5. INTERPOLASI PENDAHULUAN
Bentuk umum persamaan polinomial orde n adalah: f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + ….. + an.xn
Untuk n+1 titik data, hanya terdapat satu polinomial orde n atau kurang yang melalui semua titik.
orde 1 orde 2 orde 3
menghubungkan 2 titik menghubungkan 3 titik menghubungkan 4 titik Gambar 5.1
INTERPOLASI POLINOMIAL NEWTON
Bentuk umum interpolasi polinomial orde n adalah:
fn(x)=b0+b1.(x-x0)+b2.(x-x0).(x-x1)+...+bn.(x-x0).(x-x1)…(x-xn-1) (5.1)
Persamaan interpolasi polinomial Newton orde 1, ditulis dalam bentuk,
f1(x) = b0 + b1.(x-x0) (5.2)
Berdasarkan titik data yang ada, kemudian dihitung koefisien b0 dan b1.
Koefisien b0 dihitung dari pers. (5.2) dengan memasukkan nilai x = x0,
f(x0) = b0 + b1.(x0-x0)
b0 = f(x0) (5.3)
Pers. (5.3) disubstitusikan ke pers. (5.2) dan kemudian dimasukkan nilai x = x1, maka diperoleh b1, f(x1) = f(x0) + b1.(x1-x0) b1 = 0 1 0 1 x x ) x ( f ) x ( f − − (5.4)
Persamaan interpolasi polinomial Newton orde 2, ditulis dalam bentuk, f2(x) = b0 + b1.(x-x0) + b2.(x-x0).(x-x1) (5.5)
Berdasarkan titik data yang ada, kemudian dihitung koefisien b0, b1 dan b2.
Koefisien b0 dihitung dari pers. (5.5) dengan memasukkan nilai x = x0,
b1 = 0 1 0 1 x x ) x ( f ) x ( f − − (5.7)
Pers. (5.6) dan (5.7) disubstitusikan ke pers. (5.5) dan kemudian dimasukkan nilai x = x2, maka diperoleh b2,
f(x2) = f(x0) + 0 1 0 1 x x ) x ( f ) x ( f − − .(x 2-x0) + b2.(x2-x0).(x2-x1) b2 = ) x x ).( x x ( ) x x .( x x ) x ( f ) x ( f ) x ( f ) x ( f 1 2 0 2 1 2 0 1 0 1 1 2 − − − − − − − atau b2 = 0 2 0 1 0 1 1 2 1 2 x x x x ) x ( f ) x ( f x x ) x ( f ) x ( f − − − − − − (5.8)
Persamaan interpolasi polinomial Newton orde n, ditulis dalam bentuk,
fn(x)=b0+b1.(x-x0)+b2.(x-x0).(x-x1)+...+bn.(x-x0).(x-x1)…(x-xn-1) (5.9)
Seperti yang dilakukan dengan orde 1 dan 2, titik-titik data dapat digunakan untuk mengevaluasi koefisien b0, b1, b2, ….. dan bn. Untuk interpolasi
polinomial orde n, diperlukan n+1 titik data x0, x1, x2, ….., xn. Dengan
menggunakan titik-titik data tersebut, persamaan berikut digunakan untuk mengevaluasi koefisien, b0 = f(x0) b1 = f[x1, x0] b2 = f[x2, x1, x0] (5.10) M bn = f[xn, xn-1, ….., x1, x0]
dengan evaluasi fungsi berkurung ([…..]) adalah pembagian beda hingga. Bentuk pembagian beda hingga tersebut dapat digunakan untuk mengevaluasi koefisien-koefisien pada pers. (5.10), yang kemudian disubstitusikan ke dalam pers. (5.9) untuk mendapatkan interpolasi polinomial Newton.
Pembagian beda hingga yang lebih tinggi terdiri dari pembagian beda hingga yang lebih rendah, seperti pada tabel 5.1.
Tabel 5.1. Bentuk grafis pembagian beda hingga
i xi f(xi) Satu Dua Tiga
0 x0 f(x0) f[x1, x0] f[x2, x1, x0] f[x3, x2, x1, x0]
1 x1 f(x1) f[x2, x1] f[x3, x2, x1]
2 x2 f(x2) f[x3, x2]
Contoh 5.1:
Dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton orde 1, hitunglah nilai ln 4, apabila diketahui: ln 2=0,69314718 dan ln 6=1,791759469. Nilai eksak ln 4 = 1,386294361 Penyelesaian: i xi f(x1) Satu 0 2 0,69314718 0,274653072 1 6 1,791759469 f1(4) = 0,69314718 + 0,274653072.(x-2) = 1,242453324 Kesalahan, εe = 386294361 , 1 242453324 , 1 386294361 , 1 − x100% = 10,38% Contoh 5.2:
Dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton orde 2, hitunglah nilai ln 4, apabila diketahui: ln 2 = 0,69314718, ln 3 = 1,098612289 dan ln 6 = 1,791759469. Nilai eksak ln 4 = 1,386294361 Penyelesaian: i xi f(xi) Satu Dua 0 2 0,69314718 0,405465109 -0,043604012 1 3 1,098612289 0,23104906 2 6 1,791759469 f2(4) = 0,69314718 + 0,405465109.(x-2) – 0,043604012.(x-2).(x-3) = 1,416869374 Kesalahan, εe = 386294361 , 1 416869374 , 1 386294361 , 1 − x100% = -2,21% Contoh 5.3:
Dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton orde 3, hitunglah nilai ln 4, apabila diketahui:
ln 2 = 0,69314718, ln 3 = 1,098612289, ln 5 = 1,609437912 dan ln 6 = 1,791759469.
Nilai eksak ln 4 = 1,386294361
Penyelesaian:
f3(4) = 0,69314718 + 0,405465109.(x-2) – 0,050017432.(x-2).(x-3) + 0,00641342.(x-2).(x-3).(x-5) = 1,391215694 Kesalahan, εe = 386294361 , 1 391215694 , 1 386294361 , 1 − x100% = -0,35% Contoh 5.4:
Misalkan anda memenangkan suatu undian, dan kepada anda diberikan pilihan untuk menerima Rp. 2.000.000,00 sekarang atau Rp. 700.000,00 setiap tahun selama 5 tahun. Hubungan antara nilai sekarang (P) dan sederetan pembayaran tahunan (A) diberikan oleh informasi berikut dari tabel bunga.
Tingkat Suku Bunga (%) A/P (n = 5 tahun)
15 0,29832
20 0,33438
25 0,37185
30 0,41058
di mana A/P adalah perbandingan pembayaran tahunan terhadap keuntungan sekarang. Jadi bila tingkat suku bunga 15%, pembayaran 5 tahunan (A) yang ekivalen dengan pembayaran sekarang (P) Rp. 2.000.000,00 dihitung sebagai:
A = (A/P).P = 0,29832.(Rp. 2.000.000,00) = Rp. 596.640,00
Gunakan interpolasi polinomial Newton orde 3 untuk menentukan tingkat suku bunga, di mana menerima Rp. 2.000.000,00 sekerang menjadi keputusan yang lebih baik.
Penyelesaian:
A = (A/P).P
(Rp. 700.000) = (A/P).(Rp. 2.000.000,00) (A/P) = 0,35
i xi f(xi) Satu Dua Tiga
0 0,29832 15 138,6577926 -70,96024979 124,6140888 1 0,33438 20 133,4400854 -56,97107218 2 0,37185 25 129,0988897 3 0,41058 30 f3(0,35) = 15 + 138,6577926.(x-0,29832) – 70,96024979.(x-0,29832).(x-0,33438) + 124,6140888. (x-0,29832).(x-0,33438).(x-0,37185) = 22,10635468%
INTERPOLASI POLINOMIAL LAGRANGE
Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan interpolasi polinomial Newton, tetapi tidak menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi polinomial Lagrange dapat diturunkan dari persamaan Newton. Interpolasi polinomial Lagrange orde 1
f1(x) = f(x0) + (x-x0).f[x1, x0] (5.11)
Pembagian beda hingga yang ada pada pers. (5.11) mempunyai bentuk,
f[x1, x0] = 0 1 0 1 x x ) x ( f ) x ( f − − atau f[x1, x0] = 0 1 1 x x ) x ( f − + 0 1 0 x x ) x ( f − (5.12)
Substitusi pers. (5.12) ke dalam pers. (5.11) memberikan hasil, f1(x) = f(x0) + 0 1 0 x x x x − − .f(x 1) + 1 0 0 x x x x − − .f(x 0)
Dengan mengelompokkan suku di ruas kanan, maka persamaan di atas menjadi, f1(x) = − − + − − 1 0 0 1 0 1 0 x x x x x x x x .f(x 0) + 0 1 0 x x x x − − .f(x 1) atau f1(x) = 1 0 1 x x x x − − .f(x 0) + 0 1 0 x x x x − − .f(x 1) (5.13)
Pers. (5.13) dikenal sebagai interpolasi polinomial Lagrange orde 1. Interpolasi polinomial Lagrange orde 2
Dengan prosedur yang sama, untuk interpolasi polinomial Lagrange orde 2 akan didapat: f2(x)= 2 0 2 1 0 1 x x x x x x x x − − − − .f(x 0)+ 2 1 2 0 1 0 x x x x x x x x − − − − .f(x 1)+ 1 2 1 0 2 0 x x x x x x x x − − − − .f(x 2) (5.14)
Interpolasi polinomial Lagrange orde n
Secara umum bentuk interpolasi Lagrange orde n adalah:
fn(x) =
∑
= n 0 i i i ) x ( f ). x ( L (5.15) dengan Li(x) =∏
≠ = − − n i j 0 j i j j x x x x (5.16)f3(x) =
∑
= 3 0 i i i ) x ( f ). x ( L = L0(x).f(x0)+L1(x).f(x1)+L2(x).f(x2)+L3(x).f(x3) dengan L0(x) = 3 0 3 2 0 2 1 0 1 x x x x . x x x x . x x x x − − − − − − L1(x) = 3 1 3 2 1 2 0 1 0 x x x x . x x x x . x x x x − − − − − − L2(x) = 3 2 3 1 2 1 0 2 0 x x x x . x x x x . x x x x − − − − − − L3(x) = 2 3 2 1 3 1 0 3 0 x x x x . x x x x . x x x x − − − − − − Contoh 5.5:Dengan menggunakan interpolasi polinomial Lagrange orde 1, hitunglah nilai ln 4, apabila diketahui: ln 2=0,69314718 dan ln 6=1,791759469. Nilai eksak ln 4 = 1,386294361 Penyelesaian: x0 = 2 ð f(x0) = 0,69314718 x1 = 6 ð f(x1) = 1,791759469 f1(4) = 6 2 6 x − − .0,69314718 + 2 6 2 x − − .1,791759469 = 1,242453325 Kesalahan, εe = 386294361 , 1 242453325 , 1 386294361 , 1 − x100% = 10,38% Contoh 5.6:
Dengan menggunakan interpolasi polinomial Lagrange orde 2, hitunglah nilai ln 4, apabila diketahui: ln 2 = 0,69314718, ln 3 = 1,098612289 dan ln 6 = 1,791759469. Nilai eksak ln 4 = 1,386294361 Penyelesaian: x0 = 2 ð f(x0) = 0,69314718 x1 = 3 ð f(x1) = 1,098612289 x2 = 6 ð f(x2) = 1,791759469 f2(4) = 6 2 6 x 3 2 3 x − − − − . 0,69314718+ 6 3 6 x 2 3 2 x − − − − .1,098612289 + 3 6 3 x 2 6 2 x − − − − .1,791759469 = 1,416869373 Kesalahan, εe = 386294361 , 1 416869374 , 1 386294361 , 1 − x100% = -2,21%
Contoh 5.7:
Dengan menggunakan interpolasi polinomial Lagrange orde 3, hitunglah nilai ln 4, apabila diketahui: ln 2 = 0,69314718, ln 3 = 1,098612289, ln 5 = 1,609437912 dan ln 6 = 1,791759469. Nilai eksak ln 4 = 1,386294361 Penyelesaian: x0 = 2 ð f(x0) = 0,69314718 x1 = 3 ð f(x1) = 1,098612289 x2 = 5 ð f(x2) = 1,609437912 x3 = 6 ð f(x3) = 1,791759469 L0(4) = 6 2 6 x . 5 2 5 x . 3 2 3 x − − − − − − = -0,166666667 L1(4) = 6 3 6 x . 5 3 5 x . 2 3 2 x − − − − − − = 0,666666667 L2(4) = 6 5 6 x . 3 5 3 x . 2 5 2 x − − − − − − = 0.666666667 L3(4) = 5 6 5 x . 3 6 3 x . 2 6 2 x − − − − − − = -0,166666667 f3(4) = (-0,166666667).0,69314718 + 0,666666667.1,098612289 + 0.666666667.1,609437912 + (-0,166666667).1,791759469 = 1,391215693 Kesalahan, εe = 386294361 , 1 391215693 , 1 386294361 , 1 − x100% = -0,35%
