• Tidak ada hasil yang ditemukan

Discrete Mathematics Its Applications Chapter 10 : Graphs - Discrete Mathematics & Its Applications

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "Discrete Mathematics Its Applications Chapter 10 : Graphs - Discrete Mathematics & Its Applications"

Copied!
60
0
0

Teks penuh

(1)

Discrete Mathematics & Its Applications

Chapter 10 : Graphs

Fahrul Usman

Institut Teknologi Bandung

Pengajaran Matematika

(2)

Sub Topik

A.

Graf dan Model Graf

B.

Terminologi Dasar Graf dan Jenis Khusus

Graf

C.

Representasi Graf dan Graf Isomorfik

D.

Keterhubungan

(3)

Sejarah Graf

Menurut catatan sejarah, jembatan Konigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Ia memodelkan

masalah ini ke dalam graf. Daratan (titik-titik yang dihubungkan oleh jembatan dinyatakan sebagai titik

(noktah) yang disebut simpul (vertex)

dan jembatan dinyatakan sebagai

garis yang disebut sisi (edge).

(4)
(5)

Peta Sulawesi

Sebuah peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di

Sulawesi. Peta tersebut adalah sebuah graf yang dalam hal ini kota

dinyatakan sebagai bulatan

sedangkan jalan dinyatakan sebagai

garis. Dengan diberikannya peta tersebut, kita dapat mengetahui

(6)

A. GRAF DAN MODEL GRAF

Secara matematis, graf didefinisikan sebagai berikut :

Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis

dengan notasi G = (V, E) yang dalam hal ini V adalah

himpunan tidak kosong dari simpul (vertices atau node) dan E

adalah himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan

sepasang simpul.

Simpul pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c,

..., v, w, ... dengan bilangan asli 1, 2, 3, ..., atau gabungan

keduanya. Sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul

(7)

Contoh :

sisi ganda adalah (1,3) dan (3,4)

G3adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E V = 1, 2, 3, 4

E = (1,2), (1,3), (1,3), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (3,4)

gelang (loop) adalah (3,3) berawal dan berakhir pada simpul yang sama Fahrul Usman / Pengajaran Matematika ITB

(8)

Jenis-jenis Graf

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf. Secara umum dapat digolongkan menjadi dua jenis :

1. Graf sederhana (simple graph)

Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi ganda.

2. Graf tak-sederhana (unsimple graph)

Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang. Ada dua macam graf tak sederhana, yaitu graf ganda (multigraph)

(9)

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis yaitu :

1. Graf tak-berarah (undirected graph)

Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak-berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, (u, v) = (v, u) adalah sisi yang

sama.

2. Graf berarah (directed graph)

Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf berarah, (u, v) dan (v, u) menyatakan dua buah sisi yang berbeda dengan kata lain (u, v)  (v, u).

(10)

Jenis Sisi Sisi ganda dibolehkan?

Sisi gelang dibolehkan?

Graf sederhana Tak-berarah Tidak Tidak

Graf ganda Tak-berarah Ya Tidak

Graf semu Tak-berarah Ya Ya

Graf berarah Berarah Tidak Tidak

Graf ganda berarah Berarah Ya Ya

Graf campuran Berarah dan Ya Ya

10

(11)

Model Graf

Jaringan Sosial

Contoh :

Acquaintanceship and Friendship Graphs

Kita dapat menggunakan graf

sederhana untuk mewakili apakah dua orang saling mengenal satu sama lain. Apakah mereka berkenalan atau

berteman di sosial media. Setiap orang dalam kelompok tertentu

diwakili oleh simpul dan sisi berarah untuk menghubungkan dua orang

yang saling mengenal satu sama lain.

(12)

Contoh :

Influence Graphs

Dalam studi pengamatan perilaku suatu kelompok, orang-orang tertentu dapat mempengaruhi pemikiran orang lain. Setiap orang dari kelompok diwakili oleh simpul dan sisi berarah diwakili oleh pengaruh dari simpul. Graf ini tidak mengandung gelang (loop). Contoh, Deborah tidak dapat dipengaruhi, tapi dia bisa

(13)

Jaringan Komunikasi

Contoh :

Call Graphs

Secara khusus, graf-ganda berarah dapat digunakan untuk model panggilan, dimana setiap nomor telepon diwakili oleh simpul dan setiap panggilan telepon diwakili oleh sisi berarah. Sebagai

contoh, pada gambar dibawah, 3 panggilan telah dibuat dari 732-555-1234 ke 732-555-9876 dan 2 arah lain, tetapi tidak ada

panggilan telah dibuat dari 732-555-4444 ke salah satu 6 nomor lain kecuali 732-555-0011.

(14)

Turnamen

Contoh :

Round-Robin Tournaments

Turnamen yang setiap tim bertanding dengan tim lainnya hanya sekali disebut turnamen round-robin. Turnamen semacam itu dimodelkan dengan graf berarah. Simpul

menyatakan tiap tim yang bertanding. Sisi (a, b) berarti tim a berhasil mengalahkan tim b.

(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,3), (2,4)

(4,3)

(15)

B. TERMINOLOGI DASAR GRAF DAN

JENIS KHUSUS GRAF

Kita akan sering menggunakan istilah yang berkaitan dengan graf. Dibawah ini didefinisikan beberapa terminologi yang sering dipakai. Gambar dibawah ini akan digunakan untuk

memperjelas terminologi yang kita definisikan. G1 adalah graf sederhana, G2 adalah graf semu, dan G3 adalah graf dengan sebuah simpul yang terpisah dari simpul lainnya. Ketiga buah graf ini merupakan graf tidak berarah.

Fahrul Usman / Pengajaran Matematika ITB 15

(16)

1. Bertetangga (Adjacent)

Definisi. Dua buah simpul u dan v pada graf tak-berarah G

dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, u bertetangga dengan v jika (u, v) adalah sebuah sisi pada graf G.

Contoh :

Pada gambar dibawah, simpul 4 bertetangga dengan simpul 2 dan 3, tetapi tidak bertetangga dengan simpul 1.

(17)

2. Bersisian (Incident)

Definisi. Untuk sembarang sisi e = (u, v), sisi e dikatakan bersisian dengan simpul u dan simpul v

Contoh :

Gambar di bawah ini, sisi (1, 3) bersisian dngan simpul 1 dan simpul 3, tetapi sisi (3, 4) tidak bersisian dengan simpul 2.

(18)

3. Simpul terpencil (Isolated Vertex)

Definisi. Simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya atau dapat juga dinyatakan bahwa simpul terpencil adalah simpul yang tidak satupun bertetangga dengan simpul-simpul lainnya.

Contoh :

(19)

4. Graf Kosong (Null Graph atau Empty Graph)

Definisi. Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong disebut sebagai garaf kosong dan ditulis sebagai Nn

dalam hal ini n adalah julah simpul.

Contoh :

(20)

Ada istilah yang digunakan untuk menggambarkan suatu himpunan pada simpul yang bertetangga pada suatu graf.

Definisi. Himpunan semua tetangga pada suatu simpul v dari

G = (V, E) dilambangkan dengan N(v).

5. Derajat (Degree)

Definisi. Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Sisi gelang (loop) dihitung berderajat dua. Derajat simpul v dilambangkan

(21)

Contoh 1 :

Derajat simpul dan himpunan tetangga simpul dari gambar berikut adalah :

Contoh 2 :

(22)

Teorema 1 (Teorema Jabat Tangan)

Biarkan G = (V, E) graf tak berarah dengan m jumlah sisi, maka

Catatan :

 Berlaku jika memiliki sisi ganda dan gelang (loop)

 2m selalu bernilai genap

Teorema ini dikenal dengan (handshaking theorem). Setiap sisi dihitung dua kali, yaitu pada ujung kiri sebagai bagian dari

(23)

Contoh 1 :

Jumlah derajat seluruh simpul pada graf dibawah ini adalah :

deg(1) + deg(2) + deg(3) = 3 + 3 + 4 = 2  jumlah sisi = 2  5 = 10

Contoh 2 :

Berapa banyak sisi yang ada di graf dengan 10 simpul masing-masing 6 derajat ?

Solusi

60 = 2m

(24)

Teorema 2

Graf tak berarah mempunyai jumlah simpul dari derajat ganjil, untuk sembarang graf G, banyaknya simpul yang berderajat ganjil selalu genap.

Bukti :

Misalkan V1 dan V2 masing-masing adalah himpunan simpul

yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada graf G = (V, E). Berdasarkan teorema sebelumnya dimana,

(25)

Jika deg(v) genap untuk vV1, maka suku pertama dari ruas kiri persamaan selalu bernilai genap. Ruas kanan juga bernilai genap. Nilai genap pada ruas kanan hanya benar bila suku kedua dari ruas kiri juga harus genap.

genap + genap = genap

Jika deg(v) ganjil untuk vV2, maka banyaknya simpul v di dalam V2 harus genap agar jumlah seluruh derajatnya bernilai genap. Jadi, banyaknya simpul yang berderajat ganjil selalu genap.

ganjil + ganjil = genap

(26)

Derajat simpul dibedakan menjadi dua macam untuk

mencerminkan jumlah sisi dengan simpul tersebut sebagai simpul asal dan jumlah sisi dengan simpul tersebut sebagai simpul

terminal.

Definisi

Pada graf berarah derajat simpul v dinotasikan dengan degin(v) dan degout(v).

degin(v) = jumlah busur yang masuk ke simpul v

degout(v) = jumlah busur yang keluar dari simpul v

jadi,

(27)

Contoh :

Derajat setiap simpul adalah degin(a) = 2 degout(a) = 4

degin(b) = 2 degout(b) = 1

degin(c) = 3 degout(c) = 2

degin(d) = 2 degout(d) = 2 degin(e) = 3 degout(e) = 3 degin(f) = 0 degout(f) = 0

(28)

Teorema 3

Pada graf berarah G = (V, E) selalu berlaku hubungan

Pada contoh sebelumnya cukup jelas bahwa jumlah degin(v) = jumlah degout(v)

(29)

Beberapa Graf Sederhana

1. Graf Lengkap (Complete Graph)

Graf sederhana terhubung yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn. Setiap simpul pada Kn

berderajat n – 1

(30)

2. Graf Lingkaran (Cycles)

Graf lingkaran berorde n, dilambangkan dengan Cn , adalah

graf yang titik-titiknya dapat dilabeli berturut-turut dengan

(31)

3. Graf Teratur (Regular Graphs)

Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut graf teratur berderajat r. Jumlah sisi pada graf teratur

derajat r dengan n buah simpul adalah nr/2.

Fahrul Usman / Pengajaran Matematika ITB 31

n = 4, r = 3 n = 6, r = 3 n = 8, r = 3

(32)

Graf Bipartit

Definisi

Graf G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah

simpul di V2 dan dinyatakan sebagai G(V1, V2 ). Dengan kata lain,

setiap pasang simpul di V1 dengan simpul di V2 tidak bertetangga. Apabila setiap simpul di V1 bertetangga dengan semua simpul di

V2, maka G(V1, V2 ) disebut graf bipartit lengkap, dilambangkan dengan Km,n. Jumlah sisi pada graf bipartit lengkap adalah mn.

(33)

Contoh :

C6 adalah bipartit, seperti yang ditunjukkan pada gambar 7.

Himpunan simpulnya dikelompokkan menjadi dua yakni V1 dan V2. V1 = {V1,V3,V5} dan V2 = {V2,V4,V6}. Setiap sisi C6

menghubungkan simpul di V1 dan simpul di V2.

(34)

Teorema 4

Sebuah graf sederhana dikatakan bipartit jika dan hanya jika ada kemungkinan untuk menetapkan satu dari dua warna yang

berbeda untuk masing-masing simpul dari graf sehingga tidak ada dua simpul yang berdekatan mempunyai warna yang sama.

Bukti :

Misalkan G = (V, E) graf sederhana bipartit. V =V1∪ V2 dua

(35)

Contoh :

Graf G pada gambar 9 adalah graf bipartit lengkap K2,3, K3,3, K3,5, K2,6.

(36)

Teorema 5

Hall’s Marriage Theorem

Misalkan G adalah graf bipartit dengan V1 dan V2. Kemudian G mengandung pencocokan lengkap dari V1 dan V2 jika dan hanya jika | T(S) | ≥ | S | untuk setiap S subsets V1.

Bukti :

Basis step : n = | V1 |, untuk n = 1

Inductive step : Misalkan n ≥ 2 berlaku untuk semua graf dengan | V1 | < n. Pertimbangkan graf G dengan | V1 | = n dan asumsikan Hall’s Mariage terhadap 2 kasus :

a) Misalkan | T(S) | > | S | untuk setiap ∅ ≠ S subset V1. Biarkan xy berada disisi G dengan

x ∈ V1 dan y ∈ V2. Dengan menghilangkan simpul x dan y di G’ dari G maka G’

memenuhi kondisi Hall’s (jika ∅ ≠ S subset V1 \ x maka | T(S) | ≥ | T(S) | - 1 ≥ | S | ) dan induksi G’ memiliki pencocokan lengkap dari V1 \ x ke V2 \ y . Dengan menambahkan sisi xy maka pencocokan lengkap.

(37)

| T(A) ∩ U | = | T(A ∪ S) ∩ (V2 \ T(S) | = | T(A ∪ S) - (T(S) |

≥ | A S | - | S | = | A | (karena | T(A ∪ S) | ≥ | A ∪ S | dan | T(S) | = | S |) Dengan demikian, terdapat pencocokan lengkap dari T ke U.

(38)

Contoh :

Job Assignments

Misalkan m adalah karyawan dalam suatu kelompok dan n adalah pekerjaan yang dilakukan, dimana mn. Setiap karyawan dilatih untuk melakukan satu atau lebih pekerjaan. Kita ingin menetapkan seorang karyawan untuk setiap pekerjaan. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan graf untuk memodelkan

kemampuan karyawan. Setiap karyawan diwakili dengan simpul dan setiap pekerjaan diwakili juga dengan simpul. Masing-masing karyawan kita

hubungkan dengan pekerjaan yang telah dilatih untuk melakukannya.

Pertama, anggaplah bahwa kelompok ini memilik 4 karyawan yakni, Alvarez, Berkowitz, Chen, dan Davis. Ada 4 pekerjaan yang harus dilakukan yaitu, requirements, architecture, implementation, dan testing. Misalnya Alvarez telah dilatih untuk

(39)

Contoh :

Carilah gabungan graf G1 dan G2 yang ditunjukkan pada gambar 16.

Solusi :

Simpul G1 ∪ G2 merupakan gabungan dari dua himpunan simpul yaitu {a,b,c,d,e,f}. Sisi himpunan adalah gabungan dari dua sisi himpunan.

(40)

C. REPRESENTASI GRAF DAN

GRAF ISOMORFIK

Representasi Graf

Cara lain untuk mewakili graf tanpa sisi ganda

adalah dengan menggunakan daftar kedekatan yang menentukan simpul yang berdekatan dengan simpul lain dari graf.

(41)

1. Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)

Matriks ketetanggaan adalah representasi graf yang paling

umum. Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul, n ≥ 1.

Matriks ketetanggaan G adalah matriks yang berukuran n × n.

aij = 1 jika simpul i dan j bertetangga, sebaliknya aij = 0 jika simpul i dan j tidak bertetangga.

(42)

Contoh :

Memperlihatkan graf sederhana dengan matriks ketetanggaanna, masing-masing graf terhubung, graf tak-terhubung, dan graf

(43)

2. Matriks Bersisian (incidency matrix)

Matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi.

Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul dan m buah sisi. Matriks bersisian G adalah matriks yang berukuran n × m.

Baris menunjukkan label simpul, sedangkan kolom menunjukan label sisinya. aij = 1 jika simpul i bersisian dengan sisi j,

sebaliknya aij = 0 jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j.

(44)

Contoh :

Memperlihatkan matriks bersisian untuk graf yang

(45)

Graf Isomorfik

Definisi

Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan

antara sisi-sisi keduanya sedemikian sehingga jika sisi e bersisian

dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkorespon di G2

juga harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ di G2.

(46)

Tunjukkan graf G = (V, E) dan H = (W, F) adalah isomorfik. Perhatikan gambar G dan H dibawah ini.

(47)

Gambar (a) dan (b) merupakan isomorfik

(48)

D. KETERHUBUNGAN

1. Lintasan (Path)

Definisi

Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di dalam graf G adalah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2, ..., vn-1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ..., en = (vn-1, vn ) adalah sisi-sisi dari graf G.

Simpul dan sisi yang dilalui di dalam lintasan boleh berulang. Istilah dalam lintasan yaitu, lintasan sederhana (simple path) jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali), lintasan

(49)

Contoh :

 Lintasan 1, 2, 4, 3 merupakan lintasan sederhana dan lintasan terbuka.

 Lintasan 1, 2, 4, 3, 1 merupakan lintasan sederhana dan lintasan tertutup.

 Lintasan 1, 2, 4, 3, 2 bukan lintasan sederhana, tetapi lintasan terbuka

(50)

2. Siklus (cycle) atau Sirkuit (circuit)

Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama.

Contoh :

 1, 2, 3, 1 adalah sirkuit sederhana

 1, 2, 4, 3, 2, 1 bukan sirkuit sederhana, sisi (1, 2) dilalui dua kali.

(51)

3. Terhubung (Connected)

Definisi

Graf tak berarah G disebut graf terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke v. Jika tidak, maka G graf tak terhubung

(52)

Definisi

Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak berarahnya terhubung (graf tak berarah dari G diperoleh dengan

menghilangkan arahnya).

Keterhubungan dua buah simpul pada graf berarah dibedakan menjadi terhubung kuat dan terhubung lemah.

(53)

Definisi

Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph) apabila untuk setiap pasang simpul sembarang u dan v

 Dua simpul u dan v pada graf berarah disebut terhubung kuat

(strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v.

 Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi tetap terhubung pada graf tak berarah, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly connected).

(54)

 Pada gambar (a), simpul 1 dan simpul 3 terhubung kuat karena terdapat lintasan dari 1 ke 3 (yaitu 1, 2, 3), begitu juga terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 4, 5, 1).

 Pada gambar (b), simpul 1 dan simpul 3 terhubung lemah karena hanya terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 5, 4, 1), tetapi tidak ada lintasan dari 1 ke 3.

(55)

Jawaban Latihan Soal

(56)

1. Graf perkenalan yang menunjukkan bahwa Tom dan Patricia, Tom dan Hope, Tom dan Sandi, Tom dan Amy, Tom dan

Marika, Jeff dan Patricia, Jeff dan Mary, Patricia dan Hope, my dan Hope, Amy dan Marika saling mengenal, tetapi tidak ada pasangan lain yang saling mengenal.

Solusi :

(57)

2. Berapa banyak sisi yang ada pada graf dengan derajat barisan 4, 3, 3, 2, 2 ? Gambarkanlah grafnya !

Solusi :

Misalkan banyak sisi pada graf adalah m maka,

4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 2m 14 = 2m 7 = m

jadi, banyak sisi pada graf tersebut adalah 7

(58)

3. Tunjukkan bahwa isomorfisma dari graf sederhana adalah relasi ekuivalen.

Solusi :

Misalkan G, H, dan K graf sederhana yang isomorfik.

Refleksif, untuk semua graf sederhana, G ≅ G dengan f (Vg) = Vg .

Simetrik, jika G ≅ H maka H ≅ G. Artinya, terdapat fungsi korespondensi satu-satu f dari G ke H yang mempertahankan sisi bersisian dan sisi tak

bersisian sehingga f-1 adalah fungsi korespondensi satu-satu dari H ke G yang

juga mempertahankan sisi bersisian dan tak bersisian.

Transitif, jika G ≅ H dan H ≅ K, maka G ≅ K. Artinya, terdapat fungsi

korespondensi satu-satu f dari G ke H dan korespondensi satu-satu g dari H ke K yang mempertahankan sisi bersisian dan tak bersisian. Akibatnya, g f juga

(59)

4. Tunjukkan bahwa setiap graf terhubung dengan n titik

mempunyai paling sedikit n -1 sisi

Solusi :

(60)

#Man Jadda Wa Jada

Gambar

Gambar di atas memperlihatkan tiga buah graf G1, G2, dan G3.
Gambar tersebut memperlihatkan 6 buah tim. Tim 1 tidak terkalahkan,
Gambar di bawah ini, sisi (1, 3) bersisian dngan simpul 1 dan
Gambar (a) dan (b) merupakan isomorfik

Referensi

Dokumen terkait

Dalam komposisi ini, pada dasarnya komposer ingin menyampaikan keresahan- nya akan keadaan yang terjadi di lingkungan tempat ia kuliah, yaitu tentang sedikitnya minat

Keluhan Minor Askep/Manage r sector melakukan klarifikasi dan verifikasi terhadap bukti- bukti keluhan bersama pihak yang menyampaika n keluhan Askep/Manag er sector

Setelah itu dilakukan kembali crushing pada bijih yang sama dengan menggunakan roll crusher lalu diayak kembali dengan ukuran ayakan antara 3 mesh – 50 mesh, lalu

Pengabdian kepada masyarakat dapat dilakukan oleh semua lapisan dan golongan masyarakat. Oleh karena itu pengabdian kepada masyarakat yang dilakukan oleh insan akademik

Selanjutnya dengan pengaruh positif signifikan variabel moderasi Kualitas Pelayanan pada suatu produk dapat memberikan dampak yang baik untuk wisatawan Kota Malang, antara lain

Pengambilan keputusan dari jaringan saraf timan yaitu dengan mencari node yang bemilai paling tinggi diantara diantara kelima node output, node yang bemilai

No PERUSAHAAN KOMODITAS UPT KAPASITAS NO SK TANGGAL SK MASA BERLAKU 1 CV.PUTRA PRIMA MANDIRI Meat Bone Meal dan Bahan Pakan Asal.. Hewan Lainnya BBKP Surabaya 500

Hal ini dapat terjadi karena faktor risiko lain yaitu indeks massa tubuh rendah dan jumlah paritas lebih dari atau sama dengan tiga, karena osteoporosis disebabkan oleh banyak