MODEL OPTIMASI ECONOMIC ORDER QUANTITY DENGAN SISTEM PARSIAL BACKORDER DAN INCREMENTAL DISCOUNT | Nurhayati | MATEMATIKA 15280 36795 1 PB

M O D E L O PT I M A S I E C ONOMI C OR DE R QUA NT I T Y D E NG A N S I ST E M P A R SI A L B A C K OR D E R D A N I NC R E ME NT A L D I SC OUNT

Neri Nurhayati

1

, Nikken Prima Puspita

2

, T iti Udj iani SR R M

3 1

Program Studi S1 Matematika, D epartemen Matematika F SM Universitas D iponegoro

2,3

Departemen Matematika F S M Universitas D iponegoro J l. Prof. H. Soedarto, S.H. T embalang Semarang

nerinurhayati29@ gmail.com

1

A bstr act. E conomic Order Quantity model with partial backorder system and incremental discount is an integrati on of several model of inventory optimation, they were E conomic Order Quantity optimation model, E conomic Order Quantity optimation model with partial backorder system and E conomic Order Quantity optimati on model with incremental di scount. B eside the discounts are given by supplier, in this model there were two stockout conditi ons, where the consumers disposed to wait until the order came and consumers did not disposed to wait until the order came.

K eywor ds: Inventory, E conomic Order Quantity, Stockout, Partial backorder, Incremental discount

1. P E ND A H UL UA N

Salah satu jenis model manajemen persediaan adalah Model Optimasi E conomic Order Quantity (E OQ). Model E OQ diperkenalkan pertama kali oleh Harris pada tahun 1913 [ 1]. A sumsi yang dalam model ini masih sulit diterapkan dalam kehidupan sehari-hari dimana banyak faktor lain yang dapat mempengaruhi. D alam model E OQ tidak diperbolehkan terjadinya kekosongan barang (stockout), oleh karena itu [ 2] mengembangkan model E OQ dasar dengan diperbolehkan adanya stockout. Stockout dibedakan menjadi dua yaitu model backorder dan model lost sales. Model backorder terj adi apabila pesanan konsumen yang diterima perusahaan tidak dapat dipenuhi akibat persediaan habis, dan konsumen bersedia menunggu sampai pesanan terpenuhi sehingga perusahaan tidak kehilangan keuntungan namun backorder menyebabkan tambahan biaya transportasi dan pemesanan [ 3] . Parsial backorder adalah penggabungan dari model backorder dan lostsale. D alam model ini supplier memberi diskon berupa incremental discount yaitu diskon dengan aturan bahwa bersamaan dengan naiknya j umlah pemesanan, harga per unit barang turun sesuai dengan range diskoun yang telah disepakati. Model E OQ pada artikel

ini mengacu pada [ 4] yaitu penggabungan dari model Optimasi E OQ, model E OQ dengan Sistem Parsial Backorder, dan Model E OQ dengan Incremental D iscount. 2. H A S I L D A N PE M B A H A SA N

Model optimasi E conomic Order Quantity dengan sistem parsial backorder dan incremental discount mempunyai tuj uan untuk menghitung berapa banyak barang yang sebaiknya dipesan dan waktu yang optimal untuk memesan agar mendapatkan keuntungan yang maksimal. D alam artuikel ini diasumsikan bahwa lamanya periode perencanaan adalah satu bulan asumsi yang lain pada model ini antara lain :

1. T ingkat permintaan barang diketahui dengan pasti dan konstan untuk setiap bulan.

2. Model yang dikembangkan hanya untuk satu jenis barang ( single item) dan tidak ada interaksi dengan barang lain.

3. Stockout atau adanya kekosongan barang di gudang diperbolehkan. 4. Semakin banyak barang yang dibeli

dari supplier maka semakin besar potongan harga yang diberikan.

Neri Nurhayati, Nikken Prima Puspita dan T iti Udjiani S R R M ( Model Optimasi E conomic Order Quantity ...)

2

6. Harga beli barang bergantung pada banyaknya pembelian barang.

7. Persentase kekurangan barang yang akan menjadi backorder tetap.

8. Penjualan akan hilang jika perusahaan tidak mampu memenuhi pesanan konsumen yang tidak bersedia menunggu.

Parameter dan V ariabel yang digunakan dalam memformulasikan model ini adalah :

: B iaya pemesanan barang dalam satu kali pemesanan

: Persentase dari kekurangan barang yang akan menjadi backorder

: B iaya pembelian barang ke dalam per unit

: J umlah permintaan barang per bulan

: B iaya kerugian barang dalam per unit per bulan

: B esar persentase biaya

penyimpanan barang per unit per bulan

Ch : B iaya penyimpanan per unit barang per bulan.

: J umlah dari potongan harga : B atas tingkat jumlah pemesanan ke terjadi,

dimana 0= < < < ⋯ < <∞

: Harga jual barang per unit : B iaya backorder per unit per bulan

: K euntungan barang ke yang hilang dari biaya pembelian, = − + dalam per unit per bulan

: F rekuensi pemesanan dalam satu bulan

: W aktu pemesanan dalam satu siklus

: B anyaknya backorder untuk satu siklus

: Persentase permintaan barang yang akan dipenuhi dari persediaan dalam satu bulan

: J umlah pesanan per siklus pemesanan

: T ingkat persediaan maksimum per siklus

: B iaya total persediaan per bulan ( Annual Total C ost)

: K euntungan total per bulan (Annual Total Profit)

: B iaya total persediaan per siklus (C yclic T otal C ost)

: K euntungan total per siklus (C yclic T otal Profit)

dimana =1,2,⋯,

G ambar 2.1 Model Opti masi E conomic Order Quantity dengan S istem Parsial Backorder [ 4] T ingk at Persedi aan

−

[image:2.612.79.525.63.707.2]

Gambar 2.1 menjelaskan tingkat persediaan barang Q terhadap waktu T. Garis dibawah sumbu horizontal menandakan telah terjadi stockout dimana sebagian dapat dipenuhi pada awal siklus sberikutnya dan sebagian konsumen tidak bersedia menunggu hingga barang datang kembali yang ditandai dengan konstanta β. Pada model ini biaya total persediaan per siklus merupakan jumlahan dari biaya total pemesanan, biaya total pembelian, biaya total penyimpanan, biaya total backorder, dan biaya total stockout.

( )=

+

+ +

(2.1)

, = + + 1− +

+ + (1− )1−

( 2.2) dengan

= + (2.3) 8 =∑ q (C −C ),

j= 2,3,⋯,n dan 8 =0

D alam satu bulan terdapat sebanyak = kali pemesanan maka biaya total persediaan dalam satu bulan adalah

dapat dihitung dengan

, = , ×

dan mensubstitusikan Persamaan (2.3) ke dalam Persamaan (2.2) seperti berikut:

, = + +

1− + + +

+ (1− )1− ( 2.4)

K euntungan total per bulan

dapat diperoleh dengan mencari selisih dari biaya total penjualan yang diterima selama satu bulan dengan biaya total

persediaan barang selama satu bulan , yaitu:

, = + 1− −

+ + 1− +

+ + +

(1− )1− (2.5) Selanjutnya dilakukan perubahan +

1− menjadi 1−(1− )1− dan mensubstitusikannya ke dalam Persamaan (2.5) dan nilai keuntungan yang hilang akibat konsumen yang tidak bersedia menunggu , dengan = − + , maka , dapat ditulis sebagai berikut:

, = − +

+ + +

(1− )1− + (2.6)

Nilai selalu tetap karena j umlah penj ualan perusahaan per periode selalu tetap, untuk memaksimumkan Persamaan (2.6) sama halnya dengan mencari nilai minimum dari biaya total persediaan per periode sebagai berikut:

, = + +

+ + (1− )1−

+ (2.7) Secara matematis 4

∗

dan &

∗

dapat dihitung dengan mencari turunan parsial Persamaan (2.7) terhadap variabel 4 dan & , agar biaya total persediaan menjadi minimum adalah =0 dan =0, dijelaskan sebagai berikut:

∂ ∂4

=− +

+ 2

+

Neri Nurhayati, Nikken Prima Puspita dan T iti Udjiani S R R M ( Model Optimasi E conomic Order Quantity ...)

4

4 =4 = (2.9)

= −

( )

+

− 1− − (1− ) =0 (2.10)

Untuk mencari di dalam 4 maka substitusikan 4 pada Persamaam (2.9) ke Persamaan (2.10) sehingga diperoleh

= −

( )

− (1− ) + − 1−

(2.11) (2.11)

Persamaan (2.11) sulit diselesaikan dengan cara analitik, maka diselesaikan dengan menggunakan komputasi matematika seperti Maple. D engan mensubstitusikan =1 ke dalam Persamaan (2.11) maka diperoleh nilai β (sebagai batas yang masih dapat ditoleransi dari persentase kekurangan yang akan menjadi backorder) sebagai berikut: β =1− (2.12)

Menurut [ 5] jumlah pemesanan barang yang optimal dinotasikan dengan 1

∗

dan nilai dari 1

∗

adalah penjumlahan dari maksimum persediaan barang dan maksimum backorder sebagai berikut: 1

∗

= 4

∗

&

∗

+β1−&

∗

(2.13) J ika nilai 4 +β1− tidak terdapat pada interval maka selanj utnya ditetapkan ketentuan sebagai berikut: 1. J ika 4

∗

&

∗

+β1−&

∗

<q dan kondisi yang mengikutinya adalah:

− ≥0 dan

> (2.14a) atau

− <0 dan

( )

> (2.14b) dan &

∗

didapatkan dari

− (1− ) + + −

1− 4 − + +

1−

( )

4 =0 (2.14c)

dengan 4 = dan 4

∗

=

q D &

∗

+β1−&

∗

2. J ika 4

∗

&

∗

+β1−&

∗

>q dan kondisi yang mengikutinya adalah:

− ≥0 dan

> (2.15a) atau

− <0 dan

( )

> (2.15b) dan &

∗

didapatkan dari

− (1− )+ +

− 1− 4 −

+ +

1−

( )

4 =0 (2.15c)

dengan 4 = dan

4

∗

=

∗ ∗

1. Untuk setiap = 1,2,…,, dimana merupakan range interval diskon (a) Menghitung =1−

(b) J ika ≥ ≥0 atau <0 maka terjadi parsial backorder selanjutnya menghitung nilai

∗

dari Persamaan (2.11) dan

∗

=

( )

∗ ∗

(i) J ika ≤

∗ ∗

+ 1−

∗

≤ (dengan

=0 dan =∞), dan (

∗

,

∗

) adalah solusi yang diterima (atau

∗

=

∗ ∗

+ 1−

∗

diterima). Menghitung keuntungan total per bulan

∗ , ∗ = − ∗ + ∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ + ∗ ∗ + (1− )1−

∗

+

membandingkan keuntungan dari

∗

,

∗

dengan keuntungan dari tidak adanya persediaan barang − , lalu pilih keuntungan yang paling maksimal. J ika keuntungan maksimal berasal dari tidak adanya persediaan barang maka

∗

=+∞ dan

∗

= 0.

(ii) J ika

∗ ∗

+ 1−

∗

< dan 2,⋯, , lalu

J ika salah satu dari kondisi (2.14a) atau (2.14b) dipenuhi, menghitung

∗

dari Persamaan (2.14c) dan

∗

=

∗ ∗

. K emudian

menghitung nilai keuntungan

∗ , ∗ = − ∗ + ∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ + ∗ ∗

+ (1− )1−

∗

+ Misal

∗

=1dan hitung

∗

= . J ika

∗

< maka nilai

∗

= , dan jika

∗

> maka nilai

∗

= . Menghitung nilai keuntungan per bulan dengan

− ∗ + +

∗

+ . Menghitung keuntungan dari tidak adanya persediaan barang − , dan menentukan

∗

=+∞ dan

∗

=0.

Membandingkan keuntungan dari langkah 1, 2 dan 3 untuk menentukan keuntungan yang optimal jika

∗ ∗

+ 1−

∗

< , dan nilai

∗ = ∗ dan ∗ = ∗

untuk solusi yang optimal.

(iii) J ika

∗ ∗

+ 1−

∗

> dan 2,⋯, , lalu

J ika salah satu dari kondisi (2.15a) atau (2.15b) dipenuhi, menghitung

∗

dari Persamaan (2.15c) dan

∗

=

∗ ∗

. K emudian

menghitung nilai keuntungan

∗ , ∗ = − ∗ + ∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ + ∗ ∗

+ (1− )1−

∗

Neri Nurhayati, Nikken Prima Puspita dan T iti Udjiani S R R M ( Model Optimasi E conomic Order Quantity ...)

6

Misal

∗

=1 dan dihitungh

∗

= . J ika

∗

< maka nilai

∗

= , dan jika

∗

> maka nilai

∗

= . Menghitung nilai keuntungan per bulan dengan

−

∗ + +

∗

+ . Menghitung keuntungan dari tidak adanya persediaan barang − , dan nilai

∗

=+∞ dan

∗

=0. Membandingkan keuntungan dari langkah 1, 2 dan 3 untuk menentukan keuntungan yang optimal jika

∗ ∗

+ 1−

∗

> , dan nilai

∗ = ∗ dan ∗ = ∗

untuk solusi yang optimal.

(c) J ika 0≤ < ′ menunjukkan bahwa tidak terjadi parsial backorder maka ditentukan

∗

=1dan hitung

∗

=

(i) J ika ≤

∗

≤ (dengan =0 dan =∞), maka

∗

merupakan nilai itu sendiri dan (

∗

,

∗

) adalah solusi yang diterima (atau

∗

=

∗

diterima). Menghitung keuntungan total per bulan dengan −

∗

=

− + 2 + + .

(ii) jika

∗

< , maka

∗

didekatkan dengan batas bawah yaitu

∗

= dan menghitung keuntungan total per bulan dengan −

∗ = − ∗ + + ∗ − . Selanjutnya membandingkan keuntungan tersebut dengan keuntungan dari tidak adanya persediaan barang − , lalu pilih keuntungan yang paling maksimal. J ika keuntungan maksimal berasal

dari tidak adanya persediaan barang maka

∗

=+∞ dan

∗

=0. (iii) jika

∗

> , maka

∗

didekatkan dengan batas atas yaitu

∗

= dan menghitung keuntungan total per bulan dengan

− ∗ = − ∗ + + ∗ + . Selanj utnya membandingkan keuntungan tersebut dengan keuntungan dari tidak adanya persediaan barang − , lalu pilih keuntungan yang paling maksimal. J ika keuntungan maksimal berasal dari tidak adanya persediaan barang maka

∗

=+∞ dan

∗

=0.

2. Identifikasi keuntungan maksimal dari langkah sebelumnya, lalu pilih titik

∗

,

∗

yang menghasilkan keuntungan yang paling maksimal dimana (

∗

,

∗

) telah menjadi solusi global yang optimal.

3. J ika kebijakan optimal berasal dari parsial backorder, selanjutnya menghitung

∗

=

∗ ∗

+ (1−

∗

) dan ∗= (1−

∗

)∗. J ika kebijakan optimal adalah yang memenuhi semua permintaan dari model E conomic Order Quantity dengan incremental discount, selanjutnya menghitung

∗

=

∗

. J ika kebijakan optimal adalah dari kehilangan seluruh penjualan maka

∗

=0. 3. PE NUT UP

konsumen untuk menunggu barang yang sedang dipesan kembali.

4. D A F T A R PUST A K A

[ 1] F . Harris, (1990), How many parts to make at once, F actory, T he Magazine of Management 10 (1913) 135-136, 152, Reprinted in Operation Research, 38(6): 947-950.

[ 2] Z ipkin, P.H., (2000), F oundations of Inventory Management, New Y ork: McGraw Hill.

[ 3] Nasution, A rman Hakim dan Y udha Prasetyawan, ( 2008), P erencanaan dan P engendalian P roduksi, Y ogyakarta: Graha Ilmu.

[ 4] T aleizadeh, A . A ., Irena S tojkovska, dan D avid W . Pentico, (2015). A n E conomic Order Quantity Model with Partial B ackordering and Incremental D iscount, C omputer & Industrial E ngineering, 82 : 172– 184.