Pembahasan Soal Ujian

Pembahasan Soal Ujian

Soal no A1

Hitunglah:

(2 +i)(3₋2i)(2₋i)

(1 +i)2 .

Jawab:

(2 +_i)(3₋2_i)(2_−i)

(1 +i)2 =

5(3₋2_i) (1 +i)2

(1_−i)2

(1₋i)2

= 5(3−2i) 4 (−2i)

= ₋5₋15

Soal no A2

Carilah semua bilangan kompleks yang memenuhi: z3_{+ 1 =}

i. Jawab:

Modulus dari₋1 +iadalah: _{| −}1 +i|=√2. Argument dari

−1 +_ididapat dengan menyelesaikan:

Soal no A3

Misalkan diberikan polinom:

p(z) = 2z4+ (4 + 3i)z3+ (₋7 + 6i)z2+ (₋2₋9i)z+ 3

Jawab

Karenap(₋3) = 0 danp(1) = 0, maka:

p(z) = (z+ 3)(z₋1)(a0+a1z +a2z2)

= (z2+ 2z ₋3)(a0+a1z+a2z2)

= a2z4+ (a1+ 2a2)z3+ (a0+ 2a1−3a2)z2

+(₋3a1+ 2a0)−3a0

Jadi haruslah: a2 = 2.

a1+ 2a2=a1+ 4 = 4 + 3isehinggaa1= 3i.

Soal no A4

Carilah daerah kekonvergenan dari deret berikut:

X2 n

zn n! .

Jawab: Karena

ρ= lim

n→∞

|2n+1

zn+1_|

(n+ 1)!

n!

|2n_zn

| = 2|z|n→∞lim

1

n+ 1 = 0.

Soal no A5

Periksa apakah polinom berikut analitik:

f(x,y) = (2 + 2x₋3y₋2x2+ 2y2₋3x2y+y3) +(₋1 + 2y+x3

−4xy ₋3xy2

Jawab

Kita tuliskanαk =ak+bki,k = 0,1,2,3, dan pandang:

f(x,y) =α0+α1z+α2z 2

+α3z 3

.

Kita dapatkan sistem persamaan:

a0−2 + (a1−2)x+ (3−b1)y−2b2xy+ (a2+ 2)x2+ (−a2−2)y2

−3a3xy2+ (3−3b3)x2y+ (−1 +b3)y3+a3x3

1 +b0+ (b1−3)x+ (−2 +a1)y+b2x2−b2y2+ (4 + 2a2)xy

Dengan memeriksa suku demi suku sistem persamaan tersebut didapat:

a0 = 2,b0 =−1, =⇒ α0 = 2−i

a1 = 2,b1 = 3, =⇒ α1 = 2 + 3i

a2 =−2,b2 = 0, =⇒ α2 =−2 dan

a3 = 0,b3 = 1, =⇒ α3 =i.

Jadi,

Soal no A6

Hitunglah:

Z

C

x x2_+y2 −i

y x2_+y2

dz,

Jawab

Dari Formula Integral Cauchy:

Soal no B1

Misalkanz◦ 6= 1 adalah akar pangkatn dari 1. Tunjukkan bahwa:

n−1

X

1

zk =₋1.

Karenaz◦ adalah akar pangkatn dari 1, maka:

0 =z◦ n

−1 = (z◦−1)(z◦ n−1

+z◦ n−2

+. . .+ 1).

Karenaz◦ 6= 1 maka,

n−1

X

1

Soal no B2

Hitunglah:

Z

C

z2

−z3

z2_{−2iz −1}

dz,

Jawab

Pandangz2₋2_iz₋1 = (z_−i)2

, danf(z) =z2₋z3. Maka, dari formula integral Cauchy:

Dari asumsi padaf,

|f(z)₋f(0)_{| ≤}B_|z_|k+1,

sehingga: terdapat konstanta-konstanta positifC danD

sedemikian sehingga:

|g(z)_{| ≤}C +D_|z_|k.

Dari hipotesis induksi, haruslahg polinomial dengan derajat paling tinggik. Jadi, untukz ₆= 0, kita dapatkan:

Soal no B3

Misalkanf entire dan_|f′′

(z)_{| ≤ |}z_|. Buktikan

Jawab

Misalkang adalah fungsi entire. Maka:

g(z) = 1 2πi

Z

C

g(ω)

ω₋zdω,

g′

(z) = 1 2π_i

Z

C

g(ω)

(ω₋z)2dω, dan

denganC sebuah lingkaran: Reiθ

Dari Teorema Pengembangan Liouville, kita tahu: jikaf entire dan

|f′′

(z)_{| ≤ |}z_|, maka:

f′′

(z) =a2+a3z.

Jadi, kita tahu bahwa:

f(z) =a0+a1z+a2z2+a3z3,

dengan

a3 =

f′′′

(0)

Selanjutnya:

Dengan mengambilR_→0, kita simpulkan f′′