Pada
keseluruhantulisan
ini,
.irrg
yang digunakan merupakanring
dengan
elemensatuan,
yang
dimaksudmodul
adalah modulkanan, sedangkan
notasi
U(S)
dimaksudkangrup yang elemen-elemennya merupakan elemen
unit
dari
suatu
ring
.S.
Selanjutnya,jika
diberikan himpunanA
danM ,
suatu fungsig:A-+M
dan
suatu himpunantak
kosongA'c.
A,
maka
notasi
glT,dimaksudkan pembatasan fungsig
padahimpunan A'yaitu
fungsi yang
memetakanhimpunan
A'
kehimpunan
g(A')
e
M
.
Lebih lanjut
lagi,himpunan semua
bilangan
bulat,
bilanganrasional
dan bilangan bulat modulon
secara berturut-turut dinotasikan dengan Z,Q
danZn.S;<
i6oo
.. tvLSiNicholson
(1977)
dalam Nicholson dan Zhou(2004) memberikan definisi bahwa suatu ring -R
dikatakan ring bersih apabila setiap elemen dari
ring
.R merupakan elemen bersih, sedangkan suatu elemen dalam suaturing
R
dikatakanbersih apabila dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan suatu elemen idempoten dan suatu elemen
unit
dariring
R.
Camillo, dkk. (2006) memberikandefinisi
bahwa suatumodul
atasring R
dikatakan
bersih
apabila
ring endomorfi.smadari
modul tersebut merupakanring bersih.
Diberikan ring R, R-modul
M
danaksioma-aksioma:
(Cl)
Setiap submodul komplemen dari Mmerupakan suku jumlah langsung dari M, (C2) Setiap submodul darl.M
yang isomorfis denganPenyisipan Sebarang
Modul
ke
dalam
Sua
Kartika Sari
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana ( s ari _kaartika@Jtaho o.
co.i0
Indah Emilia
Wijayanti
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gaj ah Mada (ind_wU qtanti@)tahoo. com)
Abstract Given any ring R with
unity.
A ring R is is called cleanif
each element of R is the sumof
a
unit
and an idempotentwhile
an R-modulM
is
called cleanif
its endomorphism ring is clean. Based on the property that every continuous modules is clean, in this study,it
is shown that any module can be embedded into a clean module.Keywords: clean ring, clean module, embedded.
Abstrak:Diberikan ring R dengan elemen satuan. Suatu ring R dikatakan bersih apabila
setiap elemennya dapat dinyatakan dalam bentuk jumlahan suatu elemen unit dan suatu elemen idempoten dari ring R, sedangkan suatu R-modul
M
dikatakan bersih apabilaring endomorfismanya merupakan ring bersih. Berdasarkan sifat bahwa modul kontinu merupakan
modul
bersih, dalam penelitianini
ditunjukkan bahwa sebarang moduldapat disisipkan ke dalam suatu modul bersih.
Kata kunci: ring bersih, modul bersih, penyisipan.
SNHPA.
suatu
sukujumlah
langsungdari
M
juga merupakan suku jumlah langsung dariM,
(C3) JikaA
danB
keduanya merupakan suku jumlah langsung dariM
danAaB
={0}
maka A@B
juga merupakan suku jumlah langsung dari M.
Suatu
modul
M
dikatakankontinu
apabila memenuhi aksioma-aksioma(C1) dan
(C2), sedangkan suatumodul
M
yang
memenuhiaksioma-aksioma
(C1)
dan
(C3)
dinamakanmodul
quasi-kontiru (Muhammed dan Muller,1990).
Camillo,
dkk,
(2006)
menunjukkan bahwa setiap modul kontinu merupakan modulbersih.
Lam (1998) menunjukkan bahwa setiapmodul quasi injektif merupakan modul kontinu.
Di
lain pihak, terdapat kenyataan bahwa setiap modulinjektif
merupakanmodul
quasi-injektif dan sebarang modul dapat disisipkanke
dalamsuatu modul
injektif.
Berdasarkan sifat ini, dapatditunjukkan
bahwa
sebarangmodul
dapatdisisipkan ke dalam suatu modul bersih sebagai
submodul.
Penelitian
ini
merupakanstudi
literatur. Sebagai tinjauan pustakadari
penelitianini
diberikan sebagai berikut.Definisi dari
ring
dan elemen bersih diperolehdari
Nicholson(1977)
dalam Nicholson danZhou (2004),
sedangkan
definisi dan sifat modulinjektif
diberikan oleh Hazewinkel, dkk.(2004).
Selanjutnya, definisi dan beberapa sifat modul
kontinu
dan quasi-kontinu, termasuk beberapasifat ring
endomorfismanyadiperoleh dariMohammed dan Muller (1990).
Sehubungan dengan konsep ring bersih, Han dan Nicholson (2001) memberikan suatu syarat
cukup suatu ring bersih dalam kaitannya dengan
ring
faktor dan elemen-elemen idempoten dariring faktornya.
Lebih lanjut
lagi,
Lam (1998) memberikancontoh suatu
jenis
ring yang memenuhi aksioma(C2)
dan definisi ring kontinu kanan. Selain itu,Lam
(1998)
juga
memberikansifat
elemenidempoten dalam
ring
endomorfisma dari suatumodul
quasi-kontint, sedangkan beberapa sifat.itg
endomorfismadari modul kontinu
dan quasi-kontinu lairurya diberikanoleh
Camillo, dkk. (2006).Sebagai hasil dari penelitian
ini
diperoleh bahwaing Z,
merupakanring
bersihdan
sebarangmodul dapat disisipkan
ke
dalam suatu modul bersih sebagai submodul (Sari, 2012).MODTIL INJEKTIFDAN MODT]L KONTINU
Terlebih dahulu, berikut
ini
dibahas mengenaimodul injektif.
Definisi 2.1(Hazewinkel, dkk.,
2004\
Diberiknnring R
dan R-modulM.
ModulM
dikatakan modul injeWif apabila untuk setiap R-modul Adan
B
denganA
submoduldariB
dan
untuksetiap
homomorfismaf :A-+M
terdapathomomorfisma
g:
B -+M
dengan
stfat1ln =
f
.Dengan
kata lain
terdapath o mo mo
rfi
s rna g y an g memp er lua sf.
Contoh 2.2
(a)
Modul
nol
merupakan modulinjektif. (b) Setiap ruang vektor atas lapangan F merupakan modul inj ektif.
Padakenyataannya,
tidak
mudah menunjukkan suatu modul merupakan modulinjektif
denganmenggunakan
Definisi 2.1.
Berikut
diberikanTeorema 2.3(Kriteria Baer) (Hazewinkel, dkk.,
2004) Suatu R-modul
M
injektifjika
dan hanyajika
untuksetiap
ideal
kananldi
R,
setiaphomomorfisma
d: I
->
M
dapat
diperluas menj adi homomorfisme B : R->M.Dengan menggunakan
Kriteria
Baer,
berikut diberikan contoh modul injektif lainnya.Contoh2.4
Diperhatikan
bahwa ideal-ideal
dari
ring bilanganbulat
Z
berbentuknZ,
ne Z.
Olehkarena itu,
terdapatpemetaan
inklusih:
nZ
)
Z
.Dibeikan sebarang homomorfismaf
:nZ ->
Q
,
maka terdapat q e@"
yangmemenuhi
f(r)=q.
Lebih lanjut
lagi,didefinisikan
suatu
pengaitan
g:Z
--> @dengan
g(z): zL,
makag
terdefinisi dengann
baik
dan
merupakansuatu
homomorfisma. Kemudian, untuk setiap nz enZ,
berlakuf(nz)=f(n)z=q(l)z
(n\
(=ql!lr=4
ns=g(l)nz
\n,/
n=
g(nz)
=(g
" h)(nz)Dari sini diperoleh,
g
memperluas/.
Dengan kata lainZ-modul Q injektif.Selanjutnya, diberikan contoh Z-modul yang
tidak injektif.
Contoh 2.5
Salah
satu ideal
dari
ring
Z
adalah
22.Homomorfisma/: 22 -+ Z didefinisikan sebagai
f
(221=,
untuk
setiap
zeZ
.
Andaikanterdapat
homomorfisma
g:Z+Z
yangmemperluasf maka
Sari, Penyisipan Sebarang Modul ke Dalam Suatu Modul Bersih3
r=
f
(2.t)=
f
(2)=(s"h)(2)
=g(2)
=s(l)z
Kontradiksi dengan
g
:Z
+
Z
.ladi seharusnya,homomorfismaf tidak dapat diperluas. Dengan kata lain, Z-modul
Zblkanmodul
injektif.Diperhatikan bahwa Z-modul
Z
yang bukanmodul
injektif
merupakan submoduldari
Z-modul
A
yang
merupakanmodul
injektif.Dengan kata lain, Z-modul
Z
dapat disisipkan kedalamZ-modul
Q
sebagai
submodul.Sehubungan dengan
hal
tersebut,berikut ini
diberikan suatu teorema yang menjamin bahwasebarang modul dapat disisipkan ke dalam suatu
modul injektif.
Teorema
2.6
(Hazewinkeldkk.,
2004) Setiapmodul merupakan submodul
dari
suatu modul injektif.Selain modul injektif, juga dikenal adanya modul quasi-injektif, yang merupakan generalisasi dari modul
injektif,
seperti diberikan dalam definisiberikut ini.
Definisi 2.7(Lam,1998) Dibeikan R-modul M.
Modul
M dinamakan
quasi-injektif apabilauntuk setiap submodul A dari M dan untuk setiap homomorfismaf
:A-+
M
terdapat
homomor-fisma
g:M -+M
sehinggaberlakugln=f
.Berdasarkan Definisi
2.7,
setiap modulinjektif
merupakanmodul quasi-injektif.
Contoh laindari modul quasi-injel<tif adalah modul Zn atas Z.
Selanjutnya, dibahas mengenai modul kontinu
dan quasi-kontinu.
Pada pandahuluan telahquasi-kontinu. Berikut
ini
diberikan beberapa sifatyang berkaitan dengan modul kontinu dan quasi-kontinu.
Teorema
2.8(Mohammeddan Muller,
1990)Diberikan R-modul
M
Jika
M
memenuhi alcsioma (CZ) maka Mjuga
memenuhi aksioma (c3).Berdasarkan Teorema 2.7, setiap modul kontinu
merupakan modul qua s
i-kontintl
Berikut
ini
diberikan contoh
.irg,
yangapabila dipandang sebagai modul atas dirinya
sendiri memenuhi aksioma (C2).
Contoh 2.9 (Lam,
1998) JikaR
ring
reguler (Von Newmarur) danf
suatu ideal dalam ring R,maka-i'ideal utama yang dibangun
oleh
suatu elemen idempoten dan merupakan suku jumlahlangsung dari
R.
Oleh karenaitu,
Ryangdipan-dangs eb a gaimodulkananatas
dirinyasendirime-menuhiaksioma(C2).
Berdasarkan Contoh 2.9, berlaku sifat berikut ini.
Teorema 2.10(Lanr, 1998) Untuk setiap ring
reguler R, penyataan-pernyataan
di
bawahini
ekuivalen.
1.
Rp kontinu.2.
Rpquasi-kontinu.3.
Rpmemenuhiaksioma(Cl).Berdasarkan Teorema 2.10, berikut
ini
diberikandefurisi ring reguler kontinu kanan.
Definisi 2.11 (Lam,
1998)
Suaturing
reguler (von Newmann) dikatakan kontinu kanan apabila memenuhisalah
satu
dari
ekuivalensi pada Teorema2.l0.Lebih lanjut lagi, berikut
ini
diberikan suatu sifat lain dari modul kontinu.Lemma 2.12 (Sari,2012) Suku jumlah langsung
dari suatu modul kontinu juga merupakan modul kontinu.
Berikutnya,
untuk
Teorema2.13
sampaii2.15, diberikan ring l?, R-modul M,
S:
Endp(M) dan A=
{f
eSlrerff)
c"
M}
.Teorema
2.l3(Muhameddan
Muller,
1990)Jika
R-modulM
kontinu,
maka
A
radikal Jacobsondari
ring
S
dan ringfaktor
%
merupakan ring reguler.
Teorema 2.l4(Muhamed dan Muller, 1990) Jika R-modul
M
quasi-kontinu, maka elemen-elemenidempoten
dari
ringfafuor
SA
dapat diangkat menjadi elemen idempoten dari ring S.Teorema 2.l5(Muhamed dan Muller, 1990) Jika
R-modul
M
kontinu, maka
ring
faktor
%
merupaknn ring kontinu knnan.Sehubungan dengan
ideal
suaturing
yangmerupakan
bagian dari radikal Jacobsonring
tersebut dalam kaitannya denganelemen-elemen idempoten ring faktomya dan sifat bersih
ring faktomya, diberikan sifat berikut ini.
Teorema
2.16 (Han dan
Nicholson, 2001)Diberikan
f ileal
dari
suatu
ring
.R
danI
gJ(R)dengan J(R\
radikal
Jacobson dariring
R.
Jika
ringfoktor
/J
*"*lokan
ring(
dapat diangkat menjadi elemen idempoten dari
ring R, maka ring R merupakan ring bersih.
PEI\TYISIPAN SEBARANG MODUL KE DALAM SUATU MODTJL BERSIH
Mengingat
definisi modul
bersihberkaitan dengansifat
bersih
dari
ring
endomorfismamodul tersebut, maka berikut
ini
dibahas syaratperlu dan syarat cukup suatu elemen bersih dari suatu ring endomorfisma dari suatu modul.
Teorema3.l (Camillo dkk.,2006) Diberikan ring
R, R-modul
M,
S:
End*(M)dane,f
e Sden-gane
suatuendomorfismaidempoten,A=
Ker(e)dan8
= Im(e).
Elemenf
meru-pakane I emenbe rs ihj ikadanhanyaj ika R-mo dul
M
d ap a t di d eko mp o s i s i kans eba gai
M
=A@B
= C @D
danberlakuf(A) e
C,
(l
- f)(B)
c. D sertaf
: A)
C danl- f
: B-+
D keduanyamerupakaniso-morfisma.Bukti:
(=)
Berdasarkanyarrg diketahui,
berlakuM
= A@B.Karena diasumsikan/suatu elemen bersih, maka terdapatu
eU(S)danberlaku
f :"+u.
Olehkarenaitudapat
dibentukC =uAdanD
= uB ,sehingga
mengakibatkan
berlakuM
=C@D.
KarenaA =
Ker(e)
=Im(l
-
e)
makaf(r-e)=(u*e)(t-e)
=
u(l-
e)
(3.1)dankarenaB =
Im(e),
diperolehSari, Penyisipan Sebarang Modul ke
(r- f)e
= (e-
fe)
=
-Lle
G)
B
erdasarkankesamaanduafungsidank-arenau :unit, makadaripersamaan (3.1) dan (3.2) diperolett'dan
(1
-/
)keduan-yamerupakanisomorfisma dan
f(A)=c,(r-f)(B)c.D.a
(e)
Diketahuiterdapatdekomposisi R-modulM
= C@D,
yaitu C=uAdanD =uB
dengan
u
eU(S)sehinggaberlakuf(A\=c,
(t-
f)(B)
c.D
danf
:A-+
C,
I-
f
:B
-+
Dkeduan-yamerupakanisomorfi sma. Ol ehkarenaituj ugab erlaku
f(l-e)=u(l-e)
€ f
--fe=u-ue
ef-fn=u+(t_f)e
e f
-.fn=u+e-.fe
€'f=u+e
Dengan kata lain/merupakan elemen bersih dalam S.n
Sifatpada
Lemma3.lakandigunakandalammenunjukkansifat ring
endomorfi smadari suatumodulkontinumerupakan ring bersih.
Lebihlanjutlagi,
apabiladiketahuiR-modtilMquasi-kontinudaneZ = e e End
^(W)
denganlZsuatusub-moduldariM, akandibahaskeberadaanendomorfis maidempotendalam ring E nd x(lrl)
Lemma 3.2(Lam,
1998)
Diberikanring
R,R-modulM
dan
S =Endn(M).
Jika
M
quasi-kontinu, maka untuk setiap e2=eeEnd*(W)
#,T:iik"\
E\
runusaru,raeililiiif
/S
e;na-.1
dengan
W
submodul
dari
M,
terdapat("')'
= e'e S dengane'l*
= e .Bukti:
Diambil sebarang e2 = e e End^(W).Diperoleh
W = Ker(e) @
Im(e).
MisalkanKer(e)
=1
dan
Im(e) =fl.
Karena submodul B c.M
,maka
terdapat
submodul A'c.
M
denganA c. A'c.
M
sehingga ,4'submodul komplemen dalamM.
Karena submodulA'c.
M,
makaunit dalam End
*(M) .
Dengan kata lainf
suatuelemen bersihdalam End
*(M)
.Selanjutnya, dib erikanR -mo dullldan
f
e End^(M)
.
Kemudian dibentuk himpunaner={(w,4lw=M,f(w)cw,
e2 = e e End
^(W),
flw -
€€U(End
*(W))j
(3.3)
Himpunane
t
* Q,
karena(0,0) eer.
Selan-jutnyapadahimpunan ar" didefinisikanrelasiurutan
"a",
yaituuntuksetiap(W,er),(W,er)
e ep
(Wr, e r) <
(W,
e, ) j ikadanhanyaj ika W,e
W,
danerl*,
="r.
Berdasarkan LemmaZom,
himpunana/mempunyaielemenmaksi-mal.
S ehubungandenganelemenmaks
imaldarihim-punan6/,
berikutinidibahassuatusifatelemen-maksimaldarihimpunan
e,
.Lemma
3.4
(Camillo,dkk.,
2006)
Diberikanring
R, R-modulM, f
eEnd*(M)dandiben-tukhimpunan
e,
s epertipada(3.3)dengan (W, e)suatuelemenmalcsimaldalame,
Untulcsetiap-submodulX
e
M
dengansifatXAW
=0,
ber-lakuuntulrsetiapx eX,
jikaf(x) eW,
makax=0.
Bukti:
Diambilsebarangx e Xdengan "f
(x)
= weW
.Oleh
karena
itu,
X'=
xRg X
.
Dari sinidiperolehwr =f(x),
=f(xr)
eW
.
Den-gandemikianberlakuf(W@X')eW@X'.
terdapat
submodulB c.
B'e
M
sehinggaB'c.
M
denganB'submodul
komplemen dalam
M.
Karena Mquasi-kontinu,maka berdasarkan
(C1)
diperoleh
A'dan
B'merupakan suku-suku jurnlah langsung dat'.
M
.Karena
B'memuat Byang komplemen pada A'maka
A'aB'=
{0}.
Oleh karenaitu,
terdapatsubmodul
Xdtl[
sehingga
berlakuM
= A'@B'OX.
Selanjutnya,
dibentukproyeksi
e'eS
dengan
Ime'=
B'
danKer(e)
=A'@X
sehinggae'l w = €.
oBerdasarkan
Lemma
3.2
dan
mengingatsetiap
modul
quasi-kontinu merupakan modulkontinu, diperoleh sifat seperti dinyatakan dalam lemma berikut ini.
Lemma
3.3(Camillo,dkk.,
2006)
Diberikanring R,
R-modulM
kontinudenganWc"
M
,f
e End*(M)
denganf
(W)=W
.
Jikafl, -
e monomorfismaesensialdalamEnd * (W) untulauatuendomorfi s mai demp o ten
e e End
*(W),
makaterdapatelemenidempoten/
SelanjutnyaediperluaskeXdenganmendefinisi-kanex =
x,
sehinggae2x=e(ex)=u,
yangberartie' =
".
End*(W
@X').
Karena(f
-
e)W=W
,
makauntukweW
terdapatwt
eW
sehingga(/-
e)w,:
y1.
Oleh karenaitu diperoleh
("f
-")(wr*wr-x)=w+x.
Hal
ini
berartif
-
e e End^(W
@X')
sug'ektif.Lebih lanjut lagi,
diambilsebarangm e
Ker(f
-
e)cW
@ X'.Diperolehm
= w'+xr
untuksuatu/eW
danxr eX'
sertaberlaku
(f-e)(w'+xr)=g
e
("f
-
e)w'+fxr
-
exr = 0€ (f
-
e)w'+wr
=xr eW
a
X'=
0Karenaxr =
0,
makafxr =
wr
=0,
sehingga(f
-
e)il
=0,
yang
mengakibatkanil=0.
Dengandemik:,an
f
-
e e End*(W
@X')
injek-tif.
Jadif
-
e e End*(W
@X')
suatu unit.Darisini
diperoleh(W @X',e)
ee,
Kontradiksi-dengan(W,e\maksimal
dalame,.
Olehkarenaifi(W @
X',e)
:
(W,e) . HaliniberartiX'=
0, yang mengakibatkanx =0.n
Sehubungan
dengan
masalah
elemenmaksimal dari himpunan
€f,
berikutinidiberi-
kansuatusifatuntukkasusR-modulrllkontinunonsingularatausemisederhana.
Teorema 3.S(Camillo, dkk., 2004) Diberikan
R-modul
M
semisederhanaatau kontinu
nonSari, Penyisipan Sebarang Modul ke Dalam Suatu Modul BersihT
singular,
f
eEnd*(M\ dan
himpunanpasangan terurut a
f
seperti pada (3.3)ct.
(l{,e)
malcsimaljika
dan hanyajika
W:
M.
b.
Untuk
sebarang
OYopd
€€f f
merupakan elemen bersih
di
Endp(M). Khususnya, M merupakan modul bersih.Bukti:
(a)
(e)
Diketahui W=M.
Trivial.(=)Diberikan(W, e) maksimal dalam e7.
Dalam hal
ini,
pembuktian dilakukan dalam3 langkah, sebagai berikut. Langkah I
Akan ditunjukkan
I/
suku jumlah langsungdari M.
Untuk kasus
M
semisederhana,trivial.
Oleh karenaitu
berikut
akan dibahas untukM
kontinu dan nonsingular. Andaikan Wbukansubmodul tertutup, maka terdapat perluasan
esensial maksimal (closure)
dai
lit, namakanE,
sehinggaWc"
E.
Berdasarkan (C1),terdapat X
=M
sehingga
berlakuM
=E@X.
Selanjutnya,
diambilsebarang
y
eE,
kemudian
dibentukI
={r
e
Rltr eW}.Diambit
sebarangeW
,
danrt,rz
efrrteR,
maka
!r1t!r2
diperoleha.rr-
12 e1,
karena!\
-
lrz
=!(\ -
rr)
elIr
.b.
rrr'e
I
,karenayrrr'eW
Dengan demikian"Iideal kanan dari ring R.
,
sehingga berlaku 0
*
mr
eW
.
Selanjutnya,diambil
sebarang
0*
r" eR.
KarenaW
c
M,
Mnonsingular, 0 +mr
eW
dan 0*
r" eR,
maka
0*
mrr"eW
.
Olehkarena
itu,0*
rr"ef
.
Dengan demikiandiperoleh
I
c."
Rr
(3.4)Lebih lanjut
lagi,
karena
yeE,
makaJ@)eflE).
KarenafeEndp(Al)
danEc.M =EOX,maka
terdapatzeE
danxeX
sehingea "f(y)
= z*
x.
Untuk setiaprel,
berlaku
f
(y)r
= zr +xr eW
c.E
dan
zr eE,
sehinggaxr
=-f!r
-
zr
eE
.Karena
xr
eX
,
makaxr
eE
r-tX:
{0} ..Hal
ini
berarti
r
eann*(x)
.
Dengandemikian berlakul c.
ann*(x)
.
(3.5)Berdasarkan
(3.4) dan
(3.5),
diperolehann^(x)
c'
Rn. Lebih lanjut lagi, karena.lt-modulM
nonsingular, makar
:
0, sehingga.f(y)
= z e E . Jadif(E\
s
E .Berikutnya,
berdasarkanLemma
2.12, karena Z'suku jurnlah langsungdai
M
danM
kontinu, makaE
kontinu.
Karena Z'kontinu, maka
berdasarkanLemma
3.3,terdapat
("')'
:
edi Endx(Q
dengan sifate'l*
=e
dan
fl,
-e'unit
di
Endp(E).Dengan
demikian
(E,e')ee,
dan(W,e) <
(E,e').
Kontradiksi
dengan(W,e)elemen maksimal.
Jadi
seharusnyall
terlnttup, yang berarti W= E.
Dari
sini, diperoleh W suatu suku jumlah langsung dariM. Sekarang dilanjutkan ke langkah 2.
Langkah 2
Akan ditunjukkan
W:
M.Di
sini,
hanya
diasumsikanbahwa
M
kontinu.
Dari
langkah
1,
diperolehM=W@X.
Andaikan
X*0.
Karena(W,e)
elemen maksimaldi
e,
,
X
c.M
dan
WnX:{0},
maka
berdasarkanLemma 3.4, berlaku
untuk
setiapx
eX
,jikaf(x)
eW,
maka
.r =0.
Selanjutnya,diambil
sebarang
x1,x2 eX
denganf
(xr)
=f
(xz).
Dari sini diperoleh"f
(x,)
-
f
(xr)
= -f(x,
-
xr) = 0eW
Berdasarkan
Lemma
3.4,
berlakuxt
-
xz-
0 e>xr
=xz.
Dengandemikian.fl,
.rut.,
monomorfisma. Oleh karena itudiperoleh
X
=
f
(X).
Dari
sini
jugadiperoleh W
a
JX
={0}.
Oleh karena ituberlaku
W @JX
- ll[
.
Lebih lanjut lagi,misalkan A
:
Ker (e) dan B = Im(e). Karena endomorfisma/
suatu elemen bersih diEndp(ll), berdasarkan Teorema 3.1, terdapat
R-modul W dapat didekomposisikan menjadi
W =
A@.8=
C@D
serta
memenuhiJA=C,
(r-"f)(B)=D
danf:A->C,l-_f:B-+D
keduanyamerupakan isomorfisma. Dengan demikian,
diperoleh/
: A@X
-+
C@/X
suatuisomorfisma, sehingga
M=W@X=(C@.fX)@D
Selanjutnya, didefinisikan homomorfi s
ma
e*proyeksi darlr MpadaB dengan
Ker (e*)
:
A@X
.Berdasarkan Teorema
3.1,
endomorfisma/
;
il
l
dan
(W,e)
<(M,e*)
.
Kontradiksi.
Olehkarena
itu
seharusnyaX:
0 ,
dan akibatnyaW: M.A
b. Diambil sebarang
(Wo,eo) e e1 , berdasarkan
bagian
a
terdapat
elemen maksimaldari
e,,
yaitu
(M,e)eerdan
f :
n1-u
dengan z elemen unit di Endn(M.Oleh karena itu modul
M
bersih. nBerdasarkan Teorema 3.5, berikut
ini
diberikansuatu sifat dari modul kontinu lainnya.
Teorema 3.6(Camillo dkk., 2004) Setiap modul kontinu merupakan modul bersih
Bukti:
Diberikan rR-modul
M
kontinu, S =Endn(M)
dan
A ={f
eSlKer(f)
e"M}.
BerdasarkanTeorema 2.13, diperoleh
ring
faktor
f
=SA
merupakan ring reguler dan AmerupakanradikalJacobson
daris.
Oleh karena itu, modulT
rnonsingulardan berdasarkan Teorema
2.15,
Tr
kontinu.
Berdasarkan Teorema3.5
diperolehT
=
Endr(T)merupakan
ring
bersih.Selanjutnya,
karena
modul
M
kontinumengimplikasikan
modul
M
quasi-kontinu,makaberdasarkan Teorema 2.14 berlaku elemen-elemen idempoten
dari
ring
faktor
T
dapatdiangkat menjadi elemen-elemen idempoten dari
ring S.
Oleh
karena
itu,
berdasarkan Teorema 2.16, ingSmerupakan ring bersih. Jadi R-modulM
merupakan modul bersih. nSari, Penyisipan Sebarang Modul ke Dalam Suatu Modul Bersihg
Lebih lanjut lagi,
karena setiapmodul
quasi-injektif
merupakan modul kontinu, maka setiapmodul
quasi-iryektif merupakan modul bersih.Karena setiap modul
injektif
merupakan modulquasi-injektif,
maka
setiap
modul
injektif
merupakan
modul bersih. Oleh
karena
itu berdasarkan Teorema3.6,
diperoleh
akibat-akibat langsung berikut ini.Akibat
3.7(Sari, 2012) Ring 2,, merupakan ring bersih.Bukti:
Diperhatikan
bahwa
modul
Zn
atas
dirinyasendiri
merupakanmodul injektif
yang juga merupakanmodul kontinu.
Oleh
karena itu,berdasarkan
Teorema
3.6,
Zn-modul
Z,
merupakan
modul
bersih.
Akibatnya
rirrgEndr,(Z,)
merupakanring
bersih.
Di
lainpiha(
berlaku
Zn=Endr,(Z,).
Dari
sinidiperoleh ring Z^merupakan ring bersih. a
Akibat
3.8(Sari, 2012) Setiap modul
dapatdisisipkan sebagai submodul
ke
dalam suatumodul bersih .
Bukti:
Diberikan
sebarang R-modulM,
berdasarkanTeorema 2.3,
M
dapat disisipkan ke dalam suatumodul injektif sebagai submodul. Karena setiap
Hal
ini
bersesuaian dengan fenomena bahwaEndr(Z) =
Z
yang bukan merupakan ring bersih termuat dalamEnd2Q= Q
yang merupakan ringbersih.
Dengan kata lain modulZ
yang bukan modul bersih termuat dalam Z-modulQ
yang merupakan modul bersih.KESIMPI]LAN
Berdasarkan sifat
merupakan submodul dari suatu
dan
setiapmodul kontinu
merupakan modul bersih, diperoleh bahwa sebarang modul dapat disisipkan ke dalam suatu modul bersih.DAFTARRUJT]KAN
Camillo, V. P., Khurana, D., Lam, T.Y., Nicholson, W. K., dan
Zhou,Y.
2006.ContinousModules areCleansJ Algebra 304, halaman
94-lll.
Han, J. dan Nicholson,, W. K. 2001. Extensions of Clean Rings. Communicationsion Algebra, 29(6), halaman 2589
-2595.
Hazewinkel, M., Gubared, N., dan Kirichenko, V.
Y.Z\\4Algebras,
Rings, and Modules. Kluwer Academic Publishers, New York.Lam, T.
Y.
l999.Lectures on Modules and Rings. Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag.Mohamed, Saad H dan Muller, Bruno J.l99}.Continous and Discrete Modules, CambridgeUniversity Press, New York.
Nicholson,
Keith
W
dan
Zhou,
Yiqiang,
2004.Clean
Rings:
A
Stxvey.Advanced in RingTheory,halaman 1 8 1 -1 98.Sari, Kartika. 2012. Penyisipan Sebarang Ring ke dalam Suatu Ring Bersih. Tesis. Yogyakarta: FMIPA Universitas Gajah Mada.
SNHPA
-
XXI