Aturan Cramer dan Eliminasi Gauss
Soal
Tentukan solusi dari Sistem Persamaan Linear (SPL) di bawah ini
Bentuk SPL di atas menjadi persamaan matriks
| | |
Bentuk SPL di atas menjadi persamaan matriks
[
a. Eliminasi Gauss menggunakan 3 operasi baris elementer pada matriks, yaitu:
1. Menukar dua buah baris
2. Mengalikan/membagi sebuah baris dengan konstanta selain 0
3. Menjumlahkan/mengurangi sebuah baris dengan kelipatan baris lain
b. Dengan eliminasi Gauss, ubah matriks menjadi matriks identitas ( ) yang seukuran dengan , yaitu
c. Gabungkan matriks dengan matriks sebelum mengubah menjadi matriks .
[ | ]
( |
)
Langkah 1
Ubah 4 (pada baris pertama ) menjadi 1 (baris pertama ) dengan cara mengurangi baris pertama dengan baris ketiga (operasi no.3). Yaitu
| | |
Sehingga matriks menjadi
( | )
Langkah 2
Ubah 3 (pada baris kedua ) menjadi 0 (baris pertama ) dengan cara mengurangi baris kedua dengan 3 × baris pertama (operasi no.3). Yaitu
| | | | |
Sehingga matriks menjadi
( | )
Langkah 3
Ubah 2 (pada baris kedua ) menjadi 0 (baris pertama ) dengan cara mengurangi baris kedua dengan 2 × baris pertama (operasi no.3). Yaitu
| | | | |
Sehingga matriks menjadi
( |
Langkah 4
Ubah 5 (pada baris kedua ) menjadi 1 (baris ketiga ) dengan cara membagi baris kedua dengan 5 (operasi no.2). Yaitu
| |
Sehingga matriks menjadi
( |
)
Langkah 5
Ubah 5 (pada baris kedua ) menjadi 1 (baris ketiga ) dengan cara membagi baris kedua dengan 5 (operasi no.2). Yaitu
| |
Sehingga matriks menjadi
( |
)
Langkah 6
Tukar baris kedua dengan baris ketiga (operasi no.2) agar didapatkan 1 pada baris ketiga .
Sehingga matriks menjadi
( | )
Langkah 7
Ubah 7 (pada baris kedua ) menjadi 0 (baris kedua ) dengan cara mengurangi baris kedua dengan 7 × baris ketiga (operasi no.3). Yaitu
| | | | |
Sehingga matriks menjadi
Langkah 8
Ubah -25 (pada baris kedua ) menjadi 1 (baris kedua ) dengan cara membagi baris kedua dengan -25 (operasi no.2). Yaitu
| |
Sehingga matriks menjadi
( | )
Langkah 9
Ubah 7 (pada baris ketiga ) menjadi 0 (baris ketiga ) dengan cara mengurangi baris ketiga dengan 7 × baris kedua (operasi no.3). Yaitu
| | | | |
Sehingga matriks menjadi
( | )
Langkah 10
Ubah -8 (pada baris pertama ) menjadi 0 (baris pertama ) dengan cara menambah baris pertama dengan 8 × baris kedua (operasi no.3). Yaitu
| | | | |
Sehingga matriks menjadi
( |
)
Langkah 11
Ubah -1 (pada baris pertama ) menjadi 0 (baris pertama ) dengan cara menambah baris pertama dengan baris ketiga (operasi no.3). Yaitu
| | |
Sehingga matriks menjadi
Terlihat bahwa matriks telah menjadi matriks Identitas , dengan demikian proses selesai.
Solusi dari SPL tersebut ditunjukkan pada bagian matriks yang telah termodifikasi yaitu (lihat sisi kanan matriks terakhir)
( )
Artinya dan .
