Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno – matematički fakultet
Matematički odsjek
Dajana Kezerić
DIDAKTIČKI MODELI I SITUACIJE U NASTAVI
MATEMATIKE
Diplomski rad
Voditeljica rada:
prof. dr. sc. Aleksandra Čižmešija
Ovaj diplomski rad obranjen je dana _________________________ pred ispitnim povjerenstvom u sastavu:
1._______________________________________________________, predsjednik/ca 2._______________________________________________________, član
3._______________________________________________________, član
Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom ______________________.
Potpisi članova povjerenstva:
1._______________________________________________, 2._______________________________________________, 3._______________________________________________,
Zahvaljujem mentorici, prof. dr. sc. Aleksandri Čižmešiji, na strpljenju i podršci tijekom pisanja diplomskog rada. Svaki profesoričin savjet omogućio mi je da vidim širu sliku poučavanja matematike i pokrenuo tok misli koje sam uz njenu pomoć pretočila u aktivnosti koje bih voljela vidjeti u nastavi matematike.
Zahvalu dugujem i svojim prijateljima i prijateljicama koji su mi pružili podršku tijekom studiranja i ohrabrivali me kada sam posustajala te svim svojim učiteljima, nastavnicima i profesorima koji su mi svo ovo vrijeme bili inspiracija. Hvala vam.
Posebno zahvaljujem svojim roditeljima. Bezuvjetna ljubav i razumijevanje koje su mi pružili doveli su me do pisanja ovih redaka. Velika vam hvala na pomoći pri svakom mom padu kao i pogledima punih ponosa na moj i najmanji uspjeh. Zbog vas sam tu gdje jesam.
SADRŽAJ
UVOD ... 1
1. DIDAKTIČKI MODELI I SITUACIJE ... 3
1.1 Što je didaktika? ... 3
1.2 Što je aktivna nastava? ... 4
1.3 Didaktičke situacije ... 5
1.3.1Matematika u 5 koraka ... 6
1.4 Nastavnik kao prevoditelj ... 7
1.5 Tipovi didaktičkih modela ... 7
2. CUISENAIREOVI ŠTAPIĆI ... 11
2.1 Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik prirodnih brojeva . 13 2.1.1Aktivnost: Najveći zajednički djelitelj ... 14
2.1.2Aktivnost: Najmanji zajednički višekratnik ... 20
2.2 Istraživanje i prikazivanje brojevnih pravilnosti ... 25
2.2.1Aktivnost: Istraživanje uzoraka i prikaz prirodnih brojeva kao sume ... 26
2.3 Geometrijski oblici u ravnini i prostoru ... 29
2.3.1Aktivnost: Geometrijski oblici u prostoru... 30
2.4 Nejednakost trokuta ... 33
2.4.1Aktivnost: Nejednakost trokuta ... 34
2.5 Pojam opsega ... 37
2.5.1Aktivnost: Razumijevanje pojma opsega ... 37
3. MODEL VAGE ... 41
3.1 Koncept jednakost i očuvanja jednakosti... 42
3.1.2Aktivnost: Očuvanje jednakosti ... 47
4. ALGEBARSKE PLOČICE ... 51
4.1 Algebarski izrazi... 52
4.1.1Aktivnost: Množenje algebarskih izraza ... 53
5. MNOGOKUTNE PLOČICE ... 59
5.1 Pojam kuta i popločavanje ravnine... 61
5.1.1Aktivnost: Određivanje veličina unutarnjih kutova mnogokuta ... 62
5.1.2Aktivnost: Popločavanje ravnine ... 66
5.2 Pojam razlomka ... 71
5.2.1Aktivnost: Otkrivanje i razumijevanje pojma razlomka ... 72
6. GEOPLOČA ... 76
6.1 Površina geometrijskih likova ... 78
6.1.1Aktivnost: Pickova formula ... 78
6.2 Otkrivanje formule za određivanje broja dijagonala konveksnog mnogokuta ... 84
6.2.1Aktivnost: Otkrivanja formule za određivanje broja dijagonala konveksnog n-terokut ... 85
LITERATURA ... 89
SAŽETAK ... 91
SUMMARY ... 92
1
UVOD
Poznate riječi engleskog filozofa Herberta Spencera (1820. – 1903.): „Cilj školovanja nije znanje nego akcija“ već više od stoljeća zaokupljaju misli brojnih umova koji su svoje vrijeme posvetili proučavanju i unaprijeđenju obrazovnog sustava. Ovo je jedan od citata koji su mijenjali način na koji se, u ne tako dalekoj prošlosti, gledalo na učenje i poučavanje. U prošlim vremenima, obrazovanje je u središte poučavanja smjestilo informacije, pojmove, činjenice i događaje. U svijetu koji konstantno raste i u kojem je zaista nemoguće pratiti količinu novih informacija, prioritet obrazovnog sustava se mijenja i u centar obrazovanja ulazi učenik koji dobivene informacije mora moći znati koristiti.
Svijet u kojem danas živimo razvijao se tijekom tisućljeća i svo znanje koje smo kao čovječanstvo skupili vrlo je lako dostupno širokom uporabom interneta. Dakle, informacije koje su nekoć bile teško dostupne i memorirane su kao vrlo važne, danas su udaljene tek klikom miša. No što to čini djeci koja tek počinju otkrivati svijet u kojem žive? Što je s radosti otkrivanja kroz uspjehe i pogreške? U želji da djeci omogućimo što više znanja radost otkrivanja nerijetko uskraćujemo i svi oni osjećaji, vještine i sposobnosti koje želimo da djeca osjete i razviju izgube se u moru informacija. U nastavi matematike želimo da djeca dožive radost istraživanja i otkrivanja koji ispunjavaju. Kako bismo to omogućili koristimo različite materijale, brojne modele i situacije osmišljene od strane stručnjaka kojima bismo trebali moći potaknuti djecu da vlastitim razmišljanjem donose zaključke i rješavaju matematičke probleme i probleme iz svakodnevnog života koje s njima mogu poistovjetiti.
2 Na početku rada, u poglavljima Što su didaktički modeli? i Didaktičke situacije,
opisat ćemo što su didaktički modeli i situacije općenito te koja je uloga nastavnika u takozvanoj aktivnoj nastavi. U poglavljima koja zatim slijede opisat ćemo konkretne didaktičke modele. Redom ćemo opisivati Cuisenaireove štapiće, model vage, algebarske i mnogokutne pločice i geoploču. Uz prikladnu sliku i primjere aktivnosti, nadamo se predstaviti didaktičke modele kao korisne alate u nastavi matematike. Za svaku od aktivnosti predložit ćemo način rada, navesti potreban materijal, odrediti njeno trajanje i opisati tijek kojim se ona provodi. Sve to opisat ćemo u kontekstu odgovarajućeg matematičkog sadržaja, odnosno matematičke teme koju je praktično obraditi pomoću nekog od navedenih didaktičkih modela. Slike unutar aktivnosti izrađene su u programu
Geogebre, a za ostale slike izvor je naveden u poglavlju Literatura. Prije nego prijeđemo na konkretne primjere didaktičkih modela, ukazat ćemo na njihovu potrebu u nastavi matematike.
3
1.
DIDAKTIČKI MODELI I SITUACIJE
1.1
Što je didaktika?
Riječ didaktika je grčkog podrijetla i znači poučavanje. U 17. stoljeću češki filozof, pedagog i teoretičar Jan Komensky definirao ju je kao vještinu o poučavanju bilo koga o bilo čemu. Dugo su se pod istim pojmom skrivali odgoj i obrazovanje koji su u 19. stoljeću izdvojeni kao zasebni pojmovi. Danas se didaktika smatra granom pedagogije koja se bavi proučavanjem općih zakonitosti obrazovanja na način da promatra i zaključuje o stalnim uzročno – posljedičnim vezama i odnosima u procesu stjecanja znanja. Njen glavni zadatak je proučavanje i otkrivanje zakonitosti obrazovanja ličnosti. (Poljak, 1984.)
Didaktičke modele bismo intuitivno mogli definirati kao alate učenja i poučavanja. Ipak, ako želimo biti precizniji, didaktičke modele nećemo tek tako svesti na tri riječi jer oni nisu samo fizički opipljive stvari već mnogo više. Naravno, mnoge
stvari možemo koristiti u nastavi kako matematike tako i drugih nastavnih predmeta, ali to ih ne čini istovremeno didaktičkim modelima. Didaktički modeli proizlaze iz nastavnikove sposobnosti da prepozna učenikovu potrebu da uči matematiku iz vlastitog iskustva. Izdvajamo tri vještine koje nastavnik mora posjedovati kako bi neku, naizgled običnu stvar, pretvorio u didaktički model. Prva vještina koju nastavnik matematike mora posjedovati je dobro poznavanje dubine i širine matematičkog sadržaja koje učenici promatraju, koje istražuju i koje će na kraju i sami moći primjenjivati. Primjerice, nastavnik ne može svoje učenike poučavati o
4 sličnosti trokuta ako ne zna koristiti omjere ili poučavati o derivaciji funkcije, a ne razumije pojam limesa. Druga vještina koju nastavnik matematike mora posjedovati je razumijevanje načina na koji učenici uče matematiku i to na individualnoj razini. Nastavnik uvijek mora biti svjestan dobi, intelektualnih sposobnosti, predznanja i motivacije učenika koje poučava matematiku. Dakle, ukoliko nastavnik matematike počinje poučavati u prvom razredu srednje škole mora uzeti u obzir raznolikosti predznanja svojih učenika. Uz to, nastavnik mora potaknuti razvijanje učenika unutar njegovih mogućnosti koristeći znanja i sposobnosti koje je stekao u ranijim godinama obrazovanja, a ne ga poučavati isključivo načinom koji je njemu kao nastavniku bliži. Treća, no ne i najmanje važna vještina koju nastavnik matematike mora posjedovati je moći odabrati strategije i metode kojima će poboljšati i potaknuti učenje nastavnog sadržaja. Odnosno, nastavnik mora moći prilagoditi matematički sadržaj tako da učenici vlastitim razmišljanjem, vođeni nastavnikovim uputama i samostalnim istraživanjem analiziraju, povezuju i donose zaključke. Naravno, nastavnik mora imati mnogo drugih vještina koje proizlaze iz njegove ličnosti kao što su strpljivost, razumijevanje, kreativnost, objektivnost, snalažljivost te brojne matematičke kompetencije i komunikacijske vještine, no ove tri izdvojene vještine gotovo da obuhvaćaju sve ostale. Didaktički modeli su rezultat spajanja ovih izdvojenih triju vještina. Ti modeli su alati koje nastavnici koriste kako bi provodili takozvanu aktivnu nastavu, nastavu otkrivanja.(Van de Walle, Karp, Bay –Williams, 2010.)
1.2
Što je aktivna nastava?
Nastava kakvoj danas težimo jest nastava bazirana na što samostalnijem učenikovom radu korištenjem što više osjetila, na brojnim primjerima, u radnim skupinama, razmjenom ideja, suradnjom i donošenjem zaključaka iz vlastitog iskustva. Naglasak se stavlja na otkrivanje, a ne na uvježbavanje, memoriranje i reproduciranje. Za aktivnu nastavu potrebna je pozitivna i podupiruća okolina. To podrazumijeva da ćemo uz nastavu matematike vezati riječi poput istražiti, opravdati, razviti, potvrditi, opisati, objasniti, koristiti, riješiti, otkriti, predvidjeti i mnoge druge umjesto izračunati, odgovoriti ili raditi. Posebno, pozitivno nastavno okruženje podrazumijeva slobodno izražavanje i iznošenje ideja bez kritiziranja ili naglašavanja pogrešaka. Odnosno, opuštenu atmosferu u kojoj se učenici ne ustručavaju sudjelovati slušanjem, komentiranjem, iznošenjem ideja, argumentiranjem i kritičkim
5 razmišljanjem. Pod podupirućom okolinom također možemo smatrati i uređenje prostora u kojem se nastava odvija. Primjerice: učionice oslikane matematičkim likovima, sat na kojem su umjesto prirodnih brojeva određeni racionalni brojevi, redovi i stupci klupa označeni brojevima kao svojevrsni koordinatni sustav i slično stvara poticajno radno okruženje i potiče učenike da matematiku žive, a ne samo uče. Dakle, didaktički modeli su aktivnosti kojima se postiže aktivna nastava u kojoj je u središtu pažnje učenik i njegova aktivnost, a ne nastavni sadržaj.
1.3
Didaktičke situacije
Kada govorimo o didaktičkim situacijama zapravo govorimo o osmišljenim aktivnostima koje gradimo oko didaktičkih modela. Nastavnik ili drugi edukacijski stručnjak osmislit će određenu situaciju, odnosno problemski zadatak koji će učenik (par učenika ili skupina učenika) riješiti na način da do rješenja dođe vođenim postupkom u kontroliranim uvjetima. Opisivanjem didaktičke situacije na ovaj način, cijeli proces zvuči poput kemijskog eksperimenta u laboratoriju što zapravo nije daleko od istine. Svaki nastavnik, kako matematike tako i drugih nastavnih predmeta, mora biti svjestan da svaka skupina učenika, svako područje proučavanja i svaki pristup nastavnom sadržaju zahtijevaju određenu pažnju. Baš kao i u laboratoriju kemičara, loša procjena može dovesti do vrlo neugodnih posljedica po znanju učenika. Iz tog razloga vrlo je važno dobro educirati nastavnike kako bi pažljivo birali didaktičke situacije u kojima će učenici ostvarivati zadane obrazovne ciljeve. Nastavnik će u osmišljavanju didaktičkih situacija brinuti o nekoliko čimbenika rada. Prvo će biti važno odrediti koje to ishode učenja učenik mora moći ispuniti po završetku aktivnosti. Ti ishodi moraju biti ostvarivi u toj didaktičkoj situaciji i moraju biti postupno uvođeni u učenikov proces otkrivanja novih saznanja. Pri određivanju ishoda moramo paziti da oni budu realizirani u vremenskom razdoblju koje odgovara vremenu u kojem se održava nastavni sat. Drugi važni čimbenik didaktičke situacije je odrediti koji će način rada najbolje odgovarati odabranim obrazovnim ishodima: samostalni rad, rad u parovima ili rad u skupinama. Svaki od ovih oblika rada ima svoje pozitivne i negativne strane, a ovisno o nastavnom sadržaju nastavnik odabire najprikladniji. Treći čimbenik koji kao nastavnici moramo osigurati jest materijal koji će učenici u otkrivanju ili uvježbavanju koristiti. Taj materijal obuhvaća didaktičke modele: štapiće, pločice i drugo, zatim radne listiće, pisaći pribor i slično. Prilikom
6 izvođenja aktivnosti vrlo je važno voditi računa o predznanju učenika te odabrati didaktičku situaciju primjerenu učenikovoj dobi, iskustvu i sposobnostima. Didaktičke situacije su centar obrazovnog procesa u kojem učenici vlastitim iskustvom, istraživanjem, analiziranjem i zaključivanjem, ostvaruju obrazovne ishode. Izdvojimo 5 glavnih koraka na koje svodimo proces poučavanja matematike didaktičkim situacijama.
1.3.1 Matematika u 5 koraka
Koraci koje će učenici prelaziti na svojem putu učenja matematike uključuju: 1. Rješavanje problema
2. Analiziranje i zaključivanje 3. Komunikacija
4. Povezivanje 5. Reprezentiranje
Za učenike je najznačajniji način kojim otkrivaju matematiku rješavanje problema. Upravo se ono smatra najvažnijom metodom poučavanja koju nastavnici mogu provoditi. Rješavanjem problema učenici analiziraju: izdvajaju problem, nude različita rješenja, logički određuju koje informacije su ključne za rješavanje problema, izbacuju višak informacija, zaključuju o postojanju rješenja te o njihovoj smislenosti. Na ovaj način učenici uče važnost opravdavanja ideja i rješenja logičnim argumentiranjem i zaključivanjem. Sve to pridonosi komunikaciji, kako u matematici tako i izvan nje. U svrhu učenja matematike kao dijela svakodnevnog svijeta (integracija matematike u sve sfere života), komunikacija unutar matematike omogućava učenicima da se izražavaju usmeno, pismeno, opisivanjem i objašnjavanjem. Takav način učenja potiče suradnju, ali i toleranciju prema iskazanom suprotnom mišljenju. Verbalizacijom učenici jedni drugima učvršćuju ideje te se međusobno potiču na razmišljanje i uočavaju potrebu za argumentacijom. Od svega do sada navedenog dolazimo do povezivanja matematičkog sadržaja sa svijetom oko sebe, i unutar i izvan matematike. Nastavnicima matematike posebno je drago kada učenici povezuju sadržaje unutar matematike koristeći argumente iz već stečenog znanja, ali ono što je svakako cilj jest da se učenici ne boje zakoračiti i u svakodnevicu i svoje odgovore potražiti tamo. Posljednji, ali nikako ne manje važan korak u poučavanju matematike jest razviti učenicima osjećaj za organizaciju i
7 vizualizaciju. Korištenje simbola, kartica, grafova, dijagrama, slika, boja, veličina i oblika služi lakšem učenju i razumijevanju sadržaja i postupaka koji se u matematici koriste. Reprezentiranje čini svakog učenika nastavnikom i ta zamjena uloga u učionici pridonosi učenikovom samopouzdanju i preuzimanju inicijative. (Van de Walle, Karp, Bay –Williams, 2010.)
1.4
Nastavnik kao prevoditelj
Ako matematiku shvatimo kao zaseban jezik, što je sasvim prirodno jer postoji cijeli niz znakova kojima se opisuju njeni pojmovi i zakoni, tada nastavnika matematike možemo shvatiti kao svojevrsnog prevoditelja. Matematički sadržaj je učenicima često vrlo teško razumljiv kada se s njim u koštac uhvate samostalno pa je zadaća nastavnika prevesti neshvatljivu matematičku simboliku u oblik koji je učenicima razumljiv. Dakle, uloga nastavnika je odabrani matematički sadržaj prilagoditi, prevesti ili transformirati u didaktički model pomoću kojeg će učenici savladati matematički sadržaj u pet koraka: rješavanjem problema, analiziranjem i zaključivanjem, komunikacijom, povezivanjem i reprezentiranjem. Ipak, nastavnik matematike pri održavanju nastave s didaktičkim modelima mora biti oprezan i obratiti pažnju kako vodi svoje učenike k određenom konceptu. Previše vođenja, odnosno previše uputa i demonstriranja može rezultirati oponašanjem. Nastavnikove riječi: „radite kako ja radim“ zapravo znače da učenik oponaša ili ponavlja nastavnikove radnje što ne potiče analiziranje, zaključivanje i povezivanje matematičkog sadržaja. Učenici će slijepo početi slijediti nastavnikovo ponašanje i neće doći do zaključaka koje želimo da sami istraže. S druge strane, premalo vođenja od nastavnika dovodi do neproduktivnog i nesistematičnog istraživanja što može uzrokovati pogreške u zaključivanju, neuspješno analiziranje te dovesti do nezainteresiranosti i odustajanja od matematičkog sadržaja. (Van de Walle, Karp, Bay –Williams, 2010.)
1.5
Tipovi didaktičkih modela
Ovisno o tome što poučavamo, didaktičke modele prilagođavamo bojom, oblikom, veličinom, količinom, načinom korištenja, kombiniranjem različitih osjetila i slično. Svrha raznolikosti didaktičkih modela jest potaknuti različita osjetila u učeniku
8 kako bi matematiku povezao sa svijetom oko sebe. Tako na primjer učenik može učiti matematiku promatranjem, osluškivanjem, dodirivanjem, oblikovanjem, kretanjem... Učenje koje potiče korištenje više osjetila je učinkovitije, dugoročnije ostaje uz učenika i omogućuje razvoj različitih dijelova mozga.
Najvažnije osjetilo u čovjeka je osjetilo vida. Čovjek najviše doživljava promatranjem jer kao apstraktan mislioc može u svojem umu stvarati slike, analizirati i proučavati, odnosno može vizualizirati. Ipak, moramo voditi računa da u školi nemamo formiranu osobu koja lako barata informacijama i stvara jasne slike u glavi. U školi imamo djecu koja tek uče kako promatrati stvari, kako analizirati i proučavati te kako na kraju donositi zaključke. Iz tog razloga nastava matematike u školi trebala bi se oslanjati i na druga osjetila kao što su sluh, dodir i pokret. Slike i pisani simboli često će prevladavati u nastavi matematike kao didaktički modeli upravo zbog vizualne predodžbe matematičkog sadržaja. Ipak, ne zaboravimo da didaktički model ne prikazuje gotovi matematički koncept već stvara uvjete koji dovode do otkrivanja i povezivanja matematičkih pojmova i postupaka unutar učenikova uma. Navedimo nekoliko primjera vizualnih didaktičkih modela. Vizualne modele možemo podijeliti u nekoliko kategorija od kojih izdvojimo najčešće korištene: model mjernih jedinica, model površine i model skupine objekata.
Kao didaktički model mogu poslužiti različiti objekti i materijali, primjerice: različite duljine špage ili raznobojne trakice različitih duljina. Takve objekte svrstavamo u modele mjernih jedinica, odnosno konkretnije u modele duljine. Osim ovih modela, često se kao modeli mjernih jedinica koriste i modeli vremena, novca, zapremine i mase. Jedan od modela duljine su Cuisenaireovi štapići, tvornički izrađeni modeli za koje ćemo opisati nekoliko učeničkih aktivnosti. Cuisenaireovi štapići služe istraživanju matematičkih operacija i pojmova u nižim razredima osnovne škole. Od primjera modela površine, spomenimo algebarske pločice pomoću kojih učenici istražuju kako računati s algebarskim izrazima. Spomenimo i mnogokutne pločice izrađene u obliku pravilnih mnogokuta koje najčešće koristimo tijekom uvođenja pojma razlomka. Još jedan istaknuti model površine je geoploča. Bilo da je kružna ili kvadratna, geoploča je praktičan model jer njome učenici dobivaju osjećaj za duljinu, površinu, slične i sukladne oblike u prostornom razmještaju i slično. Kasnije ćemo se nešto više posvetiti ovim modelima i dati konkretne primjere aktivnosti u kojima ih možemo upotrijebiti. Modeli skupine objekata su didaktički alati kojima učenici uče dijeljenje, upoznaju vjerojatnost i statistiku u nižim razredima osnovne škole. U taj
9 model ulaze različite figurice u raznim bojama koje možemo razvrstavati poput bombona ili špekula. Slika 1.1 prikazuje nekoliko primjera didaktičkih modela. (Čižmešija, A.)
Slika 1.1: Cuisenaireovi štapići (lijevo), algebarske pločice (sredina), geoploča (desno)
Ne zaboravimo spomenuti primjenu tehnologije u nastavi, odnosno kalkulator i računalo kao vrlo važne alate koji imaju veliku ulogu u poučavanju. Mnogi računalni programi osiguravaju raznolikost prikaza matematičkog sadržaja. Osobito je to važno u geometriji i prostornom snalaženju koje učenici teže vizualiziraju. Variranje je vrlo važan pojam u učenju. Ono omogućuje uočavanje uzroka i posljedica, raznolikost uzoraka, međusobnu ovisnost likova, tijela, ravnina i slično. Učenike treba poticati da samostalno istražuju koristeći računalo jer znatiželja pomaže izgradnji jasne slike sadržaja koji se uči.
Prema teoriji o višestrukim inteligencijama američkog psihologa Howarda Gardnera najvažnija od devet inteligencija jest tjelesno – kinestetička inteligencija. Ova vrsta inteligencija očituje se upotrebom tijela, odnosno učenje pokretom smatra se najučinkovitijim oblikom učenja. Za ovakvu vrstu učenja kažu da je motivirajuća, zabavna i ispunjena emocijama, a poznato je da je učiti najlakše ako uz učenje vežemo osjećaje. Ovakvo učenje aktivira više senzornih područja te poboljšava koncentraciju i pažnju učenika što je vrlo važno u današnjim školama gdje se nastavnici sve češće susreću s učenicima koji imaju poremećaj pažnje ili hiperaktivni poremećaj (ADHD). U nastavi matematike pokret možemo iskoristiti na više načina ovisno o matematičkom sadržaju koji se poučava. Prilikom izvođenja različitih pokreta, čovjek koristi mnoge druge osjete primjerice vid, sluh ili dodir. Jedan od načina na koji možemo iskoristiti pokret jest koristiti ga u smislu izrađivanja, odnosno
10 učenici mogu rukama izrađivati, oblikovati, razvrstavati, preslagivati, crtati i konstruirati. Primjerice, učenici mogu preslagivati pločice koje predstavljaju konkretne brojeve ili varijable, izrađivati geometrijska tijela i likove, koristiti alate poput metra, šestara i trokuta; zaključivati o volumenu korištenjem tekućine i prelijevanjem, a kretanjem se mogu objašnjavati pojmovi poput vektora, simetrije, rotacije i sličnog. Naglasimo da unutar nastave matematike imamo satove ponavljanja i uvježbavanja na kojima također možemo koristiti pokret. Postoji verzija igre dan – noć koja je učenicima poznata još iz predškolskih dana, a koju možemo iskoristiti kada želimo da učenici odluče slažu li se ili ne s nekom izrečenom tvrdnjom. U nastavku ovakvog ponavljanja nastavnik može otvoriti raspravu s učenicima koji se s nekom izrečenom tvrdnjom slažu i s učenicima koji smatraju da izrečena tvrdnja nije točna. Uz argumentiranje svojih odgovora, ovakav način rada je vrlo produktivan. Primijetimo da didaktički model sam ne može dovesti učenika do željenih zaključaka već ključnu ulogu u poučavanju ima nastavnik. Usmenom predajom, otvorenom komunikacijom i korištenjem matematičkog jezika te upotrebom odgovarajućeg didaktičkog modela, nastavnik je taj koji će učenika dovesti do željenog zaključka. Čovjek je društveno biće i ostvaruje se u komunikaciji pa stoga ne smijemo zanemariti osjet sluha, odnosno komunikaciju na razini učenik – učenik i učenik – nastavnik. (Butorac, Ž., 2010.)
U sljedećim poglavljima opisat ćemo nekoliko aktivnosti za neke od spomenutih didaktičkih modela. Započinjemo s Cuisenaireovim štapićima, jednim od modela duljine koji se često koriste u nastavi matematike u nižim razredima osnovne škole. Pokazat ćemo kako se ovaj model može koristiti u različitim područjima matematike poput uvođenja pojmova poput najvećeg zajedničkog djelitelja ili najmanjeg zajedničkog višekratnika, istraživanja nejednakosti trokuta ili opsega geometrijskih likova i slično te navesti obrazovne ishode koje njime možemo ostvariti.
11
2.
CUISENAIREOVI ŠTAPIĆI
Jedna od standardnih fizičkih realizacija modela duljine su i tzv. Cuisenaireovi štapići. To je niz od deset štapića oblika kvadra sukladnih osnovki. Najniži od njih oblika je kocke, a svaki sljedeći dvostruke, trostruke, ..., deseterostruke visine u odnosu na prvi štapić. Uzmemo li da je visina prvog štapića jedinične duljine, štapići svojim visinama redom predstavljaju prirodne brojeve 1, 2, 3, ..., 10. Lakše vizualno razlikovanje štapića postiže se i njihovim različitim bojama. Standardno obojeni Cuisenaireovi štapići prikazani su na slici 2.1.
Slika 2.1 Standardni set Cuisenaireovih štapića
Standardni set od deset Cuisenaireovih štapića osmislio je belgijski učitelj matematike i glazbe Emile-Georges Cuisenaire (1891. – 1975.). Iznenađen kako njegovi učenici zainteresirano uče glazbu, a matematika im djeluje teško i nezanimljivo, izradio je set drvenih štapića obojenih u različite boje kako bi olakšao
12 učenje aritmetike. Ipak, svoju popularnost ovaj didaktički model duguje egipatskom metodičaru Calebu Gattegnou (1911. – 1988.) koji je pri prvom susretu sa šarenim štapićima bio impresioniran lakoćom kojom učenici pomoću njih računaju. Budući da se bavio matematikom i poučavanjem matematike te radio na poboljšanju izvedbe nastave matematike u svojoj sredini, prepoznao je vrijednosti ovih štapića te ih popularizirao i proširio po školama pod njihovim sadašnjim nazivom. Već šezdesetih i sedamdesetih godina dvadesetog stoljeća Cuisenaireovi štapići postali su nezaobilazno učilo u nastavi aritmetike širom svijeta.
Danas se najčešće koriste u primarnom matematičkom obrazovanju (niži razredi osnovne škole), kao model pomoću kojeg učenici otkrivaju temeljne računske operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja te razvijaju prostorni zor. Međutim, Cuisenaireovi štapići predstavljaju izvrsno didaktičko pomagalo i u različitim sadržajnim kontekstima, odnosno situacijama u predmetnoj nastavi matematike. Primjerice, u nastavi aritmetike pomoću njih učenici mogu vizualizirati pojam najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju ili više prirodnih brojeva, pojam razlomka, ekvivalentnih razlomaka, računskih operacija s razlomcima, kao i pojam omjera i postotka. U nastavi algebre Cuisenaireovi štapići važni su pri učeničkom otkrivanju svojstava algebarskih izraza i operacija s njima, a na različite se načine mogu upotrijebiti i u nastavi geometrije, pri osvještavanju i otkrivanju obilježja, svojstava i mjera ravninskih i prostornih oblika. Glavna prednost ovog učila u njegovoj je vizualnosti i opipljivosti, čime omogućava uključivanje svih učeničkih osjetila u proces učenja.
Učenicima je potrebno neko vrijeme dok se naviknu na štapiće, ali jednom kad se upoznaju s njima s lakoćom će prepoznavati duljinu prema boji štapića i obratno. U skladu s tim učenici će prikazivati matematičke objekte, ideje, postupke i rješenja Cusenaireovim štapićima preko kojih će prijeći na prikaz riječima, slikama, crtežima, tablicama, brojevima, simbolima i misaono te prelaziti iz jednog prikaza u drugi ovisno o situaciji. Pomoću Cuisenarieovih štapića učenici će izražavati svoje ideje i rezultate govornim i matematičkim jezikom te saslušati i razmjenjivati ideje i objašnjenja surađujući u skupinama. Ovim načinom rada učenici će postavljati matematici svojstvena pitanja o egzistenciji i jedinstvenosti rješenja te propitivati smislenost postupaka i rješenja matematičkih zadataka. Učenici će povezati matematiku s vlastitim iskustvom te primijeniti matematičke pojmove i postupke u različitim kontekstima.
13 Model Cuisenaireovih štapića učenicima je vrlo zanimljiv jer je opipljiv i vizualan. Mana ovog modela je što je teško provjeriti da li učenici na odgovarajući način upravljaju štapićima jer je vremenski teško svakom učeniku pojedinačno pomoći pri prikazu. Ipak, korištenjem tehnologije i ovaj problem možemo riješiti. Projiciranjem postupaka i rješenja zadataka uz pomoć računalnih programa koji dopuštaju prikaz štapića ili pločica koji imitiraju Cuisenaireove štapiće, svi učenici dobivaju pregled mogućih rješenja. Ukoliko nastavniku nisu dostupni štapići, nastavnik u nastavi može upotrijebiti trakice u boji. Ipak, što je fizički model opipljiviji to će učenicima biti jasnija slika onoga što proučavaju. Veličina štapića daje potrebnu prostornu dimenziju koja učenicima često nedostaje što se primjećuje prilikom poučavanja matematičkog sadržaja iz područja geometrije. Što se tiče broja štapića potrebnih za rad, on ovisi o nekoliko faktora kao što su broj učenika, veličina brojeva, nizova i likova/tijela koja upotrebljavamo u pojedinoj aktivnosti. Ukoliko nam je broj Cuisenaireovih štapića ograničen, učenike je dobro podijeliti u skupine gdje će zajedno istraživati te istovremeno diskutirati o danom problemu. Danas su Cuisenaireovi štapići lako dostupni kao proizvod tvrtki koje se bave isključivo izradom ovog didaktičkog pomagala. Naglasimo da su Cuisenaireovi štapići također vrlo korisni u radu s učenicima koji imaju disleksiju, diskalkuliju ili neku drugu teškoću koja im otežava napredak u matematici. Također, učenici koji teško pamte brojeve lakše će donositi zaključke proučavanjem oblika i vizualizacijom koristeći Cuisenaireove štapiće.
Na sljedećim stranicama navest ćemo nekoliko aktivnosti s Cuisenaireovim štapićima koje će nastavnicima poslužiti kao pomoć pri poučavanju novog matematičkog materijala ili poslužiti za formativno vrednovanje učenika.
2.1
Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik
prirodnih brojeva
Prema aktualnom Nastavnom planu i programu za osnovnu školu, s problemom najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika prirodnih brojeva učenici se prvi put susreću u petom razredu, i to u sklopu teme Djeljivost prirodnih brojeva. To je druga nastavna tema u petom razredu i slijedi temu Prirodni brojevi tijekom koje učenici utvrđuju osnovne koncepte koje povezujemo s prirodnim
14 brojevima i dekadskim sustavom te računske operacije s prirodnim brojevima već obrađene u razrednoj nastavi (misaono i pisano zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje prirodnih brojeva). Po uspješno završenom procesu učenja djeljivosti prirodnih brojeva, od učenika se očekuje da:
razlikuje djelitelje i višekratnike prirodnog broja određuje djelitelje i višekratnike prirodnog broja razlikuje proste i složene brojeve
određuje rastav prirodnog broja većeg od dva na proste faktore
određuje zajedničke djelitelje i višekratnike te najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik dvaju i više prirodnih brojeva
primjenjuje djeljivost prirodnih brojeva u situacijama iz svakodnevnog života i matematike.
U sljedećim dvjema aktivnostima pokazat ćemo primjenu Cuisenaireovih štapića u aktivnostima uvođenja pojmova najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju prirodnih brojeva. Polazeći od učenicima bliske kontekstualizirane situacije iz svakodnevnog života, aktivnosti im omogućavaju da, radeći u skupinama, slaganjem štapića istražuju rješenja zadanog problema te postupnom matematizacijom otkriju njima nove matematičke pojmove. Na ovaj način učenicima će se novi pojmovi pojaviti prirodno i neće imati teškoća prilikom razumijevanja njihovog značenja. Obje aktivnosti prethode uvođenju rutinskog algoritma za određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika prirodnih brojeva rastavom prirodnih brojeva na proste faktore. Potrebu za uvođenjem takvog postupka učenici će lakše razumjeti ukoliko se prethodno uvjere da postupak ispisivanja zajedničkih djelitelja, odnosno višekratnika za veće brojeve nije efikasan.
2.1.1 Aktivnost: Najveći zajednički djelitelj
Radeći u četveročlanim skupinama, modeliranjem i analizom kontekstualizirane situacije uz pomoć Cuiesnaireovih štapića, učenici će otkriti pojam zajedničkih djelitelja i najmanjeg zajedničkog djelitelja dvaju prirodnih brojeva te istražiti njihova svojstva. Za svaku skupinu učenika potreban je komplet Cuisenaireovih štapića koji se sastoji od barem 20 štapića duljine 1, 10 štapića duljine 2, 10 štapića duljine 3, 10
15 štapića duljine 4, 10 štapića duljine 5, 5 štapića duljine 6, 5 štapića duljine 7, 5 štapića duljine 8, 5 štapića duljine 9 i 5 štapića duljine 10. Uz njih, svaki učenik na početku aktivnosti dobiva i odgovarajući radni listić s opisom situacije i zadacima za istraživanje. U nedostatku pravih štapića, nastavnici se pri izvođenju aktivnosti mogu poslužiti njihovim dvodimenzionalnim prikazom – papirnatim trakama pravokutnog oblika, dimenzija 1 cm × n cm, za n = 1, ... , 10 (traka dimenzija 1 cm × n cm predstavlja Cuisenaireov štapić duljine n).
Aktivnost započinje podjelom učenika u heterogene četveročlane skupine i najavom da će zajedničkim radom i promišljanjem pomoći Matku u nabavi materijala za obnovu povrtnjaka. Potom slijedi podjela radnih listića učenicima, pri čemu su radni listići jednaki za sve učenike u istoj skupini, a među skupinama se razlikuju samo u brojčanim podacima za duljine a i b dviju strana povrtnjaka. Na razini razrednog odjela pritom je potrebno obuhvatiti sva tri karakteristična slučaja međusobnog odnosa prirodnih brojeva a i b, gdje je ab,čije je zajedničke djelitelje potrebno odrediti.
Slučajevi su:
brojevi a i b su relativno prosti, tj.M a b( , ) 1, broj a je djelitelj broja b, tj.M a b( , )a,
brojevi a i b nisu ni relativno prosti, niti je prvi djelitelj drugoga, tj. 1M a b( , )a.
Radni listić 2.1 predstavlja primjer materijala na kojemu će raditi jedna četveročlana skupina učenika (npr. skupina A).
Radni listić 2.1: Primjer radnog listića za Aktivnost 2.1.1. – prva stranica listića
Radni listić – skupina A
Pažljivo samostalno pročitaj tekst iznad slike pa ga prokomentiraj s ostalim članovima skupine. Dvije strane svog povrtnjaka, duljina 6 m i 9 m, Matko želi obrubiti drvenim gredama jednake duljine, slažući ih jednu do druge kao na slici. Grede namjerava kupiti u najbližoj trgovini građevnim materijalom, u čijoj su ponudi grede duljina 1 m, 2 m, 3 m, 4 m, 5 m, 6 m, 7 m, 8 m, 9 m i 10 m. Pritom želi biti štedljiv pa u obzir dolaze samo grede za koje pri obrubljivanju neće ostati viška materijala i koje neće morati dodatno skraćivati.
16 Zadatak 1.
Radeći u skupini, uz pomoć štapića odgovori na sljedeća pitanja. Jedan štapić duljine 6 neka predstavlja rub povrtnjaka duljine 6 m, a jedan štapić duljine 9 rub povrtnjaka duljine 9 m. Svi ostali štapići neka predstavljaju grede odgovarajućih duljina.
a) Gredama kojih sve duljina Matko može obrubiti stranu povrtnjaka duljine 6 m?
___________________________________________________________________________________ b) Gredama kojih sve duljina Matko može obrubiti stranu povrtnjaka duljine 9 m?
___________________________________________________________________________________ c) Kupi li u trgovini sve grede jednake duljine, Matko će dobiti popust. Koje duljine greda odgovaraju
za obrubljivanje i jedne i druge strane povrtnjaka?
___________________________________________________________________________________ d) Koja je najmanja duljina greda kojom Matko može obrubiti obje strane povrtnjaka?
___________________________________________________________________________________ e) Koja je najveća duljina greda kojom Matko može obrubiti obje strane povrtnjaka?
___________________________________________________________________________________
Radni listić 2.2: Primjer radnog listića za Aktivnost 2.1.1. – druga stranica listića
Zadatak 2.
Pogledaj brojeve koji se pojavljuju u pitanjima i odgovorima u Zadatku 1 pa radeći u skupini odgovori i na sljedeća pitanja.
a) Što su broju 6 brojevi iz odgovora na pitanje a) iz Zadatka 1?
___________________________________________________________________________________ b) Što su broju 9 brojevi iz odgovora na pitanje b) iz Zadatka 1?
___________________________________________________________________________________ c) Što su brojevima 6 i 9 brojevi iz odgovora na pitanje c) iz Zadatka 1? Kako bi ih nazvao/la?
___________________________________________________________________________________ d) Što je brojevima 6 i 9 broj iz odgovora na pitanje d) iz Zadatka 1? Kako bi ga nazvao/la?
___________________________________________________________________________________ e) Što je brojevima 6 i 9 broj iz odgovora na pitanje e) iz Zadatka 1? Kako bi ga nazvao/la?
___________________________________________________________________________________
Radni listići za ostale učeničke skupine od ovog se listića razlikuju samo u brojčanim podacima a i b. Uvažavajući zastupljenost sva tri moguća odnosa brojeva a
i b, za razredni odjel s 24 učenika oni mogu biti npr. kao u tablici 2.1. Pritom brojevi
a i b ne bi smjeli biti veći od 10, kako to učeničkom istraživanju ne bi dodalo nepotreban kognitivni teret te kako bi Cuisenaireovi štapići mogli biti primijenjeni u punoj mjeri (najdulji Cuisenaireov štapić duljine je 10).
17 Tablica 2.1: Podaci za radne listiće za Aktivnost 2.1.1.
SKUPINA BROJEVI a I b SKUPINA BROJEVI a I b
Skupina A 6 i 9 Skupina D 5 i 10
Skupina B 4 i 10 Skupina E 4 i 9
Skupina C 4 i 8 Skupina F 7 i 8
Rad na radnim listićima započinje čitanjem teksta sa situacijom. Svaki učenik najprije ga mora pročitati samostalno i potom svoje razumijevanje potvrditi u diskusiji s ostalim učenicima u skupini. Važno je da učenici uoče sve zadane brojčane podatke i povežu ih s Cuisenaireovim štapićima odgovarajućih duljina. Nakon toga slijedi rješavanje Zadatka 1, tj. istraživanje u kojem učenici metodom pokušaja i promašaja pokušavaju štapić duljine a i štapić duljine b popločati štapićima jednakih duljina, bez rezanja tih štapića. Svaki uspješni pokušaj zapisuju u radni listić. Nastavnik pritom nadzire rad skupina i osigurava uključenost u rad svakog učenika, navodeći ih na podjelu posla u skupini (npr. da dvoje po dvoje učenika rade na obrubljivanju jednog ruba povrtnjaka, odnosno na jednom broju) te sustavnost u istraživanju, tj. da redom istraže popločavanja štapićima svih duljina od 1 do 10. Sva uspješna i neuspješna popločavanja za skupinu A nalaze se na slici 2.2 i slici 2.3.
Slika 2.2 Sva uspješna i neuspješna popločavanja štapića duljine 6
Slika 2.3 Sva uspješna i neuspješna popločavanja štapića duljine 9 10 9 8 7 5 4 3 2 1 6 6 9 10 8 7 6 5 4 2 1 3 9
18 Po završetku istraživanja uz pomoć Cuisenaireovih štapića, učenici popunjavaju radni listić rješenjem Zadatka 1.
Radni listić 2.3: Primjer riješenog radnog listića za Aktivnost 2.1.1. – prva stranica listića
Radni listić – skupina A
Pažljivo samostalno pročitaj tekst iznad slike pa ga prokomentiraj s ostalim članovima skupine. Dvije strane svog povrtnjaka, duljina 6 m i 9 m, Matko želi obrubiti drvenim gredama jednake duljine, slažući ih jednu do druge kao na slici. Grede namjerava kupiti u najbližoj trgovini građevnim materijalom, u čijoj su ponudi grede duljina 1 m, 2 m, 3 m, 4 m, 5 m, 6 m, 7 m, 8 m, 9 m i 10 m. Pritom želi biti štedljiv pa u obzir dolaze samo grede za koje pri obrubljivanju neće ostati viška materijala i koje neće morati dodatno skraćivati.
Zadatak 1.
Radeći u skupini, uz pomoć štapića odgovori na sljedeća pitanja. Jedan štapić duljine 6 neka predstavlja rub povrtnjaka duljine 6 m, a jedan štapić duljine 9 rub povrtnjaka duljine 9 m. Svi ostali štapići neka predstavljaju grede odgovarajućih duljina.
a) Gredama kojih sve duljina Matko može obrubiti stranu povrtnjaka duljine 6 m?
Matko je može obrubiti gredama duljine 1 m ili duljine 2 m ili duljine 3 m ili
gredom duljine 6 m.
b) Gredama kojih sve duljina Matko može obrubiti stranu povrtnjaka duljine 9 m?
Matko je može obrubiti gredama duljine 1 m ili duljine 3 m ili gredom duljine 9
m.
c) Kupi li u trgovini sve grede jednake duljine, Matko će dobiti popust. Koje duljine greda odgovaraju za obrubljivanje i jedne i druge strane povrtnjaka?
Za obrubljivanje obiju strana povrtnjaka odgovaraju grede duljine 1 m ili duljine 3 m.
d) Koja je najmanja duljina greda kojom Matko može obrubiti obje strane povrtnjaka?
Najmanja duljina greda kojima Matko može obrubiti obje strane povrtnjaka je 1 m.
e) Koja je najveća duljina greda kojom Matko može obrubiti obje strane povrtnjaka?
Najveća duljina greda kojima Matko može obrubiti obje strane povrtnjaka je 3 m.
Potom slijedi faza matematizacije apstrahiranjem konkretnog nematematičkog konteksta. Odvija se suradničkim radom učenika u skupinama na rješavanju Zadatka 2 u kojem na temelju njima već poznatog pojma djelitelja prirodnog broja osvještavaju nove matematičke pojmove zajedničkih djelitelja te najmanjeg i najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju prirodnih brojeva. Ove pojmove učenici samostalno pokušavaju i imenovati.
19 Radni listić 2.4: Primjer riješenog radnog listića za Aktivnost 2.1.1. – druga
stranica listića
Zadatak 2.
Pogledaj brojeve koji se pojavljuju u pitanjima i odgovorima u Zadatku 1 pa radeći u skupini odgovori i na sljedeća pitanja.
a) Što su broju 6 brojevi iz odgovora na pitanje a) iz Zadatka 1? Brojevi 1, 2, 3 i 6 su svi djelitelji broja 6.
b) Što su broju 9 brojevi iz odgovora na pitanje b) iz Zadatka 1? Brojevi 1, 3 i 9 su svi djelitelji broja 9.
c) Što su brojevima 6 i 9 brojevi iz odgovora na pitanje c) iz Zadatka 1? Kako bi ih nazvao/la? Brojevi 1 i 3 su djelitelji i broja 6 i broja 9.
Oni su zajednički djelitelji brojeva 6 i 9.
d) Što je brojevima 6 i 9 broj iz odgovora na pitanje d) iz Zadatka 1? Kako bi ga nazvao/la? Broj 1 je djelitelj i broja 6 i broja 9.
On je najmanji zajednički djelitelj brojeva 6 i 9.
e) Što je brojevima 6 i 9 broj iz odgovora na pitanje e) iz Zadatka 1? Kako bi ga nazvao/la?
Broj 3 je djelitelj i broja 6 i broja 9. On je najveći zajednički djelitelj brojeva 6 i 9.
Predviđeno trajanje rada u skupinama je oko 15 minuta, nakon čega slijedi ispisivanje dobivenih rezultata na ploči, njihovo uspoređivanje i vođena razredna diskusija čiji je cilj utvrditi nove pojmove i osvijestiti njihova osnovna svojstva. Nastavnik pritom na ploči formira tablicu u koju predstavnici skupina upisuju dobivene podatke. Zaglavlja tablice za početak su zapisana u terminima Zadatka 1 (duljine rubova povrtnjaka i greda).
Tablica 2.2: Rezultati rada u skupinama u Aktivnosti 2.1.1.
DULJINE RUBOVA POVRTNJAKA (m)
ODGOVARAJUĆE DULJINE GREDA (m)
DULJINE GREDA
ODGOVARAJUĆE ZA OBA RUBA POVRTNJAKA (m)
prvi rub drugi rub prvi rub drugi rub oba ruba najmanja najveća
6 9 1, 2, 3, 6 1, 3, 9 1, 3 1 3 4 10 1, 2, 4 1, 2, 5, 10 1, 2 1 2 4 8 1, 2, 4 1, 2, 4, 8 1, 2, 4 1 4 5 10 1, 5 1, 2, 5, 10 1, 5 1 5 4 9 1, 2, 4 1, 3, 9 1 1 1 7 8 1, 7 1, 2, 4, 8 1 1 1
Tijekom vođene diskusije učenici uočavaju da je u svim skupinama duljina najkraćih greda koje Matko može kupiti kako bi njima obrubio oba ruba povrtnjaka jednaka 1 m, dok se duljina najduljih takvih greda razlikuje od skupine do skupine, no nikad nije veća od duljine kraćeg ruba povrtnjaka. Konačno, zajedničkim osvrtom na
20 Zadatak 2 učenici zaključuju da duljine ruba povrtnjaka i duljine greda predstavljaju prirodne brojeve te da su zapravo tražili sve djelitelje svakog od zadanih dvaju prirodnih brojeva, a potom i zajedničke među njima, koje su tako i nazvali. Učenici uočavaju i da dva prirodna broja mogu imati samo konačno mnogo zajedničkih djelitelja. Konačno, uočavaju da je najmanji zajednički djelitelj svakih dvaju prirodnih brojeva broj 1 te da svaka dva prirodna broja imaju najvećeg zajedničkog djelitelja. On nikad nije veći od manjeg od tih brojeva, a može mu biti jednak ako je veći od tih brojeva višekratnik manjega od njih, odnosno može biti jednak broju 1 ako ta dva prirodna broja osim broja 1 nemaju drugih zajedničkih djelitelja. Aktivnost se na kraju može proširiti i pitanjima o broju drvenih greda koje će Matko trebati kako bi ogradio dvije strane povrtnjaka, čime učenici ponavljaju dijeljenje prirodnih brojeva, a zatim i osvrtom na izbor brojeva a i b koji označavaju duljine rubova povrtnjaka, kako bi se osvijestila sva tri moguća njihova odnosa. Na kraju aktivnosti nastavnik treba uvesti i simboličku oznaku za najveći zajednički djelitelj brojeva a i b, ( , ) ( , ) nakon čega učenici iz tablice 2.2 očitavaju da je (6,9) = 3, (4,10) =
2, (4,8) = 4, (5,10) = 5 (4,9) = (7,8) = 1.
Nakon ove aktivnosti, slijede aktivnosti u kojima učenici određuju najveći zajednički djelitelj dvaju zadanih brojeva sustavnim ispisivanjem i uspoređivanjem djelitelja svakoga od njih. U nastavku rada s Cuisenaireovim štapićima, slično kao i s najvećim zajedničkim djeliteljem postupit ćemo s otkrivanjem pojma najmanjeg zajedničkog višekratnika.
2.1.2 Aktivnost: Najmanji zajednički višekratnik
Sljedećom aktivnosti učenici će otkriti kako za dva prirodna broja mogu odrediti njihov najmanji zajednički višekratnik koristeći Cuisenaireove štapiće. Za ovu aktivnost potrebni su nam radni listići koje ćemo po početku aktivnosti podijeliti učenicima i Cuisenaireovi štapići čiju količinu ćemo navesti u nastavku. Učenike podijelimo u parove u kojima će zajedno odgovarati na pitanja s radnog listića. Učenicima ćemo postaviti problem iz područja sporta. Dora i Ana skaču u dalj, a zadatak učenika je odrediti na kojim udaljenostima od starta će se djevojke naći rame uz rame uz postavljene uvjete. Napomenimo da Ana i Dora uvijek preskoče konstantnu udaljenost i da jedna od djevojaka skače sve dok ne prestigne onu drugu. Udaljenosti Dore i Ane od starta kada one stoje jedna uz drugu, određivat će
21 zajedničke višekratnike brojeva koji predstavljaju duljine njihovih skokova. Najmanju takvu udaljenost zvat ćemo najmanji zajednički višekratnik. Kao i u aktivnosti koju smo provodili za najveći zajednički djelitelj dobro je unutar problemskog zadatka uzeti brojeve koji su u odnosu djelitelj – višekratnik, relativno proste brojeve i par brojeva koji nisu ni jedno ni drugo. Nakon što učenici odrade zadatak predviđen ovom aktivnosti, možemo s učenicima raspraviti o različitim izborima brojeva koji označavaju duljine Dorinog i Aninog skoka. U nastavku dan je primjer radnog listića na kojem će učenici otkriti pojam najmanjeg zajedničkog višekratnika.
Radni listić 2.5: Primjer radnog listića za Aktivnost 2.1.2. – prva stranica listića
Radni listić – skupina A
Pažljivo samostalno pročitaj tekst pa ga prokomentiraj sa svojim parom.
Dora i Ana skaču u dalj. Dora je atletičarka i može skočiti 3 metra u dalj dok je Ana tek počela vježbati i može skočiti 2 metra u dalj. Kako bi što više vježbale, Dora i Ana odlučile su se natjecati. Na atletskoj stazi od označene startne točke Dora će skočiti u dalj prva, a Ana će nakon Dore skakati u dalj sve dok ju ne prestigne. Dora će zatim ponovno skočiti. Odlučile su da će skakati tako dok se obje ne nađu jedna pokraj druge, odnosno na istoj udaljenosti od startne točke.
Zadatak 1:
Radeći u paru i koristeći se štapićima odgovorite na sljedeća pitanja. Jedan štapić duljine 2 neka predstavlja Anine skokove u dalj, a štapić duljine 3 Dorine skokove u dalj.
Odredite:
a) Na kojim sve udaljenostima od startne točke će se naći Dora skakanjem u dalj?
___________________________________________________________________________________ b) Na kojim sve udaljenostima od startne točke će se naći Ana skakanjem u dalj?
___________________________________________________________________________________ c) Na kojim udaljenostima od startne točke će Dora i Ana stajati jedna pored druge?
___________________________________________________________________________________ d) Koja je najkraća udaljenost od startne točke na kojoj će Dora i Ana stati jedna pored druge?
___________________________________________________________________________________ Radni listić 2.6: Primjer radnog listića za Aktivnost 2.1.2. – druga stranica listića
Radni listić – skupina A
Zadatak 2:
Promotrite brojeve dobivene u Zadatku 1 i odgovorite na sljedeća pitanja. a) Što su brojevi iz a) dijela Zadatka 1 broju 3?
___________________________________________________________________________________ b) Što su brojevi iz b) dijela Zadatka 1 broju 2?
___________________________________________________________________________________ c) Što su brojevi iz c) dijela Zadatka 1 brojevima 2 i 3? Kako biste ih nazvali?
___________________________________________________________________________________ d) Što je brojevima 2 i 3 broj iz d) dijela Zadatka 1? Kako biste ga nazvali?
22 Na početku aktivnosti svaki učenik će pročitati zadatak i o njemu razmisliti, a zatim nastavnik odredi učenika koji će zadatak pročitati cijelom razredu i interpretirati ga vlastitim riječima. Želimo se uvjeriti da učenici razumiju postavljeni problem izvan matematičkog konteksta, odnosno prije nego u njemu ukažemo na matematički problem. U nastavku aktivnosti učenici će odrediti startnu točku na svojim klupama ili im možemo dati printanu verziju atletske staze sa startnom točkom što će učenicima biti vizualno zanimljivije. Učenike podsjetimo da se koriste Cuisenaireovim štapićima kako bi došli do zaključka. Želimo da učenici predstavljaju Dorin skok od 3 metra svijetlo zelenim štapićem, a Anin skok od 2 metra crvenim štapićem. Učenici će složiti dva niza štapića: jedan od štapića duljine dva i jedan od štapića duljine tri. Kada nizovi budu jednake duljine, zaključit će da se radi o mjestu na kojem se Dora i Ana susreću prvog puta. Paru učenika bit će dovoljno minimalno 9 crvenih štapića i 6 svijetlo zelenih da donesu potrebne zaključke, a poželjno je da ih imaju i više. Kao rješenje očekujemo sljedeće odgovore na radnom listiću.
Radni listić 2.7: Primjer riješenog radnog listića za Aktivnost 2.1.2. – prva stranica listića
Radni listić – skupina A
Pažljivo samostalno pročitaj tekst pa ga prokomentiraj sa svojim parom.
Dora i Ana skaču u dalj. Dora je atletičarka i može skočiti 3 metra u dalj dok je Ana tek počela vježbati i može skočiti 2 metra u dalj. Kako bi što više vježbale, Dora i Ana odlučile su se natjecati. Na atletskoj stazi od označene startne točke Dora će skočiti u dalj prva, a Ana će nakon Dore skakati u dalj sve dok ju ne prestigne. Dora će zatim ponovno skočiti. Odlučile su da će skakati tako dok se obje ne nađu jedna pokraj druge, odnosno na istoj udaljenosti od startne točke.
Zadatak 1:
Radeći u paru i koristeći se štapićima odgovorite na sljedeća pitanja. Jedan štapić duljine 2 neka predstavlja Anine skokove u dalj, a štapić duljine 3 Dorine skokove u dalj.
Odredite:
a) Na kojim sve udaljenostima od startne točke će se naći Dora skakanjem u dalj?
Dora će se naći na udaljenostima: 3 m, 6 m, 9 m, 12 m, 15 m, 18 m.... od startne točke.
b) Na kojim sve udaljenostima od startne točke će se naći Ana skakanjem u dalj?
Ana će se naći na udaljenostima: 2 m, 4 m, 6m, 8 m, 10 m, 12 m, 14 m, 16 m, 18 m.... od startne točke.
c) Na kojim udaljenostima od startne točke će Dora i Ana stajati jedna pored druge?
Dora i Ana stajat će jedna pored druge na udaljenostima: 6 m, 9 m, 12 m, 18 m.... od startne točke.
d) Koja je najmanja udaljenost od startne točke na kojoj će Dora i Ana stati jedna pored druge?
23 Učenici će rješavanjem ovog radnog listića riješiti problem iz svakodnevnog života i u tom problemu možda neće odmah uočiti potrebu za matematikom. Iz tog razloga učenicima je na drugoj strani radnog listića dan niz pitanja na koja moraju odgovoriti kako bi rezultate dobivene istraživanjem preveli u matematički problem. Odnosno, kako bi otkrili nove matematičke pojmove iz primjera koji im je blizak i na koji ih u nekom budućem trenutku tijekom izvođenja vezanih nastavnih procesa možemo lako podsjetiti. Prije nego s učenicima krenemo na matematizaciju danog problema, učenici opisuju na koji način su slagali Cuisenaireove štapiće. Slika 2.4
daje pogled na istraživanje rješenja danog problema jednog para učenika.
Od učenika želimo da verbaliziraju postupak i koriste odgovarajuće matematičke izraze za matematičke operacije te na taj način povezuju stare i nove pojmove. Učenici će nam opisati kako su nizali crvene štapiće za određivanje Anine udaljenosti od startne točke te kako su na isti način nizali svijetlo zelene štapiće za određivanje Dorine udaljenosti od startne točke. Nizanje će učenici povezati s množenjem i pojam
višekratnik će se prirodno pojaviti prilikom njihovog opisivanja postupka kojim su došli do rješenja. U sljedećim minutama učenici mogu riješiti i drugu stranu radnog listića čija rješenja su dana u nastavku.
Radni listić 2.8: Primjer riješenog radnog listića za Aktivnost 2.1.2. – druga stranica listića
Radni listić – skupina A
Zadatak 2:
Promotrite brojeve dobivene u Zadatku 1 i odgovorite na sljedeća pitanja. a) Što su brojevi broju 3 iz a) dijela Zadatka 1?
Brojevi iz a) dijela Zadatka 1 su višekratnici broja 3.
b) Što su brojevi broju 2 iz b) dijela Zadatka 1?
Brojevi iz b) dijela Zadatka 1 su višekratnici broja 2.
c) Što su brojevi iz c) dijela Zadatka 1 brojevima 2 i 3? Kako biste ih nazvali?
Brojevi iz c) dijela Zadatka 1 su višekratnici brojeva 2 i 3. Nazvali bismo ih
zajednički višekratnici brojeva 2 i 3.
Slika 2.4: Istraživanje problema pomoću Cuisenaireovih štapića jednog para učenika
24 d) Što je brojevima 2 i 3 broj iz d) dijela Zadatka 1? Kako biste ga nazvali?
Broj iz d) dijela Zadatka 1 je višekratnk brojeva 2 i 3. Nazvali bismo ga najmanji
zajednički višekratnik brojeva 2 i 3.
Na ovom primjeru zadatka, učenici će zaključiti da je najkraća udaljenost od startne točke na kojoj će se djevojke naći rame uz rame jednaka broju 6. Broj 6 nazvat će najmanjim zajedničkim višekratnikom brojeva 2 i 3 nakon što usporede sve Anine udaljenosti i sve Dorine udaljenosti od startne točke. Svaki sljedeći višekratnik brojeva 2 i 3 nazvat će zajedničkim višekratnikom danih broja. Pitanjima koje smo postavili u radnom listiću želimo da učenici uoče potrebu za pojmom namanjeg zajedničkog višekratnika. Istovremeno učenici mogu uočiti kako odrediti i druge zajedničke višekratnike dvaju brojeva poznavajući njihov najmanji zajednički višekratnik. Time možemo proširiti ovu temu. Učenici će lako uočiti da zajedničkih višekratnika ima beskonačno i da nema smisla tražiti najvećeg. Vrlo često učenici govore o najvećem zajedničkom višekratniku i najmanjem zajedničkom djelitelju pa je produžiti aktivnost dobar način za uklanjanje ove pogreške u izražavanju. Napomenimo da u razredu učenici iznose rješenja za svaki od različitih slučajeva koje smo ranije naveli. U skupinama želimo obuhvatiti sve tri mogućnosti:
višekratnik danih brojeva je jedan od brojeva
višekratnik danih prirodnih brojeva je umnožak danih brojeva
višekratnik je broj između najvećeg od danih brojeva i umnoška danih brojeva. Sljedeća tablica prikazuje koje primjere predlažemo po skupinama. Broj a
predstavlja duljinu Aninog skoka, a broj b duljinu Dorinog skoka. Tablica 2.3: Podaci za radne listiće za Aktivnost 2.1.2.
SKUPINA BROJEVI a I b SKUPINA BROJEVI a I b
Skupina A 2 i 3 Skupina D 1 i 3
Skupina B 2 i 6 Skupina E 6 i 9
Skupina C 3 i 4 Skupina F 2 i 5
Pri odabiru brojeva moramo voditi računa o postupku koji učenici provode, tj. o ograničenost broja štapića koje učenik koristi i o njihovoj duljini. Učenike trebamo
25 poticati na analiziranje dobivenih rješenja pa će tako iz rješenja skupina B i D učenici primijetiti da će najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva biti jednak jednom od danih brojeva ukoliko su dani brojevi u odnosu djelitelj – višekratnik. Iz skupina A, C i F učenici će uočiti da je višekratnik dvaju brojeva jednak njihovom umnošku ukoliko su dani brojevi relativno prosti, a iz skupine E najmanji zajednički višekratnik će po veličini biti između većeg od danih brojeva i njihovog umnoška ukoliko brojevi nisu u ranije navedenim odnosima. Ovakve rasprave su korisne za povezivanje prethodno naučenih pojmova i njihovu primjenu u novim situacijama. Ovako provedena aktivnost je dobar način za uvođenje postupka određivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika iz rastava brojeva na proste faktore. Učenici će uočiti da je nizanje štapića zanimljivo i praktično kada su u pitanju manji brojevi, ali prilikom većih brojeva ovakav postupak bio bi spor i neučinkovit.
Osim za uvođenje novih pojmova, odnosno njihovo otkrivanje, Cuisenaireovi štapići mogu nam poslužiti i za istraživanje pravilnosti i formulacija koje se u udžbenicima iz matematike pojavljuju kao gotove formule. Ipak, za učenike je korisnije da samostalno istražuju pa u nastavku dajemo primjer aktivnosti kojom učenici mogu uočiti neke brojevne pravilnosti međusobnom suradnjom.
2.2
Istraživanje i prikazivanje brojevnih pravilnosti
U školskim udžbenicima nećete pronaći nastavnu cjelinu u kojoj se učenik posvećuje istraživanju i otkrivanju pravilnosti u brojčanim zapisima ili geometrijskim oblicima kao ni zapisivanjem istih. Ipak, u Nacionalnom okvirnom kurikulumu postoji niz obrazovnih ishoda koji upućuju da bi učenik trebao moći:
postavljati matematici svojstvena pitanja (Postoji li...? Koliko ima...? Što je poznato? Što trebamo odrediti? Kako ćemo odrediti? Zbog čega? Ima li rješenje smisla? Postoji li više rješenja? )
istraživati pretpostavke o matematičkim objektima, pravilnostima i odnosima. Sljedećom aktivnosti želimo potaknuti ostvaranje izdvojenih obrazovnih ishoda u učenicima nižih razreda osnovne škole.
26 2.2.1 Aktivnost: Istraživanje uzoraka i prikaz prirodnih brojeva kao sume
Cilj ove aktivnosti je da učenici preslagivanjem Cuisenaireovih štapića uoče uzorke i pravilnosti u prikazu prirodnog broja kao sume te povezuju algebarske i druge zapise s fizičkim modelima. Zadatak koji pred učenike stavljamo je prikazivanje određenih duljina pomoću Cuisenaireovih štapića na što više načina. Želimo da učenici osjete permutacije i kombinacije pod vlastitim prstima i zapisuju (crtaju) svoja rješenja na njima razumljiv način. Naravno, pred učenike ne stavljamo pojmove poput permutacije i kombinacije jer su im one i kao pojmovi i kao riječi preteške, ali koristimo riječi poput premještanje, razmještanje, kombiniranje čime želimo u učenikovu podsvijest uvrstiti te riječi kao nešto što će povezivati s matematikom. Ovom aktivnosti učenici će naučiti kako prikazivati nove podatke na različite načine u skladu s problemom koji je pred njih postavljen. Izdvajamo tablični prikaz, prikaz didaktičkim materijalom koji uključuje Cuisenaireove štapiće, pisano prikazivanje i prikaz crtežom.
Aktivnost započinjemo izdvajanjem materijala koji će učenicima biti potreban. U četvrtom razredu osnovne škole možemo uzeti Cuisenaireove štapiće do duljine pet. Učenici će raditi u parovima, a za skupinu A u kojoj će učenici štapić duljine 5 (žuti štapić) prikazivati pomoću štapića kraćih duljina jednom paru učenika bit će dovoljno 12 bijelih štapića, 4 crvena, 2 svijetlo zelena, 1 ljubičasti i 1 žuti štapić. Uz pomoć ovog broja štapića par učenika može prikazati sve mogućnosti prikaza štapića duljine 5 istovremeno. Osim Cuisenaireovih štapića učenicima će trebati i bojice u crnoj, crvenoj, svijetlo zelenoj, ljubičastoj i žutoj boji kako bi dobivena rješenja mogli nacrtati te se tako kasnije lakše prisjetili na preslagivanje Cuisenaireovih štapića. Crna bojica će iz praktičnih razloga prikazivati bijeli štapić. U nastavku dan je radni listić koji će učenike uputiti u njihov zadatak.
Radni listić 2.9: Primjer radnog listića za Aktivnost 2.2.1
Radni listić – Skupina A
Zadatak 1:
Tin je za rođendan dobio vlakić s vagonima različitih duljina. U setu vagona, Tin ima 12 vagona duljine jedan, 4 vagona duljine dva, 2 vagona duljine tri, 1 vagon duljine četiri i 1 vagon duljine pet. U igri s vlakićem, Tin je izgubio vagon duljine 5 i pokušava pomoću ostalih vagona složiti vagon te duljine. Pomozite Tinu otkriti sve načine na koje može presložiti preostale vagone u vagon duljine pet. Svoja rješenja prikažite na što više načina.
27 Svi učenici dobivaju isti tekst zadatka, a broj vagona možemo mijenjati kako nam odgovara. Poželjno je uzeti za različite slučajeve uzastopne prirodne brojeve. Za aktivnost u ovom razrednom odjeljenju predlažemo nestale vagone redom duljina 3, 4 i 5. Dovoljno je odrediti 3 skupine radnih listića, a učenike možemo podijeliti u više skupina i ponoviti neki od radnih listića. Na taj način možemo imati kontrolne skupine. U tablici 2.4 dan je najmanji broj potrebnih štapića za odrađivanje ove aktivnosti za svaki od duljina izgubljenog vagona.
Tablica 2.4: Potreban broj štapića ovisno o duljini vagona
SKUPINA DULJINA VAGONA
Skupina A 5 28 12 5 2 1
Skupina B 4 12 5 2 1 0
Skupina C 3 5 2 1 0 0
Ne želimo u aktivnost uvrstiti prevelike brojeve jer želimo da učenici imaju dovoljno vremena da analiziraju svoja rješenja, a ne da većinu vremena provedu u određivanju samog broja rješenja. Uostalom, povećanjem duljine nestalog vagona povećava nam se broj potrebnih Cuisenaireovih štapića. Prije nego učenici započnu s rješavanjem ovog problemskog zadatka, nastavnik će zamoliti jednog od učenika da pročita i objasni zadatak svojim riječima. Učenici moraju potvrditi da razumiju da će Cuisenaireovi štapići odgovarati duljinama vagona i da će žuti štapić duljine pet odgovarati duljini izgubljenog vagona. Posebno, želimo da učenici razlikuju niz od jednog bijelog i jednog ljubičastog štapića kao dva moguća niza ovisno o tome koji štapić postavljaju prvi. Učenicima možemo kao kontekst dodati da vagone povezuju s vozačevom kabinom te tako učvrstiti razliku između prvog i drugog člana u nizu.
Slika 2.5: Prikaz štapića duljine 5 štapićima duljine 1 i 4
Sljedećih 20 minuta učenici će preslagivanjem štapića doći do svih mogućih nizova duljine pet. Napominjemo učenicima da svoje prikaze obilježe na neki način koji će kasnije moći samostalno interpretirati. Potičemo tablične prikaze, prikaze
28 crtežom, pisani prikaz. Napomenimo učenicima da prilikom crtanja svojih rezultata ne ispunjavaju bojom unutrašnjosti pravokutnika koji će simbolizirati štapiće već samo njihov rub. Na taj način će uštedjeti na vremenu. U nižim razredima osnovne škole ovakve napomene koje se tiču organizacije je učenicima dobro spominjati dok učenici sami ne steknu potrebne organizacijske vještine. Na sljedećim slikama dana su dva različita prikaza traženih rješenja.
Slika 2.6: Različiti prikaz popločavanja štapića duljine 5 pomoću štapića manje duljine
U tablici svaki stupac je u boji štapića koji su učenici koristili za prikazivanje svog vagona koji nedostaje, a broj unutar obojanih stupaca označava koliko štapića su pritom koristili. Sivom bojom označili smo inače bijeli štapić duljine jedan. Učenicima predlažemo da sve svoje prikaze zabilježe u svojim bilježnicama kako bi ih se kasnije mogli prisjetiti. Ono što je važno jest da na kraju aktivnosti učenici mogu pročitati svoje zapise te da su učenici zbilja fizički slagali nizove od svojih štapića. Ukoliko prilikom promatranja učenika kako nižu štapiće primijetimo da učenicima nedostaju određeni nizovi možemo im postavljati pitanja o grupi nizova koja nedostaje te predložiti učenicima da pokušaju presložiti određene nizove još nekoliko puta. Ne predlažemo nastavnicima da odmah pokažu učenicima koji nizovi im nedostaju već da ih usmjere kako bi oni sami došli do traženih nizova. Poželjno je učenicima postavljati pitanja o njihovoj strategiji prebrojavanja i preslagivanja štapića te na taj način dobiti uvid u njihov način razmišljanja. Na kraju aktivnosti učenicima
P ri k a z št a p ić a d u lj in e p et Ukupan broj kombinacija 1 2 - - - 3 2 - 1 - - 3 3 1 - - - 4 5 - - - - 1 - 1 1 - - 2 1 - - 1 - 2 - - - - 1 1 12 4 2 1 1 16
29 možemo postavljati pitanja o strategiji, o iskoristivosti tablice i crtanog prikaza za štapiće različitih duljina. Od velike je važnosti da učenici svoja rješenja objašnjavaju jedni drugima pa svakako po završetku aktivnosti prozovemo nekoliko učenika koji će opisati svoje strategije, metode bilježenja rješenja kao i pristup problemu unutar svoje skupine. Učenike potičemo da govore i o teškoćama koje su u aktivnosti imali. Te informacije pomoći će nam da prilikom ponavljanja ove aktivnosti s drugim razrednim odjelom znamo na što trebamo obratiti pozornost. Aktivnost možemo proširiti tako da pokušamo odrediti na koliko načina bismo mogli prikazati štapić duljine 6 ako znamo broj načina na koji možemo prikazati štapić duljine 5. Učenici bi u tom slučaju promotrili prikaze za duljine štapića 3 i 4 te osmislili strategiju određivanja broja načina prikazivanja štapića duljine za jedan veće od već promotrenog.
Ovom aktivnosti završavamo s primjerima aktivnosti s Cuisenaireovim štapićima u području aritmetike i započinjemo s njihovom primjenom u području geometrije. U nekoliko sljedećih aktivnosti opisat ćemo kako Cuisenaireove štapiće možemo koristiti za razvijanje prostornog zora.
2.3
Geometrijski oblici u ravnini i prostoru
Do sada smo Cuisenaireove štapiće koristili isključivo u području aritmetike, ali oni nam također mogu poslužiti kao pomoćni alat u istraživanju geometrije.
Učenici pomoću njih mogu: izgrađivati svoj prostorni zor
opisivati položaj i smjer upotrebom jednostavnog koordinatnog sustava prepoznavati, opisivati, imenovati i izgraditi dvodimenzionalne i
trodimenzionalne oblike
sastavljati i rastavljati ravninske i prostorne oblike
lakše uključiti nove pojmove u svoj matematički rječnik i slično.
U nastavku dat ćemo primjere aktivnosti u kojima će učenici Cuisenaireove štapiće koristiti za otkrivanje matematičkih koncepata u geometriji.
30 2.3.1 Aktivnost: Geometrijski oblici u prostoru
U petom razredu osnovne škole učenici se ponovno susreću s pojmovima poput
