Kumpulan Rumus Trigonometri Kelas XI SMA

28  165  Download (2)

Teks penuh

(1)

Kumpulan Rumus Trigonometri Kelas

XI SMA

Trigonometri

Jumlah & selisih sudut:

Sudut rangkap:

Jumlah atau selisih à perkalian:

(2)

TRIGONOMETRI

A. Pengertian Trigonometri

Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangens ( tan), cotangens (cot), secan (sec) dan cosecan (cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku.

Jika trigonometri didefinisikan dalam segitiga siku-siku, maka definisinya adalah sebagai berikut:

B. Nilai Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa

C. Rumus-rumus Identitas Trigonometri

D. Rumus- Rumus Trigonometri

E. Aturan Trigonometri dalam Segitiga Diposkan oleh fery yansah

0 komentar

TRIGONOMETRI DAN SEJARAHNYA

Pengertian dan Sejarah Trigonometri

Pengertian Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada

ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Sejarah Trigonometri

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah

(3)

hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.

Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

RUMUS- RUMUS TRIGONOMETRI

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

(4)

BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) 2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b) 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b) - 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)

a cos x + b sin x = K cos (x-a).

contoh soal TRIGONOMETRI

Soal No. 1

(5)

Soal No. 2

Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan radian (rad): a) 270°

b) 330°

Pembahasan Konversi:

1 π radian = 180°

Jadi: a) 270°

b) 330°

Soal No. 3

Diberikan sebuah segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.

Tentukan: a) panjang AC b) sin θ c) cos θ d) tan θ e) cosec θ f) sec θ d) cotan θ Pembahasan a) panjang AC

(6)

b) sin θ

c) cos θ

d) tan θ

e) cosec θ

f) sec θ

g) cotan θ

Soal No. 4

Sebuah segitiga siku-siku.

Diketahui nilai dari sin β = 2/

3. Tentukan nilai dari :

a) cos β b) tan β

Pembahasan sin β = 2/

(7)

Gunakan phytagoras untuk menghitung panjang sisi yang ketiga (sisi samping):

Sehingga nilai cos β dan tan β berturut-turut adalah

Soal No. 5

Seorang anak berdiri 20 meter dari sebuah menara seperti gambar berikut.

Perkirakan ketinggian menara dihitung dari titik A! Gunakan √2 = 1,4 dan √3 = 1,7 jika diperlukan.

Pembahasan

(8)

Tinggi menara sekitar 34 meter.

Soal No. 6

Sebuah marka kejut dipasang melintang pada sebuah jalan dengan sudut 30° seperti ditunjukkan gambar berikut.

Jika panjang marka kejut adalah 8 meter, tentukan lebar jalan tersebut!

Pembahasan

Segitiga dengan sudut istimewa 30° dan sisi miring 8 m.

sin 30° = 1/ 2

sin 30° = BC/AC BC/AC = 1/

2

BC = 1/

2 × AC = 1/2 × 8 = 4 meter

Lebar jalan = BC = 4 meter

Soal No. 7

(9)

Tentukan panjang sisi segitiga tersebut!

Pembahasan

Δ ABC sama sisi, sehingga sudut A = sudut B = sudut C = 60° Jika diambil titik ATC menjadi segitiga, maka didapat gambar berikut.

Sinus 60° pada segitiga ATC adalah perbandingan sisi TC (sisi depan) dengan sisi AC (sisi miring) sehingga

Soal No. 8

(10)

Tentukan luas segitiga ABC!

Pembahasan

Segitiga ABC adalah sama kaki. Jika diambil garis tinggi TC maka didapat gambar berikut.

Menentukan panjang AT dan CT dengan sudut yang diketahui yaitu 60°

Sehingga luas segitiga adalah

Soal No. 9

cos 315° adalah.... A. − 1/

2 √3

B. − 1/ 2 √2

C. − 1/ 2

D. 1/ 2 √2

E. 1/ 2 √3

(Soal Ebtanas 1988)

Pembahasan

(11)

Sehingga

cos 315° = (360° − 45°) = cos 45° = 1/ 2 √2

Matematikastudycenter.com- Soal dan pembahasan materi trigonometri kelas 11 SMA. Topik yang dibahas penggunaan rumus Jumlah dan Selisih Sudut.

Soal No. 1

Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari: a) sin 75°

b) cos 75° c) tan 105° Pembahasan

a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin 75° = sin (45° + 30°)

= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2

= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)

b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B cos 75° = cos (45° + 30°)

= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30° = 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2 = 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)

c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan

tan 105° = tan (60° + 45°)

Soal No. 2

Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari: a) sin 15°

b) cos 15° c) tan (3x − 2y)

Pembahasan

(12)

sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B sin 15° = sin 45° − 30°)

= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30° = 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2 = 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)

b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B cos 15° = cos (45° − 30°)

= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30° = 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2 = 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)

c) Rumus selisih sudut untuk tan

Sehingga

Soal No. 3

Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5 dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan:

A. sin (A + B) B. sin (A − B)

Pembahasan

Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga, seperti gambar berikut:

Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas. Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya. Setelah dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat nilai sin atau cos yang benar. sin A = 4/5

cos A = 3/5

(13)

 Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5

 Sudut B lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.

a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan

b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan

Soal No. 4

Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5 dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A + B)

Pembahasan

Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya

sin A = 3/5, cos A = 4/5 sin B = 12/13, cos B = 5/13

(14)

Soal No. 5

Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan nilai dari cos R

Pembahasan

Cek sin cos kedua sudut P dan Q

sin P = 3/5, cos P = 4/5 sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10

P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q) cos R = cos (180 - (P + Q))

ingat cos (180 - x) = - cos x

Soal No. 6

Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =.... A. 2/3 √5

B. 1/5 √5 C. 1/2 D. 2/5 E. 1/5

(UN 2007-2008)

Pembahasan

(15)

Dari gambar terlihat: sin α = 1/ √2

cos α = 1/ √2

tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:

Diperoleh sin β = 1/√10 cos β = 3/√10

Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....

Dengan rumus selisih dua sudut:

Jadi sin (α − β) = 1/5 √5

Soal No. 7

Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =.... A. 1/4

B. 1/2 C. 3/4 D. 1 E. 5/4 un hal 102

Pembahasan

Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus: cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B

(16)

Diminta cos (A − B) =....

cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B = 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4

Soal No. 8

ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka ∠C = ... A. 30°

B. 45° C. 60° D. 90° E. 135°

Pembahasan

Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh

sin A = 3/5 cos A = 4/5

sin B = 1/5√2 cos B = 7/5√2

Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C = 180 − (A + B)

Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:

sin C = sin [180 − (A + B)]

(17)

Sudut yang nilai sin nya 1/2 √2 adalah 45°

Materi Lengkap Trigonometri Dengan Fungsi ,

Rumus Dan Pembahasan Contoh Soal

Dalam merancang kerangka sebuah jembatan perhitungan yang dilakukan tidaklah mudah. Beban, tegangan, serta gaya yang bekerja pada jembatan menjadi pertimbangan utama para perancang untuk mengonstruksikan model rancangannya. Proses ini didasarkan atas pengetahuan dari bangsa Romawi bahwa busur dapat menjangkau jarakyang lebih jauh dan menahan berat yang lebih berat daripada lintel (bentuk balok yang lurus horizontal). Atas dasar ini semakin banyak pula jembatan berbentuk busur yang dibangun. Penggunaan bentuk busur ini melibatkan kelengkungan yang perlu diperhitungkan kemiringan sudutnyayang diberikan dalam persamaan trigonometri. Lebih lanjut mengenai persamaan trigonometri akan Anda pelajari pada uraian berikut.

A. Perbandingan Trigonometri

Perhatikan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari (r), sedangkan titik A (x, y) pada lingkaran dan sudut dibentuk oleh OA terhadap sumbu X. Pada berlaku r2 = x2 + y2 sehingga diperoleh perbandingan

trigonometri sebagai berikut.

1. Rumus Jumlah dan Selisih dua Sudut

(18)

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

b. Rumus untuk Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

c. Rumus untuk Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Contoh Soal

Jika tan 5°= p tentukan tan 50°

Jawab :

2. Rumus Trigonometri untuk sudut rangkap

a. Dengan menggunakan rumus sin (A+ B) untuk A = B, maka diperoleh:

sin 2A = sin (A + B)

= sin A cos A + cos A sin A

= 2 sin A cos A

Jadi,sin2A =2 sin A cos A

b. Dengan menggunakan rumus cos (A + B) untuk A = B, maka diperoleh:

cos 2A = cos (A + A)

= cos A cos A-sin A sin A = cos 2A-sin2A ………(1)

Atau

Cos 2A = cos2 A-sin 2A

= cos2 A- (1 – cos2 A)

= cos2 A – 1 + cos2 A

(19)

Atau

Cos 2A = cos2 A-sin 2A

= (1 -sin2 A)-sin 2A

= 1 – 2 sin2 A ………. (3)

Dari persamaan (1) (2) (3) didapatkan rumus sebagai berikut.

Cos 2A = cos2 A – sin2 A

= 2 cos2 A-1

= 1 – 2 sin2 A

c. Dengan menggunakan rumus tan (A+B) untuk A=B, diperoleh

B. Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Sinus

dan Kosinus

a. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

 2 sin A sin B = cos (A- B) – cos (A+ B)  2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A-B)  2 cos A sin B = sin (A + B)-sin (A-B)  2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A- B)

Contoh Soal

Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°

Jawab:

2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°

= cos 90° + cos 60°

= 0 + ½

= ½

b.Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

(20)

 cos A – cos B = -2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)

 tan A + tan B =

 tan A – tan B =

Contoh Soal

Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15° jawab:

sin 105° + sin 15° = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)° = 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)° = sin 60° cos 45°

C. Identitas Trigonometri

Rumus rumus dasar identitas trigonometri sebagai berikut.

Untuk membuktikan suatu persamaan mempakan identitas atau bukan maka persamaan itu diubah dengan salah satu dari cara-cara berikut.

 Mengubah bentuk ruas kiri sehingga menjadi bentuk ruas kanan.  Mengubah bentuk ruas kanan, sehingga menjadi bentuk ruas kiri.

 Mengubah bentuk ruas kiri maupun ruas kanan sehingga menjadi bentuk yang sama.

Contoh Soal

Buktikan bahwa sin4 α – sin2 α = cos4 α – cos2 α Jawab.

sin 4 α – sin2 α = (sin 2 α)2 – sin 2 α

= (1 cos2 α) 2 – (1 cos2 α)

= 1 – 2 cos2 α + cos 4 α – 1 + cos 2 α

(21)

Matematikastudycenter.com- Contoh soal dan pembahasan menyelesaikan persamaan trigonometri, menentukan himpunan penyelesaian materi matematika kelas 10, 11 SMA.

Tengok dulu 3 kelompok rumus penyelesaian persamaan trigonometri berikut. Masing-masing untuk sinus, cosinus dan untuk tangen:

Rumus Penyelesaian Persamaan Trigonometri

Untuk sinus

Untuk kosinus

Untuk tangen

k diisi nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya.

Contoh:

Soal No. 1

Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 1/ 2

Pembahasan

Dari: sin x = 1/

2

Untuk harga awal, sudut yang nilai sin nya 1/

(22)

Sehingga sin x = 1/ 2

sin x = sin 30°

Dengan pola rumus yang pertama di atas:

(i) x = 30 + k ⋅ 360 k = 0 → x = 30 + 0 = 30 ° k = 1 → x = 30 + 360 = 390 °

(ii) x = (180 − 30) + k⋅360 x = 120 + k⋅360 x = 150 + k⋅360

k = 0 → x = 150 + 0 = 150 ° k = 1 → x = 150 + 360 = 510 °

Dari penggabungan hasil (i) dan hasil (ii), dengan batas permintaan 0° ≤ x ≤ 360°, yang diambil sebagai himpunan penyelesaiannya adalah:

HP = {30°, 150°}

Soal No. 2

Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1/ 2

Pembahasan

1/

2 adalah nilai cosinus dari 60°.

Sehingga

cos x = cos 60°

(23)

(ii) x = −60° + k⋅360 x = −60 + k⋅360

k = 0 → x = −60 + 0 = −60° k = 1 → x = −60 + 360° = 300°

Himpunan penyelesaian yang diambil adalah: HP = {60°, 300°}

Soal No. 3

Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin (x − 30) = 1/ 2 √3

Pembahasan

1/

2 √3 miliknya sin 60°

Sehingga

sin (x − 30) = sin 60°

dan

Untuk 0° ≤ x ≤ 720°, HP = {90°, 150°, 450°, 510°}

Soal No. 4

Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos (x − 30°) = 1/

2 √2

Pembahasan

Harga awal untuk 1/

(24)

HP = {75°, 345°}

Dari rumus sudut rangkap dari pelajaran sebelumnya:

(25)

Sehingga:

HP = {90°, 210°, 330°} dalam satuan derajat. HP = {π/2, 7π/6, 11π/6} dalam satuan radian.

(26)

(cos x − 1) = 0 cos x = 1

x = 0° dan x = 360° = 2π (Tidak diambil, karena diminta 0 < x < 2π)

Jadi HP = {π/3, 5π/3} Jawaban: D

Soal No. 8

Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah…

A. {150°,165°} B. {120°,150°} C. {105°,165°} D. {30°,165°} E. (15°,105°)

Pembahasan

Ubah ke bentuk sin semua, dengan rumus sudut rangkap, kemudian faktorkan: cos 4x + 3 sin 2x = −1

Untuk faktor

Tidak Memenuhi, lanjut ke faktor

Diperoleh

Jadi HP = {105°,165°}

Soal No. 9

Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤ 360° adalah....

(27)

(UN Matematika SMA IPA 2014)

Pembahasan

Soal ini akan coba diselesaikan dengan cara coba-coba. Ambil salah satu sudut dari pilihan jawaban yang ada, untuk mengeliminir pilihan lainnya. Dari yang mudah yaitu 30° atau 90°. Nilai sin 30° adalah 1/2, jika sudut ini termasuk jawaban maka akan sama dengan nol seperti permintaan soal.

Persamaan di soal: 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?

30° → 2 sin2 (30°) − 3 sin (30°) + 1 = ?

= 2 (1/2)2 − 3 (1/2) + 1

= 0 (Benar, jadi jawaban harus memuat angka 30°, pilihan E salah karena tidak memuat 30 derajad.)

Berikutnya coba 90°, tentunya sudah tahu sin 90° = 1 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?

90° → 2 sin2 90° − 3 sin 90° + 1 = ?

= 2 (1)2 − 3 (1) + 1

= 2 − 3 + 1

= 0 (Benar, Jawaban harus memuat 90° jadi B, C, D, dan E salah, A dipastikan benar tanpa dilakukan pengecekan pada 150°, tentunya kalau soalnya ndak error)

Soal No. 10

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x − 2 sin x = 1; 0 ≤ x < 2π adalah.... A. {0, π, 3π/2, 2π}

Soal ini lebih mudah lagi, syaratnya adalah 0 ≤ x < 2π , maka x tidak boleh memuat 2π, karena tandanya adalah lebih kecil dari 2π bukan lebih kecil atau sama dengan. Jadi pilihan yang ada 2π nya salah, hanya E yang tidak memuat 2π. Jadi jawabnya yang E, soal di atas dari soal UN, namun soal seperti ini jarang-jarang ada.

1.

(28)

Figur

Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu  aplikasikan rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga,  seperti  gambar berikut:

Gambar segitiga

untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga, seperti gambar berikut: p.12

Referensi

Memperbarui...