MATA KULIAH : MATEMATIKA II POKOK BAHASAN :

MATA KULIAH

: MATEMATIKA II

POKOK BAHASAN :

1. INTEGRAL TAK TENTU

2. INTEGRAL TERTENTU SEBAGAI LIMIT JUMLAH 3. SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU

4. TEOREMA-TEOREMA DASAR DALAM KALKULUS 5. BEBERAPA TERAPAN DALAM INTEGRAL

TERTENTU

6. INTEGRAL NUMERIK

BUKU PEGANGAN :

1. Salers, S.L., and Hille, E., 1995 : Calculus One and Several Variables, J. Wiley.

2. Purcell, E., 1985 : Kalkulus dan Geometri Analitis, Erlangga.

KOMPONEN PENILAIAN

1. UTS : 20 %

2. UAS : 25 %

3. KUIS : 15 %

4. PRESENTASI & DISKUSI : 20 % 5. TUGAS/ PR : 15 %

SANGSI-SANGSI :

1. Tidak mengikuti Diskusi & Presentasi : NILAI NOL pada komponen nilai tersebut.

2. Tidak mengikuti UTS & UAS : NILAI NOL.

3. Menyontek dan bekerja sama pada saat Ujian & Kuis : NILAI NOL.

ANTI DERIVATIF

Contoh

1. F(x)=ex+2⇒F′(x)= f(x)=ex 2. G(x)=ex+3⇒G′(x)=g(x)=ex

Diberikan fungsi-fungsi F(x),G(x), dan f(x).

a. Jika F′(x) = f (x), maka F(x) disebut Anti Derivatif fungsi )

(x f .

b. Jika F(x) dan G(x) masing-masing anti derivatif dari f(x),

maka F(x)−G(x) = c, dengan c suatu konstanta.

INTEGRAL TAK TENTU

Diberikan fungsi-fungsi F(x) dan f (x), dengan F(x) anti

derivatif fungsi f (x). c

x

F( )+ disebut Integral Tak Tentu dari f(x) dan ditulis :

∫

f(x)dx = F(x)+c. Contoh konstanta. sebarang dengan , 2 ) ( 2 ) ( k k e c e dx e e x f e x F _{x x x} x x + = + + = ⇒ = + =

∫

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TAK TENTU

1.

∫

[

f(x)+ g(x)

]

dx =

∫

f (x)dx+

∫

g(x)dx

2.

∫

k.f(x)dx = k

∫

f(x)dx, dengan k sebarangkonstanta.

RUMUS-RUMUS INTEGRAL TAK TENTU

1.

_∫

dx= x+c 2.

∫

+ ≠ − + = + , dengan 1 1 1 1 n c x n dx xn n 3.

∫

= x +c x dx | | ln 4.

_∫

sinxdx = −cosx+c 5.

∫

cosxdx =sinx+c 6.

∫

tanxdx = −ln|cosx|+c 7.

∫

cotanxdx = ln|sinx|+c

8.

_∫

secxdx =ln|secx+tanx|+c

9.

_∫

cosecxdx = ln|cosecx−cotanx|+c

10.

∫

sec2 xdx= tanx+c

11.

_∫

cosec2xdx= −cotanx+c

12.

∫

sec2 xdx= tanx+c

15. , dengan 0 dan 1 ln > ≠ =

∫

a a a a dx a x x 16.

∫

exdx = ex +c 17.

_∫

⎩ ⎨ ⎧ + − + = + x c c x x dx arccotan arctan 1 2 18.

∫

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − + = + c c a x dx a x a a x a arccotan arctan 1 1 2 2 19.

_∫

⎩ ⎨ ⎧ + − + = − x c c x x dx arccos arcsin 1 2 20.

∫

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − + = − c c x a dx a x a x arccos arcsin 2 2 21.

_∫

⎩ ⎨ ⎧ + − + = − x c c x x x dx arccosec arcsec 1 2 22.

_∫

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − + = − c c a x x dx a x a a x a arccosec arcsec 1 1 2 2 Contoh

(

)

c x x x x dx x x x dx x dx x x xdx dx x x x x dx x x x dx x x + + + = + + = + + = + + = + + = +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

3 3 1 5 4 2 2 1 3 3 1 2 2 1 2 2 2 2 5 2 2 ) 2 ( ) 2 1 ( 1

TUGAS 1 1.

∫

(

2x +2x −5

)

dx =... 2.

∫

⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + _... 2 2 3 _{2 5 7} dx x x x x x

3.

_∫

(

sinxsec2 x+3sec2 x+1

)

dx =...

TEKNIK PENGINTEGRALAN

1. Metode Substitusi

2. Metode Integral Parsial

3. Integral Fungsi Pecah Rasional 4. Integral fungsi Irasional

5. Integral Fungsi Trigonometri

1. METODE SUBSTITUSI

adalah memasukkan (substitusi) variabel baru yang tepat sehingga dari bentuk fungsi yang belum dikenal didapat bentuk fungsi lain yang telah dikenal.

Diberikan fungsi f terdefinisi pada [a,b] dan fungsi

] , [ ] , [ : a b g α β → mempunyai invers g−1.

Jika mempunyai derivatif dan kontinu masing-masing pada interval

1

dan g− g

] ,

[α β dan [a,b] serta f kontinu pada [a,b], maka :

_∫

f(x)dx=

_∫

f(g(t))g′(t)dt [α,β] g [a,b] f R_f t (f _og)(t) ) (t g x= _{( ) ( ( ))} t g f x f = Bukti

Cukup dibuktikan bahwa turunan kedua ruas terhadap x adalah fungsi yang sama.

Misalkan

_∫

f (x)dx = F(x)+c, maka : ) ( ) ) ( ( ) ( F x c f x dx d dx x f dx d _{= + =}

∫

... (i) Sedangkan, ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( 1 1 x f t g f t g t g f t g t g f t g t g f dt t g t g f dt d dt t g t g f dx d t g dx dt dx dt dt dx = = ′ = ′ = ′ = ′ = ′ ′

∫

∫

... (ii)

Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa

∫

f(x)dx =

∫

f(g(t))g′(t)dt ■ Contoh

∫

sinxcos2 xdx = ... Diambil substitusi : Sehingga diperoleh : c x c y dy y xdx x = − = − + =− +

∫

sin cos2

∫

2 31 3 31cos3

TUGAS 2 1.

∫

= ... ln x x dx 2.

∫

esinx cosxdx = ... 3.

∫

x3 1+ x2dx =... 4.

_∫

= − + ... 1 1 dx x x

2. METODE INTEGRAL PARSIAL

Misalkan u = f(x) dan v= g(x), maka :

) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( x f x g x g x f dx x g x f d dx uv d _{= = ′ + ′} atau

(

′ + ′

)

=

Jadi,

(

)

∫

∫

∫

∫

′ + ′ = ′ + ′ = dx x f x g dx x g x f uv dx x f x g x g x f uv d ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( atau

∫

∫

_g′_(x)f(x)dx =_uv− _f′_(x)g(x)dx ... (*) Karena ⎩ ⎨ ⎧ ′ = ′ = ⇒ = = dx x g dv dx x f du x g v x f u ) ( ) ( ) ( ) (

Sehingga persamaan (*) menjadi :

∫

udv =uv−

∫

vdu Contoh 1.

_∫

xcos xdx = ... Misalkan : u = x⇒ du = dx x v xdx v xdx dv sin cos cos = = ⇒ =

_∫

Jadi, c x x x xdx x x x xd xdx x + + = − = =

∫

∫

∫

cos sin sin sin ) (sin cos

2.

_∫

x2lnxdx= ... Misalkan : u =lnx⇒du = 1_xdx 3 3 1 2 2 x v dx x v dx x dv = = ⇒ =

_∫

Jadi, c x x x dx x x x dx x x x xd xdx x x_x + − = − = − = =

∫

∫

∫

∫

3 9 1 3 3 1 2 3 1 3 3 1 3 1 3 3 1 3 3 1 2 ln ln ln ) ( ln ln 3 TUGAS 3 1.

∫

exsin xdx = ... 2.

∫

cos4 xdx= ... 3.

_∫

cos5 xdx = ... 4.

∫

sin4 xdx = ... 5.

_∫

sin5 xdx= ... 6.

_∫

sin2xcos3xdx = ... KUIS

∫

ln(sinx)dx= ...

3. INTEGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL

Diberikan persamaan P(x) = a_nxn +a_n−1xn−1+...+a₁x+a₀,

dengan n∈Z+ dan a_n ≠ 0 .

Selanjutnya P(x) disebut Polinomial berderajat n.

Diberikan polinomial-polinomial P(x) dan Q(x) dengan

derajat masing-masing adalah m dan n, maka

) ( ) ( x Q x P disebut Pecah Rasional. i. Jika m < n, maka ) ( ) ( x Q x

P _{disebut Pecah Rasional Sejati}

ii. Jika m≥ , maka n ) ( ) ( x Q x

P _{disebut Pecah Rasional Tak}

Sejati dan dapat diubah menjadi :

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x Q x R x S x Q x P _{= +}

, dengan R(x) dan S(x)

masing-masing polinomial dan derajat R(x) lebih kecil dari n.

Contoh 1 3 15 5 18 40 ) 15 5 ( 1 3 3 5 2 3 4 2 3 2 3 4 2 5 + + + + − + + − = + + + + x x x x x x x x x x x x

Diberikan pecah rasional ) ( ) ( x Q x P .

Berdasarkan akar-akar Q(x)=0, akan dibahas integral fungsi pecah rasional dalam 4 kasus.

I. KASUS 1

0 ) (x =

Q mempunyai akar-akar real dan berbeda.

berbeda. dan real ,..., , dengan ), )...( )( ( ) (x x x₁ x x₂ x x_n x₁ x₂ x_n Q = − − − maka ) ( ) ( x Q x

P _{dapat dinyatakan sebagai berikut :}

n n x x A x x A x x A x Q x P − + + − + − = ... ) ( ) ( 2 2 1 1 _{, dengan A A A R} n ∈ ,..., , ₂ 1

konstanta-konstanta yang akan dicari.

Contoh

∫

= −4 ... 1 2 dx x 0 ) 2 )( 2 ( 4 0 ) (x = ⇔ x2 − = x− x+ = Q

Jadi Q(x) mempunyai dua akar real yang berbeda.

4 ) 2 ( ) 2 ( 2 2 4 1 ) ( ) ( 2 2 1 2 1 2 ₋ − + + = + + − = − = x x A x A x A x A x x Q x P Sehingga diperoleh : ⎧ + = ⇒ = + = − + + 0 0 1 ) 2 ( ) 2 ( 2 1 2 1 2 1 A A A A x A x A

4 / 1 dan 4 / 1 ₂ 1 = A = − A Jadi, c x x dx x dx x dx x x dx x + + − − = + − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − = −

∫

∫

∫

∫

| 2 | ln | 2 | ln 2 4 / 1 2 4 / 1 2 4 / 1 2 4 / 1 4 1 4 1 4 1 2 TUGAS 5 1.

_∫

= − + + _... 6 1 2 3 dx x x x x 2.

_∫

= + − + + ... 8 10 1 2 3 2 dx x x x x II. KASUS 2 0 ) (x =

Q mempunyai akar-akar real dan ada yang sama.

real. ,..., , dengan , ) ...( ) ( ) ( ) ( _{1 2} r _{1 2 t} t q p x x x x x x x x x x Q = − − − maka ) ( ) ( x Q x P

dapat dinyatakan sebagai berikut :

r t r t t q q p p x x C x x C x x C x x B x x B x x B x x A x x A x x A x Q x P ) ( ... ) ( ) ( ... ) ( ... ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 − + + − + − + + − + + − + − + − + + − + − =

dengan A_i,B_j,C_k ∈R konstanta-konstanta yang akan dicari, . ,..., 2 , 1 ; ,..., 2 , 1 ; ,..., 2 , 1 p j q k r i = = = Contoh

∫

= + − − + − ... ) 4 4 )( 1 ( 5 7 3 2 2 dx x x x x x 0 ) 2 )( 1 ( 0 ) 4 4 )( 1 ( 0 ) (x = ⇔ x− x2 − x+ = ⇔ x− x− 2 = Q

Jadi Q(x) mempunyai tiga akar real dan ada yang sama.

2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( ) 2 )( 1 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 1 ) 2 )( 1 ( 5 7 3 ) ( ) ( − − − + − − + − = − + − + − = − − + − = x x x B x x B x A x B x B x A x x x x x Q x P

Masukkan x pembuat nol (x =1& x = 2), sehingga diperoleh :

2 2 1 5 0 *) 3 2 *) 1 1 *) 1 1 2 1 = ⇔ + = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = B B x B x A x Jadi,

c x x x x d x x x dx x dx x dx x dx x x x dx x x x x x + − − − + − = − − + − + − = − + − + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − + − = + − − + −

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2 1 3 | 2 | ln 2 | 1 | ln ) 2 ( ) 2 ( 1 3 | 2 | ln 2 | 1 | ln ) 2 ( 3 2 2 1 1 ) 2 ( 3 2 2 1 1 ) 4 4 )( 1 ( 5 7 3 2 2 2 2 2 TUGAS 6 1.

∫

= + − − + ... 1 5 3 2 3 dx x x x x III. KASUS 3 0 ) (x =

Q mempunyai akar-akar imajiner dan berbeda.

Contoh : imajiner akar -akar mempunyai ) ( 0 4 4 1 ) (x x2 D b2 ac Q x Q = + ⇒ = − = − < ⇒

Akar-akar dari Q(x) adalah :

) )( ( 1 ) ( 1 2 2 4 2 2 , 1 i x i x x x Q i x b _a D − + = + = ∴ ± = − ± = = = − ± ± − Secara umum, ) )( ...( ) )( ( ) (x x x₁ x x₂ a₁x2 b₁x c₁ a₂x2 b₂x c₂ Q = − − n + + + +

maka ) ( ) ( x Q x P

dapat dinyatakan sebagai berikut :

2 2 2 2 1 1 2 1 ... ) ( ) ( c x b x a D Cx c x b x a B Ax x Q x P + + + + + + + + = Contoh

∫

= + + + ... ) 6 2 ( 1 2 2 dx x x x x 0 20 0 ) 6 2 ( 0 ) ( 2 < − = ⇓ = + + ⇔ = D x x x x Q

Jadi Q(x) mempunyai akar imajiner.

) 6 2 ( ) ( ) 6 2 ( 6 2 ) 6 2 ( 1 2 ) ( ) ( 2 2 2 2 + + + + + + = + + + + = + + + = x x x C Bx x x x A x x C Bx x A x x x x x Q x P sehingga diperoleh : 6 / 1 0 *) 3 / 5 2 2 *) 6 / 1 1 6 *) − = ⇒ = + = ⇒ = + = ⇒ = B B A C C A A A

Jadi, c x x x dx x x x x dx x x dx x x x x dx x x x x dx x x x x x + + + + − = + + + + + − = + + + + + + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − + = + + + +

∫

∫

∫

∫

∫

5 1 5 6 11 2 121 6 1 2 6 11 2 121 6 1 2 6 11 2 121 6 1 2 3 5 6 1 6 1 2 arctan | 6 2 | ln | | ln 5 ) 1 ( 1 | 6 2 | ln | | ln 6 2 1 6 2 2 2 | | ln 6 2 ) 6 2 ( 1 2 TUGAS 7 1.

∫

= + + + + + ... 2 3 2 2 4 2 3 dx x x x x x IV. KASUS 4 0 ) (x =

Q mempunyai akar-akar imajiner dan ada yang sama.

n c bx ax x Q( ) =...( 2 + + ) maka ) ( ) ( x Q x

P _{dapat dinyatakan sebagai berikut :}

n n n c bx ax B x A c bx ax B x A c bx ax B x A x Q x P ) ( ... ) ( ... ) ( ) ( 2 2 22 2 21 1 _{+ +} + + + + + + + + + + + =

Pada kasus ini akan muncul bentuk integral : dx c bx ax B Ax n

∫

₍ 2 ₊ + _{+ )}

Secara umum, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + = +

∫

∫

_{− +} − −− − dx a x dx a x n n n a x n x a n n (2 2) _{2 2 1} ) 3 2 ( ) )( 2 2 ( 1 2 2 _{( )} 1 ) ( 1 1 2 2 2 Contoh

∫

= + + ... ) 2 ( 1 3 2 2 dx x x 0 8 0 ) 2 ( 0 ) ( 2 2 < − = ⇓ = + ⇔ = D x x Q

Jadi Q(x) mempunyai akar imajiner dan sama.

2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ) 2 ( ) 2 )( ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 3 ) ( ) ( + + + + + = + + + + + = + + = x B x A x B x A x B x A x B x A x x x Q x P sehingga diperoleh : 1 1 2 *) 3 3 2 *) 0 *) 0 *) 2 2 1 2 2 1 1 1 = ⇒ = + = ⇒ = + = = B B B A A A B A

Jadi, c x x d x dx x dx x x dx x dx x x dx x x x x x x x x x x + + + + − = + + + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + = + + + = + + + + +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2 2 4 1 ) 2 ( 4 2 2 3 2 2 4 1 ) 2 ( 4 2 2 2 2 3 2 2 1 ) 2 ( 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 arctan ) 2 ( 1 arctan ) 2 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 3 ) 2 ( 1 3 2 2 2 TUGAS 8 1.

_∫

= + + + + + ... ) 5 2 ( 8 9 3 2 2 2 3 dx x x x x x

4. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Di dalam Trigonometri terdapar rumus-rumus sebagai berikut : 1. cos(a−b)= cosacosb+sinasinb

b a b

a b

a ) cos cos sin sin

cos( + = − (i)

[

cos( ) cos( )

]

cos cos cos cos 2 ) cos( ) cos(a−b + a +b = a b⇒ a b = ₂1 a −b + a+b (ii)

[

cos( ) cos( )

]

sin sin sin sin 2 ) cos( ) cos(a−b − a+b = a b⇒ a b = ₂1 a−b − a+b

2. sin(a+b)=sinacosb+cosasinb b a b

a b

a ) sin cos cos sin

sin( − = − (i)

[

sin( ) sin( )

]

cos sin cos sin 2 ) sin( ) sin(a+b + a−b = a b⇒ a b = ₂1 a+b + a −b (ii)

[

sin( ) sin( )

]

sin cos sin cos 2 ) sin( ) sin(a+b − a−b = a b⇒ a b= ₂1 a+b − a−b 3. 1+ tan2 x= sec2 x 4. 1+cotan2x= cosec2x

5. cos2x = 2cos2x−1⇒cos2 x= ₂1

[

1+cos2x

]

[

x

]

x x

x 1 2sin sin 1 cos2

2

cos = − 2 ⇒ 2 = ₂1 −

A. BENTUK :

∫

∫

∫

sin(nx)sin(mx)dx; cos(nx)cos(mx)dx; sin(nx)cos(mx)dx

Contoh

1.

∫

sin4xsin3xdx =

∫

₂1

[

cos(4−3)x−cos(4+3)x

]

dx

[

]

[

x x

]

c dx x x + − = − =

_∫

7 cos sin 7 cos cos 7 1 2 1 2 1

2.

∫

cos26xdx=

∫

cos6xcos6xdx

[

]

[

]

[

x x

]

c dx x dx x + + = + = + =

∫

∫

12 sin 12 cos 1 12 cos 0 cos 121 2 1 2 1 2 1 Atau

[

]

[

x x

]

c dx x xdx + + = + =

_∫

∫

12 sin 12 cos 1 6 cos 121 2 1 2 1 2

3.

_∫

sin10xcos6xdx =

_∫

1₂

[

sin16x+sin4x

]

dx

[

− x− x

]

+c

B. BENTUK :

∫

∫

f(sinx)cosxdx ; f(cosx)sinxdx, dengan f fungsi pecah

rasional.

Integrand dibawa dalam bentuk pecah rasional biasa dengan substitusi :

(i). u = sinx , untuk bentuk f(sinx)

(ii). u = cosx , untuk bentuk f(cosx)

Contoh

1.

∫

₂₊cos_3sinx _xdx=

∫

₂₊₃1_sinxcosxdx

Ambil substitusi : xdx du x u = sin ⇒ = cos c x du dx _u x x = = + +

∴

_∫

₂₊cos_3sin

_∫

₂₊1_{3 3}1ln|2 3sin |

2.

_∫

_∫

_∫

+ − + − dx= xdx = x xdx x x x x x x _{sin 4 sin} 2 2

2 _{1 (1}4cos_{sin ) 1} cos_cos

sin 2 cos sin 4 Ambil substitusi : xdx du x u = cos ⇒ = −sin c x du dx u u x x x = − =− + + ∴

_∫

_∫

+ − 4 2ln|1 cos | 2 1 sin 2 cos sin 4 2 2

C. BENTUK :

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

. cos sin ; cosec ; sec ; cotan ; tan ; cos ; sin xdx x xdx xdx xdx xdx xdx xdx m n n n n n n n

*) Rumus Reduksi untuk

_∫

cosn xdx

∫

∫

∫

cosn xdx = cosn−1xcosxdx = cosn−1xd(sinx) Dengan Integrasi Parsial diperoleh :

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

≥ + = ∴ − − − + = − − + = − + = − − − − − − − − − . 1 , cos sin cos cos cos ) 1 ( cos ) 1 ( sin cos cos ) cos 1 ( ) 1 ( sin cos cos sin ) 1 ( sin cos cos 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 n xdx n x x xdx xdx n xdx n x x xdx x n x x xdx x n x x xdx n n n n n n n n n n n n n

*) Rumus Reduksi untuk

∫

tann xdx

1 , tan tan tan tan tan tan sec tan ) 1 (sec tan tan tan tan 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 > − = − = − = − = =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

− − − − − − − − − n xdx x xdx x xd xdx xdx x dx x x xdx x xdx n n n n n n n n n n

Dengan cara yang sama, diperoleh rumus-rumus Reduksi sebagai berikut : 1 , cosec cosec . 7 1 , sec sec . 6 1 , cotan cotan . 5 1 , tan tan . 4 , cos sin cos sin . 3 1 , cos cos . 2 1 , sin sin . 1 2 12 1cotan cosec 2 1 2 1tan sec 2 1 cotan 2 1 tan 2 1 cos sin 2 1 sin cos 2 1 cos sin 2 2 1 1 1 1 1 1 > + − = > + = > − − = > − = − ≠ + = ≥ + = ≥ + − =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

− − − − − − − − − − − − − +− + − − − − − − − − − + − − n xdx xdx n xdx xdx n xdx xdx n xdx xdx m n xdx x xdx x n xdx xdx n xdx xdx n n n n x x n n n n n x x n n n x n n n x n m n m n m m n x x m n n n n n x x n n n n n x x n n n n n m n n n Contoh ... tan6 =

∫

xdx c x x x x dx x x x dx x x x xdx x x xd xdx xdx x dx x x xdx x xdx + − + − = − + − = − − = − = − = − = =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

tan tan tan ) 1 (sec tan tan ) 1 (sec tan tan tan tan ) (tan tan tan sec tan ) 1 (sec tan tan tan tan 3 3 1 5 5 1 2 3 3 1 5 5 1 2 2 5 5 1 2 2 4 4 2 4 2 4 2 4 6

c x x x x xdx x x xdx x xdx + − + − = + − = − =

∫

∫

∫

tan tan tan tan tan tan tan tan tan 3 3 1 5 5 1 2 3 3 1 5 5 1 4 5 5 1 6 TUGAS 9 ... sec6 =

∫

xdx

D. SUBSTITUSI :

y = tan1₂x

Jika integrand merupakan fungsi pecah rasional dalam fungsi trigonometri, maka integrand dapat dibawa ke bentuk pecah rasional biasa dengan substitusi (sesuai bentuk integrandnya):

) cotan atau ( tan1₂x y 1₂x y = =

atau y = tanx (atau y = cotanx)

Untuk y = tan1₂ x⇒ 1₂x =arctany⇒ x= 2arctany

(i). dx dy y2 1 2 + = (ii). 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 cos sin 2 sin + + + = = = y y y y y x x x (iii). 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 cos 2 cos + − + ⎟⎟_⎠ − = ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − = y y y x x (iv). ₂ 1 2 cossin tan y y x x x − = =

Contoh

∫

− x dx sin 2 =….. c dy dy dy y y y y y x dx y y + = = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + − + − − + −

∫

∫

∫

∫

+ 3 ) 1 2 ( 3 33 2 ) ( 1 1 1 2 1 1 2 sin 2 arctan 4 3 2 2 1 2 1 2 2 2 TUGAS 10

∫

_x− dx_{x+ x} 2 2 _{3sin2 5cos} sin =…..

SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI

(i). Bentuk : a2 − x2

Substitusi : x = asin y atau x = acosy

(ii). Bentuk : a2 + x2

Substitusi : x = atany atau x = acotany

(iii). Bentuk : x2 −a2

Contoh

∫

= + 2 ... 2 _{4 x} x dx

Substitusi : x = 2tan y ⇒dx = 2sec2 ydy

c c y d dy dy dy x x y y y y y y y y y x x dx + − = + − = = = = = + +

∫

∫

∫

∫

∫

4 4 sin 4 1 sin 4 1 sin 4 cos tan 4 sec sec 2 . tan 4 sec 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ) (sin TUGAS 11 1.

∫

9− 2 =... x dx x 2.

[

₄ 2 _{24 72}

]

23 ...

∫

= + − x x dx 3.

_∫

− ₆ 2 =... 3 2₎ 9 16 ( dx x x 4.

_∫

= − 2 ... 2 2x x dx x

5. INTEGRAL FUNGSI IRASIONAL

A. Satu-satunya bentuk irasional adalah : ax2 +bx+c

i) Jika a > 0 , makaambilsubstitusi ax2 +bx+c = x a + y

ii) Jika c ≥ 0, makaambilsubstitusi ax2 +bx+c = xy+ c

Contoh

∫

= − − + _dx x x x 2 2 1 1 _... Substitusi : 2 ruas kedua kuadratkan 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 0 0 )) 2 2 ( ) 1 (( 0 ) 2 2 ( ) 1 ( 1 2 2 1 ) 1 ( 2 1 y y xy x x x x y x y x x y x y xy y x x x xy x x + + ⇔ + = − − − = ∨ = ⇔ = + + + ⇔ = + + + ⇔ + + = − − ⇔ + = − − *) ₂ 2 _{2 2} 2 _{2 2} ) 1 ( ) 1 2 ( 2 ) 1 ( ) 2 2 ( 2 ) 1 ( 2 1 2 2 y y y y y y y dy dx y y x + − + + + + + − + + _{⇒ = =} − = Jadi, dx dy y y y 2 2 2 ) 1 ( ) 1 2 ( 2 + − + = *) ₂ 2 ₂ 1 1 2 1 2 2 ₁ 1 y y y y y x + − − + + _{+ =} − = + *) ₂ 2 ₂ 1 1 2 1 2 2 2 _{1 1} 2 1 y y y y y y xy x x + + − − + + _{+ =} − = + = − −

∫

∫

∫

+ − − + − + + − − − − + − = = ∴ + + − − dy dy dx y y y y y y y y y x x x y y y 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( ) 1 2 ( 2 1 1 1 2 2 1 1 2 . . sama. yang imaginer akar mempunyai ) ( 0 4 0 ) 1 ( 0 ) ( 2 2 x Q D y x Q ⇒ < − = ⇓ = + ⇔ = D B y C A By Ay D Cy y B Ay y y y D Cy y B Ay y D Cy y B Ay y y y x Q x P + + + + + = + + + + = − − ⇔ = + = = + + + + + + + + + + − − ) ( ) 1 )( ( 1 2 2 3 2 2 ) 1 ( ) ( ) 1 )( ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sehingga diperoleh : 2 1 2 2 1 0 − = ⇒ − = + − = ⇒ − = + = = D D B C C A B A Jadi,

c c c c c c y y dy dy y dy dy dy dx x x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − + − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− +} − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − = − = ∴ − − − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ − − −} − − − − − − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + − + + + − + + − − + + − − − − + + − − − − − + + − − − − − − − − −

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 ) 1 ( 2 1 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 1 1 ) 1 ( 1 2 2 1 1 2 2 2 arctan 2 arctan 2 arctan 2 2 2

B. Satu-satunya bentuk irasional adalah : _xx₊+_ba y b x a x = + + : substitusi diambil Contoh

∫

_2xx₊₁dx =...

∫

∫

∫

x+ dx = _xx₊ dx = _x+x dx x 2 1 2 1₎ 1₂ ( 2 1 2 Substitusi : 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( 1) ₋ − + + = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = y y x x x x _{y y x y y x}

( )

dx

( )

dy y y y y y y dy dx 2 2 2 2 3 2 1 1 ) 1 ( − − + − − _{⇔ =} = Jadi,

∫

∫

∫

x+ dx = _x+x dx = _yy₋ dy x 2 2 2 2 1 1_{2 ( 1)} 2 1 1 2 0 ) 1 ( ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 ) (x = ⇔ y2 − 2 = ⇔ y− 2 y+ 2 = Q

2 2 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − + − + + + + + − = + + + = + + + = = − − − − + − + − + − + + − − − y D y y C y B y y A y y y D y y y C y y B y y y A y D y C y B y A y y x Q x P i) untuk y =1⇒1= 4B ⇒ B =1/4 ii) untuk y = −1⇒1= 4D ⇒ D =1/4 iii) untuk y = 0⇒ 0= −A+1/4+C+1/4⇒ A−C =1/2 iv) untuk y = 2⇒4 =9A+9/4+3C+1/4⇒9A+3C =3/2

dari (iii) dan (iv) diperoleh :

4 / 3 4 / 1 = − = A C Jadi, c c y y dy dy dx x x x x x x x x y y y y y y y y x x + − − + − − = + − − + − − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ − +} = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + − + + − − − + + +

∫

∫

∫

1 2 4 1 1 2 4 1 2 4 1 2 4 3 ) 1 ( 2 4 1 ) 1 ( 2 4 1 2 41 2 43 ) 1 ( 4 / 1 ) 1 (1/4 ) 1 ( 4 / 1 ) 1 (3/4 2 1 ) 1 ( 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 | 1 | ln | 1 | ln | 1 | ln | 1 | ln

C. Integrand hanya memuat bentuk irasional satu suku :n x y x n ₌ : substitusi diambil

Contoh ... 2 3 6 3 2 2 3 ₌

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} + dx x x x x Substitusi : dy y dx y x y x 6 5 6 _{= ⇔ = ⇒ = 6} Jadi,

(

)

(

)

∫

∫

∫

∫

∫

∫

− + − + − + − − + − + − + − − + − + − − − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} + + − + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− +} + = + = ⇓ ⇓ − + − = = dy y y dy y dy dv u y y d y dy y dx y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x 2 60 60 30 2 2 6 2 60 60 30 2 6 2 30 2 6 1 2 3 5 5 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 5 2 3 2 2 3 5 2 3 4 2 3 5 2 2 3 2 2 3 6 3 30 15 ) 30 30 ( 2 6 6 . 0 4 0 ) 2 2 )( 1 ( 0 2 0 ) ( 3 2 2 < − = ⇓ = + + − ⇔ = − + ⇔ = D y y y y y x Q

Jadi Q(x) mempunyai akar real dan imajiner.

C A y B C A y B A y C Bx y y A y y y y y C Bx y y A y y C Bx y A y y y y x Q x P − + − + + + = − + + + + = − + = + = = − + − + + + + + + + − − + − + 2 ) 2 ( ) ( ) 1 )( ( ) 2 2 ( 60 60 30 2 2 2 2 ) 1 )( ( ) 2 2 ( 2 2 1 2 60 60 30 ) ( ) ( 2 3 2 2 2 3 2

Sehingga diperoleh : i) A+ B = 30

ii) 2A+C− B =60 iii) 2A− C = −60

dari (ii) dan (iii) diperoleh : iv) 4A− B = 0

dari (i) dan (iv) diperoleh : 72 24 6⇒ = ⇒ = = B C A Jadi, x x x x x x c y y y y y y dy dy y y y dy y y dy y y dx y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x + + + + + + − + − + = + + + + + + − + − + = + + − + − + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + − + = + − + = − + − − + − + + + + + − + − + + + − − + − − + − + − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} +

∫

∫

∫

∫

∫

) 1 arctan( 48 | 2 2 | ln 12 | 1 | ln 6 30 15 ) 1 arctan( 48 | 2 2 | ln 12 | 1 | ln 6 30 15 12 | 1 | ln 6 30 15 30 15 30 15 6 6 3 6 6 3 2 6 2 2 2 6 1 ) 1 ( 48 2 2 2 2 2 2 6 2 2 72 24 1 6 2 2 6 2 60 60 30 2 2 6 2 2 3 2 3 6 5 2 3 5 2 2 2 3 5 2 2 3 5 2 3 2 2 3 5 2 3 6 3

TUGAS 12 1. ... 1 3 =

∫

₊ dx x x

2.

_∫

1₂−₊cos_cosxsinxdx=...

3. ₂ ... 1 =

∫

_{+ −} x x x dx 4. ... 3 2 2 2 =

∫

_{− −} dx x x x 5.

∫

x+ xdx =...

INTEGRAL TERTENTU

1. Definisi Integral Tertentu 2. Eksistensi Integral Tertentu 3. Teorema Fundamental Kalkulus 4. Sifat-Sifat Integral Tertentu 5. Mengubah Variabel

6. Improper Integral

1. DEFINISI INTEGRAL TERTENTU

Diketahui f :[a,b]→ R fungsi bernilai real.

Himpunan bagian P =

{

x₀,x₁,...,xn

}

pada interval tertutup

[a,b] dengan sifat : a = x₀ < x₁ <...< x_n = b disebut

PARTISI pada [a,b].

Contoh Diberikan interval [0,2]=

{

x∈R/0≤ x≤ 2

}

.

{ }

{

}

{

}

{

}

{

0, , ,1,2

}

[0,2] ] 2 , 0 [ 2 , , 0 , ] 2 , 0 [ 2 , , , 0 ] 2 , 0 [ 2 , , , 0 ] 2 , 0 [ 2 , 1 , 2 1 4 1 5 2 1 3 1 4 3 1 2 1 3 2 1 3 1 2 2 1 1 ⊂ = ⊂ = ⊂ = ⊂ = ⊂ = P P P P P

Diberikan partisi P =

{

x0,x1,...,xn

}

.

Diambil sebarang x_i*∈

[

x_i−1,x_i

]

, untuk setiap i =1,2,...,n.

Selanjutnya dibentuk Jumlahan Riemann ,

dengan

∑

= Δ = n i i i x x f f P S 1 * ). ( ) , ( . 1 − − = Δx_i x_i x_i

Norm P, dinotasikan dengan |P|, didefinisikan sebagai :

}. ,..., 2 , 1 ; max{ | | P = Δx_i i = n

Jika untuk | | 0 ( ), lim ( , )

0 | | S P f n P P→ ∞ →

=→ ada, maka f dikatakan

TERINTEGRAL pada [a,b] dan dinotasikan sebagai berikut :

∑

∫

= ∞ → →

=

Δ

=

n i i i n P b a

x

x

f

f

P

S

dx

x

f

1 * 0 | |

).

(

lim

)

,

(

lim

)

(

Secara umum, Diambil : n a b i x = − Δ a i x x_i = Δ _i. + i i x x* = , untuk setiap i =1,2,...,n

INGAT

1. , dengan a sebarang konstanta

1 na a n i =

∑

= 2. ₂( 1) 1 + =

∑

= n i n n i 3. ( 1)(₆2 1) 1 2 + + = =

∑

n n n n i i 4.

[ ]

(₂ 1) 2 1 3 + = =

∑

n n n i i Contoh

Hitung

∫

dengan definisi integral tertentu

2 0

xdx

Diambil partisi P ={x₀,x₁,...,x_n} pada [0,2],

2 ... 0 = x₀ < x₁ < < x_n = , dengan : n n n a b i x = = 2 0 = 2 Δ − − n i n i i i i x x i a x* = = Δ . + = 2 +0 = 2 , untuk setiap i =1,2,...,n Sehingga diperoleh :

∑

∑

∑

Δ = = = + = + = + = n n n _{n n} n n i n i i x i n n x f f P S( , ) ( *). 2 .2 4₂ 4_{2 2}( 1) 2( 1) 2 2

Jadi,

∫

2 0 xdx = lim ( , ) lim(2 2) 2 0 | | = + = ∞ → → _n n P S P f Latihan

Hitung dengan definisi integral tertentu

1.

∫

=... 2 1 2 dx x 2.

∫

− = 2 1 2 ... ) 1 2 ( x dx 3. ... 1 0 =

∫

exdx

2. EKSISTENSI INTEGRAL TERTENTU Definisi

Fungsi f dikatakan terintegral pada [a,b] jika dan hanya jika : Terdapat bilangan L sehingga S P f L

P = → ( , ) lim 0 | | , i.e. 0 , 0 ∃ > >

∀ε δ sehingga untuk setiap partisi P ={x₀,x₁,...,x_n}

Teorema

Jika lim ( , ) ada, maka limitnya bernilai Tunggal.

0 |

|P→ S P f

Dengan kata lain, Jika fungsi f terintegral pada [a,b], maka

integralnya bernilai Tunggal.

Contoh Diberikan fungsi f ⎩ ⎨ ⎧ = irasional , 0 rasional , 1 ) ( x x x f

Dengan x∈[0,1]. Apakah f terintegral pada [0,1] ?

Diambil sebarang partisi P ={x₀,x₁,...,x_n} pada [0,1],

1 ... 0 = x₀ < x₁ < < x_n = , dengan : Δx_i = b−_na =1−_n0 = 1_n dan ] , [ ₁ * i i i x x x ∈ ₋ , untuk setiap i =1,2,...,n

Terdapat dua kemungkinan, yaitu :

i). Jika x_i* rasional untuk setiap i =1,2,...,n, misalkan diberi

notasi x_t, maka

∑

∑

= = = = Δ = n i n n i i t x x f f P S 1 1 1 1 . 1 ). ( ) , (

ii). x_i* irasional untuk setiap i =1,2,...,n, misalkan diberi notasi

x_u, maka =

∑

Δ =

∑

= n n n i u x x f f P S( , ) ( ). 0.1 0

Karena untuk sebarang partisi P berlaku : dan

, maka tidak ada.

1 ) , ( lim 0 | | = → S P f P 0 ) , ( lim 0 | | = → S P f P |Plim|→0S(P, f )

Dengan kata lain, f tidak terintegral pada [0,1].

3. TEOREMA FUNDAMENTAL KALKULUS

Jika fungsi

f

:[

a

,

b

]

→

R

terintegral (tertentu/Riemaan) pada [a,b] dan

F

:

[

a

,

b

]

→

R

suatu anti derivatif fungsi f pada [a,b],

maka :

)

(

)

(

)

(

F

b

F

a

b

a

∫

f

x

dx

=

−

Contoh

2

)

0

(

)

2

(

2

0

0

2

)

0

(

2

1

)

0

(

,

2

2

)

2

(

2

1

)

2

(

2

2

1

)

(

dengan

)

0

(

)

2

(

2

0

...

2

0

=

−

=

∫

=

+

=

=

+

=

+

=

−

=

∫

=

∫

F

F

xdx

c

F

c

F

c

x

x

F

F

F

xdx

xdx

4. SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU

Teorema

(i) Jika fungsi f terintegral pada [a,b] dan

a

≤

c

≤

b

maka f

terintegral pada [a,c] dan pada [c,b].

∫

∫

∫

=

+

b c c a b a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

(

)

(

)

(

)

(ii)

∫

(

)

=

0

a a

dx

x

f

(iii) Jika f terintegral pada [a,b], maka :

∫

∫

=

−

b a a b

dx

x

f

dx

x

f

(

)

(

)

Contoh

Hitunglah nilai integral dari

∫

− 4 1

)

(

x

dx

f

, jika diketahui :

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

<

≤

≤

−

+

=

4

2

,

5

2

1

,

4

)

(

2

x

x

x

x

f

5. MENGUBAH VARIABEL

Bertujuan untuk menyederhanakan integrand agar anti derivatifnya mudah ditentukan.

Teorema

Jika fungsi

g

:

[

α

,

β

]

→

[

a

,

b

]

naik monoton dan mempunyai derivatif dan fungsi

f

:[

a

,

b

]

→

R

terintegral maka :

∫

=

′

∫

b

a

dx

x

f

dy

y

g

y

g

f

(

(

))

(

)

(

)

β

α

Teorema

Jika fungsi

g

:

[

α

,

β

]

→

[

a

,

b

]

turun monoton dan mempunyai derivatif dan fungsi

f

:[

a

,

b

]

→

R

terintegral maka :

∫

−

=

∫

=

′

∫

b

a

f

x

dx

a

b

dx

x

f

dy

y

g

y

g

f

(

(

))

(

)

(

)

(

)

β

α

Contoh

...

cos

2 0 sin

₌

∫

π

xdx

e

x

Misalkan

y

=

sin

x

⇒

dy

=

cos

xdx

1

0

0

2

⇒

=

=

=

⇒

=

y

x

y

x

π

Sehingga diperoleh :

cos

]

1₀

1

1 0 0 sin 2

−

=

=

=

_∫

∫

e

x

xdx

e

y

dy

e

y

e

π Latihan (halaman 57)

Improper Integral (Integral Tak Sejati/ Integral Tak Wajar)

Diberikan dengan a dan b adalah bilangan-bilangan real

dan f terintegral pada [a,b].

∫

b a

dx

x

f

(

)

Jika kedua syarat di atas tidak dipenuhi, maka disebut

Integral Tak Wajar.

∫

b a

dx

x

f

(

)

Definisi

1. Integral Tak Wajar Tipe I

(i) Jika f terintegral pada [a,b] untuk setiap , maka

integral tak wajar

a

b

>

∫

∞ a

dx

x

f

(

)

didefinisikan sebagai : =

∫

∞ a

dx

x

f

(

)

∫

∞ → b a b

dx

x

f

(

)

lim

(ii) Jika f terintegral pada [a,b] untuk setiap , maka

integral tak wajar

b

a

<

∫

∞ − b

dx

x

f

(

)

didefinisikan sebagai :

=

∫

∞ − b

dx

x

f

(

)

∫

−∞ → b a a

dx

x

f

(

)

lim

*) Jika dan nilainya ada,

maka :

∫

∞ → b a b

dx

x

f

(

)

lim

∫

−∞ → b a a

dx

x

f

(

)

lim

∫

∞ a

dx

x

f

(

)

dan

∫

dikatakan KONVERGEN.

∞

−

b

dx

x

f

(

)

**) Jika dan nilainya tidak

ada, maka :

∫

∞ → b a b

dx

x

f

(

)

lim

∫

−∞ → b a a

dx

x

f

(

)

lim

∫

dan dikatakan DIVERGEN.

∞ a

dx

x

f

(

)

∫

∞

−

b

dx

x

f

(

)

(iii) Integral tak wajar

∫

∞ ∞ −

dx

x

f

(

)

didefinisikan sebagai : =

∫

∞ ∞ −

dx

x

f

(

)

∫

∞ − c

dx

x

f

(

)

+

∫

∞ c

dx

x

f

(

)

=

∫

+ −∞ → c a a

dx

x

f

(

)

lim

∫

∞ → b c b

dx

x

f

(

)

lim

***) KONVERGEN j.h.j. dan

keduanya KONVERGEN untuk setiap

.

∫

∞ ∞ −

dx

x

f

(

)

∫

−∞ → c a a

dx

x

f

(

)

lim

∫

∞ → b c b

dx

x

f

(

)

lim

)

,

( b

a

c

∈

2. Integral Tak Wajar Tipe II

(i) Jika f kontinu pada (a,b] tetapi tidak terdefinisi di a,

maka integral tak wajar

∫

didefinisikan sebagai

b a

dx

x

f

(

)

=

∫

b a

dx

x

f

(

)

∫

→ b t a t

dx

x

f

(

)

lim

Asalkan limit tersebut ada.

(ii) Jika f kontinu pada [a,b) tetapi tidak terdefinisi di b,

maka integral tak wajar

∫

didefinisikan sebagai

b a

dx

x

f

(

)

=

∫

b a

dx

x

f

(

)

∫

→ t a b t

dx

x

f

(

)

lim

(iii) Jika f kontinu pada (a,b) tetapi tidak terdefinisi di a dan

b, maka integral tak wajar didefinisikan

sebagai :

∫

b a

dx

x

f

(

)

=

∫

b a

dx

x

f

(

)

∫

+

∫

b c c a

dx

x

f

dx

x

f

(

)

(

)

=

∫

∫

→ →

+

t c b t c s a s

dx

x

f

dx

x

f

(

)

lim

(

)

lim

,

Asalkan kedua limit tersebut ada, dengan

a

<

c

<

b

.

3. Integral Tak Wajar Bentuk Campuran

(i) dengan f tak terdefinisi di suatu titik

, integral tak wajar

∫

∞ a

dx

x

f

(

)

a

b

≥

∫

∞ a

dx

x

f

(

)

didefinisikan sebagai : =

∫

∞ a

dx

x

f

(

)

∫

∫

∫

∞

+

+

c c b b a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

(

)

(

)

(

)

=

∫

∫

∫

∞ → → →

+

+

t s t c p b p s a b s

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

(

)

lim

(

)

lim

(

)

lim

(ii) dengan f tak terdefinisi di suatu titik

, integral tak wajar

∫

∞ − b

dx

x

f

(

)

b

a

≤

∫

∞ − b

dx

x

f

(

)

didefinisikan sebagai : =

∫

∞ − b

dx

x

f

(

)

∫

+

∫

+

∫

∞ − b a a c c

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

(

)

(

)

(

)

=

∫

∫

∫

→ → −∞ →

+

+

b p a p t c a t c s s

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

(

)

lim

(

)

lim

(

)

lim

Contoh 1.

∫

∫

∫

+

+

=

+

=

+

→∞ →∞ ∞ b b b b

_x

x

d

x

dx

x

dx

1 2 3 1 1 2 1 2

(

3

1

)

)

1

3

(

lim

)

1

3

(

lim

)

1

3

(

12

1

4

1

1

3

1

lim

3

1

)

1

3

(

3

1

lim

1

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₋

+

−

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

−

=

∞ → = ∞ →

b

x

b b x b

2.

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

=

_∫

_∫

∫

→ → 1 0 1 0 1 0

ln

lim

2

ln

2

lim

ln

a a a a

x

dx

x

x

x

xd

x

xdx

[

]

[

2

ln

2

]

4

lim

2

2

ln

lim

2

0 1 0

−

=

+

−

−

=

−

=

→ = →

a

a

a

x

x

x

a a x a 3.

∫

∫

∫

∫

∫

−

+

−

+

−

+

−

=

−

₋ − − − 2 1 2 1 0 2 0 1 2 1 2 2 2 2 2

1

1

1

1

x

1

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

∫

∫

∫

∫

−

+

−

+

−

+

−

=

→ → − → − − → 2 2 1 0 2 1 0 2 1 2 2 1

₁

lim

1

lim

1

lim

1

lim

s s r r q q p p

_x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

2

/

1

&

2

/

1

1

0

1

)

(

)

(

1

1

1

1

2 2

−

=

=

⇒

⎭

⎬

⎫

=

−

=

+

−

−

+

+

=

+

+

−

=

−

B

A

B

A

B

A

x

B

A

x

B

A

x

B

x

A

x

Jadi,

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+ − → + + − → + + − − → + − + − − → = ∫ − → + ∫ − → + ∫ − − → + ∫ − − − → 2 1 1 ln 1 lim 0 1 1 ln 1 lim 0 1 1 ln 1 lim 2 1 1 ln 1 lim 2 1 2 1 2 1 lim 0 2 1 1 lim 0 1 2 1 lim 2 2 1 1 lim s x x s r x x r q x x q p x x p s x dx s r x dx r q x dx q p x dx p Tetapi karena = −∞ + − → = + − →

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

1 1 ln 1 lim 0 1 1 ln 1 lim r r r r x x r

maka

∫

−

−

2 2

x

2

1

dx

divergen. Latihan 1.

∫

∞ −

−

1

2

w

dw

2.

∫

−

−

2 0

2

3

3

dx

x

x

3.

∫

∞

−

2

x

x

2

4

dx

KUIS

Hitunglah :

∫

∞ − 0 2

x

dx

e

x

SISTEM PERSAMAAN LINEAR(SPL)

DAN MATRIKS

Diberikan m SPL dalam n peubah sbb :

1 1 2 12 1 11

x

a

x

...

a

x

b

a

+

+

+

_{n n}

=

2 2 2 22 1 21

x

a

x

...

a

x

b

a

+

+

+

_{n n}

=

.

.

m n mn m m

x

a

x

a

x

b

a

_{1 1}

+

_{2 2}

+

...

+

=

Dibawa ke bentuk matriks yang diperluas :

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

m n mn m m n n

b

b

b

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

M

M

K

M

O

L

M

K

K

2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11

Penyelesaian : dengan mereduksi matriks menjadi

bentuk baris eselon (eliminasi Gaussian, selanjutnya

diselesaikan dengan substitusi balik), atau menjadi

bentuk eselon baris tereduksi (eliminasi

Gauss-Jordan).