^(W)

denganlZsuatusub-moduldariM, akandibahaskeberadaanendomorfis maidempotendalam ring E nd _x(lrl)

Lemma 3.2(Lam,

1998)

Diberikan

ring

R,

R-modulM

dan

S =

Endn(M).

Jika

M

quasi-kontinu, maka untuk setiap e2

=eeEnd*(W)

#,T:iik"\

E\

runusaru

,raeililiiif

/S

e;na-.1

dengan

W

submodul

dari

M,

terdapat

("')'

= e'e S dengan

e'l*

= e .

Bukti:

Diambil sebarang e2 ₌ e e End^(W).Diperoleh

W = Ker(e) @

Im(e).

Misalkan

Ker(e)

=

1

dan

Im(e) ₌

fl.

Karena submodul B c.

M

,

maka

terdapat

submodul A'c.

M

dengan

A c. A'c.

M

sehingga ,4'submodul komplemen dalam

M.

Karena submodul

A'c.

M,

maka

unit dalam End

*(M) .

Dengan kata lain

f

suatu

elemen bersihdalam End

*(M)

.

Selanjutnya, dib erikanR -mo dullldan

f

e End

^(M)

.

Kemudian dibentuk himpunan

er={(w,4lw=M,f(w)cw,

e2 = e e End

^(W),

flw -

€

€U(End

*(W))j

(3.3)

Himpunane

t

* Q,

karena(0,0) e

er.

Selan-jutnyapadahimpunan _{ar" didefinisikanrelasiurutan}

"a",

yaituuntuksetiap

(W,er),(W,er)

e e

p

(Wr, e _r) <

(W,

e, ₎ j ikadanhanyaj ika W,

e

W,

dan

erl*,

₌

"r.

Berdasarkan Lemma

Zom,

himpunana/mempunyaielemenmaksi-mal.

S ehubungandenganelemenmaks

imaldarihim-punan6/,

berikutinidibahassuatusifatelemen-maksimaldarihimpunan

e,

.

Lemma

3.4

(Camillo,

dkk.,

2006)

Diberikan

ring

R, R-modul

M, f

eEnd*(M)dandiben-tukhimpunan

e,

s epertipada(3.3)dengan (W, e)

suatuelemenmalcsimaldalame,

Untulcsetiap-submodulX

e

M

dengansifatX

AW

=0,

ber-lakuuntulrsetiapx e

X,

jika

f(x) eW,

maka

x=0.

Bukti:

Diambilsebarangx e Xdengan _"f

(x)

₌ w

eW

.

Oleh

karena

itu,

X'=

xR

g X

.

Dari sinidiperolehwr =

f(x),

=

f(xr)

eW

.

Den-gandemikianberlaku

f(W@X')eW@X'.

terdapat

submodul

B c.

B'e

M

sehingga

B'c.

M

dengan

B'submodul

komplemen dalam

M.

Karena Mquasi-kontinu,

maka berdasarkan

(C1)

diperoleh

A'dan

B'

merupakan suku-suku jurnlah langsung dat'.

M

.

Karena

B'memuat Byang komplemen pada A'

maka

A'aB'=

{0}.

Oleh karena

itu,

terdapat

submodul

Xdtl[

sehingga

berlaku

M

= A'@B'OX

.

Selanjutnya,

dibentuk

proyeksi

e'e

S

dengan

Ime'=

B'

dan

Ker(e)

=

A'@X

sehinggae'l _{w =} €

.

o

Berdasarkan

Lemma

3.2

dan

mengingat

setiap

modul

quasi-kontinu merupakan modul

kontinu, diperoleh sifat seperti dinyatakan dalam lemma berikut ini.

Lemma

3.3(Camillo,

dkk.,

2006)

Diberikan

ring R,

R-modul

M

kontinudenganW

c"

M

,

f

e End

*(M)

dengan

f

(W)

=W

.

Jika

fl, -

e monomorfismaesensialdalam

End _* (W) untulauatuendomorfi s mai demp o ten

e e End

*(W),

makaterdapatelemenidempoten

/

SelanjutnyaediperluaskeX

denganmendefinisi-kanex =

x,

sehingga

e2x=e(ex)=u,

yangberartie' =

".

End*(W

@X').

Karena

(f

-

e)W

=W

,

makauntukw

eW

terdapat

wt

eW

sehingga(/

-

e)w,

:

y1.

Oleh karena

itu diperoleh

("f

-")(wr*wr-x)=w+x.

Hal

ini

berarti

f

-

e e End

^(W

@X')

sug'ektif.

Lebih lanjut lagi,

diambilsebarang

m e

Ker(f

-

e)

cW

@ X'.Diperoleh

m

= w'+xr

untuksuatu/

eW

danxr e

X'

sertaberlaku

(f-e)(w'+xr)=g

e

("f

-

e)w'+fxr

-

_{exr =} 0

€ (f

-

e)w'+wr

=

xr eW

a

X'=

0

Karenaxr =

0,

makafxr =

wr

=

0,

sehingga

(f

-

e)il

=

0,

yang

mengakibatkanil=

0.

Dengandemik:,an

f

-

_{e e End}

*(W

@X')

injek-tif.

Jadi

f

-

e e End

*(W

@

X')

suatu unit.Dari

sini

diperoleh(W @

X',e)

e

e,

Kontradiksi-dengan(W,e\

maksimal

dalame

,.

Olehkarenaifi(W @

X',e)

:

(W,e) . Hal

iniberartiX'=

0, yang _{mengakibatkanx =}

0.n

Sehubungan

dengan

masalah

elemen

maksimal dari himpunan

€f,

berikutinidiberi-

kansuatusifatuntukkasusR-modulrllkontinunonsingularatausemisederhana.

Teorema 3.S(Camillo, dkk., 2004) Diberikan

R-modul

M

semisederhana

atau kontinu

non

Sari, Penyisipan Sebarang Modul ke Dalam Suatu Modul BersihT

singular,

f

e

End*(M\ dan

himpunan

pasangan terurut a

f

seperti pada (3.3)

ct.

(l{,e)

malcsimal

jika

dan hanya

jika

W

:

M.

b.

Untuk

sebarang

OYopd

€€f f

merupakan elemen bersih

di

Endp(M). Khususnya, M merupakan modul bersih.

Bukti:

(a)

(e)

Diketahui W=

M.

Trivial.

(=)Diberikan(W, e) maksimal dalam e7.

Dalam hal

ini,

pembuktian dilakukan dalam

3 langkah, sebagai berikut. Langkah I

Akan ditunjukkan

I/

suku jumlah langsung

dari M.

Untuk kasus

M

semisederhana,

trivial.

Oleh karena

itu

berikut

akan dibahas untuk

M

kontinu dan _{nonsingular. Andaikan Wbukan}

submodul tertutup, maka terdapat perluasan

esensial maksimal (closure)

dai

lit, namakan

E,

sehingga

Wc"

E.

Berdasarkan (C1),

terdapat X

=M

sehingga

berlaku

M

=E@X.

Selanjutnya,

diambil

sebarang

y

e

E,

kemudian

dibentuk

I

=

{r

e

Rltr eW}.Diambit

sebarang

eW

,

dan

rt,rz

e

frrteR,

maka

!r1t!r2

diperoleh

a.rr-

12 e

1,

karena

!\

-

lrz

=

!(\ -

rr)

elIr

.

b.

rrr'e

I

,karena

yrrr'eW

Dengan demikian"Iideal kanan dari ring R.

,

sehingga berlaku 0

*

mr

eW

.

Selanjutnya,

diambil

sebarang

0

*

r" e

R.

Karena

W

c

M,

Mnonsingular, 0 +

mr

eW

dan 0

*

r" e

R,

maka

0

*

mrr"

eW

.

Oleh

karena

itu,0*

rr"ef

.

Dengan demikian

diperoleh

I

c."

Rr

(3.4)

Lebih lanjut

lagi,

karena

yeE,

makaJ@)eflE).

Karena

feEndp(Al)

dan

Ec.M =EOX,maka

terdapat

zeE

dan

xeX

sehingea _"f

(y)

_{= z}

*

x.

Untuk setiap

rel,

berlaku

f

(y)r

_{= zr} +

xr eW

c.

E

dan

zr e

E,

sehingga

xr

₌

-f!r

-

zr

e

E

.

Karena

xr

e

X

,

maka

xr

e

E

r-t

X:

_{0} ..

Hal

ini

berarti

r

e

ann*(x)

.

Dengan

demikian berlakul c.

ann*(x)

.

(3.5)

Berdasarkan

(3.4) dan

(3.5),

diperoleh

ann^(x)

c'

Rn. Lebih lanjut lagi, karena.lt-modul

M

nonsingular, maka

r

:

0, sehingga

.f(y)

= z e E . Jadi

f(E\

s

E .

Berikutnya,

berdasarkan

Lemma

2.12, karena Z'suku jurnlah langsung

dai

M

dan

M

kontinu, maka

E

kontinu.

Karena Z'

kontinu, maka

berdasarkan

Lemma

3.3,

terdapat

("')'

:

e

di Endx(Q

dengan sifat

e'l*

=

e

dan

fl,

-e'unit

di

Endp(E).

Dengan

demikian

(E,e')ee,

dan

(W,e) <

(E,e').

Kontradiksi

_dengan

(W,e)elemen maksimal.

Jadi

seharusnya

ll

terlnttup, yang berarti W

= E.

Dari

sini, diperoleh W suatu suku jumlah langsung dari

M. Sekarang dilanjutkan ke langkah 2.

Langkah 2

Akan ditunjukkan

W:

M.

Di

sini,

hanya

diasumsikan

bahwa

M

kontinu.

Dari

langkah

1,

diperoleh

M=W@X.

Andaikan

X*0.

Karena

(W,e)

elemen maksimal

di

e

,

,

X

c.

M

dan

WnX:{0},

maka

berdasarkan

Lemma 3.4, berlaku

untuk

setiap

x

e

X

,

jikaf(x)

eW,

maka

_{.r =}

0.

_Selanjutnya,

diambil

sebarang

x1,x2 e

X

dengan

f

(xr)

₌

f

(xz).

Dari sini diperoleh

"f

(x,)

-

f

(xr)

= -f

(x,

-

xr) = 0

eW

Berdasarkan

Lemma

3.4,

_berlaku

xt

-

xz

-

0 e>

xr

=

xz.

Dengandemikian

.fl,

.rut.,

monomorfisma. Oleh karena itu

diperoleh

X

=

f

(X).

Dari

sini

juga

diperoleh W

a

JX

₌

{0}.

Oleh karena itu

berlaku

W @

JX

- ll[

.

Lebih lanjut lagi,

misalkan A

:

Ker (e) dan B = Im(e). Karena endomorfisma

/

suatu elemen bersih di

Endp(ll), berdasarkan Teorema 3.1, terdapat

R-modul W dapat _{didekomposisikan menjadi}

W =

A@.8=

C@

D

serta

memenuhi

JA=C,

(r-"f)(B)=D

dan

f:A->C,l-_f:B-+D

keduanya

merupakan isomorfisma. Dengan demikian,

diperoleh/

: A@

X

-+

C@

/X

suatu

isomorfisma, sehingga

M=W@X=(C@.fX)@D

Selanjutnya, didefinisikan homomorfi s

ma

e*

proyeksi darlr MpadaB dengan

Ker (e*)

:

A@

X

.

Berdasarkan Teorema

3.1,

endomorfisma

/

;

il

l

dan

(W,e)

<

(M,e*)

.

Kontradiksi.

Oleh

karena

itu

seharusnya

X:

0 ,

dan akibatnya

W: M.A

b. Diambil sebarang

(Wo,eo) e e

1 , berdasarkan

bagian

a

terdapat

elemen maksimal

dari

e

,,

yaitu

(M,e)eerdan

f :

n

1-u

dengan z elemen unit di Endn(M.

Oleh karena itu modul

M

bersih. n

Berdasarkan Teorema 3.5, berikut

ini

diberikan

suatu sifat dari modul kontinu lainnya.

Teorema 3.6(Camillo dkk., 2004) Setiap modul kontinu merupakan modul bersih

Bukti:

Diberikan rR-modul

M

kontinu, S ₌

Endn(M)

dan

A =

{f

e

SlKer(f)

e"

M}.

Berdasarkan

Teorema 2.13, diperoleh

ring

faktor

f

=

SA

merupakan ring reguler dan Amerupakanradikal

Jacobson

daris.

Oleh karena itu, modul

T

rnon

singulardan berdasarkan Teorema

2.15,

T

r

kontinu.

Berdasarkan Teorema

3.5

diperoleh

T

=

Endr(T)merupakan

ring

bersih.

Selanjutnya,

karena

modul

M

kontinu

mengimplikasikan

modul

M

quasi-kontinu,

makaberdasarkan Teorema 2.14 berlaku elemen-elemen idempoten

dari

ring

faktor

T

dapat

diangkat menjadi elemen-elemen idempoten dari

ring S.

Oleh

karena

itu,

berdasarkan Teorema 2.16, ingSmerupakan ring bersih. Jadi R-modul

M

merupakan modul bersih. n

Sari, Penyisipan Sebarang Modul ke Dalam Suatu Modul Bersihg

Lebih lanjut lagi,

karena setiap

modul

quasi-injektif

merupakan modul kontinu, maka setiap

modul

quasi-iryektif merupakan modul bersih.

Karena setiap modul

injektif

merupakan modul

quasi-injektif,

maka

setiap

modul

injektif

merupakan

modul bersih. Oleh

karena

itu berdasarkan Teorema

3.6,

diperoleh

akibat-akibat langsung berikut ini.

Akibat

3.7(Sari, 2012) Ring 2,, merupakan ring bersih.

Bukti:

Diperhatikan

bahwa

modul

Zn

atas

dirinya

sendiri

merupakan

modul injektif

yang juga merupakan

modul kontinu.

Oleh

karena itu,

berdasarkan

Teorema

3.6,

Zn-modul

Z,

merupakan

modul

bersih.

Akibatnya

rirrg

Endr,(Z,)

merupakan

ring

bersih.

Di

lain

piha(

berlaku

Zn=Endr,(Z,).

Dari

sini

diperoleh ring Z^merupakan ring bersih. a

Akibat

3.8(Sari, 2012) Setiap modul

dapat

disisipkan sebagai submodul

ke

dalam suatu

modul bersih .

Bukti:

Diberikan

sebarang R-modul

M,

berdasarkan

Teorema 2.3,

M

dapat disisipkan ke dalam suatu

modul injektif sebagai submodul. Karena setiap

Hal

ini

bersesuaian dengan fenomena bahwa

Endr(Z) =

Z

yang bukan merupakan ring bersih termuat dalamEnd2Q

= Q

yang merupakan ring

bersih.

Dengan kata lain modul

Z

yang bukan modul bersih termuat dalam Z-modul

Q

yang merupakan modul bersih.

KESIMPI]LAN

Berdasarkan sifat

merupakan submodul dari suatu

dan

setiap

modul kontinu

merupakan modul bersih, diperoleh bahwa sebarang modul dapat disisipkan ke dalam suatu modul bersih.

DAFTARRUJT]KAN

Camillo, V. P., Khurana, D., Lam, T.Y., Nicholson, W. K., dan

Zhou,Y.

2006.ContinousModules are

CleansJ Algebra 304, halaman

94-lll.

Han, J. dan Nicholson,, W. K. 2001. Extensions of Clean Rings. Communicationsion Algebra, 29(6), halaman 2589

-2595.

Hazewinkel, M., Gubared, N., dan Kirichenko, V.

Y.Z\\4Algebras,

Rings, and Modules. Kluwer Academic Publishers, New York.

Lam, T.

Y.

l999.Lectures on Modules and Rings. Graduate _{Texts in Mathematics No.} 189, Berlin, New York: Springer-Verlag.

Mohamed, Saad H dan Muller, Bruno J.l99}.Continous and Discrete Modules, CambridgeUniversity Press, New York.

Nicholson,

Keith

W

dan

Zhou,

Yiqiang,

2004.Clean

Rings:

A

Stxvey.Advanced in RingTheory,halaman 1 8 1 -1 98.

Sari, Kartika. 2012. Penyisipan Sebarang Ring ke dalam Suatu Ring Bersih. Tesis. Yogyakarta: FMIPA Universitas Gajah Mada.

SNHPA

-

XXI