Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

1. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DARI SUATU SUDUT SEGITIGA SIKU-SIKU

Y

P(x,y) x disebut absis y disebut ordinat

r y r jari-jari

sudut  positif diukur dari sumbu X berlawanan



arah putaran jarum jam.

0 x X 2

2 _y x r  

Definisi : r y 



sin r x 



cos x y tg





y r ec 

cos x r 



sec y x ctg 

Ketentuan di atas juga berlaku untuk kuadran II, III dan IV. Karena

x



r

dan yr maka berlaku



1



cos





1

dan



1



sin





1

. Khusus untuk

tg



dan

ctg



dapat bernilai setiap harga positif dan negatif.

Secara umum, perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku sembarang adalah sebagai berikut :

hipotenusa

(sisi miring) sisi di depan sudut



sisi di samping sudut Jadi : miring depan   sin miring samping   cos samping depan tg 





cos 1 cosec 





sin 1 sec    tg ctg  1

Contoh 1: Tentukan nilai sin,cos dan tg



dari gambar berikut :

a. b.



c b q p

 a r

Jawab : a.

... ... sin





... ... cos





... ... 



tg b. ... ... sin





... ... cos





... ... 



tg

Contoh 2: Diketahui

3 4 



Jawab :

3 4 



tg =

... ...



r



....



sin

= ....

... ...



cos



= .... ... ...



2. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA UNTUK 0 90



Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri pada sudut-sudut istimewa



 ₉₀

0  kita pergunakan gambar sebagai berikut :

Y ₄₅

₂ 1 ₆₀ _P(0,r)

2 1

₄₅ ₃₀



X

1 3

P(r,0) Dari gambar di atas jika kita nyatakan dengan tabel sebagai berikut :



cos



sin



tg



ctg



sec



cos

ec





0 … … … …



30 … … … …



45 … … … …



60 … … … …



90 … … … …

C

Contoh 3: Tentukan AC dan AB ! 5

₆₀

A B Jawab : tg ₆₀₌

... ...

 AC....

cos ....

... ...

60   AB

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilai sin,cos dan tg  dari gambar berikut : c

a) b)



p

b a  q

r

2. Tentukan nilai sin,cos dan tg  dari gambar berikut : a) B b) P 6 2 8 

6 6 R 

A C

3. A ₆₀ _{B Jika DC = 6 cm, maka tentukan AB}

₄₅

D C

4. Jika

10 3

sin



 maka tentukan cos  dan tg 

5. Jika tg  2 maka tentukan sin  dan cos  6. Tentukan nilainya :

a. _2sin30 _{ 3cos30} _{6 3tg30}

b. _ _

30 cos 6 45 sin 2

60 sin 6 60 3

   tg

C

7. ₃₀ _{Tentukan AB dan BC}

B

12

A

3. SUDUT-SUDUT BERELASI

3.1 RELASI  DAN



₁₈₀  



Y





.... .... .... 180

sin 



 

P’(-x,y) ₁₈₀  _P(x,y)





_....

.... .... 180

cos 



 



X





....

.... .... 180



  tg

3.2 RELASI  DAN



₁₈₀ 



Y

P(x,y)





....

.... .... 180

sin  



 

₁₈₀



_X





....

.... .... 180

cos  



 





....

.... .... 180



  tg

P’(-x,-y)

3.3 RELASI  DAN



₃₆₀  



_ATAU



_{ }



P(x,y) sin



360  



sin



 



....



360



cos





....

cos         tg



360  



tg



 



....





X

P’(x,-y)

3.4 RELASI  DAN



₉₀  



Y

P’(y,x)





....

.... .... 90

sin  



 

₉₀  _P(x,y)





....

.... .... 90

cos  



 





....

.... .... 90



  tg

X 3.5 RELASI  DAN



₉₀ 



Y

P’(-y,-x)





....

.... .... 90

sin 



 

₉₀ _P(x,y)





_....

.... .... 90

cos  



 







....

.... .... 90



  tg

X 3.6 RELASI  DAN



₂₇₀  



Y





....

.... .... 270

sin  



 

P(x,y)





.... .... .... 270

cos  



 

₂₇₀   _X





_....

.... .... 270 



  tg

P’(-y,-x)

3.7 RELASI  DAN



₂₇₀ 



Y

P(x,y)





....

.... .... 270

sin  



 



X





.... .... .... 270

cos  



 

 



270





....

.... .... 270 



  tg

P’(y,-x)

Contoh 1: Tentukan nilai dari :

a. _sin150 _{b. cos225} _{c. tg330}

Jawab : a. _sin150 _{= sin( … - … ) = sin … = ….}

c. _tg330 _{= ….}

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilainya dari :

a. _sin120 _{b. sin135} _{c. cos240} _{d. tg300}

e. _cos330 _{f. tg150} _{g. sin240} _{h. cos120}

i. _cos135 _{j. tg210} _{k. sin180} _{l. tg270}

m. _sin



_{ 150}



_{n. cos}



_{ 300}



_{o. tg}



_{ 210}



2. Jika

5 3

sin



 dan ₉₀ _{ 180} maka tentukan cos  dan tg 

3. Jika tg  3 dan ₂₇₀ _{ 360}

 maka tentukan sin  dan cos 

4. Tentukan  untuk ₀ _{ 360}

 dari :

a.

2 1

sin



 b. 2

2 1

cos



 c. tg  3

5. Sederhanakan !

a. _4sin225 _2cos300 _{ 2sin315} _2cos315

b. _3tg240 _{ 2sin210} _{ 2sin315} _{3 3tg330}

4. KOORDINAT KUTUB

Y P(x,y) Koordinat Cartesius P(x,y) Koordinat Kutub P(r,



) r



X

Hubungan koordinat Cartesius dan koordinat Kutub : 1. Dari koordinat Cartesius ke Kutub

P(x,y) = P(r,



) 2 2 _y x r 

x y arctg x

y

tg



 





2. Dari koordinat Kutub ke Cartesius P(r,)P(x,y)



cos

r

x





sin

r y

Contoh 1: Tentukan koordinat Cartesius dari titik P(10,45) Jawab : x = … = …

y = … = …

Contoh 2: Tentukan koordinat kutub dari titik Q(-3,-4) Jawab : r = … = …

Arctg





....

= …







....

Jadi koordinat kutub Q(……,……)

LATIHAN SOAL

1. Tentukan koordinat Cartesius dari :

a. _A



_8,60



_{b. B}



_10,120



_{c. C}



_6,210



_{d. D}



_4,300



e. _E



_{3 2,325}



_{f. F}



_3,300



_{g. G}



_4,60



_{h. H}



_2,225



i. _I



_12,0



_{j. J}



_6,90



2. Tentukan koordinat Kutub dari :

a. A(5,5) b. B(-4,4) c. C(2, 2 3) d. D(0,5)

e. E(-8,0) f. F(-10,-10) g. G(5 3,5) h. H(1, 3)

i. I( 3,1) j. J(1,-1)

5. HUBUNGAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT

Y P(x,y) _x2_y2 _r2 _…(1)

r

   



  sin cos

r y

r x

…(2)

 0. X

Dari (1) dan (2) didapat hubungan :

2 2 2 _{y r}

x  



…

_cos2 _sin2 _...





  

 

.... sin

.... cos

2 2





 

... ...

... ... x

y

... ... 



tg

Contoh 1: Jika

10 8

cos



 , maka tentukan sin  dan tg 

Jawab : sin2



_... sin   ...

tg

... ... 

Contoh 2: Buktikan sincos(1tg2)tg Jawab : sin cos (1 2 ) ....

   

 tg

= …. = ….

LATIHAN SOAL

1. Diketahui



A

lancip dan

17 8

sinA . Hitung cos A dan tg A !

2. Jika

15 9

cosB dan ₉₀ _B180_{, maka tentukan sin B dan tg B !}

3. Tunjukkan bahwa : a. _cos2₁₂₀_sin2₁₂₀ _1

b. _sin2₂₇₀ _cos2₂₇₀ _1

4. Buktikan identitas berikut : a. _2cos2



_{11 2sin}2



b. 



 2

2 2

sin 1tg 

tg

c.











cos 2 cos

1 sin sin

cos 1

 

 

d.



_sinP _cosP



_cosP _sinP



_{1 2sin}2 P

  



e.



1 cos



1sec



ctg



sin f. _{1 cos}2



_sin2



_tg2_{ tg}2_

6. PENGUKURAN SUDUT DENGAN DERAJAT DAN RADIAN

1 putaran = 

360 atau

360 1

1  _putaran '

60

1  _{(menit) dan 1’ = 60’’ (detik)}

Definisi : 1 radian adalah sudut pusat yang busurnya sama dengan jari-jari lingkarannya. Q

r 1 rad = POQ jika busur PQ = r

Jadi radian yaitu ukuran sudut yang diperoleh dari perbandingan

O r P panjang busur lingkaran dengan jari-jarinya.

Keliling 2

1 _{lingkaran = } r

Q O P Jadi POQ = ₁₈₀₌



_



r r

rad

Jadi ₁₈₀  _{rad atau cukup ditulis dengan 180} _

1 rad = 57,296 57 17'45''

14 , 3 180

180 _  _  _ 



Contoh 1: Nyatakan ₁₂₀ _{dengan ukuran radian !}

Contoh 2: Nyatakan 3 4



dengan ukuran derajat !

Jawab : 3 4



= ….

LATIHAN SOAL

1. Nyatakan ke dalam ukuran radian dari :

a. ₄₅ _{b. 90} _{c. 135} _{d. 210} _{e. 240}

f. ₃₃₀ _{g. 270} _{h. 360} _{i. 420} _{j. 540}

2. Nyatakan ke dalam ukuran derajat dari : a.

3



b. 3 2



c. 3 5



d. 6 11



e. 12 5



f. 18 5



g. 2 h. 30

3. Berapa radian ukuran 1?

4. Tentukan nilai dari : a.

2 3

sin



b.

6 11

sin



c.

3 4

cos



d. 4 5



tg e. sin30

B. FUNGSI TRIGONOMETRI

Domain fungsi trigonometri berupa himpunan sudut-sudut dan kodomainnya berupa bilangan real. Fungsi trigonometri merupakan fungsi yang periodik, artinya pada selang sudut tertentu nilai fungsi itu akan berulang sama nilainya. Periode sin dan cos adalah



360 atau

2



. Sedangkan periode tg adalah ₁₈₀_atau



_.

Jadi sin x = sin (x + k.

2



) cos x = cos (x + k. 2



) tg x = tg (x + k.



) dimana kB

Contoh 1: Tentukan nilai dari :

a. _sin480 _{b. cos960} _{c. tg1290}

Jawab : a. _sin480 _{= …}

b. _cos960 _{= …}

c. _tg1290 _{= …}

1. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

1.1 Grafik y = sin x, y = cos x dan y = tg x pada ₀ _x360

Y = sin x Y

1

X

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

-1

y = cos x Y

1

X

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

-1

y = tg x Y

X

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

LATIHAN SOAL

Lukislah grafik di bawah ini untuk 0x360 !

1 3 sin 2 .

8

2 cos 3 .

7

1 2 sin .

6

2 sin .

5

2 cos 3 .

4

1 sin 2 .

3

cos 5 .

2

sin 2 .

1

 



 



 

   

     

 

x y

x y

x y

x y

x y

y

x y