VEKTOR. Bab 20. a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. ; OB b. maka OA AB OB. dan. maka. Contoh : Tentukan nilai x dan y dari Jawab :

(1)

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 134

VEKTOR

a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor.

O A a  ; O B b  maka O A AB O B    A B O B O A    A B b a    a u b dan c v d maka a c a c u v b d b d Contoh :

Tentukan nilai x dan y dari

Jawab :

Jadi nilai x = - 18 dan y = - 1 ½

b. Panjang Vektor

Misal u a

b , maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus

2 2

u a b

Untuk A x( ₁,y₁) dan B x( ₂,y₂) maka panjang vector

2 2

2 1 2 1

: ( ) ( )

A B A B x x y y

 

Misal vector u = li + mj + nk atau

Panjang vector satuan dari u adalah 1. Vektor satuan biasa disebut dengan e ditentukan dengan

Contoh :

Diketahui

Tentukan Vektor satuan v

(2)

Jawab :

Vektor satuan v adalah

c. Perkalian vector dengan scalar. a. Secara geometris.

Jika k R dan u suatu vector , maka perkalian vector u dengan bilangan real k ditulis sebagai c k u. Panjang vector c dama dengan k kali panjang vector u

- Jika k > 0 , maka vector c searah dengan vector u

- Jika k < 0 , maka vector c berlawanan arah dengan vector u b. Secara Non Geometris

Jika k R dan u a b maka a ka k u k b kb Contoh : Jika 3 , 1 d an c= -5 2 0 4 a b , Tentukan panjang u = a + b - c Jawab : u = a + b – c = 3 1 - -5 9 2 0 4 6 2 2 9 ( 6) 117 3 13 u

d. Besar Suatu Vektor Hasil Penjumlahan Dan Pengurangan i) Jika u a b dan c v d , maka 2 2 ( ) ( ) a c u v u v a c b d b d ii) Jika u a b dan c v d , maka 2 2 ( ) ( ) a c u v u v a c b d b d iii) 2 2 2 co s u v u v u v 2 2 2 co s u v u v u v iv) v u v u v u -

v

u

u-v

(3)

e. Arah Suatu Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Arah suatu vector hasil penjumlahan.

sin sin ( ) sin

u v u v

Arah suatu vector hasil pengurangan

sin sin ( ) sin

u v u v

Contoh :

Diketahui , maka besar sudut antara

vector a dan b adalah ….

f. Rumus Pembagian Ruas Garis

 Jika O adalah sutu titik yang diketahui dan P adalah titik pada ruas garis AB sehingga AP : PB = m : n, maka :

nO A m O B n a m b

O P p

m n m n

 Jika P adalah titik tengah dari ruas garis AB maka :

1 1

( ) ( )

2 2

O P O A O B p a b

 Jika A x( ₁,y₁),B x( ₂,y₂),P x( _p,y_p) terletak pada ruas garis AB , sehingga AP : PB = m : n, maka : 1 2 _dan 1 2 p p nx m x ny m y x y m n m n

 Jika P titik tengah ruas garis AB, maka :

v u v u v u B m A P n

(4)

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 137 1 2 1 2 1 1 ( ) dan ( 2 2 p p x x x y y y

 Sebuah titik P disebut membagi AB didalam dengan perbandingan m : n, Jika AP : PB = m : n dengan m > 0 dan n > 0

 Sebuah titik P disebut membagi AB diluar dengan perbandingan m : n, Jika AP : PB = m : - n dengan m > 0 dan n > 0 g. Perkalian vector . . cos a b a b co s a b. , ( , )a b a b = a b1. 1 a b2. 2 a b3. 3 Jika 900(a b) a b. 0 lancip maka .a b 0 tumpul maka .a b 0 h. Proyeksi Vektor

Vektor c hasil proyeksi a pada b Proyeksi scalar c a b. b Proyeksi vector 2 . . a b c b b

Hubungan antar Vektor :

a. Jika vector u dan v kolinear ( segaris ) maka u = m v

a b c A P - n m B

(5)

Titik A , B dan C dikatakan segaris Kolinear jika AB = m BC dengan m scalar / bilangan real

b. Vektor u , v dan w bukan vector nol, tidak kolinear dikatakan coplanar ( sebidang ) dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m dan n , sedemikian

sehingga w = mu + nv

SOAL LATIHAN :

1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = …. a. 1200 _{b. 90}0 _{c. 60}0 _d.450 _e.300

2. Diketahui a 2 , b 9 , a b 5. Besar sudut antara vector a dan vector b

adalah ….

a. 450 _b.600 _c.1200 _d.13500 _e.1500

3. Besar sudut antara

4 2 3 a dan 3 3 2 b adalah …. a. 180° b.90° c.60° d.30° e.0°

4. Jika a 2, b 3, dan sudut ( a,b ) = 120°, maka 3a 2b ....

a. 5 b.6 c.10 d.12 e.13

5. Diketahui a 3, b 1, a b 1. Panjang vector a + b = ….

a. 3 b. 5 c. 7 d.2 2 e.3

6. Diketahui a 6, (a – b )(a + b ) = 0, dan a (a – b )=3. Besar sudut antara vector a dan b adalah ….

a.

6 b. 4 c. 3 d. 2 e. 3

2

7. Garis g melalui A(2, 4, -2 ) dan B(4, 1, -1 ) , sedang garis h melalui C(7, 0, 2) dan D(8, 2, -1). Besar sudut antara g dan h adalah …

a. 0 0 b. 0 30 c. 0 45 d. 0 60 e. 0 90 8. Segitiga ABC dengan koordinat A(2,1,4) ,B(-1, 2, 3) dan c(1, -1 , 2) . Nilai sin CAB =

… a. 1 1 0 9 1 0 b. 1 0 1 1 c. 1 1 1 0 1 1 d. 1 1 0 9 1 1 e. 1 1 1 0 1 0

9. Jika a b 2 7 dan a.b = 4 maka a b ...

a. 2 7 b. 2 6 c. 2 3 d. 2 5 e. 2 2

10. Bila sudut antara a 2i 4j 4 d an k q i 3j 5k maka cos =…

a. 3 7 b. 5 2 1 c. 8 2 1 d. 5 2 3 e. 3 8 4 8

11. Besar sudut antara vector adalah ……

a.

6 b. 4 c. 3 d. 2 e. 3

(6)

12. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal ____AB

pada AC____ adalah …. a. j k b.i k c. i j d._i _j _k 2 1 _e. j i 2 1

13. Diketaui vector a 3i 4j 4k , b 2i j 3k , dan c 4i 3j 5k . Panjang proyeksi

vector (a b)pada c adalah ….

a. 3 2 b.4 2 c.5 2 d.6 2 e.7 2

14. Diketahui u (2, 1,1),v ( 1,1, 1) Vektor w yang panjangnya 1, tegak lurus pada u dan tegak lurus pada v adalah …

a. (0, 0, 1) b. (0, 2, 2) 2 2 c. 2 2 (0, , ) 2 2 d. 2 1 2 ( , , ) 3 3 3 e. 2 1 2 ( , , ) 3 3 3

15. Jika wadalah vector proyeksi orthogonal dari vector

4 3 -2 v terhadap vector 1 -2 1 -u , maka w =…. a. 3 1 -1 b. 2 -1 -0 c. 2 1 0 d. 2 4 -2 e. 2 -4 2 -16. Diketahui vector 2 x 1 a , 1 -1 2

b , dan proyeksi a pada b adalah 6 2

. Sudut antara a

dan b adalah α, maka cos α = ….

a. 6 3 2 b. 3 1 c. 3 2 d. 6 2 e. 3 6

17. Rasio sustu deret geometri tak hingga adalah , suku pertama deret

itu merupakan hasil kali scalar vector dan . Jumlah

deret geometri tak berhingga tersebut = …

a. b. c. d. 2 e. 4

18. Panjang proyeksi orthogonal vector a 3i pj k , pada vector b 3i 2j pk

adalah 3 2 . Nilai p = …. a. 3 b.2 c. 3 1 d.– 2 e.– 3

19. Diketahui koordinat titik A (3, 5, 2) , B(-1, 0, 3) dan C ( 4, -2 , -5) . Jika Z merupakan titik berat segitiga ABC , maka koordinat titik Z sdalah ….

a. ( 2 , -1 , 0) b. ( 2 , 1 , 0) c. ( 2 , 1 , 1) d. ( 1 , 2 , 1) e. ( 1 , 0 , 2)

20. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C (7, 5, 3). Jika A, B, dan C segaris ( koliner ) perbandingan AB : BC = ….

a. 1 : 2 b.2 : 1 c.2 : 5 d.5 : 7 e.7 : 5

21. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1 : 3. Panjang ____PB = ….

(7)

22. Dalam Δ ABC, diketahui P titik berat Δ ABC dan Q titik tengah AC. Jika CA u dan CB v,

maka PQ = …. a. v -u 3 1 b. u 3 1 -v c. u 6 1 -v 3 1 d. v 3 1 -u 6 1 e. v 3 1 u 6 1

23. Titik A ( 3,2,–1 ), B ( 1, –2, 1 ), dan C ( 7,p – 1, –5 ) segaris untuk nilai p = ….

a. 13 b.11 c.5 d.– 11 e.– 13

24. Diketahui vector u 2i 4j 6k dan v 2i 2j 4k . Proyeksi vector orthogonal u pada v adalah

a. 4i 8j 12k b. 4i 4j 8k c. 2i 2j 4k

b. d. i 2j 3k e. i j 2k

25. Jika A(-1, 5, 4) , B(2, -1, -2) , C(3, p, q) terletak pada satu garis lurus , maka nilai p dan q berturut-turut adalah …

a. –3 dan –4 b. –1 dan –4 c. –3 dan 0 d. –1 dan 0 e. 3 dan 0

26. Jika sudut antara a dan b adalah 0

60 dan a 2 dan b 5 maka nilai a.(a+b) = …

a. 5 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10 27. Jika 1 1 0 1 , 2 , 4 1 1 a b c x

dan a.(b+c)=a.a. Nilai x adalah …

a. –11 b. –10 c. 8 d. 10 e. 11

28. Diketahui Balok OABC.DEFG dengan OA=a , OD = d dan OC = c , K perpotongan antara DF dan GE dan L perpotongan antara BE dan AF, maka vector KL = … a. 1( ) 2 a d b. 1 ( ) 2 a d c. 1 ( ) 2 c d d. 1 ( ) 2 c d e. 1 ( ) 2 a c

29. Jika a 4, b 6 dan sudut antara a dan b adalah 600, maka nilai a b

a. 1 1 3

2 b.

13 c. 11 1 3

2 d.

2 19 e. 3 1 3

30. Jika diketahui p 3i 2j k dan q i 3j 5k , maka (p q).(p q) adalah ….

a. 13 b. 2 3 c. 2 3 d. –11 e. –21

31. Jika a 2, .a b 4 dan sudut antara a dan b sama dengan 1

4 , maka b ...

a. 4 2 b. 3 2 c. 2 2 d. 2 e. 1 2

2

32. Ditentukan a 2i 3j xk dan b i 4 j 5k. Jika a tegak lurus b, maka nilai x adalah …

a. 1 b. 2 c. –1 d. –2 e. 0

33. Diketahui vector dan vector , jika proyeksi scalar orthogonal vector u pada arah vector v sama dengan setengah panjang vector v, maka nilai p adalah …

(8)

a. -4 atau -2 b. -4 atau 2 c. 4 atau -2 d. 8 atau -1 e. -8 atau 1

Soal – soal vector Ujian Nasional Materi Pokok : Sudut antara dua vektor

1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = …. a. 1200

b. 900

c. 600

d. 450

e. 300

2. Diketahui a 2 , b 9 , a b 5. Besar sudut antara vector a dan vector b

adalah …. a. 450 b. 600 c. 1200 d. 13500 e. 1500

3. Besar sudut antara

4 2 3 a dan 3 3 2 b adalah …. a. 180° b. 90° c. 60° d. 30° e. 0°

4. Jika a 2, b 3, dan sudut ( a,b) = 120°, maka 3a 2b ....

a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13

(9)

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 142 a. 3 b. 5 c. 7 d. 2 2 e. 3

6. Diketahui a 6, (a – b )(a + b ) = 0, dan a (a – b )=3. Besar sudut antara vector a dan b adalah …. a. 6 b. 4 c. 3 d. 2 e. 3 2

Materi Pokok : Proyeksi vector

7. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal ____AB

pada AC____ adalah …. a. j k b. i k c. i j d. i j 2k 1 e. 2i j 1

8. Diketahui vector a 3i 4j 4k , b 2i j 3k , dan c 4i 3j 5k . Panjang proyeksi

vector (a b)pada c adalah ….

a. 3 2

b. 4 2

c. 5 2

d. 6 2

(10)

9. Diketahui vector u 2i 4j 6k dan v 2i 2j 4k . Proyeksi vector orthogonal u pada v adalah …. a. 4i 8j 12k b. 4i 4j 8k c. 2i 2j 4k d. i 2j 3k e. i j 2k

10. Jika wadalah vector proyeksi orthogonal dari vector

4 3 -2 v terhadap vector 1 -2 1 -u , maka w =…. a. 3 1 -1 b. -2 1 -0 c. 2 1 0 d. 2 4 -2 e. -2 4 2 -11. Diketahui vector 2 x 1 a , 1 -1 2

b , dan proyeksi a pada b adalah 6 2

. Sudut antara a

dan b adalah α, maka cos α = ….

a. 3 6 2 b. 3 1 c. 3 2

(11)

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 144 d. 6 2 e. 3 6

12. Panjang proyeksi orthogonal vector a 3i pj k , pada vector b 3i 2j pk

adalah 3 2 . Nilai p = …. a. 3 b. 2 c. 3 1 d. 2 e. 3

Materi Pokok : Perbandingan garis

13. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C (7, 5, 3). Jika A, B, dan C segaris ( koliner ) perbandingan AB : BC = …. a. 1 : 2 b. 2 : 1 c. 2 : 5 d. 5 : 7 e. 7 : 5

14. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1 : 3. Panjang ____PB = …. a. 15 b. 81 c. 90 d. 121 e. 153

15. Dalam Δ ABC, diketahui P titik berat Δ ABC dan Q titik tengah AC. Jika CA u dan CB v,

maka PQ = …. a. 3 v-u 1 b. 3u 1 -v

(12)

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 145 c. 6 u 1 -v 3 1 d. 3 v 1 -u 6 1 e. 3v 1 u 6 1

16. Titik A ( 3,2,–1 ), B ( 1, –2, 1 ), dan C ( 7,p – 1, –5 ) segaris untuk nilai p = …. a. 13 b.11 c.5 d.11 e.13

Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q (2, -3, 2), dan R(-1, 0, 2). Besar sudut PRQ=……… a. 120º b. 90º c. 60º d. 45º e. 30º Jawab : = Q - R = (3, -3, 0) = P – R = (1, 1, 2) . = 3 – 3 +3 = 0 = 90º =

2. Diketahui = , = , = . Besar sudut antara vektor dan vector adalah ……

a. 45º b. 60º c. 120º d. 135º e. 150º Jawab : ( ( = + + 2. + = 5 2 + (2 = -6 = = GOD IS MY SAFIOR

(13)

= 135º

3. Besar sudut antara dan adalah……

a. 180º b. 90º c. 60º d. 30º e. 0º Jawab: Cos = = = = Cos = 0 = 900

4. Jika =2, =3, dan sudut ( )= 1200, maka = . . . .

a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13

( (

5. Diketahui , panjang vector

a. b. c. d. e. 3 Jawab: - 2 1 = 3 + 1 - 2 =

6. Diketahui ( .( dan ( Besar sudut antara vector dan

adalah . . . a. b. c. d. e. Jawab: 6 – (6 . ) = 3 - 6 . = -3 = =

7. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0), dan C(0, 2, 2).Proyeksi

Orthogonal pada adalah. . .

a. b. c.- d.

e.-Jawab:

(14)

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 147 = C – A = (0, 2, 2) = = . (0, 2, 2) = (0, 1, 1)

8. Diketahui vector = 3 , 2 .Panjang

Proyeksi vector ( a. b. c. d.6 e. 7 Jawab: ( = (5 ,-5, -1) = (4, -3, 5) I I = = = . = = 3 9. Diketahui vector pada adalah . . . a. b. c. d. e. Jawab: = . = = . = . = . =2 . =

10.Jika adalah vector proyeksi orthogonal dari vector = terhadap vector =

,maka = … a. b. c. d. e. Jawab: . = . (-1, 2, -1) = (-1, 2, -1) = (2, -4, 2)

11. diketahui vector = , , dan proyeksi pada adalah . Sudut antara dan

adalah a, maka ….. a. b. c. d. e. Jawab : = = 2 = x *

(15)

2 + 2 – 2 = =