1 1.1. Latar Belakang Masalah
Analisis varians (ANOVA) pertama kali diperkenalkan oleh Sir Ronald Fisher. ANOVA merupakan generalisasi dari uji t, digunakan pada situasi saat peneliti ingin membandingkan nilai rata-rata dari variabel tergantung disemua kelompok yang dibandingkan (Sarwono, 2006). Perbedaan ANOVA dengan uji t adalah uji t digunakan untuk membandingkan nilai rata-rata variabel tergantung pada dua kelompok. Sedangkan ANOVA digunakan untuk menguji perbedaan rata-rata dua atau lebih variabel. Misalkan saja ingin mengetahui jenis varietas padi untuk 3 kelompok. Kemudian dibandingkan rata-rata tiap kelompok apakah memiliki kesamaan rata-rata atau tidak dengan kelompok lain.
Seringkali variabel respon yang diamati oleh peneliti lebih dari satu dan dalam proses analisis data masing-masing variabel dianalisis secara individu. Oleh karena itu, diperlukan suatu alat analisis yang dapat menganalisis data secara simultan (Johnson et al., 1982). Dalam ANOVA hanya diuji beberapa pengaruh perlakuan terhadap respon tunggal (satu peubah tidak bebas), sedangkan dalam praktek terdapat permasalahan analisis tidak dapat diselesaikan dengan analisis univariat ataupun bivariat. Untuk itu diperlukan analisis multivariat.
Berbagai metode analisis multivariat telah banyak dikembangkan dalam penelitian. Menurut perkembangannya, ANOVA dikembangkan dengan analisis ragam multivariat yang dikenal dengan Multivariate Analysis of Variance (MANOVA). MANOVA adalah teknik statistik yang dapat digunakan secara simultan untuk mengeksplor hubungan antara beberapa kategori variabel independen (biasanya berupa perlakuan) dan dua atau lebih variabel dependen.
MANOVA berguna ketika peneliti mendesain situasi eksperimental (manipulasi beberapa variabel perlakuan nonmetrik) hipotesis uji t mengenai varians pada respons kelompok dua atau lebih variabel dependen (Hair et al., 1995). Dalam MANOVA diuji apakah vektor rataan dua atau lebih grup sampel diambil dari sampel berdistribusi yang sama.
Pada beberapa bidang ilmu seperti ilmu hewan, hortikultura, uji klinis, ilmu kedokteran, psikologi, kesehatan, biologi, dan sosial diperlukan analisis mengenai masalah pembandingan pertumbuhan suatu subjek yang diamati ulang dalam runtun waktu tertentu untuk kasus lebih dari 2 grup atau perlakuan.
Masalah tersebut mempunyai kemiripan dengan masalah pada MANOVA, hanya saja variabel responnya ditetapkan sebagai pertumbuhan subjek runtun waktu tertentu atau yang biasa disebut kasus repeated measure. Repeated measure mengacu pada situasi di mana pengukuran beberapa variabel respon yang diperoleh, selama beberapa periode waktu, dari setiap unit eksperimental. Tujuan repeated measure adalah untuk memeriksa dan membandingkan trend respon dari waktu ke waktu. Hal ini dapat melibatkan perbandingan kelompok pada waktu tertentu, atau rata-rata dari waktu ke waktu. Hal ini juga melibatkan perbandingan beberapa kali dalam kelompok. Dalam repeated measure yang paling penting adalah pola hubungan antara respon pada subjek yang sama dari waktu ke waktu.
Biasanya, respon yang diambil dari waktu ke waktu, dalam waktu mingguan / bulanan. Misalnya, pembandingan pertumbuhan subjek pada waktu ke-1, waktu ke-2, dan waktu ke-3 dengan grup A untuk subjek sebanyak nA, B untuk subjek sebanyak nB, dan C untuk sebanyak nC.
Untuk menyelesaikan kasus tersebut, Potthoff dan Roy mengembangkan metode yang dikenal dengan nama model growth curve, yaitu sebuah model Generalized Multivariate Analysis of variance (GMANOVA) yang khusus digunakan untuk menganalisis masalah pertumbuhan pada runtun waktu yang pendek. Untuk kasus pertumbuhan subjek secara linear, digunakan model growth curve linear. Asumsi model growth curve sama dengan asumsi pada MANOVA.
Model growth curve dapat diestimasi menggunakan beberapa metode estimasi antara lain metode Generalized Least Square (GLS) dan metode Maximum Likelihood Estimate (MLE). Estimasi yang dihasilkan pada kedua metode tersebut akan menghasilkan bentuk yang berbeda. Namun, estimator yang dihasilkan pada metode maksimum likelihood sangat konsisten.
1.2. Tujuan Penulisan
Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk mencapai derajat sarjana S1 Program Studi Statistika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Tujuan penyusunan skripsi ini adalah :
1. Mempelajari model growth curve linear pada data runtun waktu.
2. Mempelajari cara mengestimasi model growth curve dengan metode maksimum likelihood.
3. Membandingkan parameter model growth curve.
4. Mengaplikasikan model growth curve linear pada suatu data.
1.3. Pembatasan Masalah
Pembahasan pada penelitian ini memerlukan pembatasan masalah yang jelas. Sehingga tidak menyimpang dari permasalahan yang ada dan terkonsentrasi menghasilkan kesimpulan yang diperoleh. Permasalahan yang dibahas terbatas pada penerapan pada data menggunakan estimasi maksimum likelihood dan membandingkan parameter pada model growth curve linear dengan menggunakan bantuan software SAS, selain itu digunakan software SPSS untuk uji asumsi model growth curve, dan software R untuk membuat plot data pertumbuhan.
1.4. Tinjauan Pustaka
Model Growth Curve Linear merupakan salah satu model GMANOVA yang digunakan untuk menganalisis masalah pertumbuhan pada runtun waktu yang pendek. Brigita Anastasia Sari (2011) dalam skripsinya yang berjudul Model Growth Curve Linear membahas model Growth Curve linear dan mengestimasi model growth curve dengan metode Generalized Least Square Estimation.
Diettrich von Rosen (1991) dalam papernya yang berjudul The Growth Curve Model : A Review memaparkan ulasan sejarah model growth curve. Model growth curve mulai dibahas dalam makalah Wishart (1938). Box (1950) melakukan penelitian tentang permasalahan dalam analisis growth curve dengan berbagai teknik. Kemudian Rao (1958) membahas makalah Box dan Wishart mengenai masalah pertumbuhan dan Rao (1959) memberikan penjelasan teoritis
korelasi variabel normal. Dilain hal, makalah Wishart dikembangkan oleh Leech dan Healy (1959) dengan menguji perbedaaan tingkat pertumbuhan linear dibawah perlakukan yang berbeda. Kemudian pendapat ini dikembangkan dalam makalah Rao (1961). Selanjutnya Potthoff dan Roy mengusulkan untuk menggunakan model GMANOVA untuk menganalisis metode pertumbuhan berulang.
Beberapa penelitian tentang model growth curve model dan aplikasinya yang dijadikan literature dalam skripsi ini adalah Jian-Xin Pan dan Kai-Tai Fang (2002). Dalam bukunya, Jian-Xin Pan dan Kai-Tai Fang memaparkan empat kategori untuk mengestimasi parameter model growth curve dengan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimate (MLE). Pertama, teknik ini ditunjukkan oleh Potthoff dan Roy (1964) dan Williams (1967) disebut dengan estimasi teknik dua tahap (two stage estimate technique), dimana estimasi GLS dari koefisien regresi dipengaruhi oleh bobot matriks, G , dengan G0. Bobot matriks G ditentukan oleh informasi masa lalu. Ketika informasi masa lalu tidak tersedia, estimasi umum dari bobot matriks G berbentuk S = Y I - A AA
N '
'
-1A Y ,
'yang mengarah pada perhitungan MLE dari koefisien regresi. Masalah dalam teknik estimasi 2 tahap adalah pemilihan bobot matriks. Pemilihan matriks G yang berubah-ubah dikritik oleh Rao (1965, 1966). Rao menyarankan untuk mereduksi model growth curve menjadi model Gauss-Markov dengan variabel concomitant. Analisis ini juga dibahas secara rinci oleh Calinski dan Caussinus (1989).
Pendekatan kedua untuk mendapatkan metode MLE, dengan metode Khatri (1966) yang bekerja secara langsung dengan fungsi likelihood dan menurunkan bentuk yang tepat dari MLE yang didapatkan dari pertolongan hasil model MANOVA. Ketika semua variabel concomitant digunakan pada metode yang diajukan oleh Rao (1965, 1966) akan identik dengan Khatri (1966). Fakta ini ditunjukkan oleh Grizzle dan Allen (1969) yang memberikan banyak komentar tentang metode Rao dan Khatri.
Metode yang ketiga untuk mendapatkan perhitungan MLE pada model growth curve adalah Gleser dan Olkin (1966, 1970). Selain bekerja dengan variabel asli, Gleser dan Olkin menggunakan reduksi kanonik untuk menghitung MLE. Pendekatan ini didasarkan dekomposisi nilai singular dan ketidaksamaan pokok pada fungsi likelihood (lihat juga Anderson dan Olkin (1970)).
Pendekatan keempat, untuk mencari MLE dari model growth curve dengan secara langsung memecahkan persamaan likelihood dengan bantuan teknik multivariat, yang disarankan oleh Elswick (1985) dan von Rosen (1989). von Rosen (1989) juga menunjukkan bahwa solusi persamaan likelihood diturunkan dari parameter model growth curve. Pendekatan yang lain yang berhubungan dengan keempat metode tersebut didiskusikan oleh Srivastava dan Khatri (1979) Elswick (1985), dan von Rosen (1989).
Dalam skripsi ini penulis menggunakan estimasi maksimum likelihood yang dipaparkan oleh Srivastava (1997) dan von Rosen (1989) dimana dipaparkan oleh Subir ghosh (1999) dalam bukunya yang berjudul Multivariate analysis, design of experiments, and survey sampling. Selain itu, juga dipaparkan uji ratio likelihood untuk model GMANOVA.
Berdasarkan tulisan-tulisan ilmiah yang dimuat di berbagai jurnal yang telah di publikasikan mengenai model growth curve linear memberikan inspirasi penulis untuk menyusunnya. Penulisan ini dimaksudkan untuk mengestimasi model growth curve menggunakan estimasi maksimum likelihood.
1.5. Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir yaitu studi literatur dengan sumber dari jurnal, buku pustaka, e-book, dan browse pada search engine di internet yang berhubungan dengan tema tugas akhir ini. Pada uji asumsi dari model growth curve, uji hipotesis, dan pembandingan parameter menggunakan referensi dari buku Univariate and multivariate general linear models: Theory and applications using SAS software oleh Tammy A. M dan Neil H. T.
1.6. Sistematika Penulisan
Tugas akhir ini akan disusun dengan sistematika penulisan sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini membahas latar belakang masalah, tujuan penulisan, pembatasan masalah, metode penulisan, tinjauan pustaka, dan sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Bab ini membahas teori-teori tentang estimasi maksimum likelihood dalam mengestimasi model growth curve yaitu aljabar matriks, kronecker product, variabel random, distribusi variabel random, estimasi parameter (ordinary least square), ANOVA, MANOVA, dan metode maksimum likelihood.
BAB III PEMBAHASAN
Bab ini membahas konsep model growth curve linear, uji asumsi, estimasi parameter dengan metode estimasi maksimum likelihood, uji hipotesis, dan pembandingan parameter growth curve linear.
BAB IV STUDI KASUS
Bab ini membahas aplikasi model Growth Curve linear pada data sekunder.
BAB V KESIMPULAN dan SARAN
Bab ini membahas kesimpulan-kesimpulan yang diperoleh dari hasil pembahasan dan saran atas kekurangan atau kelebihan dari hasil penelitian yang sebelumnya telah dilakukan.
