REFLEKSIVITAS PADA RUANG ORLICZ DENGAN KEKONVERGENAN RATA-RATA.

(1)

Mila Apriliani Utari, 2014

REFLEKSIVITAS PADA RUANG ORLICZ DENGAN

KEKONVERGENAN RATA-RATA _{Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu}_|_{perpustakaan.upi.edu}

KEKONVERGENAN RATA-RATA

SKRIPSI

Diajukan untuk memenuhi sebagian syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika Konsentrasi Analisis

Oleh

MILA APRILIANI UTARI

1005202

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

(2)

REFLEKSIVITAS PADA RUANG ORLICZ DENGAN KEKONVERGENAN RATA-RATA

Oleh

Mila Apriliani Utari

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana di Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Juni 2014

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

(3)

MILA APRILIANI UTARI

REFLEKSIVITAS PADA RUANG ORLICZ

DENGAN KEKONVERGENAN RATA-RATA

DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH PEMBIMBING :

Pembimbing I

Dra. Encum Sumiaty, M.Si. NIP. 196304021989032002

Pembimbing II

Dr. Sumanang Muhtar Gozali, M.Si. NIP. 197411242005011001

Mengetahui,

Ketua Jurusan Pendidikan Matematika

(4)

vi

KEKONVERGENAN RATA-RATA _{Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu}_| perpustakaan.upi.edu

DAFTAR ISI

LEMBAR PERNYATAAN ... i

ABSTRAK ... ii

ABSTRACT ... iii

KATA PENGANTAR ... iv

DAFTAR ISI ... vi

DAFTAR SIMBOL ... viii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang Masalah ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 1

1.3 Tujuan Penulisan ... 2

1.4 Manfaat Penulisan ... 2

1.5 Sistematika Penulisan ... 3

BAB II LANDASAN TEORI ... 4

2.1 Sistem Bilangan Real ... 4

2.2Keterbatasan ... 4

2.3Barisan dan Kekonvergenannya ... 5

2.4Barisan Fungsi ... 5

2.5Kekontinuan Fungsi ... 6

2.6Fungsi Konveks ... 7

2.7Himpunan dan Fungsi Terukur ... 8

(5)

vii

2.9Ruang Banach ... 16

2.10 Ruang Lp ... 17

2.11 Ruang Orlicz ... 18

2.12 Operator dan Fungsional Linear ... 29

BAB III REFLEKSIVITAS PADA RUANG ORLICZ DENGAN KEKONVERGENAN RATA-RATA ... 31

3.1 Kekonvergenan pada Ruang Orlicz ... 31

3.2 Kepadatan pada Ruang Orlicz ... 35

3.3 Fungsional Linear Kontinu ... 37

BAB IV PENUTUP ... 44

4.1 Kesimpulan ... 44

4.2 Saran ... 44

(6)

viii

DAFTAR SIMBOL

ℕ : Himpunan bilangan asli

ℝ : Himpunan bilangan riil

� : Fungsi Young

: Fungsi komplemen Young dari �

� : Ruang Orlicz dengan fungsi Young �

� : Ruang Orlicz dengan fungsi Young

Ω : Himpunan semua fungsi terukur terbatas yang terdefinisi pada Ω

� : Penutup dari Ω

‖∙‖� : Norm Luxemburg

‖∙‖�,� : Norm Orlicz

� : Fungsi karakteristik dari himpunan

: Fungsional Linear

: Kontinu Mutlak

(7)

KEKONVERGENAN RATA-RATA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu |

perpustakaan.upi.edu

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Misalkan � adalah sebuah fungsi yang terdefinisi pada bilangan real. Fungsi � disebut fungsi Young jika � merupakan fungsi genap, konveks,

� = dan lim

�→∞� � = ∞. Fungsi Young dan ruang ��, � ≥ menjadi

dasar terbentuknya ruang Orlicz. Ruang Orlicz didefinisikan sebagai himpunan semua fungsi terukur � yang memenuhi ∫ �(�� ) �� < ∞ untuk suatu � > , yang dinotasikan dengan �_�.

Fungsi � dikatakan memenuhi kondisi ∆₂ jika terdapat � > sedemikian sehingga � � < �� untuk semua � > . Kondisi ∆₂ merupakan suatu prasyarat yang menghubungkan antara ruang �_�, � ≥ dengan ruang Orlicz, terdapat beberapa sifat pada ruang Orlicz yang serupa dengan sifat pada ruang �_�, � ≥ jika � memenuhi kondisi ∆₂.

Pengkajian mengenai ruang Orlicz telah banyak dilakukan diantaranya oleh W.A.J. Luxemburg (1955) yang mendefinisikan suatu norm pada ruang Orlicz yang disebut norm Orlicz, Christian Leonard (2007) yang mengatakan bahwa ruang Orlicz merupakan ruang Banach, Sumiaty (2008) yang mengkaji tentang ruang Musielak-Orlicz, dan Al-Azhary Masta (2013) mengatakan bahwa syarat cukup agar �_� konveks seragam jika dan hanya jika konveks kuat.

(8)

2

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan di atas, secara umum masalah yang diangkat dalam skripsi ini yaitu bagaimana refleksivitas pada ruang Orlicz. Adapun rumusan masalah secara khusus adalah sebagai berikut.

1. Bagaimana hubungan antara kekonvergenan pada ruang Orlicz dan kekonvergenan rata-rata jika � memenuhi kondisi ∆₂?

2. Syarat apa yang dibutuhkan agar himpunan semua fungsi terukur terbatas padat di ruang Orlicz �_� = �_� ?

3. Syarat apa yang dibutuhkan agar ruang Orlicz merupakan ruang yang refleksif?

1.3. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Mengetahui hubungan antara kekonvergenan pada ruang Orlicz dan kekonvergenan rata-rata jika � memenuhi kondisi ∆₂.

2. Mengetahui syarat yang dibutuhkan agar himpunan semua fungsi terukur terbatas padat di ruang Orlicz.

3. Mengetahui syarat yang dibutuhkan agar ruang Orlicz merupakan ruang yang refleksif.

1.4. Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat bagi penulis dan bagi mahasiswa matematika lainnya, selain itu dapat memberikan kontribusi bagi pengembangan matematika. Secara khusus penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut.

(9)

3

2. Memberikan inspirasi bagi peneliti lain yang ingin meneliti lebih lanjut tentang ruang Orlicz dan refleksivitas pada ruang Orlicz.

1.5. Sistematika Penulisan

Skripsi ini terbagi menjadi empat bab. BAB 1 merupakan bab pendahuluan yang berisi latar belakang masalah, rumusan masalah, manfaat penulisan, tujuan penelitian, dan sistematika penulisan.

Selanjutnya BAB 2 berisi landasan teori sebagai konsep dasar untuk pembahasan bab selanjutnya, yaitu pemaparan definisi dan teorema yang diperlukan untuk meneliti, diantaranya yaitu sistem bilangan real, keterbatasan pada bilangan real, barisan bilangan dan kekonvergenannya, barisan fungsi, kekontinuan fungsi, fungsi konveks, himpunan dan fungsi terukur, integral Lebesgue, ruang vektor bernorm, ruang �_� � ≥ , ruang Orlicz, dan yang terakhir operator dan fungsional linear.

BAB 3 merupakan isi dari pengkajian, diawali dengan membahas kekonvergenan pada ruang Orlicz, selanjutnya membahas kepadatan pada ruang Orlicz, dan yang terakhir membahas refleksivitas pada ruang Orlicz.

(10)

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:

1. Jika � memenuhi kondisi ∆2, barisan �� konvergen ke u di �� Ω jika dan hanya jika �� konvergen rata-rata ke u.

2. Jika � memenuhi kondisi ∆₂ maka �_� = �_�.

3. Ruang Orlicz �� refleksif jika dan hanya jika � dan � memenuhi kondisi

∆2.

4.2 Saran

(11)

REFERENSI

Barttle, R. G., & Sherbert, D. R. (2000). Introduction to Real Analysis (3rd ed.). New York: John Wiley & Sons.

Gupta, V. P., & Jain, P. K. (1986). Lebesgue Measure and Integration. New Delhi: John Wiley & Sons.

Krasnosel'skii, M. A., & Rutickii, Y. B. (1961). Convex Function and Orlicz

Spaces. Netherlands: P.Noordhoff.

Kreyszig. (1978). Introductory Functional Analysis With Application. Canada: John Wiley & Sons.

Kufner, A., John, O., & Fucik, S. (1977). Function Spaces. Czechoslovakia: Noordhoff International Publishing.

Leonard, C. (2007). Orlicz Spaces. 1-10.

Masta, A. (2011). Karakteristik Integral McShane di Ruang Euclid ℝn. Skripsi,

UPI Bandung.

Masta, A. (2013). Ruang Orlicz Sebagai Ruang Konveks Seragam. Tesis.ITB Bandung.

Rao, M. M., & Ren, Z. D. (1991). Theory of Orlicz Spaces. New York: Marcell Dekker Inc.

Royden, H. L., & Fitzpatrick, P. M. (2009). Real Analysis (4th ed.). London: China Machine Press.

Rukmana, I. (2013). Karakteristik Operator Pengali Sebagai Pembangun Norm

pada Ruang Orlicz.Skripsi. UPI Bandung.

Universitas Pendidikan Indonesia. (2013). Pedoman Penulisan Karya Tulis

Ilmiah. Bandung: UPI Press.