UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA

Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281

Bahan Ajar:

BAB / POKOK BAHASAN II

IDEAL DAN RING FAKTOR

Direncanakan Untuk Perkuliahan Minggu ke-3, 4, dan 5

PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR II

(Semester III/3 SKS/MMM-2201) Oleh:

Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S.

Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si.

Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.S.

Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN) Tahun Anggaran 2013

November 2013

BAB II

IDEAL DAN RING FAKTOR

Pada teori grup, telah kita ketahui bahwa dari suatu grup dapat dibentuk grup baru dengan memanfaatkan suatu subgrup normal. Grup yang terbentuk tersebut dinamakan grup faktor. Sejalan dengan ide pembentukan grup faktor tersebut, pada bab ini akan dijelaskan pembentukan ring faktor. Dalam proses pembentukan ring faktor ini memotivasi munculnya definisi ideal dari suatu ring.

2.1. Latar Belakang Munculnya Definisi Ideal

Dari Bab I telah diketahui bahwa jika S merupakan merupakan subring dalam ring R maka S merupakan subgrup dalam grup Abelian (R, +), sehingga S merupakan subgrup normal. Dari teori grup (Pengantar Struktur Aljabar I), ter- bentuklah grup faktor R.

S, +
yang juga merupakan grup Abelian, dengan R.

S = {r | r ∈ R} = {r + S | r ∈ R}.

Selanjutnya, muncul pertanyaan apakah dapat dibentuk operasi perkalian

· : R.

S ×R.

S →R. S sedemikian hingga R.

S, +, ·
juga merupakan ring.

Diambil sebarang r₁, r₂ ∈ R.

S maka diperoleh r¹, r₂ ∈ R. Dengan demikian r1r2 ∈ R, dan dari kenyataan ini didefinisikan r1· r1 = r1r2untuk setiap r1, r2 ∈ R.

Mengingat operasi · merupakan operasi antar koset (kelas), maka sebelum menunjukkan aksioma-aksioma ring dipenuhi atau tidak terlebih dahulu harus dicek apakah operasi tersebut well-defined atau tidak. Misalkan r₁, r₂, r₁⁰, r⁰₂ ∈ R.

S de- ngan r₁ = r⁰₁, dan r₂ = r⁰₂. Akan dicek apakah

r₁· r₂ = r₁⁰ · r₂⁰ yang artinya r₁r₂ = r⁰₁r⁰₂.

Dengan menggunakan makna dari kesamaan koset yang sudah dibahas dalam teori grup, permasalahan diatas ekuivalen dengan mengecek apakah jika r₁−r₁⁰ ∈ S dan r2− r₂⁰ ∈ S akan diperoleh r₁r₂− r₁⁰r₂⁰ ∈ S. Hal ini ekuivalen dengan menun- jukkan apakah jika r₁− r⁰₁ = s₁ dan r₂ − r⁰₂ = s₂ untuk suatu s₁, s₂ ∈ S, apakah akan berakibat r1r₂− r₁⁰r₂⁰ = s₃ untuk suatu s3 ∈ S.

Dengan demikian akan diperoleh

r₁r₂− r⁰₁r⁰₂ = (s₁+ r₁⁰)(s₂+ r⁰₂) − r⁰₁r⁰₂

= (s₁s₂+ s₁r⁰₂+ r⁰₁s₂+ r⁰₁r⁰₂) − r₁⁰r₂⁰

= s₁s₂+ s₁r₂⁰ + r⁰₁s₂.

(2.1)

Mengingat S merupakan subring maka s1s₂ ∈ S, namun s₁r⁰₂dan r₁⁰s₂belum tentu berada dalam S, sehingga secara keseluruhan r₁r₂− r₁⁰r₂⁰ = s₁s₂+ s₁r⁰₂+ r⁰₁s₂ juga belum tentu berada dalam S sebab r1 dan r2 adalah elemen-elemen dalam R yang belum tentu berada dalam S. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa operasi · pada R.

S belum tentu well-defined.

Dari kenyataan ini didefinisikan pengertian ideal sebagai berikut:

Definisi 2.1.1. Misalkan R suatu ring dan ∅ 6= I ⊆ S. Subset I disebut ideal dari R jika

(i). (∀s₁, s₂ ∈ I)s₁− s₂ ∈ I dan (ii). (∀s₁ ∈ I)(∀r ∈ R)s₁r, rs₁ ∈ I.

Contoh 2.1.2. 1. Subset 2Z merupakan ideal di ring Z. Secara umum, untuk setiap k ∈ N, kZ merupakan ideal di ring Z.

2. Subset M_2×2(2Z) merupakan ideal di ring M2×2(Z).

Setiap ring R selalu mempunyai ideal, yaitu paling tidak mempunyai ideal {0_R} dan R. Kedua ideal tersebut dinamakan ideal trivial.

Mengingat pada ring R tidak disyaratkan bersifat komutatif terhadap perkalian maka untuk sebarang subset tak kosong I ⊆ R, s₁ ∈ I, dan r ∈ R, jika s₁r berada di dalam I belum tentu rs1 berada dalam I, begitu juga sebaliknya. Mengingat hal tersebut dapat didefinisikanlah pengertian ideal kiri dan ideal kanan sebagai berikut:

Definisi 2.1.3. Misalkan R suatu ring dan I ⊆ S.

1. SubsetI disebut ideal kiri jika (a) (∀s₁, s₂ ∈ I)s₁− s₂ ∈ I (b) (∀s₁ ∈ I)(∀r ∈ R)rs₁ ∈ I.

2. SubsetI disebut ideal kanan jika (a) (∀s₁, s₂ ∈ I)s₁− s₂ ∈ I (b) (∀s₁ ∈ I)(∀r ∈ R)s₁r ∈ I.

Contoh 2.1.4. Diberikan ring matriks M_2×2(R). Misalkan

I₁ =









 a 0 b 0



| a, b ∈ R







dan I2 =









 0 a 0 b



| a, b ∈ R





 .

Ideal I1merupakan ideal kiri di M2×2(R) dan I2merupakan ideal kanan di M2×2(R).

Berdasarkan Definisi 2.1.1 dan Definisi 2.1.3, mudah dipahami bahwa him- punan bagian tak kosong I dari ring R disebut ideal di R jika I merupakan ideal kiri sekaligus ideal kanan di R.

2.2. Pembentukan Ring Faktor dari Suatu Ideal

Dari uraian pada latar belakang munculnya pengertian ideal diatas dapat di- simpulkan bahwa, jika I merupakan ideal maka I merupakan subring dan operasi

· pada R.

I merupakan operasi well-defined. Perlu diperhatikan jika I hanya meru- pakan ideal kiri atau hanya ideal kanan saja, maka belum tentu operasi · pada R.

I well-defined. Dengan menggunakan aksioma-aksioma ring R dapat ditunjukkan bahwa R.

I merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian koset-koset sebagaimana dinyatakan dalam sifat sebagai berikut.

Teorema 2.2.1. Jika I merupakan ideal dalam ring R maka R.

I merupakan ring terhadap operasi

(i). penjumlahan+ yang didefinisikan sbb.: r₁+r₂=r₁+ r₂

(ii). perkalian· yang didefinisikan sbb.: r₁·r₂=r₁· r₂ untuk setiapr₁, r₂ ∈ R.

I.

Bukti. Dari teori grup, diperoleh bahwa (R.

I, +) merupakan grup Abelian terhadap operasi penjumlahan. Sehingga cukup ditunjukkan bahwa terhadap perkalian bersi- fat asosiatif, distributif kiri, dan distributif kanan. Diambil sebarang r1, r₂, r₃ ∈ R.

I, artinya r¹, r₂, r₃ ∈ R, dengan demikian akan diperoleh:

1. Sifat asosiatif:

r₁+ (r₂+ r₃) = r₁+ (r₂+ r₃)

= r₁+ (r₂+ r₃) = (r₁+ r₂) + r₃

= r₁+ r₂+ r₃ = (r₁+ r₂) + r₃. Jadi, terbukti · bersifat asosiatif.

2. Sifat distributif kiri:

r₁· (r₂+ r₃) = r₁· (r₂ + r₃)

= r₁· (r₂ + r₃) = (r₁+ r₂) + r₃

= r₁· r₂+ r₁· r₃ = r₁· r₂+ r₁ · r₃

= r₁· r₂+ r₁· r₃.

Jadi, terbukti · bersifat distributif kiri terhadap +. Secara analog dapat dibuk- tikan · bersifat distributif kanan terhadap +.



Ring

 R.

I, +, ·



selanjutnya disebut Ring Faktor yang dibentuk dari ideal I dalam ring R. Dengan mudah akan dapat ditunjukan bahwa jika R merupakan ring komutatif maka ring faktor

 R.

I, +, ·



juga bersifat komutatif, dan jika R merupakan ring dengan elemen satuan 1 maka ring faktor

 R.

I, +, ·



juga mem- punyai elemen satuan 1.

Berikut sifat-sifat ideal yang akan dipakai pada subbab berikutnya yakni dalam pembentukan ideal terkecil yang memuat suatu himpunan.

Teorema 2.2.2. Misalkan R merupakan ring. Jika I1 danI₂masing-masing meru- pakan ideal diR, maka

(i). I1∩ I2merupakan ideal diR

(ii). I₁+ I₂ = {a + b | a ∈ I₁ dan a ∈ I₂} merupakan ideal di R (iii). (I₁∪ I₂) ⊆ I₁+ I₂.

Bukti. Diketahui I1dan I2 masing-masing merupakan ideal di R.

(i). Akan dibuktikan I₁ ∩ I₂ merupakan ideal di R. Diambil sebarang r ∈ R dan x, y ∈ I₁ ∩ I₂, artinya x, y ∈ I₁ dan x, y ∈ I₂. Karena I₁ dan I₂ ideal, diperoleh

• x − y ∈ I₁dan x − y ∈ I2,

• rx ∈ I₁dan xr ∈ I₁,

• rx ∈ I₂dan xr ∈ I₂.

Dengan demikian diperoleh x − y ∈ I₁ ∩ I₂, rx ∈ I₁∩ I₂, dan xr ∈ I₁∩ I₂. Jadi, dapat disimpulkan bahwa I1∩ I₂ merupakan ideal di R.

(ii). Akan dibuktikan I1+ I2merupakan ideal di R. Diambil sebarang r ∈ R dan x, y ∈ I₁+I₂, artinya x = a₁+a₂dan y = b₁+b₂, untuk suatu a₁, b₁ ∈ I₁dan a2, b2 ∈ I2. Karena I1 dan I2 merupakan ideal di R, diperoleh a1− b1 ∈ I1

dan a₂− b₂ ∈ I₂, sehingga

x − y = a₁+ a₂− (b₂+ b₂) = (a₁− b₁) + (a₂− b₂) ∈ I₁+ I₂. Karena I₁ dan I₂ merupakan ideal di R, diperoleh juga ra₁ ∈ I₁, a₁r ∈ I₁, ra₂ ∈ I₂, dan a2r ∈ I₂, sehingga

rx = r(a₁+ a₂) = ra₁+ ra₂ ∈ I₁+ I₂ dan

xr = (a₁+ a₂)r = a₁r + a₂r ∈ I₁+ I₂. Jadi, I₁+ I₂ merupakan ideal di R.

(iii). Akan dibuktikan (I1∪ I2) ⊆ I1+ I2. Diambil sebarang x ∈ I1∪ I2, artinya x ∈ I₁ atau x ∈ I₂. Jika x ∈ I₁, maka mengingat 0_R ∈ I₂ diperoleh x = x + 0R ∈ I1 + I2. Jika x ∈ I2, maka mengingat 0R ∈ I1 diperoleh x = 0_R+ x ∈ I₁+ I₂. Jadi, terbukti bahwa I₁∪ I₂ ⊆ I₁+ I₂.



Berikut ini merupakan generalisasi dari Teorema 2.2.2 (i).

Teorema 2.2.3. Diberikan R adalah ring dan ∆ adalah himpunan indeks. Misalkan I = {I_α | α ∈ ∆} dengan I_αadalah ideal diR untuk setiap α ∈ ∆. Irisan semua ideal-ideal dalamI, yaitu

\

α∈∆

I_α, merupakan ideal diR.

Bukti. (sebagai latihan) 

2.3. Ideal Terkecil yang Memuat Himpunan

Jika diberikan ring R dan himpunan X ⊆ R, maka X bisa merupakan ideal di R atau X bukan merupakan ideal di R. Jika X bukan merupakan ideal di R, maka selalu dapat dibentuk ideal yang memuat X, yakni paling tidak ring R itu sendiri.

Namun ideal R merupakan ideal terbesar dan ideal yang trivial. Oleh karena itu, muncul pertanyaan, bagaimana mencari ideal terkecil yang memuat X. Berikut diberikan langkah-langkah mencari ideal terkecil yang memuat X.

a). Dikumpulkan semua ideal yang memuat X, yaitu dibentuk himpunan yang dinotasikan dengan IX, yaitu

I_X = {I | I ideal di R dan X ⊆ I}.

Dengan demikian dapat kita tuliskan I_X = {I_α | α ∈ ∆} dengan ∆ adalah suatu himpunan indeks dan I_α adalah ideal di R yang memuat X, untuk setiap α ∈ ∆.

b). Dibentuk irisan dari semua ideal di dalam IX, yaitu

\

I∈IX

I = \

α∈∆

I_α.

Berdasarkan sifat ideal diperoleh bahwa T

α∈∆

I_α merupakan ideal di R. Karena

X ⊆ T

α∈∆

I_α ⊆ I_β untuk setiap β ∈ ∆, diperoleh bahwa T

I∈IX

I = T

α∈∆

I_α merupakan ideal terkecil yang memuat X.

Perhatikan bahwa pada kejadian khusus ketika X = ∅, ideal {0_R} meru- pakan ideal yang memuat X. Oleh karena itu, {0R} ∈ IX sehingga diperoleh ideal terkecil yang memuat X adalah

\

I∈IX

I = {0_R}.

Selanjutnya, muncul pertanyaan bagaimanakah bentuk elemen-elemen di dalam T

I∈IX

I, dengan X 6= ∅. Misalkan X adalah himpunan bagian tak kosong dari R.

1. Jelas elemen-elemen dari X berada di T

I∈IX

I, sebab X ⊂ T

I∈IX

I. Dengan demikian, diperoleh y ∈ T

I∈IX

I, untuk setiap y ∈ X. Mengingat T

I∈IX

I ideal di R, untuk setiap k ∈ Z dan y ∈ X berlaku ky ∈ T

I∈IX

I. Lebih dari itu, untuk setiap t ∈ N, kj ∈ Z, yj ∈ X, j = 1, · · · , t, berlaku

t

X

j=1

k_jy_j ∈ \

I∈IX

I.

2. Mengingat T

I∈IX

I ideal di R, maka untuk setiap r ∈ R dan x ∈ X diperoleh rx juga berada di T

I∈IX

I. Selanjutnya, mengingat T

I∈IX

I ideal di R, maka untuk setiap r⁰ ∈ R diperoleh

rxr⁰ = (rx)r⁰ ∈ \

I∈I_X

I.

3. Mengingat T

Ii∈I_X

I_i ideal di R, maka untuk setiap n ∈ N, ri, r_i⁰ ∈ R, dan x_i ∈ X, i = 1, · · · , n,

n

X

i=1

(r_ix_ir_i⁰) ∈ \

I∈IX

I.

4. Dari (1) dan (3), serta mengingat T

I∈I_X

I ideal di R, diperoleh

n

X

i=1

(r_ix_ir⁰_i) +

t

X

j=1

(k_jy_j) ∈ \

I∈IX

I.

Jika semua bentuk

n

X

i=1

(r_ix_ir⁰_i)+

t

X

j=1

(k_jy_j) dengan r_i, r⁰_i ∈ R dan x_i, y_j ∈ X dikumpulkan menjadi satu, yaitu dibentuk himpunan yang dinotasikan dengan hXi sebagai berikut

hXi = ( _n

X

i=1

(r_ix_ir⁰_i) +

t

X

j=1

(k_jy_j) | n, t ∈ N, kj ∈ Z, ri, r_i⁰ ∈ R, x_i, y_j ∈ X )

,

maka akan diperoleh suatu teorema sebagai berikut.

Teorema 2.3.1. Diberikan sebarang ring R. Jika X adalah himpunan bagian tak kosong dariR dan I_X = {I | I ideal dan X ⊆ I}, maka berlaku T

I∈IX

I = hXi.

Bukti. (sebagai latihan)

(a). Harus dibuktikan hXi merupakan ideal di R.

(b). Harus dibuktikan X ⊆ hXi.

(c). Langkah terakhir harus dibuktikan hXi merupakan ideal terkecil di R yang memuat X.



Definisi 2.3.2. Diberikan ring R dan himpunan bagian tak kosong X ⊆ R. Ideal hXi disebut ideal yang dibangun oleh X.

Untuk sebarang ring R dan himpunan bagian tak kosong X ⊆ R, jelas bahwa hXi ⊆ R tetapi belum tentu berlaku hXi = R. Jika hXi = R, maka munculah definisi ring yang dibangun oleh suatu himpunan sebagai berikut.

Definisi 2.3.3. Diberikan ring R dan himpunan bagian tak kosong X ⊆ R. Ring R disebutring yang dibangun oleh X jika hXi = R.

Khusus untuk ring R dengan elemen satuan (katakan 1R), jika ∅ 6= X ⊆ R maka untuk setiap n ∈ Z dan x ∈ X, diperoleh:

(i). Jika n = 0, maka nx = 0R. (ii). Jika n > 0, maka

nx = n(1_Rx)^def.= 1_Rx + 1_Rx + · · · + 1_Rx

| {z }

n kali

= (1_R+ 1_R+ · · · + 1_R

| {z }

n kali

)x = sx = sx1_R,

untuk suatu s ∈ R.

(iii). Jika n < 0, maka

nx = n(1_Rx)^def.= 1_Rx + 1_Rx + · · · + 1_Rx

| {z }

|n| kali

= (1_R+ 1_R+ · · · + 1_R

| {z }

|n| kali

)x = tx = tx1_R

untuk suatu t ∈ R.

Akibatnya, ideal terkecil di R yang memuat X adalah

hXi = ( _n

X

i=1

(r_ix_ir⁰_i) | n ∈ N, ri, r_i⁰ ∈ R, x_i ∈ X )

. (2.2)

Khusus untuk ring R yang komutatif, ideal terkecil yang memuat X adalah

hXi = ( _n

X

i=1

(rixi) +

t

X

j=1

(kjyj) | n, t ∈ N, kⁱ ∈ Z, rⁱ ∈ R, xi, yj ∈ X )

. (2.3)

(Silahkan dibuktikan sebagai latihan)

Kasus yang lebih khusus lagi, jika R adalah ring komutatif dengan elemen satuan maka berdasarkan (2.2) dan (2.3) diperoleh

hXi = ( _n

X

i=1

(r_ix_i) | n ∈ N, ri ∈ R, x_i ∈ X )

.

Contoh 2.3.4. Diberikan ring bilangan bulat Z dan X = {2, 3}. Ideal yang diban- gun oleh X adalah

hXi = ( _n

X

i=1

(2r + 3s) | n ∈ N, r, s ∈ Z )

.

Diberikan sebarang ring R dan X himpunan bagian tak kosong dari R. Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa ideal kiri terkecil yang memuat X yang dinotasikan dengan hXil tidak lain akan berbentuk

hXi_l = ( _n

X

i=1

(r_ix_i) +

t

X

j=1

(k_jy_j) | n, t ∈ N, ki ∈ Z, ri ∈ R, x_i, y_j ∈ X )

. Ideal kanan terkecil yang memuat X yang dinotasikan dengan hXi_rtidak lain akan berbentuk

hXi_r = ( _n

X

i=1

(x_ir⁰_i) +

t

X

j=1

(k_jy_j) | n, t ∈ N, ki ∈ Z, r⁰i ∈ R, x_i, y_j ∈ X )

. Tentu saja jika R merupakan ring komutatif setiap ideal kiri akan merupakan ideal kanan, sehingga hXi_l = hXi_r.

Diberikan sebarang ring R. Jika X ⊆ R hanya terdiri dari satu elemen, misalkan X = {a}, maka hXi = h{a}i akan sama dengan

hXi = {rar⁰+ ka | r, r⁰ ∈ R, k ∈ Z} ,

dan selanjutnya disebut ideal yang dibangun oleh a. Jika x = {0} maka kan diper- oleh ideal yang dibangun oleh {0} tidak lain adalah ideal {0} itu sendiri, sedangkan jika R adalah ring yang memuat elemen satuan 1R maka ideal yang dibangun oleh 1_R tidak lain adalah R sendiri. Jika R merupakan ring komutatif dengan elemen satuan, maka

h{a}i = {ra | r ∈ R} = {ar | r ∈ R}, dan selanjutnya dinotasikan dengan aR.

Selanjutnya, jika diberikan ring R serta ideal I₁ dan I₂ di R maka I₁ ∪ I₂ belum tentu membentuk ideal di R. Sebagai contoh pada ring bilangan bulat Z, himpunan 2Z dan 3Z masing-masing merupakan ideal, namun 2Z ∪ 3Z tidak meru- pakan ideal, sebab 2, 3 ∈ 2Z ∪ 3Z tetapi 2 + 3 = 5 6∈ 2Z ∪ 3Z.

Mengingat I₁ ∪ I₂ merupakan himpunan bagian tak kosong dari R, dapat dibentuk ideal terkecil di R yang memuat I1∪ I2, yaitu hI1 ∪ I2i.

Teorema 2.3.5. Diberikan sebarang ring R. Jika I₁ danI₂ masing-masing meru- pakan ideal diR, maka

hI₁∪ I₂i = I₁+ I₂.

Bukti. Cukup dibuktikan I1+ I₂merupakan ideal terkecil di R yang memuat I1∪ I₂. Berdasarkan Teorema 2.2.2 (ii) telah diketahui bahwa I₁+ I₂ merupakan ideal di R. Berdasarkan Teorema 2.2.2 (iii), diperoleh ideal I1 + I₂ memuat I1 ∪ I₂. Dengan demikian telah terbukti bahwa I₁+ I₂ merupakan ideal di R yang memuat I₁∪ I₂. Diambil sebarang ideal K di R sedemikian sehingga (I1∪ I₂) ⊆ K. Akan ditunjukkan (I₁+ I₂) ⊆ K. Diambil sebarang x ∈ I₁+ I₂, artinya x = a + b untuk suatu a ∈ I1 dan b ∈ I2. Mengingat (I1 ∪ I₂) ⊆ K, berakibat a, b ∈ K. Karena K ideal, diperoleh x = a + b ∈ K. Oleh karena itu diperoleh (I₁+ I₂) ⊆ K dan terbukti I1 + I₂ merupakan ideal terkecil di R yang memuat I1∪ I₂. Jadi, terbukti

hI₁∪ I₂i = I₁+ I₂. 

2.4. Latihan

Kerjakan soal-soal latihan berikut ini.

1. Buktikan bahwa sebarang ideal di ring Z memiliki bentuk nZ, untuk suatu n ∈ N ∪ {0} !

2. Diberikan ring T_2×2(Z) =









 a b 0 d



| a, b, d ∈ Z





 .

(a). Buktikan bahwa I =









 0 b 0 d



| b, d ∈ Z







merupakan ideal di T2×2(Z) !

(b). Buktikan bahwa J =









 0 b 0 0



| b ∈ Z







merupakan ideal di T2×2(Z) !

(c). Tentukan ring faktor T^2×2(Z).

I danT_2×2(Z). J !

3. Buktikan bahwa I = {0, 8, 16} merupakan ideal di Z24 ! Selanjutnya ten- tukan ring faktor Z²⁴

. I !

4. Misalkan I dan J masing-masing adalah ideal di ring R. Didefinisikan perkalian dua ideal sebagai berikut:

IJ = {a1b1+ a2b2+ · · · + anbn| n ∈ N, aⁱ ∈ I, bi ∈ J}.

Buktikan bahwa IJ merupakan ideal di R !

5. Diberikan sebarang ring R. Jika I ideal kanan di R dan J ideal kiri di R, maka buktikan IJ ⊆ I ∩ J !

6. Misalkan I adalah ideal di suatu ring komutatif R. Didefinisikan annihilator dari I, yaitu Ann(I) = {r ∈ R | ra = 0_Runtuk setiap a ∈ I}. Buktikan bahwa Ann(I) merupakan ideal di R !

7. Pada ring Z20, buktikan bahwa I = {n | n genap} merupakan ideal! Ten- tukan Ann(I) !

8. Misalkan I adalah ideal di suatu ring komutatif R dan a ∈ R. Buktikan bahwa hI ∪ {a}i = {x + ra + na | x ∈ I, r ∈ R, n ∈ Z} !

9. Misalkan I₁ dan I₂ masing-masing adalah ideal di suatu ring R. Buktikan bahwa I₁∪ I₂merupakan ideal di R jika dan hanya jika I₁ ⊆ I₂atau I₂ ⊆ I₂! 10. Misalkan I adalah ideal di suatu ring R. Buktikan bahwa ring faktor R.

I komutatif jika dan hanya jika ab − ba ∈ I untuk setiap a, b ∈ R !