Anova (analysis of varian)

(1)

Dept. Biostatistics FKM UI, 2006 1

Anova

(analysis of varian)

Dept. Biostatistics FKM UI, 2006 Page 2

ANOVA

Uji hipotesis perbedaan nilai rata-rata dari 2 atau lebih kelompok independen

Contoh: Adakah perbedaan berat bayi lahir dari keluarga SES tinggi dengan SES sedang atau SES rendah

Asumsi Uji Anova:

1. Subjek diambil secara random dari populasi 2. Varian semua populasi adalah sama 3. Populasi terdistribusi secara normal

4. Error adalah independen dan terdistribusi sec. normal

Ho: (Semua  adalah sama) HA: (Tidak semua  sama) atau

Setidaknya salah satu dari iberbeda dengan lainnya



1





2





3

ANOVA

PROSEDUR UJI ANOVA:

1. Ho: (Semua  adalah sama) Ha: (Tidak semua  adalah sama)

2. Tentukan tingkat kepercayaan (dengan  tertentu)

3. Test Statistik: Uji-F-Anova

4. Area penolakan: Ho ditolak jika

F hitung > F tabel (; df1=k-1; df2=N-k)atau p-value < 

5. Keputusan: Ho ditolak

atau

gagal ditolak

6. Kesimpulan: Ho gatol  Ho: Semua  sama. Ho ditolak Ha: Tidak semua  adalah sama/ minimal salah satu  berbeda dengan lainnya



₁





₂





₃

ANOVA

MODEL UJI ANOVA:

Xij= Nilai suatu karakteristik di populasi

 = Mean populasi (konstanta yang tdk diketahui) j = Efek dari treatment/perbedaan kategori

(

Variance Between Groups

)

eij= Residual/Error sbg efek dari selain treatment

(

Variance Within Groups

)

x

_ij









_j



e

_ij

ANOVA

Data Lay-out: (perhitungan ANOVA)

Treatment-j Treatment-. Treatment-k Total x11 X1. x13 x21 X2. x23 x31 X3. x33 xij xi. Xnk nj = … n. = … nk = … N = … j= … .= … k= …  = … Sj= … S.= … Sk= … xj = … x. = … xk = … (X2) = … (X) = …

ANOVA

Keterangan:

Xij = Nilai observasi pada sampel ke-i s/d -n pada kelompok ke-j s/d -k

nj = Jumlah sampel pada kelompok ke-j s/d -k (k = jumlah treatment/kelompok)

N = Jumlah sampel keseluruhan (Total observasi) j= mean tiap kelompok (dari j s/d k)

 = mean keseluruhan (grand mean) Sj= SD tiap kelompok (dari j s/d k)

xj= Jumlah dari nilai observasi pada kelompok -j s/d –k

(X) = Jumlah dari nilai semua observasi (X2_{) = Jumlah dari nilai kuadrat semua observasi}

(2)

ANOVA

Anova Lay-out: Rumus-1: Source of variation Sums of Squares Df Mean Squares F Between SSB k -1 MSB=SSB/k-1 MSB/MSw Within SSW N -k MSw= SSw/N-k Total SST N -1









SS

_B



n x

_j _j



x



n x

_k _k



x

2 2

....

 

SS

w



(

n

j



1 ).

S

j



.... (



n

k



1 ).

S

k 2 2

Rumus Grand Mean & Varian

Grand mean Grand mean Varian betwen Varian betwen:: (MS (MSBB)) Varian within Varian within (MS (MSww)) k k k

n

x

n

x

n

x

n

x

....

}

...

{

ˆ

2 1 2 2 1 1





1 }

)

(

...

)

(

)

(

{

2 2 2 2 2 1 1 2















k

x

n

x

n

x

n

_k _k B





k

N

n

s

n

s

n

s

_k _k W











{

(

1 )

(

1 )....

(

1 )}

2 2 2 2 1 2 1 2



ANOVA

Anova Lay-out: Rumus-2: Source of variation Sums of Squares Df Mean Squares F Between SSB k – 1 MSB=SSB/k-1 MSB/MSw Within SS_W N – k MS_w= SS_w/N-k Total SST N - 1





SS

Xj

n

X

N

B j





















(

)

2 2





SS

X

Xij

N

T ij j k













 



2 2

ANOVA

Anova Lay-out: Rumus-2: Source of variation Sums of Squares Df Mean Squares F Between SSB k - 1 MSB=SSB/k-1 MSB/MSw Within SSW N - k MSw= SSw/N-k Total SST N - 1













SS X n X n X N B j j k k                  2 ₂ 2 ....









SS

X

N

T









2 2

SS

w



SS

T



SS

B

Contoh Aplikasi

ANOVA

Lama tunggu (menit)

P.Dalam Bedah Kebidanan Total

10 5 8 9 8 7 7 8 8 9 5 7 10 7 6 9 6 9 8 6 8 9 8 9 8 6 10 7 6 5 n 10 10 10 mean 8.6 6.5 7.7 7.6 sd 1.1 1.2 1.5 x 86 65 77 228 x2 750 435 613 1798

Contoh Aplikasi ANOVA

1. Ho: Ha: 2. Uji-ANOVA Rumus-2:













SS X n X n X N B j j k k                  2 2 2 ....









SS

X

N

T









2 2

SS

_w



SS

_T



SS

_B

(3)

ANOVA

Anova Lay-out: F tabel= … -  = 0.05 - Numerator = k –1 = 3 – 1 = 2 - Denominator = N – k = 30 – 3 = 27 (dekat 30) F tabel= antara 3.40 dengan 3.32 (atau F tabel= 3.36)

Keputusan: Ho ditolak karena F hitung> F tabel

Nilai-p = …

- F = 6,97 (Berkisar 6,4 – 8,8) - Nilai-p = (Berkisar 0,005 – 0,001) - Nilai-p < alpha (5%)  Ho ditolak Source of variation Sums of Squares Df Mean Squares F (hitung) Between 22.2 2 11.1 6.97 Within 44.1 27 1.63 Total 66.3 29

Multiple

Comparison

Dengan uji ANOVA saja kita belum tahu kelompok mana yang berbeda,

apakah k1dg k2, k1dg k3, atau k2dg k3 Untuk menjawab pertanyaan ini kita harus

melakukan uji banding ganda (multiple

comparison test)

Salah satu metodenya adalah the Least

Significant Difference (LSD) Ho ditolak jika:

N

MSw

t

j

X

j

X

df N k

.

2 '



( /2,   )





Multiple Comparison

Descriptives lama_tunggu 10 8.6000 1.07497 .33993 10 6.5000 1.17851 .37268 10 7.7000 1.49443 .47258 30 7.6000 1.49943 .27376 P. Dalam Bedah Kebidanan Total

N Mean Std. Deviation Std. Error

Sum of Squa res df Mean Square F Sig. Between Groups 22.200 2 11.100 6.970 .004 Within Groups 43.000 27 1.593 Total 65.200 29 Multiple Comparisons

Dependent Variable: lama_tunggu LSD 2.10000* .56437 .001 .90000 .56437 .122 -2.10000* .56437 .001 -1.20000* .56437 .043 -.90000 .56437 .122 1.20000* .56437 .043 (J) Ruang Bedah Kebidanan P. Dalam Kebidanan P. Dalam Bedah (I) Ruang P. Dalam Bedah Kebidanan Mean Difference

(I-J) Std. Error Sig.

The mean difference is significant at the .05 level. *.

Uji ANOVA

F-rasio = Perbandingan variasi antar group (between

group) dengan variasi di dalam group (within group)

Jika rasio tsb besar, berarti variasi yang terjadi adalah akibat dari perbedaan treatmen/kelompok Jika rasio tsb kecil, berarti variasi yang terjadi

hanyalah akibat perbedaan antar individu Berapa rasio yang disebut besar ?

Tergantung dari derajat kemaknaan (alpha) yang dapat diterima

Output komputer

22.200 2 11.100 6.970 .004 43.000 27 1.593 65.200 29 Between Groups Within Groups Total VAR00001 Sum of

Squares df Mean Square F Sig. ANOVA

Within Group Variance

Observasi (Observasi-rata-rata) (Observasi-rata-rata)2

10 1.4 1.96 9 0.4 0.16 7 -1.6 2.56 9 0.4 0.16 10 1.4 1.96 9 0.4 0.16 8 -0.6 0.36 9 0.4 0.16 8 -0.6 0.36 7 -1.6 2.56 Jumlah 0 10.4 Sum of square within group Penyakit Dalam

(4)

Within Group Variance

5 -1.5 2.25 8 1.5 2.25 8 1.5 2.25 5 -1.5 2.25 7 0.5 0.25 6 -0.5 0.25 6 -0.5 0.25 8 1.5 2.25 6 -0.5 0.25 6 -0.5 0.25 0 12.5 Bedah

Within Group Variance

8 0.3 0.09 7 -0.7 0.49 8 0.3 0.09 7 -0.7 0.49 6 -1.7 2.89 9 1.3 1.69 8 0.3 0.09 9 1.3 1.69 10 2.3 5.29 5 -2.7 7.29 0 20.1 Kebidanan

Sum of square within

group



SSW Peny. Dalam = 10,4SSW Peny. Dalam = 10,4 

SSW Bedah = 12,5SSW Bedah = 12,5 

SSW Kebidanan = 20,1SSW Kebidanan = 20,1 

SSW ketiga kelompok:SSW ketiga kelompok: 10,4+12,5+20,1 = 43,0 10,4+12,5+20,1 = 43,0 

RataRata--rata deviasi kuadrat pd 3 kelompok:rata deviasi kuadrat pd 3 kelompok: 43,0/((10

43,0/((10--1)+(101)+(10--1)+(101)+(10--1))=1,591))=1,59

Mean of square within group

Between of group Variance



Between of Variance

SS

_A





(

x x



)

S SS df A A A 2 

Between group variance

(Rata-rata pd kel. - (Ratarata pd kel. -Observasi (Observasi-rata-rata) Rata-rata semua kel.) Rata-rata semua kel.)2

10 1.4 1 1 9 0.4 1 1 7 -1.6 1 1 9 0.4 1 1 10 1.4 1 1 9 0.4 1 1 8 -0.6 1 1 9 0.4 1 1 8 -0.6 1 1 7 -1.6 1 1 Jumlah 0 10 Penyakit Dalam

Between group variance

(Rata-rata pd kel. - (Ratarata pd kel. -Observasi Rata-rata semua kel.) Rata-rata semua kel.)2

5 -1.1 1.21 8 -1.1 1.21 8 -1.1 1.21 5 -1.1 1.21 7 -1.1 1.21 6 -1.1 1.21 6 -1.1 1.21 8 -1.1 1.21 6 -1.1 1.21 6 -1.1 1.21 0 12.1 Bedah

(5)

Between group

variance

(Rata-rata pd kel. - (Ratarata pd kel. -Observasi Rata-rata semua kel.) Rata-rata semua kel.)2

8 0.1 0.01 7 0.1 0.01 8 0.1 0.01 7 0.1 0.01 6 0.1 0.01 9 0.1 0.01 8 0.1 0.01 9 0.1 0.01 10 0.1 0.01 5 0.1 0.01 0.1 Kebidanan

Sum of square within

group



SSB Peny. Dalam = 10,0SSB Peny. Dalam = 10,0 

SSB Bedah = 12,1SSB Bedah = 12,1 

SSB Kebidanan = 0,1SSB Kebidanan = 0,1 

SSB ketiga kelompok:SSB ketiga kelompok: 10,0+12,1+0,1 = 22,2 10,0+12,1+0,1 = 22,2 

RataRata--rata deviasi kuadrat pd 3 kelompok:rata deviasi kuadrat pd 3 kelompok: 22,2/(3 kel.