Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 dengan Metode Analitis Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH

2

Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1

Solusi Analitis

dengan Metode Analitis

2.1. Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH

a. Bentuk Umum:

)

(

)

(

y

g

x

f

y

′

=

, f dan g fungsi sembarang. b. Metode dan Tahapan Penyelesaian:

1. Gantikan

y

′

atau gunakan:

dx

dy

y

′

=

2. Susun ulang PD bersangkutan sehingga didapatkan bentuk:

dx

x

f

dy

y

g

(

)

=

(

)

3. Integrasikan persamaan di atas, sehingga diperoleh:

∫

∫

g

(

y

)

dy

=

f

(

x

)

dx

c. Contoh soal:

1. Selesaikan atau cari ‘primitif’ dari:

x

+ y

y

′

=

0

2. Selesaikan PD orde-1 berikut:

x

2

y

′

−

y

=

0

3. Cari penyelesaian dari PD berikut:

+ y

3

=

0

dx

dy

x

4. Cari penyelesaian PD orde-1

2

x

y

′

+

y

=

0

, dengan harga awal pada saat

x

=

2

memiliki

y

=

1

d. Penyelesaian soal:

1. Gantikan

y

′

dengan

dx

dy

, sehingga PD tersebut dapat ditulis ulang sebagai:

x

−

dx

dy

y

=

atau

y

dy

=

−

x

dx

, sehingga dapat diintegrasikan menjadi

∫

y

dy

=

−

∫

x

dx

dan hasilnya adalah

C

x

y

₌

₋

₊

2

2

2 2

dengan C adalah tetapan sembarang (arbitrary), dan persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

C

x

y

2

+

2

=

2

sebagai persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0,0), jika dipenuhi harga .

0

>

C

2. PD dimaksud dapat ditulis sebagai

y

dx

dy

x

2

=

, dan dengan penulisan ulang yang memperhatikan prinsip-prinsip pembagian (pecahan), maka variabel-variabel dalam PD tersebut dapat terpisahkan sehingga akan diperoleh persamaan 2

x

dx

y

dy =

bentuk integrasinya dapat dituliskan sebagai

∫

∫

=

₂

x

dx

y

dy

menghasilkan

C

x

y

=

−

1

+

ln

dan bentuk akhirnya:

x C

_e

e

C

x

y

exp

1



=

−1/











₋

₊

=

sebagai persamaan yang mirip dengan persamaan Arrhenius, yang banyak digunakan dalam pemodelan kinetika reaksi kimia.

3. PD tersebut dapat disusun ulang, sehingga penulisannya menjadi:

x

dx

y

dy

3

−

=

, jika

y

≠

0

dan bentuk integrasinya adalah:

∫

∫

=

−

x

dx

y

dy

3

dan hasilnya: 3

1

ln

ln

3

ln

x

x

h

y

₌

₋

₌

dan 3 3

_x

K

x

h

y

=

±

=

Dalam hal ini,

K

merupakan tetapan (konstanta) sembarang (arbitrary), yang hanya dapat ditentukan harganya berdasarkan nilai atau kondisi awal (initial condition) dari PD tersebut, yaitu

y

=

y

₀ pada saat

x

=

x

₀.

4. Bentuk integrasi dari PD tersebut adalah

∫

∫

=

−

x

dx

y

dy

2 1 , jika

y

≠

0

dan hasilnya:

x

x

h

y

1

ln

ln

ln

=

−1/2

=

atau

x

K

y

=

Dengan memperhatikan kondisi awal dari PD tersebut, yaitu pada saat

x

=

2

harga

y

=

1

, akan diperoleh

1

=

K

2

atau

K

=

2

, sehingga hasil akhirnya menjadi

x

y

=

2

e. Tugas dan soal-soal latihan:

Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut, sampai didapatkan ‘primitif’-nya (sesuai dengan yang diberikan):

1.

x

y

y

=

−

2

, dengan primitif

y

=

K

x

2 2.

3

− i

=

0

dt

di

t

, dengan primitif

i

=

K

t

1/3 3.

3

+ i

=

0

dt

di

t

, dengan primitif

i

= t

K

−1/3 dengan

t

≠

0

4.

y

′

cos

x

+

y

sin

x

=

0

, dengan primitif

y

=

K

cos

x

5.

( )

1

−

2

θ

+

t

θ

=

0

dt

d

2.2. Persamaan Diferensial Homogen terhadap

y

dan

x

a. Bentuk Umum:













=

′

x

y

f

y

, f merupakan fungsi sembarang. b. Metode dan Tahapan Penyelesaian:

1. Substitusi atau gunakan variabel pengganti,

x

y

=

u

(atau ), sehingga diperoleh PD dalam konfigurasi VARIABEL TERPISAH,

x

u

y

=

2. Susun ulang PD bersangkutan sehingga didapatkan bentuk:

t

x

t

y

′

=

′

+

3. Dan, dengan membuat kesamaan antara ungkapan di atas dengan persamaan

y′

( )

y

x

f

( )

t

f

=

, akan diperoleh persamaan dalam bentuk:

( )

t

f

t

x

t

′

+

=

4. Dari persamaan terakhir dapat dilakukan pemisahan variabel-variabel sehingga akan diperoleh persamaan berikut:

( )

t

t

f

dx

dt

x

=

−

atau

( )

t

t

f

dt

x

dx

−

=

, jika

f

( )

t

≠

t

5. Jika fungsi

F

( )

x

dimisalkan sebagai PRIMITIF dari

_{( )}

t

t

f

−

1

, maka akan diperoleh hasil integrasi sebagai berikut:

( )

∫

_{( )}

−

=

=

t

t

f

dt

t

F

h

x

ln

yang berarti

(

y x

)

F

e

K

x

=

( )

( )









=

=

t F t F

e

t

K

y

e

K

x

, dengan

K

sebagai konstanta sembarang

c. Contoh soal:

1. Carilah ‘primitif’ dari:

x

2

y

′

=

x

2

+

y

2

−

x

y

2. Selesaikan PD orde-1 berikut:

2

x

y

y

′

=

x

2

+

y

2

3. Cari penyelesaian dari PD berikut:

(

y

2

−

5

x

2

)

y

y

′

=

x

(

x

2

−

5

y

2

)

d. Penyelesaian soal:

1. Jika semua suku (di sebelah kiri dan kanan tanda =) dibagi dengan , maka akan didapatkan PD dalam bentuk:

2

x

x

y

x

y

y



−











+

=

′

1

2

yang merepresentasikan persamaan diferensial homogen (PD Homogen), karena variabel

y′

merupakan fungsi unik dari perbandingan variabel

y

x

. Dengan memisalkan

y

=

t

x

, untuk mendapatkan

y

′

=

t

′

x

+

t

dan ungkapan dari PDnya adalah , maka kesamaan kedua ungkapan yang didapatkan adalah sebagai berikut:

y′

y′

2

1

t

t

y

′

=

−

+

2

1

t

t

t

x

t

′

+

=

−

+

atau

(

₋

₁

)

2

=

′

x

t

t

sehingga bentuk PD dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH yang dimaksud adalah

(

₋

₁

)

2

= t

dx

dt

x

yang dapat diintegralkan dalam bentuk berikut:

(

)

∫

∫

=

−

x

dx

t

dt

2

1

, jika

t

≠

1

yang hasilnya

x

K

t

1

ln

1

₌

−

−

atau

x

K

t

ln

1

1

=

−

−

dengan

K

sebagai konstanta sembarang

Jika variabel

t

diganti dengan nilai (perbandingan) asalnya, yaitu

y

x

, maka persamaan di atas akhirnya menjadi PRIMITIF dari PD yang dimaksudkan:

x

K

x

y

ln

−

=

x

Catatan: Jika harga

t

=

1

, maka akan diperoleh suatu INTEGRAL yang SINGULAR, karena

y

=

x

.

2. Bagilah semua suku dengan , maka akan didapatkan PD Homogen dalam bentuk seperti di bawah ini:

y

x













₊

=

+

=

′

x

y

y

x

y

x

y

x

y

2

1

2

2 2

Dengan memisalkan

y

=

t

x

, maka kesamaan kedua ungkapan yang didapatkan adalah sebagai berikut:











 +

=

+

′

=

′

t

t

t

x

t

y

1

2 1

atau jika disederhanakan akan menjadi

t

t

t

t

dx

dt

x

2

1

1

2 1

₌

−













₋

=

2

Pisahkan variabel-variabelnya, kemudian integralkan

∫

∫

=

−

x

dx

t

dt

t

2

1

2

, jika

t

≠

±

1

sehingga

x

h

t

ln

1

ln

−

2

=

−

atau

x

K

t

=

−

2

1

atau juga

x

K

t

2

− 1

=

−

Maka, jika variabel

t

digantikan dengan nilai yang sesungguhnya (

y

x

), akan diperoleh PRIMITIF dari PD bersangkutan sebagai berikut:

0

x

K

x

y

2

−

2

+

=

Persamaan di atas merupakan representasi dari PERSAMAAN HIPERBOLA, baik bila

K

≠

0

maupun

K

=

0

, yang memiliki persamaan-persamaan garis simetri

atau yang sebanding dengan

x

±

=

Catatan: Solusi integral dari PD homogen homogen dapat dilakukan dengan menggunakan KOORDINAT POLAR, dalam hal ini semua kurva integral tersebut harus dalam bentuk koordinat yang sesuai, yaitu

( )

θ

f

r

=

. Namun, metode ini lebih sulit karena jalan hitungannya lebih panjang dan tidak praktis.

3. Coba kita gunakan KOORDINAT POLAR berikut:









=

=

θ

θ

sin

cos

r

y

r

x

dan bentuk diferensiasinya secara berturut-turut adalah:

θ

θ

θ

θ

θ

θ

d

r

dr

dy

d

r

dr

dx

cos

sin

sin

cos

−

=

−

=

dan dengan melakukan substitusi ke dalam PD bersangkutan, akan diperoleh persamaan berikut:

(

y

2

−

5

x

2

)

y

dy

=

x

(

x

2

−

5

y

2

)

dx

dan, dengan melakukan penyusunan dan pengembangan persamaan goneometri lebih lanjut, akan diperoleh hasil berikut:

(

sin

4

θ

−

cos

4

θ

)

dr

=

4

(

sin

3

θ

cos

θ

+

sin

θ

cos

3

θ

)

r

d

θ

dengan penyederhanaan, selanjutnya diperoleh:

dalam hal ini, PD dalam

r

dan

θ

yang memiliki KONFIGURASI TERPISAH adalah sebagai berikut:

θ

θ

θ

d

r

dr

2

cos

2

sin

2

−

=

sehingga solusi atau PRIMITIF dari PD bersangkutan diperoleh sebagai berikut:

θ

2

cos

K

r

=

e. Tugas dan soal-soal latihan:

Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut, sampai didapatkan ‘primitif’-nya (perhatikan PRIMITIF yang diberikan, dapat diambil sebagai acuan dasar untuk mencari penyelesaian!): 1.

x

y

′

=

x

−

y

, dengan primitif x K x y 2 2 ₊ =

2.

x

2

y

′

=

x

y

+

x

2

+

y

2, dengan primitif y = xtan

(

ln Kx

)

3.

x

y

′

−

y

=

x

(

1

−

e

−y x

)

, dengan primitif y = xln

(

1+Cx

)

dan

(

1+ xC

)

>0 4.

4

x

2

y

′

+

x

2

+

4

y

2

=

0

, dengan primitif x K x x y ln 2 + − = dan

bilamana solusi mencapai SINGULAR?

5.

(

x

2

−

y

2

)

y

′

=

2

x

y

, dengan primitif x2 + y2 − K y = 0 dan bilamana solusi tersebut mencapai SINGULAR?

6.

(

x

4

+

y

4

)

y

′

=

2

x

3

y

, dengan primitif

θ

θ

2 cos sin K x = dalam

koordinat CARTESIAN atau

1 4 ₋ = t t K

r dan bilamana solusi-solusi

2.3. Persamaan Diferensial LINIER order 1

a. Bentuk Umum:

( )

x y b

( )

x y c

( )

x

a ′ + =

dengan

a , b , merupakan fungsi-fungsi dalam c x .

( )

x

a dan b

( )

x disebut KOEFISIEN

( )

x

c disebut SUKU RUAS KANAN

Jika PD di atas dituliskan tanpa suku ruas kanan, maka akan diperoleh:

( )

x y′ + b

( )

x y = 0 a

yang (seharusnya) IDENTIK dengan PD yang memiliki konfigurasi VARIABEL TERPISAH.

b. Metode SUBSTITUSI FUNGSI dan Tahapan Penyelesaian: Teorema Dasar

SOLUSI MENYELURUH dari suatu PD Linier order-1 merupakan hasil penjumlahan antara SOLUSI INTEGRAL UMUM tanpa SUKU RUAS KANAN dan SOLUSI INTEGRAL KHUSUS dari PD secara lengkap.

1. Jika dimisalkan SOLUSI INTEGRAL KHUSUS dari PD Linier dimaksud, lengkap dengan RUAS KANANnya, adalah y₀

2. Maka dapat dilakukan SUBSTITUSI dari FUNGSi yang tak dikenal sebagai: z

y y = ₀ +

3. Sehingga penulisan SOLUSI PERSAMAAN secara MENYELURUH dapat dituliskan dalam bentuk:

( )

x

[

y z

]

b

( )

x

[

y z

]

c

( )

x a ′₀ + ′ + ₀ + =

4. Karena y adalah solusi PD Linier itu sendiri, maka persamaan berikut juga harus dipenuhi:

0

( )

x y b

( )

x y c

( )

x a ′₀ + ₀ =

5. Setelah dilakukan penyederhanaan, akan diperoleh persamaan

( )

x z′ + b

( )

x z = 0 a

Sehingga akan diperoleh , sebagai SOLUSI UMUM dari PD Linier tanpa SUKU RUAS KANAN.

z

c. Contoh soal:

Selesaikan PD Linier berikut:

E i R dt di L + =

L , R , dan E merupakan konstanta-konstanta dari persamaan tersebut, dengan KONDISI AWAL pada saat t =0, harga i =0.

Penyelesaian:

Fungsi yang melibatkan konstanta-konstanta E R merupakan SOLUSI KHUSUS dari persamaan secara lengkap.

INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier tersebut, tanpa SUKU RUAS KANANnya adalah:      − = t L R C i exp

Maka, INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier tersebut, adalah:      − + = t L R C R E i exp

Dengan menerapkan KONDISI AWAL dari PD Linier tersebut, akan diperoleh: C R E + = 0 sehingga R E C = − dan, solusi akhirnya adalah

           − − = t L R R E i 1 exp

e. Tugas dan soal-soal latihan:

Selesaikan persamaan-persamaan diferensial linier berikut (diberikan persamaan

solusi khusus dan solusi umumnya sebagai acuan dasar untuk mencari

penyelesaian!):

1. y′+ y = cosx + sin x, dengan solusi khusus y = sin x dan solusi

umumnya y= sin x + Ke−x

2. y′cosx + ysinx = cosx + xsinx, dengan solusi khusus dan solusi umumnya adalah y= x + Kcosx

3. x y′ − y =

(

x − 1

)

ex, dengan primitif y = ex + K x

4. y′ − 2xy = sinhx − 2xcoshx, dengan primitif y=cosh x+Kex2

x y =

f. Metode VARIASI KONSTANTA dan Tahapan Penyelesaian:

1. Perhatikan dengan seksama PD secara lengkap sebagai berikut,

( )

x y b

( )

x y c

( )

x

a ′ + =

dan bentuk PD di atas, jika TIDAK menyertakan SUKU RUAS KANAN:

( )

x y′ + b

( )

x y = 0

2. Sebagai PD dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH, persamaan terakhir dapat disusun ulang menjadi:

( )

( )

x dx a x b y dy _{= −}

3. Maka, sebagai SOLUSI UMUM dari PD Linier tanpa RUAS KANAN dapat dituliskan sebagai berikut:

( )

( )

_{( )}

_       − = =

∫

dx x a x b K x z K y exp

4. Definisikan suatu FUNGSI (yang menggantikan tetapan K dengan suatu fungsi dalam variabel x, ), sehingga diperoleh PRIMITIF yang berbentuk persamaan berikut:

( )

x

K y

( )

x

( )

x K

( ) ( )

x z x

y =

sehingga turunannya dapat dituliskan sebagai:

( )

x K

( ) ( )

x z x K

( ) ( )

x z x

y′ = ′ + ′

5. Substitusikan turunan fungsi di atas ke dalam PD Linier secara lengkap:

( )

x

{

K

( ) ( )

x z x K

( ) ( )

x z x

}

b

( ) ( ) ( )

x

{

K x z x

}

c

(

x

a ′ + ′ + =

)

atau

( ) ( ) ( )

x K x z x K

( ) ( ) ( )

x

{

a x z x b

( ) ( )

x z x

}

c

(

x

a ′ + ′ + =

)

6. Perhatikan, bahwa z identik dengan solusi dari PD Linier tanpa suku ruas kanan, sehingga (perhatikan juga langkah 1 di atas!):

( ) ( )

x z′ x + b

( ) ( )

x z x = 0

a

yang berarti bahwa

( )

_{( ) ( )}

( )

x z x a x c x K′ =

7. Solusi atau primitif dari dapat diselesaikan, sedemikian rupa sehingga hasil akhir dari solusi

( )

x K

( )

x K

( ) ( )

x z x y = dapat diketahui. g. Contoh soal:

1. Selesaikan PD Linier berikut:

3

2y x y

x ′ − =

Penyelesaian:

PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: xy′ − 2y = 0

Persamaan di atas merupakan PD dengan konfigurasi variabel terpisah, sehingga x dx y dy 2 = , jika y ≠ 0 jika diintegrasikan,

∫

∫

= x dx y dy 2 sehingga dihasilkan, 2 ln ln 2 ln x x h y = = dan, 2 x K y =

⇒ Asumsikan, bahwa K adalah fungsi dari x, sehingga hasil turunan dari (atau sama dengan y′ ) adalah:

x K x K y′ = ′ 2 + 2 ⇒ ⇒ y

⇒ Jika persamaan terakhir disubstitusikan ke PD Linier asal, maka akan diperoleh: 3 2 2 3 _{2Kx 2K x x} x K′ + − =

Perhatikan, bahwa term perkalian dengan K ternyata saling meniadakan, sedemikian rupa sehingga diperoleh:

3 3 _x x K′ = atau 1 = ′ K

Integran, atau primitif dari persamaan terakhir di atas adalah:

λ

+ = x

K ,

λ

merupakan konstanta integrasi

Kemudian, jika kita substitusikan K ke dalam persamaan y = Kx2 di atas, akan diperoleh sebagai solusi umum:

(

x

)

x x x

y = +

λ

2 = 3 +

λ

⇒

⇒

⇒

2. Selesaikan PD Linier berikut:

x x

y

y′ − tan = sin2

Penyelesaian:

PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: − ytanx = 0

dx dy

Sebagai PD dengan konfigurasi variabel terpisah, maka dx x x y dy

∫

∫

= − cos sin sehingga dihasilkan, x h y cos ln ln = ⇒ ⇒

dan,

x K y = cos

Asumsikan, bahwa K = K

( )

x , sehingga hasil turunan dari persamaan di atas adalah: x K x K y′ = ′cos − sin

Substitusikan ke dalam PD Linier asalnya, akan diperoleh: x x x K x K x

K′cos − sin + cos tan = sin2

Perhatikan, bahwa term faktor K ternyata saling menihilkan, sehingga: x

x x

x

K′cos = sin2 = 2sin cos atau

x K′ = 2sin

Integran dari persamaan di atas diperoleh dengan cara:

λ

+ − = =

∫

x dx x K cos sin 2

Kemudian, dengan mensubstiusikan hasil persamaan K di atas ke dalam persamaan y = Kcosx, diperoleh solusi unum berikut:

x x y = −2cos2 +

λ

cos ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

3. Selesaikan persamaan diferensial berikut:

(

2 −1

)

+ = 1

′ x xy

y Penyelesaian:

PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: ⇒

(

2 −1

)

+ = 0

′ x xy

y

Pisahkan variabel-variabel dari persamaan di atas, sehingga diperoleh:

1 2 ₋ − = x dx x y dy Kemudian integrasikan: dx x x y dy

∫

∫

= − 2 −1 sehingga dihasilkan 1 ln ln 2 2 1 ₋ − = x h y atau 1 2 ₋ = x K y

Dalam hal ini, solusi PD tanpa suku ruas kanan sangat bergantung pada harga x , yang lebih besar dari 1 ataupun lebih kecil dari 1.

Kasus #1: x > 1

Solusi PD Linier yang tidak melibatkan suku ruas kanannya, adalah sbb:

1 2 ₋ = x K y

Turunan dari fungsi apabila K adalah fungsi dari x, adalah sbb:

(

₂

)

3 2 1 1 − ₋ − ′ = ′ x x K x K y ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⇒ Substitusikan persamaan terakhir ke dalam PD Linier asal, secara lengkap, sehingga diperoleh:

(

₁

)

(

1

)

1 1 1 2 2 3 2 2  =       − + −         − − − ′ x K x x x x K x K atau

(

)

1 1 1 1 2 2 2 ₌ − + − − − ′ x x K x x K x K

Sehingga diperoleh fungsi K′ dalam x, sebagai berikut:

1 1 2 ₋ = ′ x K

Dan, primitifnya adalah:

λ

+ − + = ln x x2 1 K

Solusi akhirnya menjadi:

1 1 ln 2 2 − + − + = x x x y

λ

, jika x > 1 Kasus #2: x < 1

Solusi PD Linier yang tidak melibatkan suku ruas kanannya, adalah sbb:

2 1 x K y − =

Dengan metode yang sama seperti pada kasus #1 di atas, diperoleh: ⇒

⇒

⇒

⇒

(

₂

)

3 2 1 1 _x x K x K y − + − ′ = ′ dan

λ

+ − = − − =

∫

x x dx K arcsin 1 2

Sehingga solusi akhirnya adalah sbb:

2 1 arcsin x x y − + − =

λ

, jika x < 1 ⇒

h. Tugas dan soal-soal latihan:

Selesaikan persamaan-persamaan diferensial linier berikut (diberikan persamaan

solusi kuncinya untuk mempermudah mencari penyelesaian!):

1. y′cosx + ysinx = 1 (kunci: x K ₂ cos 1 =

′ dan y = sinx + λcosx ) 2. xy′− y = lnx (kunci: ln₂ x x K′ = dan y=−lnx −1 + λx) 3. i t dt di t + 2 = sin

(kunci: K′ = tsint dan cos ₂sin

t t t t i = − + + λ) 4.

(

1+x

)

y′ + y = 1 + ln

(

x+1

)

(kunci: K′ =1+ln

(

x+1

)

dan

(

)

1 1 ln + + + = x x y λ ) 5. xy′+ y = arctanx

(kunci: K′ = arctanx dan

(

)

x x x x y = − _{ln 1}+ 2 + λ 2 1 arctan )

2.4. Persamaan Diferensial jenis Persamaan BERNOULLI

a. Bentuk Umum:

( )

_{x y b}

( )

_{x y}m a y′ + = dengan

a merupakan fungsi (sembarang) dalam x, a = a

( )

x b merupakan fungsi (sembarang) dalam x, b = b

( )

x

m merupakan tetapan bilangan nyata, sembarang dan berharga selain dari 0 dan 1 (nilai-nilai yang mengakibatkan PD ini menjadi berbentuk LINIER).

Jika , akan diperoleh persamaan-persamaan yang jelas lebih mudah untuk diselesaikan.

0 >

m

b. Metode Penyelesaian:

1. PD bersangkutan harus dapat disusun ulang dalam bentuk LINIER, yaitu dengan membagi kedua ruas dengan faktor ym, sehingga

( )

b

( )

x y x a y y m m + = ′ −1 1

2. Lakukan substitusi fungsi yang dicari, yang didefinisikan sebagai:

1

1 − = ym z

3. Karena y merupakan fungsi dari x, maka turunan dari fungsi adalah: z

(

)

_m

y y m z′ = 1− ′

( )

x z b

( )

x a m z _{+ =} − ′ 1

Persamaan di atas berbentuk PD Linier berorder 1.

c. Contoh soal:

Selesaikan PD berikut, yang termasuk dalam jenis Persamaan BERNOULLI:

2 2 3y x y y x ′ + = Penyelesaian:

Persamaan di atas memiliki harga m=2.

Bagilah kedua suku dengan y2 sehingga diperoleh:

2 2 3 x y y y x = + ′ Dimisalkan, y z = 1 dengan turunannya terhadap variabel , z

2

y y z′ = − ′

sehingga diperoleh persamaan baru, dalam variabel : z

2

3z x z

x ′ + = −

sebagai PD Linier berorder 1, dengan solusi sebagai berikut:

(

_{1 x}

)

_x2

z = +

λ

Integral UMUM sebagai solusi dari PD bersangkutan adalah sebagai berikut:

(

₁

)

2 1 x x y

λ

+ =

d. Tugas dan soal-soal latihan:

Selesaikan persamaan-persamaan diferensial BERNOULLI berikut sebagai latihan pemahiran untuk saudara. Untuk mempermudah mencari penyelesaian, berikut diberikan juga persamaan atau solusi kuncinya.

1. y′ + y = xy3 (kunci: 2 1 2 2 1 + + = x e y _x

λ

) 2. y′ = y

(

1+xy

)

(kunci: 1 1 + − = ₋ x e y _x

λ

3. y − x y′ = y 2 (kunci: y =

(

1 +

λ

x

)

2) 4. 2xyy′ + y2 = x (kunci: 2 1 2 2 1 + + = x e y _x

λ

) 5. y′− y = xy6 (kunci: 5 1 5 5 1 + − = ₋ x e y _x

λ

) 6. y′+ ytanx + y2 = 0 (kunci:

λ

+ = x x y sin cos )

7. Carilah KURVA INTEGRAL yang melalui titik x=1, y=1 dari PD yang benrbentuk Persamaan BERNOULLI berikut:

3 y x y y x ′+ = (kunci: 2 ₂ 2 1 x x y

λ

+ = , dan

λ

=−1)

2.5. Persamaan Diferensial jenis Persamaan RICCATI

a. Bentuk Umum:

( )

x y b

( )

x y c

( )

x a y′ = 2 + + dengan

a, b, dan merupakan fungsi-fungsi dalam c x.

b. Metode Penyelesaian:

1. PD yang berbentuk Persamaan RICCATI dapat diselesaikan bila diketahui INTEGRAL SPESIFIK , sedemikian rupa sehingga substitusi fungsi yang akan dicari berbentuk: 1 y z y y = ₁ +

2. Persamaan di atas akan mentransformasikan Persamaan RICCATI menjadi:

( )(

x y z

)

b

( )(

x y z

) ( )

c x a

z

y₁′ + ′ = ₁ + 2 + ₁ + +

3. Karena y merupakan SOLUSI SPESIFIK (khusus) dari Persamaan RICCATI, maka: 1

( )

x y b

( )

x y c

( )

x a y′ = 2 + ₁ + 1 1

4. Melalui penyederhanaan, maka kombinasi dari kedua persamaan (langkah 2 dan 3) di atas akan menghasilkan:

( )

x z

[

a

( )

x y b

( )

x

]

z a

z′ = 2 + _{2 1} +

yang identik dengan Persamaan BERNOULLI, dengan m=2.

5. Langkah-langkah selanjutnya adalah sesuai dengan penyelesaian Persamaan BERNOULLI, seperti di jelaskan pada paragraf L-2A.4 di atas.

c. Contoh soal:

Selesaikan PD berikut yang berbentuk Persamaan RICCATI:

2 1 2 2 + +       + − = ′ y x x x y y

Yang dapat diselesaikan menggunakan INTEGRAL SPESIFIK y₁=x.

Penyelesaian:

Periksa terlebih dahulu bahwa y₁= x merupakan SOLUSI SPESIFIK, yaitu dengan memisalkan: z x y = + sehingga turunanya: z y′ = 1 + ′

kemudian disubstitusikan ke dalam Persamaan RICCATI di atas. Setelah disederhanakan, akan diperoleh:

0 2 _{+ =} − ′ z z z x

Untuk penyelesaiannya, bagilah kedua suku dengan z2 sehingga diperoleh:

1 1 2 + = ′ z z z x Kemudian, misalkan: z u = 1 sehingga 2 z z u′ = − ′ dan 1 = + ′ −xu u

mengarah pada solusi PD Linier, dalam , sebagai berikut: u

1 + = Kx u

atau, solusi yang dikembalikan dalam variabel : y 1 1 + + = x K x y

d. Tugas dan soal-soal latihan:

Selesaikan Persamaan-persamaan RICATTI berikut sebagai latihan pemahiran untuk saudara, yang disertakan pula persamaan atau solusi kuncinya.

a. x3 y′ + y2 − 5x2 y + 2x4 = 0, dimisalkan y₁ = x2 (kunci: x x x y + + =

λ

3 2 ₎ b. x x x y x x y x x y ₃ 2 2 cos sin 4 sin 2 1 cos sin sin cos _{+ −} + =

′ , dengan pemisalan integral

spesifiknya adalah x y_{1 2} cos 2 1 = (kunci: x x y sin 1 1 cos 2 1 2 + ₋

_λ

− =

c.

(

y − y′

)

cosx + y

(

2cos2 x + sinx

)

= cos3x, dengan y₁ = cosx (kunci: x x x y sin cos cos − + =

λ

) d. y′ = 5y2e3x +

(

2y +ex

)(

1+5e4x

)

, dengan y₁ = −ex (kunci: x _{x x} e e e y ₂1 ₃ − + − = ₋

λ

) e. 2 ₄ 4 1 x y y′+ = , dengan pemisalan _{1 2} 2 1 1 x x y = + (kunci:

₍

₎

1 1 2 1 1 1 2 2 + ₋ + = _{− x} e x x x y

λ

)

[P-2.1] PROYEK #1: Solusi ANALITIS dan NUMRIS Persamaan Diferensial Order 1

Selesaikanlah, secara kelompok, semua PD order 1 di bawah ini:

a. e xy dx dy _{= −} b. y′ = y − xy2 c. x x x y x x y x x dx dy 3 2 2 cos sin 4 sin 2 1 cos sin sin cos _{+ −} + =

secara ANALITIS dan NUMERIS, pada interval

[ ]

0,1 dengan harga awal y

( )

0 = 1.

Format jawaban:

Solusi analitis: diselesaikan terlebih dahulu, menggunakan metode-metode

analitis seperti telah dijelaskan pada LAMPIRAN (mulai halaman 1 sampai dengan 26). Beri penjelasan juga tentang METODE SOLUSI yang digunakan dan JENIS atau konfigurasi dari persamaan-persamaan diferensial tersebut.

Solusi numeris: menggunakan kedua varian dari Metode RUNGE-KUTTA order 2 titik tengah dan kelandaian rerata, seperti dijelaskan pada Bab 2

(halaman 8 sampai 12).

Formula Runge-Kutta order-2 titik-tengah:

(

x_i y_i

)

f h k₁ = ,       _{+ +} = 2 1 2 2 hf x h,y k k _{i i} 2 1 y k y_i+ = _i +

Formula Runge-Kutta order-2 nilai rerata:

(

x_i y_i

)

f h k₁ = ,

(

₁

)

2 hf x h,y k k = _i + _i +

(

_{1 2}

)

2 1 1 y k k y_i+ = _i + +

seperti di bawah ini:

Metode Solusi: Runge-Kutta order-2 TITIK-TENGAH i x

y

_i k₁ k₂ y*

( )

x_i 0,0 1 .... ... ... 0,1 .... .... ... ... 0,2 .... .... ... ... 0,3 .... .... ... ... 0,4 .... .... ... ... 0,5 .... .... ... ... 0,6 .... .... ... ... 0,7 .... .... ... ... 0,8 .... .... ... ... 0,9 .... .... ... ... 1,0 .... .... ... ...

dan, seperti di bawah ini:

Metode Solusi: Runge-Kutta order-2 KELANDAIAN RERATA i x

y

_i k₁ k₂ y*

( )

x_i 0,0 1 .... ... ... 0,1 .... .... ... ... 0,2 .... .... ... ... 0,3 .... .... ... ... 0,4 .... .... ... ... 0,5 .... .... ... ... 0,6 .... .... ... ... 0,7 .... .... ... ... 0,8 .... .... ... ... 0,9 .... .... ... ... 1,0 .... .... ... ...