Discrete Mathematics & Its Applications
Chapter 10 : Graphs
Fahrul Usman
Institut Teknologi Bandung
Pengajaran Matematika
Sub Topik
A.
Graf dan Model Graf
B.
Terminologi Dasar Graf dan Jenis Khusus
Graf
C.
Representasi Graf dan Graf Isomorfik
D.
Keterhubungan
Sejarah Graf
Menurut catatan sejarah, jembatan Konigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Ia memodelkan
masalah ini ke dalam graf. Daratan (titik-titik yang dihubungkan oleh jembatan dinyatakan sebagai titik
(noktah) yang disebut simpul (vertex)
dan jembatan dinyatakan sebagai
garis yang disebut sisi (edge).
Peta Sulawesi
Sebuah peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di
Sulawesi. Peta tersebut adalah sebuah graf yang dalam hal ini kota
dinyatakan sebagai bulatan
sedangkan jalan dinyatakan sebagai
garis. Dengan diberikannya peta tersebut, kita dapat mengetahui
A. GRAF DAN MODEL GRAF
Secara matematis, graf didefinisikan sebagai berikut :
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis
dengan notasi G = (V, E) yang dalam hal ini V adalah
himpunan tidak kosong dari simpul (vertices atau node) dan E
adalah himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan
sepasang simpul.
Simpul pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c,
..., v, w, ... dengan bilangan asli 1, 2, 3, ..., atau gabungan
keduanya. Sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul
Contoh :
sisi ganda adalah (1,3) dan (3,4)
G3adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E V = 1, 2, 3, 4
E = (1,2), (1,3), (1,3), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (3,4)
gelang (loop) adalah (3,3) berawal dan berakhir pada simpul yang sama Fahrul Usman / Pengajaran Matematika ITB
Jenis-jenis Graf
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf. Secara umum dapat digolongkan menjadi dua jenis :
1. Graf sederhana (simple graph)
Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi ganda.
2. Graf tak-sederhana (unsimple graph)
Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang. Ada dua macam graf tak sederhana, yaitu graf ganda (multigraph)
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis yaitu :
1. Graf tak-berarah (undirected graph)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak-berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, (u, v) = (v, u) adalah sisi yang
sama.
2. Graf berarah (directed graph)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf berarah, (u, v) dan (v, u) menyatakan dua buah sisi yang berbeda dengan kata lain (u, v) (v, u).
Jenis Sisi Sisi ganda dibolehkan?
Sisi gelang dibolehkan?
Graf sederhana Tak-berarah Tidak Tidak
Graf ganda Tak-berarah Ya Tidak
Graf semu Tak-berarah Ya Ya
Graf berarah Berarah Tidak Tidak
Graf ganda berarah Berarah Ya Ya
Graf campuran Berarah dan Ya Ya
10
Model Graf
Jaringan Sosial
Contoh :
Acquaintanceship and Friendship Graphs
Kita dapat menggunakan graf
sederhana untuk mewakili apakah dua orang saling mengenal satu sama lain. Apakah mereka berkenalan atau
berteman di sosial media. Setiap orang dalam kelompok tertentu
diwakili oleh simpul dan sisi berarah untuk menghubungkan dua orang
yang saling mengenal satu sama lain.
Contoh :
Influence Graphs
Dalam studi pengamatan perilaku suatu kelompok, orang-orang tertentu dapat mempengaruhi pemikiran orang lain. Setiap orang dari kelompok diwakili oleh simpul dan sisi berarah diwakili oleh pengaruh dari simpul. Graf ini tidak mengandung gelang (loop). Contoh, Deborah tidak dapat dipengaruhi, tapi dia bisa
Jaringan Komunikasi
Contoh :
Call Graphs
Secara khusus, graf-ganda berarah dapat digunakan untuk model panggilan, dimana setiap nomor telepon diwakili oleh simpul dan setiap panggilan telepon diwakili oleh sisi berarah. Sebagai
contoh, pada gambar dibawah, 3 panggilan telah dibuat dari 732-555-1234 ke 732-555-9876 dan 2 arah lain, tetapi tidak ada
panggilan telah dibuat dari 732-555-4444 ke salah satu 6 nomor lain kecuali 732-555-0011.
Turnamen
Contoh :
Round-Robin Tournaments
Turnamen yang setiap tim bertanding dengan tim lainnya hanya sekali disebut turnamen round-robin. Turnamen semacam itu dimodelkan dengan graf berarah. Simpul
menyatakan tiap tim yang bertanding. Sisi (a, b) berarti tim a berhasil mengalahkan tim b.
(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,3), (2,4)
(4,3)
B. TERMINOLOGI DASAR GRAF DAN
JENIS KHUSUS GRAF
Kita akan sering menggunakan istilah yang berkaitan dengan graf. Dibawah ini didefinisikan beberapa terminologi yang sering dipakai. Gambar dibawah ini akan digunakan untuk
memperjelas terminologi yang kita definisikan. G1 adalah graf sederhana, G2 adalah graf semu, dan G3 adalah graf dengan sebuah simpul yang terpisah dari simpul lainnya. Ketiga buah graf ini merupakan graf tidak berarah.
Fahrul Usman / Pengajaran Matematika ITB 15
1. Bertetangga (Adjacent)
Definisi. Dua buah simpul u dan v pada graf tak-berarah G
dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, u bertetangga dengan v jika (u, v) adalah sebuah sisi pada graf G.
Contoh :
Pada gambar dibawah, simpul 4 bertetangga dengan simpul 2 dan 3, tetapi tidak bertetangga dengan simpul 1.
2. Bersisian (Incident)
Definisi. Untuk sembarang sisi e = (u, v), sisi e dikatakan bersisian dengan simpul u dan simpul v
Contoh :
Gambar di bawah ini, sisi (1, 3) bersisian dngan simpul 1 dan simpul 3, tetapi sisi (3, 4) tidak bersisian dengan simpul 2.
3. Simpul terpencil (Isolated Vertex)
Definisi. Simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya atau dapat juga dinyatakan bahwa simpul terpencil adalah simpul yang tidak satupun bertetangga dengan simpul-simpul lainnya.
Contoh :
4. Graf Kosong (Null Graph atau Empty Graph)
Definisi. Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong disebut sebagai garaf kosong dan ditulis sebagai Nn
dalam hal ini n adalah julah simpul.
Contoh :
Ada istilah yang digunakan untuk menggambarkan suatu himpunan pada simpul yang bertetangga pada suatu graf.
Definisi. Himpunan semua tetangga pada suatu simpul v dari
G = (V, E) dilambangkan dengan N(v).
5. Derajat (Degree)
Definisi. Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Sisi gelang (loop) dihitung berderajat dua. Derajat simpul v dilambangkan
Contoh 1 :
Derajat simpul dan himpunan tetangga simpul dari gambar berikut adalah :
Contoh 2 :
Teorema 1 (Teorema Jabat Tangan)
Biarkan G = (V, E) graf tak berarah dengan m jumlah sisi, maka
Catatan :
Berlaku jika memiliki sisi ganda dan gelang (loop)
2m selalu bernilai genap
Teorema ini dikenal dengan (handshaking theorem). Setiap sisi dihitung dua kali, yaitu pada ujung kiri sebagai bagian dari
Contoh 1 :
Jumlah derajat seluruh simpul pada graf dibawah ini adalah :
deg(1) + deg(2) + deg(3) = 3 + 3 + 4 = 2 jumlah sisi = 2 5 = 10
Contoh 2 :
Berapa banyak sisi yang ada di graf dengan 10 simpul masing-masing 6 derajat ?
Solusi
60 = 2m
Teorema 2
Graf tak berarah mempunyai jumlah simpul dari derajat ganjil, untuk sembarang graf G, banyaknya simpul yang berderajat ganjil selalu genap.
Bukti :
Misalkan V1 dan V2 masing-masing adalah himpunan simpul
yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada graf G = (V, E). Berdasarkan teorema sebelumnya dimana,
Jika deg(v) genap untuk v V1, maka suku pertama dari ruas kiri persamaan selalu bernilai genap. Ruas kanan juga bernilai genap. Nilai genap pada ruas kanan hanya benar bila suku kedua dari ruas kiri juga harus genap.
genap + genap = genap
Jika deg(v) ganjil untuk v V2, maka banyaknya simpul v di dalam V2 harus genap agar jumlah seluruh derajatnya bernilai genap. Jadi, banyaknya simpul yang berderajat ganjil selalu genap.
ganjil + ganjil = genap
Derajat simpul dibedakan menjadi dua macam untuk
mencerminkan jumlah sisi dengan simpul tersebut sebagai simpul asal dan jumlah sisi dengan simpul tersebut sebagai simpul
terminal.
Definisi
Pada graf berarah derajat simpul v dinotasikan dengan degin(v) dan degout(v).
degin(v) = jumlah busur yang masuk ke simpul v
degout(v) = jumlah busur yang keluar dari simpul v
jadi,
Contoh :
Derajat setiap simpul adalah degin(a) = 2 degout(a) = 4
degin(b) = 2 degout(b) = 1
degin(c) = 3 degout(c) = 2
degin(d) = 2 degout(d) = 2 degin(e) = 3 degout(e) = 3 degin(f) = 0 degout(f) = 0
Teorema 3
Pada graf berarah G = (V, E) selalu berlaku hubungan
Pada contoh sebelumnya cukup jelas bahwa jumlah degin(v) = jumlah degout(v)
Beberapa Graf Sederhana
1. Graf Lengkap (Complete Graph)
Graf sederhana terhubung yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn. Setiap simpul pada Kn
berderajat n – 1
2. Graf Lingkaran (Cycles)
Graf lingkaran berorde n, dilambangkan dengan Cn , adalah
graf yang titik-titiknya dapat dilabeli berturut-turut dengan
3. Graf Teratur (Regular Graphs)
Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut graf teratur berderajat r. Jumlah sisi pada graf teratur
derajat r dengan n buah simpul adalah nr/2.
Fahrul Usman / Pengajaran Matematika ITB 31
n = 4, r = 3 n = 6, r = 3 n = 8, r = 3
Graf Bipartit
Definisi
Graf G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah
simpul di V2 dan dinyatakan sebagai G(V1, V2 ). Dengan kata lain,
setiap pasang simpul di V1 dengan simpul di V2 tidak bertetangga. Apabila setiap simpul di V1 bertetangga dengan semua simpul di
V2, maka G(V1, V2 ) disebut graf bipartit lengkap, dilambangkan dengan Km,n. Jumlah sisi pada graf bipartit lengkap adalah mn.
Contoh :
C6 adalah bipartit, seperti yang ditunjukkan pada gambar 7.
Himpunan simpulnya dikelompokkan menjadi dua yakni V1 dan V2. V1 = {V1,V3,V5} dan V2 = {V2,V4,V6}. Setiap sisi C6
menghubungkan simpul di V1 dan simpul di V2.
Teorema 4
Sebuah graf sederhana dikatakan bipartit jika dan hanya jika ada kemungkinan untuk menetapkan satu dari dua warna yang
berbeda untuk masing-masing simpul dari graf sehingga tidak ada dua simpul yang berdekatan mempunyai warna yang sama.
Bukti :
Misalkan G = (V, E) graf sederhana bipartit. V =V1∪ V2 dua
Contoh :
Graf G pada gambar 9 adalah graf bipartit lengkap K2,3, K3,3, K3,5, K2,6.
Teorema 5
Hall’s Marriage Theorem
Misalkan G adalah graf bipartit dengan V1 dan V2. Kemudian G mengandung pencocokan lengkap dari V1 dan V2 jika dan hanya jika | T(S) | ≥ | S | untuk setiap S subsets V1.
Bukti :
Basis step : n = | V1 |, untuk n = 1
Inductive step : Misalkan n ≥ 2 berlaku untuk semua graf dengan | V1 | < n. Pertimbangkan graf G dengan | V1 | = n dan asumsikan Hall’s Mariage terhadap 2 kasus :
a) Misalkan | T(S) | > | S | untuk setiap ∅ ≠ S subset V1. Biarkan xy berada disisi G dengan
x ∈ V1 dan y ∈ V2. Dengan menghilangkan simpul x dan y di G’ dari G maka G’
memenuhi kondisi Hall’s (jika ∅ ≠ S subset V1 \ x maka | T(S) | ≥ | T(S) | - 1 ≥ | S | ) dan induksi G’ memiliki pencocokan lengkap dari V1 \ x ke V2 \ y . Dengan menambahkan sisi xy maka pencocokan lengkap.
| T(A) ∩ U | = | T(A ∪ S) ∩ (V2 \ T(S) | = | T(A ∪ S) - (T(S) |
≥ | A ∪ S | - | S | = | A | (karena | T(A ∪ S) | ≥ | A ∪ S | dan | T(S) | = | S |) Dengan demikian, terdapat pencocokan lengkap dari T ke U.
Contoh :
Job Assignments
Misalkan m adalah karyawan dalam suatu kelompok dan n adalah pekerjaan yang dilakukan, dimana m ≥ n. Setiap karyawan dilatih untuk melakukan satu atau lebih pekerjaan. Kita ingin menetapkan seorang karyawan untuk setiap pekerjaan. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan graf untuk memodelkan
kemampuan karyawan. Setiap karyawan diwakili dengan simpul dan setiap pekerjaan diwakili juga dengan simpul. Masing-masing karyawan kita
hubungkan dengan pekerjaan yang telah dilatih untuk melakukannya.
Pertama, anggaplah bahwa kelompok ini memilik 4 karyawan yakni, Alvarez, Berkowitz, Chen, dan Davis. Ada 4 pekerjaan yang harus dilakukan yaitu, requirements, architecture, implementation, dan testing. Misalnya Alvarez telah dilatih untuk
Contoh :
Carilah gabungan graf G1 dan G2 yang ditunjukkan pada gambar 16.
Solusi :
Simpul G1 ∪ G2 merupakan gabungan dari dua himpunan simpul yaitu {a,b,c,d,e,f}. Sisi himpunan adalah gabungan dari dua sisi himpunan.
C. REPRESENTASI GRAF DAN
GRAF ISOMORFIK
Representasi Graf
Cara lain untuk mewakili graf tanpa sisi ganda
adalah dengan menggunakan daftar kedekatan yang menentukan simpul yang berdekatan dengan simpul lain dari graf.
1. Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)
Matriks ketetanggaan adalah representasi graf yang paling
umum. Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul, n ≥ 1.
Matriks ketetanggaan G adalah matriks yang berukuran n × n.
aij = 1 jika simpul i dan j bertetangga, sebaliknya aij = 0 jika simpul i dan j tidak bertetangga.
Contoh :
Memperlihatkan graf sederhana dengan matriks ketetanggaanna, masing-masing graf terhubung, graf tak-terhubung, dan graf
2. Matriks Bersisian (incidency matrix)
Matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi.
Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul dan m buah sisi. Matriks bersisian G adalah matriks yang berukuran n × m.
Baris menunjukkan label simpul, sedangkan kolom menunjukan label sisinya. aij = 1 jika simpul i bersisian dengan sisi j,
sebaliknya aij = 0 jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j.
Contoh :
Memperlihatkan matriks bersisian untuk graf yang
Graf Isomorfik
Definisi
Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan
antara sisi-sisi keduanya sedemikian sehingga jika sisi e bersisian
dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkorespon di G2
juga harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ di G2.
Tunjukkan graf G = (V, E) dan H = (W, F) adalah isomorfik. Perhatikan gambar G dan H dibawah ini.
Gambar (a) dan (b) merupakan isomorfik
D. KETERHUBUNGAN
1. Lintasan (Path)
Definisi
Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di dalam graf G adalah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2, ..., vn-1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ..., en = (vn-1, vn ) adalah sisi-sisi dari graf G.
Simpul dan sisi yang dilalui di dalam lintasan boleh berulang. Istilah dalam lintasan yaitu, lintasan sederhana (simple path) jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali), lintasan
Contoh :
Lintasan 1, 2, 4, 3 merupakan lintasan sederhana dan lintasan terbuka.
Lintasan 1, 2, 4, 3, 1 merupakan lintasan sederhana dan lintasan tertutup.
Lintasan 1, 2, 4, 3, 2 bukan lintasan sederhana, tetapi lintasan terbuka
2. Siklus (cycle) atau Sirkuit (circuit)
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama.
Contoh :
1, 2, 3, 1 adalah sirkuit sederhana
1, 2, 4, 3, 2, 1 bukan sirkuit sederhana, sisi (1, 2) dilalui dua kali.
3. Terhubung (Connected)
Definisi
Graf tak berarah G disebut graf terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke v. Jika tidak, maka G graf tak terhubung
Definisi
Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak berarahnya terhubung (graf tak berarah dari G diperoleh dengan
menghilangkan arahnya).
Keterhubungan dua buah simpul pada graf berarah dibedakan menjadi terhubung kuat dan terhubung lemah.
Definisi
Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph) apabila untuk setiap pasang simpul sembarang u dan v
Dua simpul u dan v pada graf berarah disebut terhubung kuat
(strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v.
Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi tetap terhubung pada graf tak berarah, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly connected).
Pada gambar (a), simpul 1 dan simpul 3 terhubung kuat karena terdapat lintasan dari 1 ke 3 (yaitu 1, 2, 3), begitu juga terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 4, 5, 1).
Pada gambar (b), simpul 1 dan simpul 3 terhubung lemah karena hanya terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 5, 4, 1), tetapi tidak ada lintasan dari 1 ke 3.
Jawaban Latihan Soal
1. Graf perkenalan yang menunjukkan bahwa Tom dan Patricia, Tom dan Hope, Tom dan Sandi, Tom dan Amy, Tom dan
Marika, Jeff dan Patricia, Jeff dan Mary, Patricia dan Hope, my dan Hope, Amy dan Marika saling mengenal, tetapi tidak ada pasangan lain yang saling mengenal.
Solusi :
2. Berapa banyak sisi yang ada pada graf dengan derajat barisan 4, 3, 3, 2, 2 ? Gambarkanlah grafnya !
Solusi :
Misalkan banyak sisi pada graf adalah m maka,
4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 2m 14 = 2m 7 = m
jadi, banyak sisi pada graf tersebut adalah 7
3. Tunjukkan bahwa isomorfisma dari graf sederhana adalah relasi ekuivalen.
Solusi :
Misalkan G, H, dan K graf sederhana yang isomorfik.
Refleksif, untuk semua graf sederhana, G ≅ G dengan f (Vg) = Vg .
Simetrik, jika G ≅ H maka H ≅ G. Artinya, terdapat fungsi korespondensi satu-satu f dari G ke H yang mempertahankan sisi bersisian dan sisi tak
bersisian sehingga f-1 adalah fungsi korespondensi satu-satu dari H ke G yang
juga mempertahankan sisi bersisian dan tak bersisian.
Transitif, jika G ≅ H dan H ≅ K, maka G ≅ K. Artinya, terdapat fungsi
korespondensi satu-satu f dari G ke H dan korespondensi satu-satu g dari H ke K yang mempertahankan sisi bersisian dan tak bersisian. Akibatnya, g ⃘ f juga
4. Tunjukkan bahwa setiap graf terhubung dengan n titik
mempunyai paling sedikit n -1 sisi
Solusi :