MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Peubah Acak dan Distribusi. K. Syuhada, Ph.D. Ruang Sampel. Peluang Atas Kejadian. Peubah Acak. Distribusi Peluang

(1)

MA4181 Pengantar Proses Stokastik Peubah Acak dan

Distribusi K. Syuhada, Ph.D. Ruang Sampel Peluang Atas Kejadian Peubah Acak

Peubah Acak Diskrit Peubah Acak Kontinu

Distribusi Peluang

Distribusi Diskrit Distribusi Kontinu

MA4181 Pengantar Proses Stokastik

(2)

Distribusi Peluang

Ruang Sampel dan Kejadian

I Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan

keluaran/hasil yang mungkin secara acak.

I _{Himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan ini}

disebut ruang sampel dan dinotasikan dengan S.

(3)

Distribusi Peluang

Latihan 1

Setiap pagi Swarna meninggalkan rumahnya untuk lari pagi. Dia pergi lewat pintu depan atau pintu belakang. Saat meninggalkan rumah, dia memakai sepatu olahraga atau bertelanjang kaki jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia lewati. Ketika pulang, dia akan masuk lewat pintu depan atau pintu belakang dan meletakkan sepatunya.

Jika Swarna mempunyai 4 pasang sepatu olahraga, tentukan ruang sampel dari “percobaan” di atas.

(4)

Distribusi Peluang

Latihan 2

Ibu Kaprodi mengundang para dosen yang mempunyai

setidaknya satu anak laki-laki ke acara syukuran. Salah seorang dosen yang hadir adalah Pak Jaim yang mempunyai dua anak. Apa ruang sampel dari “percobaan” tersebut?

(5)

Distribusi Peluang

Peluang Kejadian

I Misalkan suatu percobaan mempunyai ruang sampel S dan

misalkan A adalah suatu kejadian atau A ⊆ S.

I Misalkan percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang

sebanyak n kali.

I Jika n(A) adalah banyaknya kejadian A yang terjadi, maka

rasio n(A)/n disebut frekuensi relatif dari kejadian A.

I Seiring n bertambah besar, frekuensi relatif n(A)/n akan

konvergen ke suatu nilai P(A), atau P(A) = lim

n→∞

n(A)

(6)

Distribusi Peluang

I Nilai P(A) didefinisikan sebagai peluang kejadian A.

I Artinya, peluang kejadian A adalah limit dari frekuensi

relatif dari kejadian A, atau proporsi jangka panjang dari banyaknya kejadian A yang terjadi.

(7)

Distribusi Peluang

Aksioma Peluang

Peluang adalah suatu fungsi bernilai riil P yang didefinisikan atas kejadian-kejadian dari S dan memenuhi tiga aksioma berikut:

1. untuk sebarang kejadian A dari S berlaku 0 ≤ P(A) ≤ 1

2. P(S) = 1

3. untuk sebarang kejadian-kejadian A1, A2, ... dari S yang

saling asing berlaku

P [∞ i=1 Ai = ∞ X i=1 P(Ai).

(8)

Distribusi Peluang Distribusi Diskrit Distribusi Kontinu

Sifat-Sifat Peluang

1. P(Ac_{) = 1 − P(A).} 2. P({}) = 0.

3. Jika A ⊆ B, maka P(A) ≤ P(B).

4. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

5. Jika kejadian A dan B saling asing, maka P(A ∩ B) = 0.

(9)

Distribusi Peluang

Jika S berhingga, maka

P(A) = |A|

|S|

dengan |A| dan |S| berturut-turut menyatakan banyaknya titik di kejadian A dan ruang sampel S.

(10)

Distribusi Peluang

Latihan 1

Di antara para mahasiswa yang mengalami masalah akademis, 22%-nya mendatangi dosen dan asisten dosen, sedangkan 12%-nya tidak mendatangi keduanya. Peluang seorang mahasiswa mendatangi dosen 0.14 lebih banyak dari peluang mahasiswa mendatangi asisten dosen.

Hitung peluang seorang mahasiswa yang terpilih acak mendatangi asisten dosen.

(11)

Distribusi Peluang

Latihan 2

Mau belajar dan sukses ke ITB? Ikuti 3 tips berikut. Pertama, (I)ngat ya, ke ITB itu untuk belajar, bukan belanja. Kedua, (T)ekun belajar, tetapi boleh, lah, tetap santai. Ketiga, (B)ersabar, di Bandung banyak “godaan” dan “tekanan”, lho. Katanya sih, I dan T saling bebas, begitu juga I dan B. Oh ya,

peluang seseorang melakukan (i) I adalah 1₂, (ii) I atau T adalah

2

3, (iii) I atau B adalah

3

4, (iv) T dan B adalah

1 8.

(12)

Distribusi Peluang

Ilustrasi

Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?

(13)

Distribusi Peluang

I Apa yang dapat Anda katakan tentang soal peluang pada

ilustrasi di atas?

I Mungkinkah kita mendefinisikan suatu ruang sampel dan

kejadian?

I Perlukah cara lain untuk memahami peluang suatu

(14)

Distribusi Peluang

Peubah Acak

Peubah acak X adalah fungsi yang memetakan tepat satu anggota s ∈ S ke tepat satu bilangan riil x ∈ R, atau

X: S → R

s7→ x = X(s).

Catatan:

Bilangan x disebut nilai yang mungkin dari peubah acak X atau realisasi dari X.

(15)

Peubah Acak Diskrit

Peubah Acak Kontinu

Distribusi Peluang

Peubah Acak Diskrit

Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat suatu himpunan

bilangan-bilangan riil {ai : i = 1, 2, ...} yang terhitung

sehingga P ∞ [ i=1 {X = ai} ! = ∞ X i=1 P(X = ai) = 1. Catatan:

(16)

Peubah Acak Diskrit

Peubah Acak Kontinu

Distribusi Peluang

Jika diberikan himpunan terhitung {ai: i = 1, 2, ...} dan

himpunan bilangan-bilangan riil positif {pi : i = 1, 2, ...}

sehinggaP

i pi = 1, maka fungsi fX : R → R dengan

fX(ai) = P(X = ai) = pi

disebut fungsi peluang (diskrit) dari X. Catatan:

Nilai fungsi peluang diskrit fX di setiap titik x menyatakan

peluang bahwa peubah acak X bernilai x, atau peluang dari

(17)

Peubah Acak Diskrit

Peubah Acak Kontinu

Distribusi Peluang Distribusi Diskrit Distribusi Kontinu Fungsi FX : R → R dengan FX(x) = P(X ≤ x) = X t≤x fX(t)

disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X. Sifat-sifat fungsi distribusi:

1. 0 ≤ FX(x) ≤ 1

2. FX fungsi tidak turun

3. FX fungsi kontinu kanan

4. lim

(18)

Peubah Acak Diskrit

Peubah Acak Kontinu

Distribusi Peluang Distribusi Diskrit Distribusi Kontinu Catatan: I P(a < X ≤ b) = FX(b) − FX(a) I P(X ≤ b) 6= P(X < b) I P(X < b) = P lim n→∞ X ≤ b −1 n = lim n→∞P X≤ b − 1 n = lim n→∞FX b−1 n

(19)

Peubah Acak Diskrit

Peubah Acak Kontinu

Distribusi Peluang

Latihan 1

Lisa melantunkan sebuah koin sebanyak dua kali. Pelantunan pertama dan kedua saling bebas.

Tentukan ruang sampelnya dan definisikan peubah acak yang menyatakan banyaknya muncul sisi muka. Tentukan pula fungsi peluang dan fungsi distribusi dari peubah acak tersebut.

(20)

Peubah Acak Diskrit

Peubah Acak Kontinu

Distribusi Peluang

Latihan 2

Enam laki-laki dan 5 perempuan melamar suatu pekerjaan di PT KhrshFin. Empat dari mereka terpilih secara acak untuk diwawancarai. Misalkan X menyatakan banyaknya perempuan yang terpilih.

Tentukan fungsi peluang dari X. Hitung peluang bahwa banyaknya perempuan yang terpilih tidak lebih dari 2.

(21)

Peubah Acak Diskrit

Peubah Acak Kontinu

Distribusi Peluang

Peubah Acak Kontinu

I Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan fungsi

distribusi FXyang terturunkan.

I Fungsi peluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi FX,

yaitu

fX(x) =

dFX(x)

dx ,

atau dengan kata lain

FX(x) =

Z x

−∞

fX(t) dt.

(22)

Peubah Acak Diskrit

Peubah Acak Kontinu

Distribusi Peluang

Catatan 1:

Nilai fungsi peluang kontinu fX di setiap titik x tidak

menyatakan peluang bahwa peubah acak X bernilai x, atau

fX(x) 6= P(X = x). Artinya, tidak harus berlaku fX(x) ≤ 1,

asalkan _Z _∞

−∞

(23)

Peubah Acak Diskrit

Peubah Acak Kontinu

Distribusi Peluang Distribusi Diskrit Distribusi Kontinu Catatan 2: I 1 = FX(∞) = Z ∞ −∞ fX(t) dt I P(a ≤ X ≤ b) = FX(b) − FX(a) = Z b a fX(x) dt I P(X = a) = Z a a fX(x) dx = 0

(24)

Peubah Acak Diskrit

Peubah Acak Kontinu

Distribusi Peluang

Latihan

Misalkan peubah acak X mempunyai fungsi distribusi

FX(x) =                0, x< 0, 1 3+ x 5, 0 ≤ x < 1, 3 5, 1 ≤ x < 2, 9 10, 2 ≤ x < 3, 1, x≥ 3.

(25)

Distribusi Peluang

Ilustrasi 1

Untuk menghadapi gempa yang sering terjadi, sebuah perusahaan asuransi menentukan “premi atas gempa” dengan menggunakan asumsi-asumsi berikut: (i) setiap bulan paling banyak terjadi satu kali gempa, (ii) peluang terjadi gempa adalah 0.05, (iii) banyaknya gempa di suatu bulan saling bebas dengan banyaknya gempa di bulan yang lain.

(26)

Distribusi Peluang

Ilustrasi 2

Ini kisah masa lalu Lisa yang sempat diceritakan sesaat sebelum Lisa menikah. Katanya, “Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu, Ibu menikah lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku menikah lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku”. Pertanyaan yang mungkin adalah ....

(27)

Distribusi Peluang

Distribusi Diskrit

Distribusi Kontinu

Distribusi Bernoulli

I Misalkan suatu percobaan (Bernoulli) mempunyai ruang

sampel S = {sukses, gagal} dengan P({sukses}) = p, 0 ≤ p ≤ 1.

I Didefinisikan X(sukses) = 1 dan X(gagal) = 0, maka

fX(1) = P(X = 1) = p

fX(0) = P(X = 0) = 1 − p

atau

fX(x) = px(1 − p)1−x, x= 0, 1,

maka X dikatakan sebagai peubah acak Bernoulli dengan parameter p, atau ditulis X ∼ Bern(p).

(28)

Distribusi Peluang

Distribusi Diskrit

Distribusi Kontinu

Distribusi Binomial

I Misalkan percobaan Bernoulli dilakukan berulang-ulang

sebanyak n kali secara saling bebas.

I Jika X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh,

maka fX(x) = n p px(1 − p)n−x, x= 0, 1, 2, ..., n,

dan X dikatakan sebagai peubah acak binomial dengan parameter (n, p), atau ditulis X ∼ Bin(n, p).

(29)

Distribusi Peluang

Distribusi Diskrit

Distribusi Kontinu

Distribusi Geometrik

I _{Misalkan percobaan Bernoulli dilakukan berulang-ulang}

secara saling bebas hingga diperoleh sukses yang pertama.

I Jika X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan

untuk mendapatkan sukses pertama tersebut, maka

fX(x) = (1 − p)x−1p, x= 1, 2, 3, ....,

dan X dikatakan sebagai peubah acak geometrik dengan parameter p, atau ditulis X ∼ Geo(p).

(30)

Distribusi Peluang

Distribusi Diskrit

Distribusi Kontinu

Distribusi Poisson

Misalkan peubah acak X mempunyai fungsi peluang

fX(x) = e−λ

λx

x!, x= 0, 1, 2, ...,

dengan λ > 0, maka X dikatakan sebagai peubah acak Poisson dengan parameter λ, atau ditulis X ∼ Poi(λ).

(31)

Distribusi Peluang

Distribusi Diskrit

Distribusi Kontinu

Distribusi Seragam

Misalkan X adalah peubah acak kontinu yang mempunyai fungsi peluang

fX(x) =

1

b− a, a< x < b,

dengan a < b, maka X dikatakan sebagai peubah acak seragam (uniform) pada selang (a, b), atau ditulis X ∼ U(a, b).

(32)

Distribusi Peluang

Distribusi Diskrit

Distribusi Kontinu

Distribusi Eksponensial

Misalkan peubah acak kontinu X mempunyai fungsi peluang

fX(x) = λ e−λx, x> 0,

dengan λ > 0, maka X dikatakan sebagai peubah acak eksponensial dengan parameter λ, atau ditulis X ∼ Eksp(λ).

(33)

Distribusi Peluang

Distribusi Diskrit

Distribusi Kontinu

Distribusi Normal

Misalkan peubah acak kontinu X mempunyai fungsi peluang

fX(x) = 1 √ 2πσ2exp −(x − µ) 2 2σ2 , −∞ < x < ∞,

dengan −∞ < µ < ∞ dan σ2> 0, maka X dikatakan sebagai

peubah acak normal dengan parameter (µ, σ2), atau ditulis