5
Universitas Kristen Petra A
A 2.1. Definisi Fuzzy Logic
Dalam kehidupan sehari-hari manusia sering menggambarkan suatu sistem dengan pendekatan yang bersifat tidak presisi misalnya panas, agak panas, dan sebagainya. Hal ini sangat berbeda dengan pendekatan matematis yang bersifat presisi misal 1000 Celcius. Albert Einstein (1921) memberikan sebuah paradigma “ So far laws of mathematics refer to reality, they are not certain. And so far as they are certain, they do not refer to reality”. Konsep pola pikir yang tidak presisi tersebut melahirkan konsep himpunan dan logika fuzzy. Konsep himpunan Fuzzy ini berbeda dengan himpunan matematika tradisional yang biasa disebut himpunan crisp. Berikut merupakan penjelasan matematis yang membedakan himpunan crisp dan himpunan fuzzy menurut Zadeh(1965):
• Himpunan Crisp
Gambar 2.1. Contoh Himpunan Crisp
Crisp set
µA: UÆ {0,1}
Himpunan Crisp juga disebut himpunan karateristik yang batas keanggotaannya bersifat tegas. Setiap anggota memiliki nilai keanggotaan tegas sebagai anggota atau bukan anggota.
• Himpuanan Fuzzy
Gambar 2.2. Contoh Himpunan Fuzzy
Universitas Kristen Petra Fuzzy set
µA: UÆ [0,1]
Himpunan Fuzzy adalah suatu himpunan yang di samping memiliki keanggotaan dengan karakteristik tegas juga memiliki suatu anggota yang tidak tegas keanggotaanya yang dikarakteristik dengan derajat keanggotaan dari nol sampai satu.
Dalam Logika Fuzzy sering digunakan beberapa istilah berikut:
• Himpunan penyokong (support set)
Daerah penyokong sangat penting untuk menginterpretasikan dan mengatur daerah fuzzy yang dinamis. Sebagai contoh domain untuk berat adalah 40 kg sampai dengan 60 kg, namun kurva yang ada dimulai dari 42 hingga 58 kg.
Hal inilah yang dinamakan dengan support set.
• Titik Crossover
Titik crossover adalah titik perpotongan yang menunjukkan derajat keanggotaan yang sama pada dua variabel linguistik. Berikut merupakan contoh titik crossover:
Gambar 2.3. Contoh Titik Crossover
Pada Gambar di atas, nilai derajat keanggotaan TS pada titik 50 adalah 0.5 pada variabel linguistik ‘baik’ dan 0.5 pada variabel linguistik ’tinggi’
• Variabel Linguistik
Variabel linguistik merupakan variabel yang digunakan dalam himpunan fuzzy. Berbeda dengan variabel numerik yang memiliki domain berupa
Universitas Kristen Petra
Fuzzify Propagate De-fuzzify
FUZZY RULES
Waktu Pemanasan
sedang Lama sebentar
sedang
sedang
Waktu Pendinginan sebentar
Lama
Banyak Sedikit Flow Gas
Kandungan TS Kandungan H2O
rendah tinggi
tinggi rendah
bilangan, variabel linguistik domainnya berupa kata-kata misalnya panas, agak panas.
2.2. Struktur dari Program Fuzzy Logic
Sebuah program fuzzy logic dapat diperlihatkan melalui tiga tahap proses berikut:
• Tahap 1 – Fusifikasi
Nilai input dari himpunan crisp dijadikan sebuah input variabel fuzzy yang sesuai. Nilai dari himpunan crisp diubah menjadi sebuah derajat keanggotaan dalam setiap fungsi keanggotaan di mana nilai tersebut berada.
• Tahap 2 – Propagasi
Tahap ini adalah merupakan tahap manipulasi dari input fuzzy untuk menghasilkan output fuzzy yang menjadi kesimpulan fuzzy dengan menggunakan aturan-aturan logika fuzzy
• Tahap 3 – Defusifikasi
Setiap derajat keanggotaan tertentu pada himpunan keanggotaan dikonversikan kembali pada nilai himpunan crisp.
Berikut ini merupakan sebuah contoh bagan yang menggambarkan struktur dari program fuzzy logic:
Gambar 2.4. Contoh Struktur Program Fuzzy
Universitas Kristen Petra 2.3. Metode Analisis Menggunakan Fuzzy Logic
Logika fuzzy merupakan suatu cara yang tepat untuk memetakan suatu ruang input ke dalam suatu ruang output. Antara input dan output terdapat suatu kotak hitam yang harus memetakan input ke output yang sesuai. Selama ini ada beberapa cara yang mampu untuk bekerja pada kotak hitam yaitu: (Sri Kusumadewi, 2002)
- Sistem fuzzy.
- Sistem linear.
- Sistem pakar.
- Jaringan syaraf.
- Persamaan differensial.
- Tabel interpolasi multi-dimensi.
Ruang Input Kotak Hitam Ruang Output
Gambar 2.5. Contoh Pemetaan Input-Output
2.3.1. Sistem Inferensi Fuzzy
Fuzzy inference system merupakan proses memetakan sejumlah input yang ada untuk mendapatkan output dengan mengggunakan fuzzy logic. Fuzzy inference system juga lebih dikenal dengan nama fuzzy-rule based system, fuzzy expert system, fuzzy model, fuzzy associative memory, atau fuzzy logic controller.
Dalam sistem fuzzy tiap-tiap aturan akan berhubungan dengan suatu relasi fuzzy. Ada dua jenis proposisi fuzzy yang biasa digunakan yaitu sebagai berikut:
• Conditional Fuzzy Proposition
Pada proposisi fuzzy ini ditandai dengan penggunaan pernyataan IF.
Secara umum rumus pernyataan IF adalah:
IF x is A THEN y is B
Universitas Kristen Petra Variabel x dan y merupakan skalar sedangkan variabel A dan B adalah variabel linguistik. Proposisi yang mengikuti IF disebut anteseden sedangkan proposisi yang mengikuti pernyataan THEN disebut sebagai konsekuen.
Apabila dalam suatu proposisi menggunakan bentuk terkondisi maka ada dua fungsi implikasi yang dapat digunakan yaitu:
a. Min (minimum). Dalam fungsi minimum ini maka akan memotong output himpunan fuzzy.
b. Dot (product). Adapun fungsi ini akan menskala output himpunan fuzzy.
• Unconditional Fuzzy Proposition
Pada proposisi jenis ini tidak ditandai dengan pernyataan IF. Secara umum dapat dituliskan rumus yaitu:
x is A
Variabel x adalah skalar dan variabel A merupakan variabel linguistik.
Proposisi dengan model yang tak terkondisi diaplikasikan dengan model pernyataan AND bergantung pada bagaimana proposisi tersebut diaplikasikan bisa membatasi daerah output, bisa juga mendefinisikan default daerah solusi (jika tidak ada aturan terkondisi yang dieksekusi).
2.3.1.1. Komposisi Aturan Inferensi Fuzzy
Dalam komposisi inferensi fuzzy ini ada tiga metode yang umum digunakan yaitu:
• Metode maksimum-minimum
Pada metode maksimum ini solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara mengambil nilai maksimum aturan kemudian menggunakannya untuk memodifikasi daerah fuzzy dan mengaplikasikannya ke output dengan menggunakan operator OR (union). Jika semua proposisi dievaluasi maka output akan berisi suatu himpunan fuzzy yang merefleksikan konstribusi tiap proposisi.
Secara umum dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut:
µsf[xi] ← max (µsf[xi], µkf[xi] ) (2.1)
Universitas Kristen Petra Keterangan :
µsf[xi] = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke-i.
µkf[xi] = nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i.
Apabila digunakan fungsi implikasi MIN maka metode komposisi ini sering disebut dengan nama MAX-MIN atau MIN-MAX atau MAMDANI.
• Metode Additive (Sum)
Pada metode additive ini solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara melakukan bounded-sum terhadap semua output daerah fuzzy. Secara umum dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut:
µsf[xi] ← min (1,µsf[xi] + µkf[xi] ) (2.2)
Keterangan:
µsf[xi] = Nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke-i.
µkf[xi] = Nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i.
• Metode Probabilistik OR (probor)
Pada metode ini solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan melakukan product terhadap semua output daerah fuzzy. Secara umum dapat dituliskan dengan rumus berikut:
µsf[xi] ← (µsf[xi] + µkf[xi] ) – (µsf[xi] * µkf[xi] ) (2.3)
Keterangan:
µsf[xi] = Nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke-i.
µkf[xi] = Nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i.
2.3.1.2. Defusifikasi
Adapun input dari proses defusifikasi adalah himpunan fuzzy yang diperoleh dari komposisi aturan-aturan fuzzy sedangkan output yang dihasilkan merupakan suatu bilangan pada domain himpunan fuzzy tersebut. Ada beberapa metode defusifikasi pada komposisi aturan MAMDANI antara lain yaitu:
Universitas Kristen Petra
• Metode Centroid (Composite Moment)
Pada metode ini solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil titik pusat daerah fuzzy. Secara umum dirumuskan sebagai berikut:
∫
=
∫
z z
dz z
dz z z
z ( )
) ( µ
µ
atau
∑
∑
=
= =n j
j n j
j j
z z z z
1 1
) (
) ( µ
µ
(2.4)
Dengan menggunakan metode centroid terdapat beberapa keuntungan yaitu nilai defusi akan bergerak secara halus sehingga perubahan dari suatu topologi himpunan fuzzy ke topologi berikutnya juga akan berjalan dengan halus.
Keuntungan lain dengan menggunakan metode ini adalah kemudahan dalam melakukan perhitungan.
• Metode Bisektor
Dengan menggunakan metode ini maka solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai pada domain fuzzy yang memiliki nilai keanggotaan separuh dari jumlah total nilai keanggotaan pada daerah fuzzy. Secara umum dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut:
Zp sedemikian sehingga
∫
ℜ =∫
ℜnp
p (z)dz (z)dz
1µ µ (2.5)
• Metode Mean of Maximum (MOM)
Pada metode ini solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai rata-rata domain yang memiliki nilai keanggotaaan maksimum.
• Metode Largest of Maximum (LOM)
Metode ini memperoleh solusi crisp dengan cara mengambil nilai terbesar dari domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum.
Universitas Kristen Petra 2.4. Berbagai Macam Tipe Himpunan Keanggotaan
2.4.1. The Downward Slope Shape
The Downward Slope Shape biasanya digunakan untuk data yang berada pada daerah lebih rendah dari variabel fuzzy.
Gambar 2.6. The Downward Slope Shape 2.4.2. The Upward Slope Shape
The Upward Slope Shape biasanya digunakan untuk data yang berada pada daerah lebih tinggi dari variabel fuzzy.
Gambar 2.7. The Upward Slope Shape
2.4.3. The Upward Triangle Shape
The Upward Triangle Shape biasanya digunakan untuk data yang mencakup daerah yang terpusat pada satu titik dengan nilai pasti dari sebuah variabel fuzzy.
Universitas Kristen Petra
Gambar 2.8. The Upward Triangle Shape
2.4.4. The Downward Triangle Shape
The Downward Triangle Shape biasanya digunakan untuk data yang mengindikasikan negasi dari suatu kualitas. Misalnya seperti “tidak panas” yang mencakup semua kecuali daerah yang berupusat di tengah dengan sebuah nilai pasti dari sebuah variabel fuzzy.
Gambar 2.9. The Downward Triangle Shape
2.4.5. The Upwards Trapezoid Shape
The Upwards Trapezoid Shape biasanya digunakan untuk data yang nilainya mencakup daerah di tengah daerah variabel fuzzy. Misalnya pada gambar 2.10. di bawah ini menyatakan bahwa untuk nilai B memiliki nilai derajat keanggotaan 1 pada membership function. Gambar bentuk upwards trapezoid shape dapat dilihat di bawah ini:
Universitas Kristen Petra
Gambar 2.10. The Upward Trapezoid Shape
2.4.6. The Downwards Trapezoid Shape
The Downwards Trapezoid Shape biasanya digunakan untuk data yang mengindikasikan negasi dari kualitas, misalnya seperti tidak halus yang mencakup semuanya kecuali sebuah daerah nilai di tengah variabel fuzzy.
Gambar 2.11.The Downward Trapezoid Shape
2.4.7. The 'Freehand' Shape
The 'Freehand' Shape mencakup semua kemungkinan kebutuhan. Setiap poin dijelaskan dalam bentuk V/M, dimana V adalah nilai variabel dan M adalah nilai himpunan keanggotaan. Nilai respektif awal dan akhir untuk M dapat berupa 0 atau 1. Nilai dari V dari ditetapkan dengan cara bertingkat secara bertahap.
Universitas Kristen Petra
Gambar 2.12. The 'Freehand' Shape
Dalam contoh-contoh di atas tampak bahwa garis–garis yang menghubungkan setiap titik (poin) berupa garis lurus. Tetapi tidak menutup kemungkinan untuk menambahkan sebuah parameter curvature untuk bentuk kurva secara keseluruhan. Tujuan dari penambahan parameter ini adalah untuk menghaluskan garis-garis lurus antar tiap titik.
Parameter curvature dapat berupa nilai di antara 0.1 dan 9.9. bentuk dari setiap kurva bervariasi, tergantung dari posisi relatif dari titik awal dan titik akhir.
Hubungan kemiringan kurva di antara dua titik meningkat, tetap atau menurun, dan parameter curvature kurang dari 1, sama dengan 1, atau lebih dari 1 dapat ditunjukkan pada tabel berikut :
Tabel 2.1. Hubungan Bentuk Kurva Dengan Parameter Curvature
Sumber: Logic Programming Associates Ltd.Studio 4,The Royal Victoria Patriotic Building,Trinity Road, London, SW18 3SX (http://www.lpa.co.uk/)
Universitas Kristen Petra 2.5. Konsep Membandingkan Dua Perlakuan
Untuk membandingkan dua atau lebih teknik kompetensi, dibutuhkan beberapa eksperimen, pengumpulan data informatif, dan pencarian ruang inferensi dari bukti setiap ekperimen. Penggunaan dari metode statistik pasti diperlukan karena telah tersedia dasar logika untuk melakukan evaluasi terhadap bukti yang dihasilkan dari suatu percobaan dan merencanakan suatu cara yang efektif dalam pengumpulan data. (Bhattacarya and Johnson, 1977).
Dengan tujuan untuk membandingkan dua perlakuan data berupa sampel diambil dari dua populasi yang bersifat saling independen. Masing-masing sampel yang diambil mewakili populasinya dengan rumus:
Sampel 1
X1,X2,….., X3 x=
∑
= 1
1 1
1 n
i
Xi
n , s = 12
1 ) (
1 1 1 2
−
∑
−=
n X X
n i
i
(2.6) Dari populasi 1
Sampel 2
Y1,Y2,….., Y3 y=
∑
= 2
2 1
1 n
i
Yi
n , s = 22
1 ) (
2 1 2 2
−
∑
−=
n Y Y
n
i i
(2.7) Dari populasi 2
Untuk ruang inferensi bagi kedua sampel yang bernilai besar (lebih dari 25 atau 30), asumsi yang harus dipenuhi pada nilai sampel kecil tidak perlu diperhatikan lagi. Sehingga pendekatan yang digunakan adalah berikut:
2 2 2 1
2 1
2
1 )
(
n n Y X
σ σ
µ µ +
−
−
− (2.8)
Untuk perhitungan standar deviasi masing-masing sampel digunakan rumus berikut:
2
s1 =
∑
ni=11(Xi −X)2 n1−1 (2.9)Universitas Kristen Petra
2
s2=
∑
ni=21(Yi −Y)2 n2−1Untuk mencari selang interval tingkat kepercayaan 100(1-α)% digunakan rumus berikut:
Large sample inferences for µ1−µ2
2 2 2 1 2 1 2
/ n
s n z s Y
X = + α + (2.10)
where zα/2 is the upper α/2 point of N(0,1)
Sedangkan untuk melakukan uji hipotesis untuk mengetahui data mendapat perlakuan yang sama atau berbeda digunakan rumus berikut:
H0:µ1−µ2 =δ0, pengujian statistika yang digunakan:
Z=
2 2 2 1 2 1
0
n s n s
Y X
+
−
− δ
(2.11)
H1: µ1 - µ2 ≠ δ0 , dengan daerah penolakan │t│> tα/2
