PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN TERAPANNYA I (SEMNAS MANTAP I)

PROSIDING

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA

DAN TERAPANNYA I

(SEMNAS MANTAP I)

Membangun SDM yang Berjiwa Technopreneur

dengan Pendidikan dan Aplikasi Matematika

Peyunting Ahli:

Dewi Sri Susanti, M.Si.

Drs. Faisal, M.Si.

Aprida Siska Lestia, M.Si.

Program Studi Matematika FMIPA

Universitas Lambung Mangkurat (ULM)

PROSIDING SEMINAR NASIONAL

MATEMATIKA DAN TERAPANNYA I

(SEMNAS MANTAP I)

Banjarbaru, 22 April 2017

Membangun SDM yang Berjiwa Technopreneur

dengan Pendidikan dan Aplikasi Matematika

X , 177 halaman, 29,7 cm

Hak Cipta Dilindungi Undang-undang

Copyright @ 2017

ISBN:

9786026159700

Peyunting Ahli:

Dewi Sri Susanti, M.Si.

Drs. Faisal, M.Si.

Aprida Siska Lestia, M.Si.

Desain Layout dan Sampul:

Oni Soesanto, M.Si.

Diterbitkan oleh:

Program Studi Matematatika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lambung Mangkurat

Alamat Penerbit:

Jalan Jend. A. Yani Km. 35,800 Banjarbaru 70714

Telp. Fakultas (0511) 4773112, Telp. PS Mat (0511) 4774167

Email:

semnasmantap@gmail.com

KATA PENGANTAR

Puji syukur dipanjatkan ke hadlirat Allah Tuhan Yang Maha Esa atas segala

rahmat dan hidayah yang telah diberikan kepada kita semua, sehingga buku Prosiding

Seminar Nasional hasil penelitian yang telah diseminarkan pada tanggal 22 April di

PS Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dapat terwujud.

Buku prosiding tersebut memuat sejumlah artikel hasil penelitian yang telah

dilakukan oleh Bapak/Ibu dosen ULM dan perguruan tinggi lain, serta mahasiswa

yang dikumpulkan dan ditata oleh tim dalam kepanitiaan seminar nasional. Oleh

karena itu, dalam kesempatan ini perkenankan kami mengucapkan terima kasih

kepada:

1. Rektor ULM, Bapak Prof. Dr. Sutarto Hadi, M.Si., M.Sc.

2. Dekan FMIPA ULM, Bapak Heri Budi Santoso, M.Si.

3. Ketua Program Studi Matematika FMIPA ULM, Ibu Dewi Sri Susanti, M.Si.

4. Bapak/Ibu segenap panitia seminar nasional yang telah meluangkan waktu, tenaga,

dan pemikirannya demi suksesnya kegiatan ini.

5. Bapak/Ibu dosen dan mahasiswa penyumbang artikel hasil penelitian dalam

kegiatan ini.

Semoga buku prosiding ini dapat memberi manfaatan bagi kita semua,

khususnya untuk kepentingan pengembangan ilmu pengetahuan di bidang

Matematika. Di samping itu, diharapkan juga dapat menjadi referensi bagi upaya

pembangunan bangsa dan negara. Terakhir, tiada gading yang tak retak. Mohon maaf

jika ada hal-hal yang kurang berkenan. Saran dan kritik yang membangun tetap kami

tunggu demi kesempurnaan buku prosiding ini.

Banjarbaru, Mei 2017

Ketua Penerbit,

Yuni Yulida, S.Si., M.Sc.

NIP. 198110102005012004

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL...

i

PENERBIT...

ii

KATA PENGANTAR...

iii

DAFTAR ISI...

iv

MAKALAH UTAMA:

MATEMATIKA HUMANISTIK-REALISTIK

Prof. Dr. Sutarto Hadi, M.Si., M.Sc...

2

KONTRIBUSI PEMODELAN MATEMATIKA DALAM

MENENTUKAN PENGELOMPOKAN SIFAT KIMIAWI BIJI COKLAT

Dr. Agus Yodi Gunawan...

6

MAKALAH PENDAMPING:

EVALUASI BAGAN KENDALI

𝐹𝐹�

_𝑚𝑚

UNTUK PROSES SHORT-RUN

BERDASARKAN NILAI ARL

Darmanto...

14

DIMENSI WAKTU DALAM PENANGGALAN PRASASTI

Agung Prabowo, Agus Sugandha dan Agustini Tripena Br. Sb...

21

PERHITUNGAN GALAT DERET COSINUS DENGAN KOEFISIEN

DARI KLAS BARISAN BERVARIASI TERBATAS SUPREMUM

Moch. Aruman Imron...

25

PERAMALAN JUMLAH PENDERITA HIV/AIDS DI KABUPATEN

BANYUMAS DENGAN METODE WINTER ADITIF

Agung Prabowo dan Nugroho Sapto Yudanto Yudasubrata...

30

BIFURKASI PADA MODEL LOGISTIK DENGAN FAKTOR

PEMANENAN KONSTAN

Firman Nurrobi, Yuni Yulida, Faisal...

36

MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG

TERINFEKSI

Yeni Rahkmawati, Yuni Yulida, Faisal...

42

PEMODELAN DAN ANALISIS SENSITIVITAS PENGARUH

PENGGUNAAN KONDOM DAN TERAPI ANTIRETROVIRAL

PADA MODEL PENYEBARAN HIV/AIDS

Marsudi...

49

ANALISIS KEPUTUSAN UNTUK PERKEMBANGAN WISATA

MENGGUNAKAN METODE DEMATEL DAN ANP(Studi Kasus: Desa

Adat Kemiren Banyuwangi)

Sobri Abusini, Echa Ayu Fatmawati...

56

KONSTRUKSI KODE HAMMING-[7,4,3] DARI FINITE PROJECTIVE

PLANE ORDER 2

Vira Hari Krisnawati...

61

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA QUASI

LINIER MENGGUNAKAN METODE KRYLOFF DAN

BOGOLIUBOFF

Shely Adlini, Yuni Yulida, Faisal...

68

IMPLEMENTASI FUZZY ANALYTICAL NETWORK PROCCES

(FANP) PADA ANALISA SWOT STRATEGI PROMOSI

Eni Puji Lestari, Oni Soesanto, Radityo Adi Nugroho...

74

KENDALI OPTIMAL PADA INVENTORI DENGAN MODEL

PRODUKSI STOKASTIK

Pardi Affandi, Faisal, Nur Salam...

85

PENDEKATAN DISTRIBUSI PREDICTIVE POSTERIOR BAYESIAN

PADA MODEL CURAH HUJAN

Suci Astutik, Umu Sa’adah, Supriatna A., Rauzan Sumara ...

91

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA

DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD

Elya Priska, Dewi Sri Susanti, Yuni Yulida...

95

HUBUNGAN PSEUDOPRIMA EULER DENGAN PSEUDOPRIMA

DAN PSEUDOPRIMA STRONG

Hariyadi, Thresye, Akhmad Yusuf...

100

ANALISIS REGRESI POISSON TERBOBOTI SECARA GEOGRAFIS

(RPTG)

Indah Setiawati, Dewi Sri Susanti, Nur Salam...

108

PEMISAHAN SINYAL DARI NOISE MENGGUNAKAN METODE

INDEPENDENT COMPONENT ANALYSIS (ICA)

Riondi Anda Jaya Ginting, Oni Soesanto, Thresye...

123

KARAKTERISTIK IDEAL Q-FUZZY 3-PRIME PADA NEARRING

Noor Hidayat ...

128

PENGARUH MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE

STUDENT FACILITATOR AND EXPLAINING TERHADAP

PENINGKATAN KEPERCAYAAN DIRI SISWA

Ibnu Rizki Wardhana, Moch. Lutfianto...

133

EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK

PEMETAAN PADA RUANG METRIK-G TERURUT PARSIAL

KOMPLET

Nurul Huda...

138

PENGARUH MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE THINK

PAIR AND SHARE TERHADAP NILAI AFEKTIF

Mohammad Sholeh, Anisa Fatwa Sari...

146

PEMETAAN JORDAN PADA ALJABAR SEGITIGA

Siti Dwirinty Hardyanti, Nurul Huda, Thresye ...

153

UJI WELCH PADA DATA HETEROSKEDASTISITAS

Risdawati, Nur Salam, Dewi Sri Susanti...

159

PERAMALAN DATA PENUMPANG BANDAR UDARA

DJALALUDDIN GORONTALO DENGAN METODE HOLT-WINTER

EXPONENTIAL SMOOTHING MULTIPLIKATIF

Ismail Djakaria ...

165

PENJADWALAN PERKULIAHAN MENGGUNAKAN

ALGORITMA GENETIKA

PriscilyaArianing Tyas, Akhmad Yusuf, Pardi Affandi...

169

PANITIA SEMINAR...

177

MAKALAH UTAMA

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN TERAPANNYA I

(SEMNAS MANTAP I) 2017

MATEMATIKA REALISTIK-HUMANISTIK

Sutarto Hadi

Rektor Universitas Lambung Mangkurat

Gagasan matematika realistik-humanisTIK nampaknya dianggap sebagai resep untuk menciptakan pembelajaran matematika yang ramah bagi (maha)siswa. Menggabungkan istilah realistik dan istilah humanistik, seperti ingin membuat hubungan sebab akibat. Karena dalam teori pendidikan matematika hanya ada empat: mekanistik, empiristik, strukturalistik, dan realistik (Treffers, 1991). Pembedaan itu berdasarkan ada atau tidak adanya matematisasi vertikal dan horisontal. Istilah matematika realistik-humanis, seperti ingin menegaskan bahwa matematika realistik adalah humanis, dan kalau ingin humanis maka harus realistik. Karena matematika realistik lah yang sesuai dengan kodrat siswa sebagai manusia. Maka di sini tidak ada opsi matematika mekanistik-humanis, karena robot tetap lah robot (mesin), dan bukan manusia. Demikian pula, tidak ada matematika empiristik-humanis karena hanya bergerak pada tataran informal sehingga tidak akan mencapai sistem matematika formal. Tidak ada matematika strukturalistik-humanis, karena mengingkari peran matematika itu sendiri sebagai alat bantu memecahkan berbagai persoalan kehidupan manusia.

1.

PENDAHULUAN

Apa yang saya uraikan di sini ranahnya adalah pendidikan atau pembelajaran matematika. Saya tidak berbicara tentang matematika sebagai suatu cabang ilmu yang berkaitan dengan besaran (kuantitas), ruang dan bentuk, serta perubahan. Saya ingin berbagi tentang apa itu matematika, bagaimana siswa belajar dan bagaimana membelajarkannya. Dalam kaitan ini, matematika sering dianggap sebagai mata ajar yang sulit. Sebagian maha(siswa) mengalami ketakutan (phobia) terhadap matematika. Ketakutan terhadap matematika dapat menghalangi seseorang mengembangkan kemampuan kognitifnya ke level yang lebih tinggi. Secara umum orang beranggapan bangsa yang besar adalah bengsa yang memiliki sumber daya manusia yang unggul, khususnya dalam bidang sains dan teknologi. Bukan yang unggul dalam ketersedian sumber daya alam. Matematika menjadi prasyarat penguasaan sains dan teknologi. Sehingga perlu dicari cara untuk mengembangkan kompetensi matematik bagi setiap anak bangsa agar kelak mereka unggul. Lalu, munculah gasasan pendidikan matematika yang ramah bagi siswa, untuk mengurangi absenteism (kemangkiran) dalam pelajaran matematika.

Kemangkiran dalam pelajaran matematika tidak selalu harus ditandai dengan ketidakhadiran di kelas. Siswa yang duduk di kelas tapi tidak fokus terhadap pelajaran yang diikutinya bisa dianggap sebagai kemangkiran. Demikian pula ketiadaan peningkatan dalam penguasaan konsep padahal sudah belajar beberapa bulan hingga beberapa semester, dapat dianggap sebagai absenteism. Kasus seperti ini nyata adanya apabila kita melihat rendahnya capaian belajar matematika siswa, baik dalam ujian sekolah, ujian nasional, maupun dalam studi komparatif internasional yang diikuti oleh siswa kita.

Prestasi siswa kelas 2 SMP (usia 15 tahun) Indonesia dalam mata ajar matematika pada studi PISA (Programme for International Students Assessment) dari tahun ke tahun selalu pada peringkat bawah. Tahun 2009 kita berada pada peringkat 38 dari 41 negara. Sementara pada PISA 2012 berada di peringkat 64 dari 65 negara, dan pada PISA 2015 berada di peringkat 63 dari 70 negara.

2.

PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK

Gagasan matematika realistik-humanistik nampaknya dianggap sebagai resep untuk menciptakan pembelajaran matematika yang ramah bagi siswa. Menggabungkan istilah realistik dan istilah humanistik, seperti ingin membuat hubungan sebab akibat. Karena dalam teori pendidikan matematika hanya ada empat: mekanistik, empiristik, strukturalistik, dan realistik (Treffers, 1991). Pembedaan itu berdasarkan ada atau tidak adanya matematisasi vertikal dan horisontal (Gambar 1). Istilah matematika realistik-humanistik, seperti ingin menegaskan bahwa matematika realistik adalah humanis, dan kalau ingin humanis maka harus realistik.

Karena matematika realistik lah yang sesuai dengan kodrat siswa sebagai manusia. Maka di sini tidak ada opsi matematika mekanistik-humanis, karena robot tetap lah robot (mesin), dan bukan manusia. Demikian pula, tidak ada matematika empiristik-humanistik karena hanya bergerak pada tataran informal sehingga tidak akan mencapai sistem matematika formal. Tidak ada matematika strukturalistik-humanistik, karena mengingkari peran matematika itu sendiri sebagai alat bantu memecahkan berbagai persoalan kehidupan manusia. Pendidikan matematika realistik-humanistik menonjolkan peran guru sebagai fasilitator sebagaimana diilustrasikan oleh Hadi (2004) sebagai kerangka didaktik PMR.

Gambar 2 Kerangka Didaktik PMR

Pendekatan matematika realistik cenderung ramah kepada siswa. Menurut filsafat konstraktivisitik yang mendasari pendidikan matematika realistik, pemahaman matematika dibangun oleh siswa sendiri dan dimulai dengan pengetahuan awal yang dimiliki siswa. Pengetahuan awal ini menjadi titik berangkat dalam perjalanan membangun pengetahuan. Pengetahuan awal

tersebut dimanifestasikan melalui dunia nyata yang dikenal oleh siswa. Dalam pembelajaran matematika dunia nyata ini dikonstruksi menjadi soal-soal kontekstual untuk memicu terjadinya proses

matematisasi, dengan asumsi bahwa pengetahuan merupakan proses transformasi yang secara terus menerus dibentuk dan dibentuk kembali, dan dunia nyata siswa disesuaikan terus menerus (de Lange, 1996).

3. ILUSTRASI PEMBELAJARAN

Pertanyaan sekarang, bagaimana implementasi pendidikan matematika realistik di sekolah? Berikut ilustrasi pembelajaran di sekolah. (lihat Hadi, 2017, hal. 237-239).

Pembelajaran topik pecahan di sekolah dasar. Guru membuka pelajaran dengan hal-hal sederhana dan sudah dikenal oleh siswa. Ini menjadi daya tarik tersendiri, dan persepsi dan sikap negatif siswa terhadap matematika dapat diminimalkan sejak awal. Guru membimbing siswa melakukan aktivitas membagi roti. Siswa-siswa dibagi menjadi 7 kelompok. Jumlah anggota masing-masing

kelompok berbeda. Demikan pula roti yang dibagikan kepada masing-masing kelompok berbeda banyaknya, dengan maksud agar bagian roti yang didapatkan masing-masing siswa (di setiap kelompok) berbeda tergantung dari banyak anggota dan banyak roti yang dibagi. Dalam hal ini siswa melakukan kegiatan enaktif, yaitu siswa mencoba menemukan pemecahan masalah konstektual yang melibatkan benda konkret disertai indakan fisik. Perencanaan untuk memotong roti untuk dibagi secara adil dilakukan siswa mulai dari mengukur sisi roti dengan penggaris atau pun hanya dengan memperkirakan garis potongnya saja.

Para siswa sibuk mencoba menemukan jawaban sendiri. Strategi pembagian roti kebanyakan dilakukan siswa dengan memotong secara vertikal dan horisontal secara berulang-ulang untuk mendapatkan pembagian yang lebih kecil. Terdapat perbedaan bagian roti yang diperoleh setiap siswa di masing-masing kelompok sesuai dengan banyakna roti dan banyaknya anggota kelompok. Ada yang membagi 1 roti menjadi 2 bagian, karena anggota kelompoknya terdiri dari 2 orang. Ada yang membagi 1 roti menjadi 3 bagian, karena anggota kelompoknya terdiri dari 3 orang. Ada yang membagi 1 roti menjadi 4 bagian, karena anggota kelompoknya terdiri dari 4 orang. Ada yang membagi 1 roti menjadi 6 bagian, karena anggota kelompoknya terdiri dari 6 orang. Sisa kelompok yang lain membagi 2 roti menjadi 3, 4 dan 6 bagian, karena anggota kelompoknya masing-masing terdiri dari 3, 4 dan orang.

Aktivitas ini dapat dilakukan siswa dengan baik walaupun guru hanya memberikan sedikit bimbingan. Siswa dengan cermat telah membagi roti yang telah dibagikan sesuai banyaknya anggota kelompok dan dapat menentukan dengan mudah bagian yang didapat setiap orang. Dengan demikian siswa telah bisa memahami konsep pecahan melalui aktvitas nyata dengan memandang bagian dari obyek secara langsung.

“Tadi kalian berempat mendapat satu roti, yang harus dibagi secara adil. Satu roti dipotong menjadi empat bagian.” Guru lalu menunjukkan bagian-bagian yang telah terbagi tadi. “Sehingga semuanya terdiri dari berapa bagian?”, tanya guru. “Empat”, jawab siswa. Selanjutnya guru bertanya, “Satu bagian ini berapa banyaknya?” “Satu per empat” jawab siswa.

Begitulah cara membangun makna dan merumuskan apa yang dipelajari dan menemukan kembali pemecahan masalah oleh siswa sebagian bagian dari proses penemuan kembali (reinvention) secara terbimbing. Siswa dilibatkan secara langsung untuk mengikuti step by step proses pembentukan pengetahuan formal. Dari konsep dasar inilah siswa akan diarahkan untuk mengembangkan konsep yang lebih formal.

Gambar 3 Membagi roti untuk memahami pecahan

Konteks membagi roti kemudian disajikan dalam bentuk model roti berupa kertas warna berbentuk persegi. Selain itu, juga digunakan kertas warna berbentuk persegi panjang sebagai model dari kue bika ambon. Melalui konteks membagi roti dan bika ambon, siswa belajar bagaimana membagi secara adil dan menentukan berapa bagian yang didapatkan oleh masing-masing orang.

Siswa dilibatkan kembali untuk menerapkan pemahaman konsep terdahulu melalui kegiatan ikonok ini. Siswa terlibat dan aktivitas fisik dan psikis dalam rangkaian kegiatan memotong dan menempel model roti berupa kertas berwarna sebagai permasalahan kontekstual untuk dipecahkan sesuai perintah yang ada pada Lembar Kerja Siswa (LKS).

Semua siswa sibuk berdiskusi dan merencanakan pembagian model tersebut. Siswa membuat sketsa terlebih dahulu menggunakan penggaris sebelum memotongnya. Selanjutnya siswa mulai mengukur besarnya roti ataupun bika ambon dan membaginya beberapa bagian sesuai dengan jumlah yang diinginkan dengan menggunakan pensil pada kertas tersebut.

Pada kegiatan ini siswa telah mampu menerjemahkan konsep yang dipahami sebelumnya tentang pembagian benda utuh menjadi beberapa bagian, dan siswa mengetahui hubungan antara bagian dan keseluruhan (part and whole relation). Kemudian, setiap kelompok menampilkan hasil diskusi kelompoknya di depan kelas. Mereka menunjukkan hasil pekerjaan mereka tentang bagaimana mendapatkan pecahan ½, ¼, ¾, dan pecahan-pecahan lainnya (Gambar 3).

4. PENUTUP

Pendidikan matematika realistik sudah cukup dikenal di Indonesia dan diterapkan di sekolah-sekolah dasar di beberapa daerah di Indonesia. Implementasinya berhasil berkat kerja sama antara ahli PMR Indonesia dan Belanda yang dimulai sejak Juli 2001 melalui tahap uji coba awal. Tahap uji coba penuh dimulai di kelas 1 SD sejak tahun ajaran 2002/2003 di tiga kota Yogyakarta, Bandung dan Surabaya (Hadi, 2017). Setelah melalui tahap uji coba, implementasi PMR menyebar ke kota-kota lain di Indonesia, termasuk Banjarmasin. Penelitian yang dilaksanakan Hadi, dkk (2009; 2010) menunjukkan guru yang dilatih menggunakan PMR berhasil menerapkan pendekatan ini di SD, yaitu mereka dapat memanfaatkan konteks untuk membuat soal-soal matematika untuk keperluan pembelajaran, cara mengajar mereka lebih variatif, dan secara tidak langsung bisa meningkatkan nilai Ujian Akhir Sekolah Berstandar Nasional (UASBN).

REFERENSI

De Lange, J. (1996). “Using and applying mathematics in education.” Dalam A.J. Bishop, dkk. (Eds.), International Handbook of Mathematics Education. Kluwer, 49 -97.

Gravemeijer, K. (1994). Developing realistic mathematics education. Utrecht: Freudenthal Institute.

Hadi, S. (2004). Pengembangan Materi Pembelajaran Matematika Realistik untuk Mendukung Penerapan Kurikulum Berbasis Kompetensi. Laporan Penelitian Hibah Bersaing.

Hadi, S., Sumartono, Danaryanti, A., Arifin, B., (2009). Kemampuan Guru dalam Menerapkan PMRI di Sekolah Dasar. (Laporan Penelitian Hibah Kompetitif Penelitian Sesuai Prioritas Nasional Batch II Tahun 2009). Banjarmasin: Universitas Lambung Mangkurat.

Hadi, S., Danaryanti, A., Ansori, H., Arifin, B. (2010). Perbandingan Literasi Matematika Siswa Sekolah Dasar yang Diajar dengan PMRI dan Diajar dengan Cara Konvensional. Laporan Penelitian. Banjarmasin: Universitas Lambung Mangkurat.

Hadi, S. (2017). Pendidikan Matematika Realistik: Teori, Pengembangan dan Implementasinya. Jakarta: Rajawali Pres.

Treffers, A. (1991). “Didactical background of a mathematics program for primary education.” Dalam L. Streefland (Ed.), Realistic mathematics education in primary school. Utrecht: CD-B Press, 21-56.

MAKALAH PENDAMPING

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN TERAPANNYA I

(SEMNAS MANTAP I) 2017

EVALUASI BAGAN KENDALI

𝑭𝑭�

_𝒎𝒎

UNTUK

PROSES SHORT-RUN BERDASARKAN NILAI ARL

Darmanto

Program Studi Statistika, Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Brawijaya darman_stat@ub.ac.id atau darmanto.nina@gmail.com

Abstrak

Proses produksi manufaktur yang tren saat ini adalah short-run. Proses short-run bersifat job shop (spesifikasi berbeda tiap proses) dan just in-time (jumlah produk sesuai pesanan). Hal tersebut menyebabkan parameter proses tidak diketahui karena tidak tersedianya data dan umumnya jumlah produk sedikit. Bagan kendali 𝐹𝐹�_𝑚𝑚 adalah salah satu bagan kendali yang dirancang untuk proses short-run. Cara kerja bagan kendali 𝐹𝐹�_𝑚𝑚 mengikuti konsep succesive difference dan di bawah asumsi distribusi Normal multivariat. Tingkat sensitifitas suatu bagan kendali dievaluasi berdasarkan nilai average run length (ARL). Semakin kecil nilai ARL, maka semakin tinggi tingkat sensitifitas bagan kendali dan sebaliknya. ARL adalah rata-rata banyaknya data produksi yang diplotkan pada bagan kendali hingga satu titik keluar dari batas kendali. Disebut ARL₀ jika nilai ARL diperoleh dari proses terkendali (in-control) dan ARL₁ jika diperoleh dari proses tidak terkendali (out of-control). Pada penelitian ini, nilai ARL dihitung berdasar simulasi pergeseran terhadap vektor rata-rata dengan mencatat titik ke-m pertama yang keluar dari batas kendali. Simulasi pergeseran vektor rata-rata dari target (𝛍𝛍₀) dilakukan secara serempak dengan sifat pergeseran prositif (𝛍𝛍_𝑠𝑠= 𝛍𝛍₀+ 𝛿𝛿, 𝛿𝛿 = 0; 0,5; ⋯ 3; 4; 5). Variasi ukuran data dan banyak variabel pada penelitian ini berturut-turut adalah 𝑚𝑚 = 20, 50 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝 = 2, 4, 8. Tiap skema (kombinasi dari 𝛿𝛿, 𝑚𝑚 dan 𝑝𝑝) diiterasi masing-masing sebanyak 250.000 kali. Hasil simulasi menunjukkan bahwa untuk semua skema ketika kedua parameter diketahui ARL0≈ 370. Adapun nilai ARL1, seiring bertambah jauhnya vektor rata-rata digeser menjauh dari target,

nilainya semakin kecil. Artinya, sensitifitas bagan kendali 𝐹𝐹�_𝑚𝑚 meningkat. Kesimpulan ini juga berlaku untuk bertambahnya banyaknya variabel p, sedangkan bertambahnya ukuran n akan mengurangi sensitifitas bagan kendali 𝐹𝐹�_𝑚𝑚.

Kata kunci: average run length (ARL), 𝐹𝐹�_𝑚𝑚, job shop, just in-time, short-run, successive difference

1. PENDAHULUAN

Saat ini, proses produksi yang sedang tren adalah proses produksi short-run, yakni suatu proses produksi dengan kondisi [1][2]: (1) Proses job shop yaitu karakteristik kualitas beserta standar (spesifikasi) yang dimonitor berbeda-beda tiap produk, (2) Sistem Just-in-Time (JIT) yaitu jumlah produk yang diproduksi sedikit (low volume) sehingga proses produksi berjalan lebih pendek dari yang konvensional, (3) Parameter proses tidak tersedia. Hal ini dikarenakan tidak cukup atau tidak tersedia data produksi sebelumnya (no historical data). Dinyatakan pula bahwa secara umum proses produksi short-run memproduksi produk dengan kuantitas kurang dari 50 (20-50) [3][4][5][6][7]. Dikarenakan jumlah

produk yang sedikit, maka amatan yang paling banyak diterapkan pada kondisi short-run adalah amatan individu. Secara konvensional, bagan kendali multivariat amatan individu didasarkan pada bagan kendali klasik T2-Hotelling. Untuk menghitung statistik T2 bagan kendali T2-Hotelling, diperlukan statistik vektor rata-rata dan matriks kovarians yang diperoleh berdasarkan data produksi sebelumnya (historical data). Dikarenakan pada kondisi short-run proses produksi berjalan cepat dan karakteristik kualitas dan spesifikasi berbeda- beda tiap proses produksi, maka data historis relatif sulit diperoleh. Oleh karenanya, hal ini menjadi kendala untuk memonitor proses produksi dengan

menggunakan bagan kendali T2-Hotelling konvensional.

Untuk mengatasi kondisi (1) dan (2) pada proses produksi short-run, para peneliti telah mengusulkan beberapa bagan kendali multivariat short-run. Di antaranya adalah Scholz-Tosch (1994) yang mengusulkan bagan kendali multivariat X untuk sampel berukuran kecil. Pada tahun 2001, Quesenberry mengusulkan bagan kendali multivariat snapshot Q yang merupakan perluasan dari bagan kendali univariat Q oleh Quesenberry (1993). Selanjutnya, Khoo-Quah (2002) mengusulkan bagan kendali multivariat Vm. Statistik Vm

merupakan modifikasi dan perluasan dari statistik T2 dengan mentransformasi ke dalam distribusi multivariat normal standar,

( )

.

p p

N 0, I

Kemudian, pada tahun 2005, Khoo-Gan mengusulkan bagan kendali multivariat CUSUM untuk amatan individu menggunakan statistik Vm. Selanjutnya, pada

tahun 2012, Zou, dkk. mengusulkan bagan kendali multivariat short-run EWMA untuk data yang tidak diketahui distribusinya dengan basis rank-spatial. Pada tahun 2013, Jaupi dkk. juga mengusulkan bagan kendali multivariat short-run untuk mengendalikan rata-rata dan variabilitas dengan melibatkan fungsi pengaruh (influence function). Dari beberapa bagan kendali tersebut terdapat du bagan kendali yang mempunyai persamaan yaitu bagan kendali yang diusulkan oleh Scholz-Tosch (1994) [8] dan bagan kendali yang diusulkan oleh Khoo-Quah (2002) [3]. Persamaan dari kedua bagan kendali tersebut adalah keduanya dikembangkan dari konsep successive difference (SD) untuk menghitung estimator parameter dan mengasumsikan bahwa data yang diamati berdistribusi normal multivariat.

2. TINJAUAN PUSTAKA

Dinyatakan bahwa

{

}

1 2 m

x , x , …, x

merupakan vektor amatan yang berdistribusi normal p-variat, identik dan independen dengan vektor rata-rata μ dan matriks kovarians Σ. Statistik bagan kendali Scholz-Tosch dilambangkan dengan F_m. Jika kedua parameter (μdanΣ) diketahui atau μ μ= ₀

dan Σ Σ= ₀, maka statistik F_mdinyatakan dengan

(

)

1

(

)

0 0 0

i i i

F = x −μ Σ x μ′ − − (1)

Suatu proses dinyatakan tidak terkendali secara statistik jika nilai F_i lebih besar dari batas kendali UCL=χα2_{, p}, Fi>χα2,p .

Apabila kedua parameter (μdanΣ) tidak diketahui, maka penghitungan statistik F_m menggunakan konsep SD. Berikut adalah rumusan statistik F_m jika kedua parameter tidak diketahui:

(

)

1

(

)

1 1 i i m m i m d p m F d p m − − + _′ = − − ⋅ + x x S x x  , (2) dengan

(

)

1 1 1 1 1 1 1 2 1 m m m i i ii i i m m − − = = ′ = = ⋅ −

∑

−

∑

S S y y (3) di mana y_i=x_i+1−x_i, 1 1 m m i i m ₌ =

∑

x x dan

(

)

2 2 1 3 4 m d m − =

− . Smadalah estimator matriks

kovarians. Suatu proses produksi dikatakan tidak terkendali secara statistik (out-of-control) jika statistik F_i>F_{α, ,p d p− +1} [8]. 3. METODE PENELITIAN

Evaluasi kinerja bagan kendali dapat diketahui dengan melihat nilai ARL1 yang

diperoleh dari hasil simulasi. Pada kondisi kedua parameter diketahui, langkah awal evaluasi kinerja bagan kendali multivariat short-run F_m adalah inisiasi awal kedua parameter yang diketahui yaitu μ₀ =0 dan

p =

0

Σ I . Selanjutnya adalah

membangkitkan data secara random sebanyak N = 10.000 yang kemudian dinyatakan sebagai x (future observation), _f

(

)

f Np s p

x  μ ,I untuk p = 2, 4 dan 8. p adalah banyaknya karakteristik kualitas yang diamati dan μ_s adalah vektor rata-rata yang telah mengalami pergeseran proses sebesar

δ

yaitu μ μs = 0+

δ

,

δ

= 0; 0,5; 1; 1,5; 2;

2,5; 3; 4; 5.

Selanjutnya adalah menghitung statistik F_m sebagaimana pada Persamaan (1). Kemudian membandingkan statistik F_m dengan

χ

α2_{, p}

untuk mendeteksi ada tidaknya titik yang keluar pertama kali (RL1), F<χα2, p. Jika

RL1 = 0, ulangi langkah-langkah

sebelumnya. Namun, jika RL1 ≠ 0, maka

catat sebagai nilai RL1. Seluruh proses

tersebut diiterasi sebanyak 250.000 kali. Langkah terakhir adalah mencari rata-rata RL1 (ARL1). Nilai ARL1 didapatkan dengan

cara menjumlahkan seluruh RL1 yang

diperoleh dari tiap-tiap iterasi dibagi dengan banyaknya iterasi.

Sedangkan untuk kondisi kedua parameter tidak diketahui, proses simulasi terbagi menjadi dua fase yakni Fase I dan Fase II. Fase I adalah fase estimasi parameter vektor rata-rata dan matriks kovarians berdasarkan m titik yang terkendali (in-control). Fase II adalah fase menghitung nilai ARL1

berdasarkan data bangkitan yang telah mengalami pergeseran terhadap statistik vektor rata-rata dan matriks kovarians yang telah diperoleh pada Fase I.

Fase I dimulai dengan membangkitkan data secara random sebanyak N = 10.000 yang berdistribusi normal multivariat

(

)

p

N μ , Σ_{0 0} dengan variasi p = 2, 4 dan 8.

Kemudian, mengambil secara random dari N = 10.000 untuk tiap-tiap p sebanyak m = 20 dan 50. Selanjutnya, menghitung statistik

m

x dan S_m pada Persamaan (3). Langkah berikutnya adalah menghitung statistik F_m sebagaimana pada Persamaan (2). Jika ada 1 titik yang tidak terkendali

(

Fm>Fα, ,p d p− +1

)

, maka tahapan awal pada

fase ini diulangi hingga semua titik m terkendali

(

F_m<F_{α, ,p d p}− +₁

)

. Jika semua

titik m terkendali, maka statistik x_m dan S_m

dari m titik terkendali ini disimpan untuk perhitungan pada Fase II.

Pada Fase II, langkah awalnya adalah membangkitkan data secara random sebanyak N= 10.000 yang kemudian dinyatakan sebagai x (future observation), _f

(

)

f Np s p

x  μ ,I untuk p = 2, 4 dan 8.

Kemudian, menghitung statistik F_m sebagaimana pada Persamaan (2) dengan memanfaatkan statistik x_m dan S_m yang diperoleh pada Fase I. Langkah selanjutnya adalah membandingkan antara statistik F_m dengan F_{α, ,p d p− +1} dan menyatakan tidak terkendali secara statistik jika dan hanya jika

, , 1

m p d p

F >F_{α − +} . Kemudian, menghitung nilai ARL1 dengan cara seperti sebelumnya.

Setelah memperoleh nilai ARL1

masing-masing untuk bagan kendali, maka selanjutnya adalah membandingkan nilai ARL1 kedua bagan kendali. Semakin kecil

nilai ARL1, maka dapat dinyatakan bahwa

semakin sensitif suatu bagan kendali mendeteksi adanya pergeseran vektor rata-rata proses dari vektor rata-rata-rata-rata yang sebenarnya (target). Selanjutnya, menerapkan kedua bagan kendali dengan data contoh.

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

Adapun analisis evaluasi kinerja dari kedua bagan kendali tersebut adalah dengan melihat nilai ARL1 hasil simulasi. Semakin

kecil nilai ARL1, maka akan semakin sensitif

suatu bagan kendali dalam mendeteksi adanya titik yang tidak terkendali (out of control). Secara praktik, nilai ARL1 dihitung

dengan mencatat titik ke-m pertama yang keluar dari batas bagan kendali.

Pada penelitian ini, simulasi pergeseran terhadap vektor rata-rata dilakukan secara serempak dengan sifat pergeseran positif (+). Misal: untuk p = 3, maka

0 0 0 0 s

δ

δ

δ

δ

δ

= +         =_{ }+ =_{ }         μ μ

Tabel 1 merupakan tabel yang berisi nilai ARL bagan kendali multivariat short-run F_m untuk kondisi kedua parameter diketahui. Nilai

δ

dimulai dari 0 yang artinya tidak ada pergeseran vektor rata-rata proses, 0,5 artinya vektor rata-rata proses digeser menjauh secara serempak sebesar 0,5 dari vektor rata-rata yang sebenarnya

(

μ₀=0 , 1

)

artinya vektor rata-rata proses digeser menjauh secara serempak sebesar 1 dari

vektor rata-rata yang sebenarnya, dan demikian seterusnya untuk nilai δ = 1,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5.

Berdasarkan Tabel 1, untuk besar δ = 0 atau tidak ada pergeseran vektor rata-rata, bagan kendali F_m berlaku untuk setiap p, diketahui nilai ARL0 berada di sekitar angka 370. Nilai

ARL0 = 370 artinya, titik amatan ke-370

adalah titik yang pertama kali keluar yang dideteksi oleh bagan kendali. Atau dengan kata lain, bagan kendali membutuhkan amatan sebanyak 370 untuk menyatakan bahwa proses mengalami pergeseran vektor rata-rata.

Tabel 1. Nilai ARL Kondisi Kedua Parameter

Diketahui dengan m = 20 δ p = 2 p = 4 p = 8 m F Fm Fm 0 370.52 370.29 370.19 0.5 129.56 101.33 71.86 1 27.74 15.16 7.26 1.5 7.71 3.64 1.77 2 3.07 1.57 1.08 2.5 1.68 1.11 1.00 3 1.21 1.01 1.00 4 1.01 1.00 1.00 5 1.00 1.00 1.00

Berdasarkan Tabel 1 pula, jika besar pergeseran vektor rata-rata adalah δ = 0,5 dengan banyak karakterisik kualitas, p, misal: p = 4, diketahui nilai ARL1 bagan

kendali F_m adalah 101. Artinya, ketika vektor rata-rata digeser sebesar δ = 0,5 dari vektor rata-rata spesifikasi, bagan kendali

m

F memberikan sinyal bahwa telah terjadi pergeseran vektor rata-rata untuk yang pertama kali adalah pada amatan ke-101.

Gambar 1. Contoh Plot Simulasi untuk p = 4, m

= 20 dan δ = 1 Pada Kondisi Kedua Parameter Diketahui

Gambar 1 adalah contoh dari plot satu kali perulangan simulasi. Data pada Gambar 1 dibangkitkan secara random dengan

(

)

4 0 4

f N s= +

δ

x  μ μ ,I . Besar pergeseran dari Gambar 1 adalah δ = 1, sehingga

0 1

= + =

s

μ μ 1. Batas kendali atas dari bagan kendali F_m adalah

2

0,0027,4 16, 2512

UCL=χ = . Berdasarkan

Gambar 1, dapat diketahui bahwa nilai RL1

untu bagan kendali F_m adalah 11. Artinya, titik pertama kali yang terdeteksi ketika telah terjadi pergeseran vektor rata-rata sebesar 1 adalah titik ke-11.

Tabel 2 merupakan tabel yang berisi nilai ARL bagan kendali F_m untuk kondisi kedua parameter tidak diketahui. Berdasarkan Tabel 2, dapat diketahui bahwa untuk p = 2, tanpa ada pergeseran vektor rata-rata, nilai ARL0 untuk bagan kendali Fm adalah 1593.

Artinya, ketika vektor rata-rata tidak bergeser dari vektor rata-rata target, bagan kendali ini mendeteksi adanya titik yang keluar batas kendali untuk yang pertama kali (RL1) adalah pada amatan ke-1593.

Tabel 2. Nilai ARL Kondisi Kedua Parameter

Tidak Diketahui dengan m = 20

δ

p = 2 p = 4 p = 8 m F Fm Fm 0 1593.59 1577.66 1419.89 0.5 499.78 412.78 256.30 1 82.42 56.60 40.44 1.5 17.76 14.58 10.82 2 5.50 3.45 2.90 2.5 2.41 1.39 1.15 3 1.46 1.25 1.10 4 1.03 1.02 1.00 5 1.00 1.00 1.00

Dibandingkan dengan kondisi parameter diketahui, ketika parameter tidak diketahui sensitifitas bagan kendali F_m menurun. Hal ini ditunjukkan dengan nilai ARL pada parameter tidak diketahui yang jauh lebih besar dibandingkan dengan nilai ARL pada parameter diketahui. Sensitifitas bagan kendali akan sama ketika pergeseran vektor rata-rata pada nilai δ > 2.

Gambar 2 merupakan contoh dari plot bagan kendali hasil simulasi. Data pada Gambar 2 dibangkitkan secara random dengan

(

)

8 0 , 8

f N s = +

δ

x  μ μ I . Besar pergeseran

dari Gambar 2 adalah δ = 2, sehingga

0 2

= + =

s

μ μ 2. Batas kendali atas dari bagan kendali F_m adalah UCL=F_0,0027,8,33=4,1434.

Gambar 2. Contoh Plot Simulasi untuk p = 8, m

= 50 dan δ = 2 Pada Kondisi Kedua Parameter Tidak Diketahui

Berdasarkan Gambar 2 dapat diketahui bahwa nilai RL1 dari kedua bagan kendali

adalah sama yakni 1. Artinya titik pertama kali yang keluar dari batas kendali dari kedua bagan kendali adalah titik amatan ke-1. Dapat diartikan juga bahwa ketika vektor rata-rata digeser menjauh sebesar δ = 2, kedua bagan kendali tersebut dapat dengan segera pada titik pertama mendeteksi bahwa proses memang benar telah terjadi pergeseran. Gambar 2 juga menunjukkan bahwa sekitar 80% titik amatan yang keluar dari batas kendali. Artinya, semakin besar pergeseran vektor rata-rata, maka semakin banyak titik amatan yang keluar dari batas kendali.

Sebagai terapan, berikut adalah hasil analisis data Quesenberry (2001) [9]. Data terdiri atas 11 karakteristik kualitas (p = 11) dengan banyak amatan m = 30. Berdasarkan uji Mardia, dinyatakan bahwa data tersebut berdistribusi normal multivariat. Kemudian, dengan menggunakan Persamaan (2) diperoleh nilai statistik untuk bagan kendali dan diplotkan sebagaimana pada Gambar 3.

Gambar 3. Bagan Kendali F_m Untuk Data Terapan Quesenberry (2001)

V. KESIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan analisa hasil dan pembahasan, dapat diambil beberapa kesimpulan di antaranya:

1. Pada kondisi kedua parameter diketahui, konsep SD pada bagan kendali F_m hanya digunakan untuk menghitung S_m, x_m

melibatkan semua titik amatan. Akibat dari penghitungan xm yang melibatkan

semua titik amatan, maka bagan kendali

m

F tidak dapat segera terbentuk.

2. Pada kondisi kedua parameter diketahui, bagan kendali F_m mempunyai sensitifitas lebih tinggi dibandingkan dengan kondisi kedua parameter tidak diketahui.

3. Berdasarkan evaluasi kinerja kedua bagan kendali, semakin bertambahnya karakteristik kualitas (p) yang diamati, maka semakin kecil nilai ARL1, namun

semakin banyak titik amatan yang diamati, maka nilai ARL1 semakin besar.

4. Semakin jauh pergeseran vektor rata-rata proses, maka kedua bagan kendali ini semakin cepat mendeteksi.

Adapun saran yang dapat diberikan adalah perlu dikembangkan rumusan baru dengan menggunakan konsep SD untuk estimasi kedua parameter pada bagan kendali F_m, sehingga bagan kendali dapat segera terbentuk setelah didapat beberapa data amatan. Pola pergeseran vektor rata-rata yang disimulasikan pada penelitian ini bersifat simultan, agar lebih komprehensif, perlu dilakukan pola pergeseran vektor rata-rata secara parsial. Pada penelitian ini yang dikaji adalah hanya bagan kendali pergeseran rata-rata proses, sehingga perlu dikaji lebih lanjut bagan kendali untuk dispersi.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Khoo, M. B. C., S. H. Quah, H. C. Low, dan C. K. Ch’Ng. 2005. Short Runs Multivariate Control Chart for Process Dispersion. International Journal of Reliability, Quality and Safety Engineering, 12, hal. 127-147. [2] Marques, P. A., Carlos B. C., Paula P.,

Sousa R., dan Helena G. 2015. Selection of The Most Suitable Statistical Process Control Approach

for Short Production Runs: A Decision-Model. International Journal of Information and Education Technology, 5, hal. 303-310.

[3] Khoo, M. B. C., dan S. H. Quah. 2002. Proposed Short Run Multivariate Control Chart for The Proses Mean. Quality Engineering, 14, hal. 603-621. [4] Elam, M. E., dan Case, K. E. 2005.

Two-Stage Short-Run Control Charts. Quality Engineering, 17, hal. 95-107. [5] Fonseca, D. J., M. E. Elam, dan L.

Tibbs. 2007. Fuzzy Short-Run Control Charts. Mathware & Soft Computing, 14, hal. 81-101.

[6] Montgomery, D. C. 2009. Introduction to Statistical Quality Control. Edisi ke-5. John Wiley & Sons: New York.

[7] Jaupi, L., D. E. Herwindiati, Ph. Durand dan D. Ghorbanzadeh. 2013. Short-Run Multivariate Control Charts for Process Mean and Variability. Proceeding of the World Congress on Engineering, London.

[8] Scholz, F. W. dan T. J. Tosch. 1994. Small Sample Uni- and Multivariate Control Charts for Means. Proceedings of The American Statistical Association, Quality and Production Section.

[9] Quesenberry, C. P. 2001. The Multivariate Short-Run Snapshot Q Chart. Quality Engineering, 13, hal. 679-683.

APENDIKS

KEDUA PARAMETER DIKETAHUI Dimisalkan bahwa

{

x , x ,…, x1 2 m

}

; xiNp( )μ, Σ

. Jika x_iN_p

(

μ, Σ

)

, maka

(

xi−μ

)

Np

( )

0, Σ .

Definisi 1.

Jika x x ,…, x₁, _{2 m} berdistribusi normal p-variat, identik dan independen, N_p

(

0,Σ

)

;

maka 1 m i i i= ′ =

∑

W x x akan berdistribusi Wishart

dengan derajat bebas m. (Seber, 2004)

Berdasarkan Definisi 1,

(

0

)(

0

)

(

)

(

0

)

1 ; m i i p i W m = ′ − − =

∑

x μ x μ  , Σ μ μ .

Jika CC =′ Σ, di mana C adalah matrik

non-singular berukuran p×p, maka

(

)

( )

1 0 i Np p − ₋ U = C x μ  0,I dan

(

)

1

(

)

0 0 i ′ − i ′ − − U U = x μ Σ x μ . Perkalian matriks ′

U U merupakan jumlah kuadrat dari p

variabel saling bebas yang masing-masing berdistribusi N

( )

0,1 , sehingga 2 p χ ′ U U . Jika 0

Σ = Σ , maka benar bahwa

(

)

1

(

)

2

0 0 0

i i i p

F = x −μ Σ′ − x μ− χ . KEDUA PARAMETER TIDAK DIKETAHUI

Dimisalkan bahwa

{

x , x ,…, x_{1 2 m}

}

; x_iN_p( )μ, Σ

. Dinyatakan pula bahwa y_i=x_i+1−x_i;

1,..., 1

i= m− disebut vektor selisih lokal (local difference vector). 2 3 2 3 4 3 1 2 2 3 3 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 . m m m m m − − − ′ ′ ′      _′   _{′ ′}       ′  = ′ ′           _′   _{′ ′}      ′ − ′       _′   ₋  _′        ′ = −  ′             _′  _{ −} _ _′      1 2 1 1 1 1 y x - x y x - x y x - x y x - x y x y x y x y x Y = DX           

di mana D disebut sebagai matriks pembeda (differencing matrix). Diketahui bahwa

1 2

i= i i′

S y y dan estimator tak bias gabungan

( )

Sm untuk Σ adalah

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 . 2 1 m m m i i i i i m m m − − = = ′ = = − − ′ = −

∑

∑

S S y y Y Y  Jika 1 2 ′ A = D D, maka

(

)

1 2 1 1 . 1 m m m ′ = − ′ = − S Y Y X AX  . Teorema 1.

Diketahui bahwa X′ =

(

x , x ,…, x_{1 2 m}

)

di mana

( )

i Np

x  0,Σ dan v = Xξ, ξ

( )

≠0 adalah vektor konstan berukuran p×1. Jika A

adalah suatu matriks berukuran m m× dengan rank r, maka X AX′ W_p

( )

r,Σ jika dan hanya jika 2 2

r ξ σ χ ′ v Av untuk setiap ξ, di mana σ_ξ2=ξ Σξ′ . (Seber, 2004) Teorema 2.

Jika WWp

(

m,Σ

)

dan C adalah matriks

berukuran r×p dengan rank r, maka

(

,

)

p

W m

′ ′

CWC CΣC .

Akibat Teorema 2.

Jika ξ adalah sembarang vektor konstan berukuran p×1,

(

ξ 0≠

)

, maka 2 2 m ξ σ χ ′ ξ Wξ  di mana 2 ₀ ξ σ =ξ Σξ′ > karena Σ Ο> .

Berdasarkan Teorema 1, diketahui bahwa perkalian beberapa S_m mempunyai distribusi yang dapat didekati dengan distribusi Wishart, W_p

(

d,Σ

)

.

Jika diasumsikan μ = 0, maka

( )

_0, 2

i i

v = x′ξ N σξ dan v′ =

(

v v₁, ₂,,v_m

)

. Dengan persamaan pendekatan seperti berikut: 2 2 1 d ξ σ χ

ηv Av′ ≈ . Maka ekspektasi dan varians

dari kedua sisi adalah

2 1 m 1 E σ_ξ η η  _′ ₌ −    v Av dan

(

)

4 2 1 var σξ 3m 4 . η η  _′ _{= −}    v Av

( )

2 2 2 d E σ χξ =dσξ dan var

( )

σ χξ2 2d =2dσξ4.

Selanjutnya menyamakan hasil ekspetasi dan varians untuk masing-masing sisi.

2 2 1 m d ξ ξ σ σ η − ₌ dan

(

)

4 4 2 3m 4 2d σ _σ η − = , sehingga diperoleh

(

)

3 4 2 1 m m η= − − dan

(

)

2 2 1 . 3 4 m d m − =

− Dikarenakan η dan d tidak

tergantung pada ξ, maka dapat dinyatakan bahwa

(

m 1

)

m d _m W_p

(

d,

)

η − = ≈ S S Σ   .Dinyatakan bahwa 1 1 , m m i p i N m n =   = _{ }  

∑

Σ x x  μ independen terhadap S_m. Lebih lanjut, jika

(

)

f Np

x  μ, Σ adalah amatan selanjutnya (future observation), maka

(

)

1 , 1 f m Np _m    − _ _ + __ x x  0Σ juga independen terhadap S_m. Oleh karena itu, dapat

dinyatakan benar bahwa

(

) (

1

)

1 1 m f m m f m d p m F d p m − − + _′ = − − ⋅ + x x S x x 

mengikuti distribusi F dengan numerator p dan denominator d− +p 1. Dengan demikian

dapat ditulis:

(

) (

1

)

, 1 1 1 m f m m f m p d p d p m F F d p m − − + − + _′ = − − ⋅ + x x S x x  _ .

DIMENSI WAKTU DALAM PENANGGALAN PRASASTI

Agung Prabowo, Agus Sugandha, Agustini Tripena Br. Sb.

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Jenderal Soedirman

Jl. Dr. Soeparno No. 61 Karangwangkal Purwokerto, 53123, Jawa Tengah, Indonesia. e-mail: agung.prabowo@unsoed.ac.id ; agung_nghp@yahoo.com

Abstrak

Prasasti-prasasti yang bertarikh Saka mencatat perjalanan waktu dalam caranya yang khas, seperti penggunaan suklapaksa dan kresnapaksa, dilengkapi nama hari saptawara, pancawara dan sadwara. Pada tahap selanjutnya ditambahkan dengan naksatra dan yoga. Pada masa Majapahit, pencatatan dimensi waktu diperluas dengan menambahkan unsur-unsur seperti karaṇa, wuku, muhūrta, yoga, nakṣatra, dewatā, grahacāra, parweśa, maṇḍala, rāśi bintang. Artikel ini melacak perjalanan penggunaan dimensi-dimensi waktu tersebut dan disertai contoh pahatannya pada beberapa prasasti dari masa hingga Mataram Kuno dan menyodorkannya sebagai etnoastronomi nusantara.

Kata Kunci: etnoastronomi, Mataram Kuno, prasasti, waktu.

1. PENDAHULUAN

Arti penting prasasti-prasasti yang ditemukan di nusantara (Indonesia) adalah sebagai media untuk penelitian astronomi dan karena terkait dengan astronomi masa lampau yang digunakan oleh suatu komunitas etnik tertentu maka disebut sebagai etnoastronomi. Salah satu data yang direkam dalam prasasti dan digunakan sebagai kajian etnoastronomi adalah dimensi waktu berupa penanggalan prasasti.

Dengan melacak sistem penanggalan (kalender) mulai dari prasasti yang paling tua hingga terkini, berbagai informasi dapat diungkap dengan jernih. Beberapa informasi tersebut antara lain (1) sistem kalender yang pernah digunakan di nusantara, dan (2) sistem atau cara penamaan waktu.

Dalam tulisan ini akan kedua hal tersebut akan dipaparkan dengan memberikan contoh-contoh prasasti yang memuatnya. 2. TINJAUAN PUSTAKA

Salah satu tulisan yang memuat informasi tentang dimensi waktu dapat ditemukan pada

http://epigraphyscorner.blogspot.co.id/p/pem bahasan-epigrafi.html. Namun, tulisan ini tidak atau belum dikhususkan sebagai kajian etnoastronomi, tetapi dalam lingkkup kajian epigrafi. Dengan merujuk pada tulisan tersebut, dan dengan memilih informasi

yang benar-benar dibutuhkan, akan diungkap berbagai bukti prasasti terkait penggunaan dimensi waktu.

3. METODE

Metodologi penelitian yang dilakukan adalah studi pustaka dan analisis data.

3.1 Metode Pengumpulan Data

Berbagai pustaka yang digunakan merupakan arsip atau teks-teks sejarah terkait dengan prasasti-prasasti di Nusantara. Dengan demikian, data-data yang digunakan merupakan data sekunder. Meskipun prasasti ditulis dengan aksara dan bahasa yang saat ini sudah jarang atau bahkan sudah tidak digunakan, penelitian ini tidak menemukan kesulitan berarti. Para pakar sejarah tersohor telah membaca dan menerjemahkan prasasti-prasasti tersebut dalam Bahasa Indonesia ataupun Inggris.

3.2 Metode Analisis Data

Jenis data yang dikumpulkan berupa teks prasasti dalam aksara aslinya, seperti aksara Palawa, aksara Jawa Kuno dan lain-lain. Bahasa yang digunakan untuk penulisan prasasti berupa bahasa Sanskerta, bahasa Jawa Kuno, dan lain-lain. Untuk setiap teks tersebut disertakan terjemahan dalam bahasa Indonesia dengan aksara latin, dan sejauh memungkinkan disertakan kutipan asli dari prasastinya.

Data yang telah dikumpulkan kemudian diolah dengan pemilihan pada teks-teks yang

memuat unsur dimensi waktu. Dengan demikian, metode analisis datanya adalah kualitatif.

4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Sistem Kalender antar Prasasti Beberapa sistem kalender yang pernah digunakan di Nusantara khususnya Jawa adalah kalender Saka, Hijriah, Masehi dan Jawa. Selain itu, juga dikenal kalender Pawukon dan Pranata Mangsa. Dua yang terakhir tidak mempunyai angka tahun dan dilekatkan (disatukan) pada sistem kalender lainnya (Saka, Hijriah, Masehi dan Jawa). Secara garis besar, kalender Saka digunakan sejak Kerajaan Kutai hingga akhir Majapahit. Berdirinya Demak sebagai penerus Majapahit merubah Saka menjadi Hijriah. Kalender Hirjiah masih terus digunakan hinga hari ini. Namun, pada masa Sultan Agung di Mataram diperkenalkan kalender baru yang disebut Kalender Jawa. Beberapa dekade sebelumnya, saat penduduk nusantara bersentuhan dengan orang Eropa, kalender Masehi menjadi dikenal.

Tabel 1 menampilkan prasasti-prasasti dengan jenis kalender yang digunakannya Tabel 1: Jenis-Jenis Kalender pada Prasasti hingga Masa Mataram Hindu

No Nama Prasasti Jenis Kalender

1 Tugu Saka

2 Kedukan Bukit Saka

3 Talang Tuo Saka

4 Kota Kapur Saka

5 Karang Brahi Saka

6 Canggal Saka

7 Manjusrigraha Saka

8 Jaya Bupati Saka

4.2 Dimensi Waktu antar Prasasti Prasasti pertama yang ditemukan di Nusantara adalah tujuh buah yupa dari Kutai, Kalimantan Timur. Ketiadaan unsur penanda waktu menyebabkan yupa-yupa tersebut tidak dapat dengan pasti diketahui asal waktunya. Namun, berdasarkan jenis aksara dan bahasa yang digunakan, yupa-yupa tersebut diperkirakan berasal dari masa 400 Masehi.

Awal digunakannya unsur penanggalan hanya berupa beberapa unsur saja. Pada

prasasti masa Jawa Kuno dikenal paling sedikit lima unsur yaitu warṣa atau tahun, māsa atau bulan, tithi atau tanggal, pakṣa atau paruh bulan, dan wāra atau hari.

Sistem penanggalan India mengenal lima unsur penanda waktu, yaitu wāra, tithi, nakṣatra, yoga, dan karaṇa (Sewell & Dikshit, 1995: 2). Pada masa selanjutnya, prasasti nusantara memahatkan delapan dimensi waktu dengan tambahan nakṣatra, yoga, dan karaṇa (Damais, 1952; http://epigraphyscorner.blogspot.co.id). 1. Warṣa (angka tahun). Prasasti-prasasti

nusantara menggunakan dua jenis penyebutan angka tahun. Pertama, dengan angka dan kedua dengan kata-kata. Penyebutan angka tahun dengan kata-kata disebut sengkala, sengkalan atau candrasengkala. Sengkala terdiri

dua jenis yaitu sengkala mĕmĕt dan sĕngkala

lamba.

Sengkala memet adalah angka tahun yang terdiri dari gambar, ukiran, relief, patung, atau bentuk lainnya yang memiliki makna dengan konotasi angka. Sedangkan sengkala lamba adalah angka tahun yang berupa kalimat (Bratakesawa, 1968: 6).

Penggunaan sengkala lamba masih memungkinkan digunakannya unsur penanda waktu lainnya, seperti masa, tithi, paksa dan wara. Sedangkan penggunaan sengkala memet tidak memungkinkan hal tersebut.

Berikut beberapa contoh angka tahun yang bukan berupa angka, tetapi dalam bentuk sengkala lamba.

Tabel 2: Angka Tahun dalam Bentuk Sengkala Lamba pada Beberapa Prasasti

Prasasti Sengkala Tahun (Saka)

Canggal Cruti Indriya Rasa 654 Dinoyo Nayana Wayu Rasa 682 Kalasan Sa Taih Sapta 701 Siwagrha Wwalung Gunung

sang Wiku 778 Sapu Angin Paksa Tunggal Sa Bumi 1112 Arca Manjushri

Panca Sad Dwi Sa 1265

2. Masa (bulan). Kalender Saka mempunyai 12 nama bulan, berturut-turut adalah caitra, waisaka, jyestha, asadha, srawana, bhadrawada, aswina/asuji, kartika, margasira, posya, magha, dan palguna.

3. Paksa (paruh-bulan). Perjalanan bulan terbagi dua bagian yang disebut paruh-bulan atau paksa. Paruh-paruh-bulan pertama disebut paruh-terang atau suklapaksa (sukla = terang), dimulai sejak bulan baru hingga purnama, berlangsung lima belas hari, dari tanggal 1 – 15. Akibatnya, bulan baru menjadi penanda waktu untuk tanggal 1 paruh-terang yang disebut tithi pratipada suklapaksa. Paruh-bulan kedua disebut paruh-gelap atau kresnapaksa (kresna = gelap), dimulai sejak berakhirnya purnama hingga terbenamnya bulan atau bulan mati, berlangsung empatbelas atau limabelas hari, dari tanggal 16 – 29/30. Akibatnya, sehari setelah purnama disebut tithi pratipada kresnapaksa atau tanggal 1 gelap. Bukan 16 paruh-gelap.

4. Tithi (tanggal). Perubahan bentuk bulan sebagai perjalanan harian bulan ditandai dengan urutan sebagai berikut: tithi pratipada suklapaksa, tithi dvitīya śuklapakṣa, tithi tṛtiyā suklapaksa, tithi caturthi suklapaksa, tithi pañcamī śuklapakşa, tithi sadmi/sasti suklapaksa, tithi saptamī śuklapakşa, tithi (h)astami suklapaksa, tithi nawami suklapaksa, tithi daśī/dasami suklapakşa, tithi ekādaśī śuklapakşa, tithi dwadasi suklapaksa, tithi trayosasi suklapaksa, tithi caturdaśi śuklapaksa, tithi pancadaśī suklapakşa.

Untuk paruh-bulan kedua (paruh-gelap) cukup mengganti frase ‘suklapaksa’ dengan ‘kresnapaksa’.

Sebagai catatan, untuk tanggal 1 atau 16 tidak digunakan istilah tithi ekatiya suklapaksa/kresnapaksa, tetapi tithi pratipada suklapaksa/kresnapaksa. Khusus untuk purnama (tanggal 15), terkadang digunakan istilah pūrṇṇenduyogāyate.

5. Wewaran. Pengelompokan wara (hari) berdasar pada lamanya siklus, mulai dari siklus 1 harian, 2 harian, hingga 10 harian. Siklus 5, 6 dan 7 harian

berturut-turut disebut pancawara, sadwara dan saptawara.

Nama-nama hari pancawara adalah pa = pahing; po = pon; wa = wagai; ka = kaliwon; u = umanis atau ma = manis. Nama-nama hari sadwara adalah tu atau tung = tunglai; ha = hariyang; wu = wurukung; pa = paningron; wa = was; dan ma = mawulu.

Nama-nama hari saptawara adalah ra atau a = raditya atau aditya (minggu); so = soma (senin); ang = anggara (selasa); bu = budha (rabu); wr = wrhaspati (kamis); su = sukra (jumat); dan sa = saniscara (sabtu).

Berikut beberapa contoh prasasti yang memuat unsur-unsur penanda waktu.

1. Prasasti Canggal/Sanjaya/Gunung Wukir Prasasti Canggal ditulis dengan huruf Pallawa dan bahasa Sanskerta (de Casparis, 1975). Pada prasasti ini tertulis (http://ki-demang.com) “Cakendre'tigete crutindriya-rasair ankikrte vatsare. varendau dhavala-trayodaci-tithau bhadrottare kartike....” yang artinya telah berlalu tahun Saka dengan penanda Cruti Indriya Rasa, pada bulan Kartika, pada hari Senin, hari ketiga belas ...

Gambar 1. Prasasti Canggal

http://ki-demang.com/medang/index.php/isi-prasasti/408-02-prasasti-canggal/

Unsur-unsur penanda waktu yang dimuat adalah (1) unsur warsa yang ditemukan berupa sengkala lamba berbunyi Cruti (4) Indriya (5) Rasa (6) menyatakan tahun 654 Saka, (2) unsur masa yaitu bulan kartika, (3) unsur paksa dijelaskan berupa paruh terang, (4) unsur tithi menyatakan hari ketiga belas pada paruh terang, dan (5) unsur wewaran berupa nama hari saptawara soma atau senin.

2. Prasasti Manjusrigraha

Pada prasasti ini tertulis (de Casparis, 1975) “śri swasti śakawarṣātītā 714 kārttika māsa caturddaśi śukla pakṣa śukrawāra wās

pon...” yang artinya Bahagia, telah lewat dengan selamat tahun Śaka 714, bulan kārttika, tanggal 14 paruh-terang, jum’at, was, pon.

Unsur-unsur penanda waktu yang dimuat adalah (1) unsur warsa yang ditemukan berupa angka tahun ditulis dengan aksara Jawa Kuno menyatakan tahun 714 Saka, (2) unsur masa yaitu bulan kartika, (3) unsur paksa dijelaskan berupa suklapaksa atau paruh terang, (4) unsur tithi menyatakan hari keempat belas pada paruh terang, dan (5) unsur wewaran berupa nama hari pancawara pon, sadwara was, dan saptawara sukra (jumat),

3. Prasasti Jaya Bupati (Cicatih).

Pada prasasti ini tertulis (de Casparis, 1975) “//O// Swasti shakawarsatita 952 karttikamasa tithi dwadashi shuklapaksa. ha. ka. ra. wara...” yang artinya Bahagia, telah lewat dengan selamat tahun Śaka 952, bulan kārttika, tanggal 12 paruh-terang, hari ha. ka. ra.

Unsur-unsur penanda waktu yang dimuat adalah (1) unsur warsa yang ditemukan berupa angka tahun dalam aksara Jaw Kuno menyatakan tahun 952 Saka, (2) unsur masa yaitu bulan kartika, (3) unsur paksa dijelaskan berupa sukla paksa atau paruh terang, (4) unsur tithi menyatakan hari ketiga belas pada paruh terang, dan (5) unsur wewaran berupa nama hari sadwara ha (haryang), hari pancawara ka (kaliwon), dan hari saptawara ra (radite) atau minggu). 5. KESIMPULAN

Sebagai kesimpulan, unsur penanggalan yang merupakan dimensi waktu telah digunakan pada prasasti-prasasti dari

berbagai wilayah di nusantara (Indonesia), khususnya di Pulau Jawa. Unsur-unsur tersebut meliputi warsa (angka tahun), masa (bulan), paksa (paruh bulan), tithi (tanggal) dan wewaran (nama hari).

UCAPAN TERIMA KASIH

Penyusunan dan pemaparan artikel ini didanai dari hibah penelitian Riset Institusi UNSOED Tahun Anggaran 2017, Nomor Kept. 1247 / UN23.14 / PN.01.00 / 2017. DAFTAR PUSTAKA

de Casparis, J. G. (1975). Indonesian Chronology. Leiden/Koln: Brill.

Bratakeswara. (1968). Katrangan Tjandrasengkala, Djakarta: Balai Pustaka.

Damais, L. C. (1952). “Le Calendrier de l’ancienne Java”. “Penanggalan Jawa Kuno” dalam Epigrafi dan Sejarah Nusantara: Pilihan Karangan Louis Charles Damais. Jakarta: EFEO. Sewell, R. and S.B. Dikshit, S.B.

(1995). The Indian Calendar (With Tables for the Conversion of Hindu and Muhammadan into A. D. Dates and Vice Versa). Motilal Banarsidass.

http://epigraphyscorner.blogspot.co.id/p/p embahasan-epigrafi.html [16 Maret 2017]. http://ki- demang.com/medang/index.php/isi-prasasti/408-02-prasasti-canggal/ [2 Maret 2017].

PERHITUNGAN GALAT DERET COSINUS DENGAN

KOEFISIEN DARI KLAS BARISAN BERVARIASI TERBATAS

SUPREMUM

Moch. Aruman Imron

Jurusan Matematika, FMIPA, UB Malang

maimr@ub.ac.id

Abstrak

Teorema klasik tentang kekonververgenan seragam deret sinus adalah jika barisan koefisien deret sinus {an}

turun monoton dan nan menuju 0 untuk n menuju tak hingga maka deret sinus terjamin konvergen seragam.

Barisan koefisien {an} yang turun monoton dimasukkan dalam klas MS (Monotone Sequence). Klas tersebut

dapat diperumum menjadi klas RBVS, GMS, MBVS, SBVS dan lain-lain dengan syarat deret sinus tetap konvergen seragam dari koefisien-koefisien dalam klas tersebut. Penelitian ini dilaksanakan dengan studi literatur, buku-buku pendukung dan jurnal-jurnal ilmiah untuk mendapatkan pemahaman yang baik kemudian mengembangkan penelitian terkait. Selanjutnya pada tulisan ini dibicarakan penerapan klas SBVS (Supremum Bounded Variation sequences) atau klas barisan bervariasi terbatas supremum untuk mencari galat dari deret cosinus jika dilakukan pemotongan pada deret tersebut. Hasil-hasil yang diperoleh dapat dijelaskan bahwa jika digunakan cara pertama yaitu menggunakan norma maka fungsi harus diketahui sebagai jumlahan deret. Jika menggunakan cara kedua yaitu menggunaka sifat-sifat barisan SBVS, fungsi tidak harus diketahui asalkan koefisiennya berasal dari klas SBVS.

Kata Kunci: deret cosinus, galat, klas barisan bervariasi terbatas supremum

1. PENDAHULUAN

Kemonotonan dari barisan atau fungsi memainkan peran yang penting di beberapa masalah analisis diantaranya di dalam kekonvergenan deret Fourier Sinus atau Cosinus. Chaundy dan Jollife (Chaundy dan Jolife, 1916) telah membuktikan Teorema klasik bahwa syarat cukup dan perlu agar deret sinus konvergen seragam dengan koefisien barisan non-negatif dan turun monoton adalah lim_{𝑘𝑘→∞}𝑑𝑑_𝑘𝑘= 0. Koefisien-koefisien dari deret sinus yang turun monoton (monotone sequences (MS)) telah digeneralisasi menjadi klas General Monotone Sequences (GMS) (Tikhonov, 1988) , klas NBVS dan MVBVS (Zhou dkk, 2010) beserta aplikasinya pada masalah aproksimasi (Liflyand dan Tikhonov, 2011), dan selanjutnya digeneralisasi lagi menjadi klas Supremum Bounded Variation Sequences of the second type (SBVS2)(Korus, 2010). Klas SBVS2 didefinisikan sebagai berikut. Barisan {𝑑𝑑_𝑛𝑛} disebut anggota klas SBVS2 jika terdapat konstan non negatif C

dan barisan real {𝑏𝑏_𝑛𝑛} menuju tak hingga sehingga berlaku � |𝑑𝑑𝑘𝑘− 𝑑𝑑𝑘𝑘+1| ≤𝐶𝐶_𝑑𝑑� sup 𝑚𝑚≥𝑏𝑏𝑛𝑛� |𝑑𝑑𝑘𝑘| 2𝑚𝑚 𝑘𝑘=𝑚𝑚 � 2𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=𝑛𝑛 . Kemudian telah dibahas perhitungan galat deret cosinus untuk klas 𝓢𝓢𝓢𝓢𝓢𝓢𝓢𝓢_𝒑𝒑 (Imron , 2015) pada makalah ini dibahas perhitungan galat pada deret cosinus dengan koefisien dari klas barisan bervariasi terbatas supremum dengan pendekatan melalui aproksimasi deret melalui klas barisan bervariasi terbatas supremum (𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺).

2. TINJAUAN PUSTAKA

Penerapan klas monoton yang telah dibahas adalah penerapan klas barisan monoton-p umum (general p-monotone sequences) pada masalah aproksimasi. Masalah tersebut memberikan estimasi dari aproksimasi terbaik terhadap fungsi f (Tikhonov, 2008) dengan fungsi 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶([0, 𝜋𝜋]) serta f(x) sebagai jumlahan dari deret