Modul ke:
Fakultas
Program Studi
Penerapan Ekonomi Deferensial
(Analisis profit Maximum, Elastisitas, Optimalisasi Bersyarat)
Sri Marti Pramudena
09
EKONOMI DAN BISNIS AKUNTANSI
Matematika Bisnis
Penerapan Ekonomi Diferensial
(Analisis profit Maximum, Elastisitas,
Optimalisasi Bersyarat) Persamaan diferensial
adalahpersamaanmatematikauntuk fungsisatuva riabel atau lebih, yang menghubungkan nilai
fungsi itu sendiri danturunannyadalam
berbagaiorde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalamrekayasa,fisika,ilmu
ekonomidan berbagai macam disiplin ilmu lain
DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK
membahas diferensiansi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam
variabel bebas. Pada dasarnya prinsip
diferensiansinya tidak berbeda dengan prinsip diferensias untuk fungsi bervariabel bebas
tunggal. Hanya saja disini nanti kita akan
bertemu dengan konsep diferensiasi persial (diferensiasi secara bagian demi bagian) dan konsep diferensiasi total.
1 DIFERENSIASI PARSIAL
Sebuah funsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan
memiliki satu macam turunan. Apabila y = f(x) maka turunannya hanyalah
turunan y terhadap x, dengan kata lain y’ = dy / dx
• Sedangkan jika sebuah fungsi mengandung lebih dari satu variable
• bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, sesuai dengan jumlah
• macam variabel bebasnya. Jadi, jika sebuah fungsi mempunyai n macam
• variabel bebas maka ia akan memiliki n macam turunan. Jika y = f(x,z) maka a
• kan terdapat dua macam turunan, yaitu y terhadap x atau ∂ y/∂ x dan turunan y
• terhadap z atau ∂ y/∂ z.
Dengan demikian
Y = f (x,z)
(x,z) = y’
(x,z) =
Dy = dx + dz 2. P = f(q,r,s)
a) (q,r,s) =
P’ b.) (q,r,s) =
c) (q,r,s) =
dp =
dq +
dr +
ds
• ∂ y/∂ x dan ∂ y/∂ z dalam butir 1 serta ∂ p/∂ q, ∂ p/∂ r, dan ∂ p/∂ s
• dalam butir 2 masing-masing dinamakan
derivatif parsial. Sedangkan (∂ y/∂ x)dx, (∂ y/∂
z)dz, (∂ y/∂ q)dq, (∂ y/∂ r)dr dan (∂ y/∂ s)ds dinamakan diferensial persial. Adapun dy dan dp dinamakan diferensial total.
• (1)
= 3 x – 8 xz – 6 z
• (2)
= 10 z – 4 x – 12 xz + 8
2 DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL
Contoh : y = + 5 – 4 – 6 + 8 z – 7 (1)
= 3 – 8 xz – 6 (2)
= 10 z – 4 – 12 xz + 8
Dalam contoh ini baik ∂ y/ ∂ x maupun ∂ y/∂ z masih dapat diturunkan secara parsial lagi baik terhadap x maupun terhadap z.
(1a)
terhadap x :
= 6x – 8z (1b)
terhadap z :
= -8x −12z
(2a)
terhadap x :
= -8x −12z
(2b)
terhadap z :
= 10 – 12x
Ternyata turunan parsial kedua (1a), (1b), (2a), (2b) masih dapat diturunkan secara parsial lagi baik terhadap x maupun terhadap z.
• (1a.1)
terhadap x :
= 6
• (1a.2)
terhadap z :
= -8
• (1b.1)
terhadap x :
= -8
• (1b.2)
terhadap z :
= -12
• (2a.1)
terhadap x :
= -8
(Sekarang turunan-turunan ketiga ini tidak dapat lagi diturunkan secara parsial, karena masing-masing hanya tinggal mengandung konstanta.
3. NILAI EKSTRIM : MAKSIMUM DAN MINIMUM
Untuk y = f(x,z),
Maka y akan mencapai titik ekstrimya jika :
= 0 dan
= 0
Syarat diatas adalah syarat yang diperlukan
(necessary condition) agar fungsinya mencapai titik ekstrim. Guna mengetahui apakah titik
ekstrim itu berupa titik maksimum ataukah titik minimum, dibutuhkan syarat yang mencukupkan (sufficent cindition), yakni :
Maksimum bila
< 0 dan
< 0 minimum bila
> 0 dan
> 0 Dalam hal
dan
= 0, tak bisa ditegaskan mengenai nilai ekstrimnya, untuk kasus
semacam ini diperlukan penyelidikan dan pengujian lebih lanjut.
• 1) selidiki apakah titik extrim dari fungsi berikut ini merupakan titik maksimum ataukah titik minimum : y = − + 12x - + 10z – 45
•
= -2x + 12
= -2x + 10
• −2x + 12 = 0. X = 6 -2z + 10 = 0. Z = 5
• Y = −(6) + 12(6) – (5) + 10(5) – 45 = -36 + 72 – 25 + 50 – 40 = 16
•
= -2 < 0
= -2 < 0
• Karena
dan
< 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum dengan = 16
• 2) selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi p=3 –18q + - 8r +50 merupakan titik maksimum ataukah titik minimum.
•
= 6q - 18
= 2r + 8
• 6q – 18 = 0. q = 3 2r – 8 = 0. r=4
• p = 3(3) - 18(3) + (4) - 8(4) + 50 = 27 - 54 + 16 - 32 +50 = 7
•
= 6 > 0
= 2 > 0
• Karena
dan
> 0, maka titik ekstrimnya adalah titik
minimum dengan = 7
4 OPTIMASI BERSYARAT
Dalam kenyataan seringkali kita harus
megekstrimkan atau mengoptimumkan suatu fungsi, yakni mencari nilai maksimum atau nilai minimumnya, tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi
4.1 Pengadaan Lagrange
Perhitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa sebuah fungsi lain, dapat diselesaikan dengan Metoda Lagrange.
Caranya ialah dengan membentuk sebuah fungsi baru, disebut fungsi Lagrange, yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak
dioptimumkanditambah hasil kali pengganda Lagrange ʎ dengan fungsi kendalanya.
Contoh kasus
Fungs3 hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan factor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit.
P = 6 X2 –X3 dp/dx = 12 x – 3 X2
Np = dp/dx. x/p = 12x – 3 X2) . x/6X2 – x3
2.2.2 Pendapatan Konsumsi
a) Elastisitas Permintaan
a) Elastisitas Permintaan
Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya
perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara
persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya :
b) Elastisitas Penawaran
Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang
ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga.
Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran
dinyatakan dengan Qs = f(P), maka elastisitas penawarannya
Penawaran suatu barang dikatakan bersifat
elastic apabila , elastic – uniter jika dan inelastic bila . Barang yang penawarannya inelastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya.
Contoh kasus :
Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh Qs = -200 + 7 P2. Berapa elastisitas penawarannya pada tingkat harga P = 10 dan P = 15 ?
• Biaya Tetap (Fixed Cost : FC) yaitu, merupakan balas jasa dari pada pemakaian faktor produksi
• tetap (fixed factor), yaitu biaya yang dikeluarkan tehadap penggunaan faktor produksi yang tetap
• dimana besar kecilnya biaya ini tidak dipengaruhi oleh besar kecilnya output yang dihasilkan.
• Biaya tidak tetap (Variabel cost : VC), yaitu merupakan biaya yang dikeluarkan sebagai balas jasa atas pemakaian variabel faktor, yang besar kecilnya dipengaruhi langsung oleh besar kecilnya output.
• Biaya Total (Total cost : TC), yaitu merupakan jumlah keseluruhan dari biaya tetap dan biaya tidak tetap.
• Biaya Rata-rata (Average Cost : AC), yaitu merupakan ongkos persatu satuan output; baik untuk biaya rata-rata tetap (average fixed cost) dan biaya rata-rata variabel (average variable cost) dan rata-rata total (average total cost), diperoleh dengan jalan membagi biaya Total dengan jumlah
output yang dihasilkan.
• Biaya Marginal (Marginal cost : MC), yaitu merupakan biaya tambahan yang diakibatkan dari penambahan satu-satuan unit output.
• Biaya Tetap Rata-Rata (Average fixed cost : AFC), biaya hasil bagi biaya tetap dengan jumlah yang dihasilkan.
• Biaya Variabel Rata-Rata (Average Variable cost : AVC), diperoleh dengan jalan membagi biaya variabel dengan jumlah produk yang dihasilkan.
Terima Kasih
SRI MARTI PRAMUDENA,SE.,MM
