LAPORAN PENELITIAN
DANA HIBAH PENELITIAN S1
JURUSAN ILMU KOMPUTER DAN ELEKTRONIKA
TAHUN ANGGARAN 2012
PENERAPAN METODE SECTON
PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN
NON LINIER
Ketua Peneliti
Nur Rokhman
JURUSAN ILMU KOMPUTER DAN ELEKTRONIKA
HALAMAN PENGESAHAN
LAPORAN PENELITIAN
DANA HIBAH PENELITIAN S1 JIKE FMIPA UGM
TAHUN ANGGARAN 2012
e. Fakultas/Jurusan : MIPA/Ilmu Komputer dan Elektronika
f. Bidang Keilmuan : Komputasi
g. Alamat kantor : Sekip Utara, Bulaksumur Telepon/Faks : (0274) 546194
a. Judul Penelitian I : Desain Pengolah Bahasa Alami untuk Ekstraksi Model Berbasis Pohon Keputusan
b. Judul Penelitian II : SECTON : A combination of Newton Method and Secant Method for solving non linear equations
3 Jangka Waktu Penelitian : 6 (enam) bulan 4 Tempat penelitian : JIKE FMIPA UGM
Pembiayaan : Biaya yang diajukan
Biaya : Rp. 10.000.000,- (Sepuluh juta rupiah)
Mengetahui Yogyakarta, 22 Oktober 2012
Ketua Peneliti
Prof. Dr. Jazi Eko Istiyanto Nur Rokhman, M.Kom
NIP. 196110181988031001 NIP 197104161997021001
Menyetujui Dekan FMIPA UGM
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT ayng telah
memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga laporan penelitian ini dapat kami
selesaikan. Penelitian dengan judul “Penerapan metode Secton pada penyelesaian
sistem persamaan non linier” mendapat dukungan dana dari program Hibah Penelitian S1
Jurusan Ilmu Komputer dan Elektronika FMIPA UGM tahun anggaran 2012.
Selama pelaksanaan penelitian sampai dengan penyusunan laporan ini kami mendapat
bantuan dari berbagai pihak. Oleh karenanya pada kesempatan ini kami secara khusus
mengucapkan banyak terima kasih kepada :
1. Dekan FMIPA UGM atas kesempatan yang diberikan kepada kami.
2. Ketua Jurusan Ilmu Komputer dan Elektronika atas dukungan selama ini
Kami menyadari bahwa penelitian in masih banyak kekurangan. Oleh karenanya kritik
dan saran sangat kami harapkan.
Yogyakarta, Oktober 2012
ABSTRAK
Suatu persamaan matematik pada hakekatnya merupakan model dari kejadian alam. Persamaan matematik menyajikan hubungan antar parameter-parameter yang mempengaruhi kejadian alam. Pada sebuah kejadian alam, umumnya digambarkan dengan sejumlah persamaan non linier yang berlaku sebagai sebuah kesatuan dalam bentuk sistem persamaan non linier.
Penyelesaian terhadap model matematik selalu menjadi isu yang menarik. Sejumlah metode telah lama dikembangkan untuk hal ini, seperti metode Newton dan metode Secant. Kedua metode bekerja untuk sebuah persamaan non linier. Penerapan metode ini untuk penyelesaian sistem persamaan non linier juga telah dikembangkan. Metode Secton yang merupakan gabungan kedua metode ini juga telah dikembangkan dan dapat bekerja dengan baik dalam penentuan penyelesaian persamaan non linier..
Pada penelitian ini, metode Secton dapat digunakan penentuan penyelesaian sistem persamaan non linier. Sesuai dengan sifat metode ini, pada penyelesaian ini tidak diperlukan perumusan perumusan derivative fungsi-fungsi penyusun sistem persamaan non linier tersebut.
DAFTAR ISI
Halaman sampul ……… i
Halaman pengesahan ……… ii
Kata pengantar ………. iii
Abstrak ……… iv
Daftar Isi ………. v
BAB I. PENDAHULUAN 1 I.1. Latar Belakang ………. 1
I.2. Tujuan Penelitian ………. 2
I.3. Manfaat Penelitian ………. 2
I.4. Hipotesis ………. 2
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 3 BAB III. LANDASAN TEORI 5
III.1. Penyelesaian persamaan non linier ………. 5
III.2. Penyelesaian numeric sistem persamaan non linier ……….. 7
BAB IV. CARA PENELITIAN 10
BAB V. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 12
V.1. Pengembangan metode ………. 12
V.2. Pengembangan algoritma………. 13
V.3. Studi kasus ……… 15
V.4. Pembahasan ………. 17
BAB VI. KESIMPULAN ………. 19
DAFTAR PUSTAKA ……… 20
BAB I
PENDAHULUAN
I.1. Latar belakang
Sebuah persamaan matematik pada hakekatnya merupakan model dari
suatu kejadian alam. Persamaan matematik menyajikan hubungan antar
parameter-parameter yang mempengaruhi kejadian alam. Sebuah kejadian alam
umumnya digambarkan dengan sejumlah persamaan non linier yang berlaku
sebagai sebuah kesatuan dalam bentuk sistem persamaan non linier. Sistem persamaan non linier muncul pada berbagai permasalahan nyata di alam, seperti
disajikan oleh Riza dkk (2011), Mohammadiun dan Kianifar (2011) dan Sumarni
dan Purwanti (2009).
Sebuah sistem persamaan non linier tersusun atas sejumlah persamaan
non linier. Penyelesaian sistem persamaan ini adalah nilai dari variabel-variabel
yang terlibat yang memenuhi tiap persamaan pembangun sistem. Penyelesaian
terhadap permasalahan ini akan melibatkan pencarian seluruh penyelesaian dari
persamaan-persamaan yang terlibat dalam sistem tersebut.
Sejumlah metode penyelesaian persamaan non linier telah
dikembangkan, seperti metode bagi dua, metode Newton, metode secant dan
lain sebagainya. Penyelesaian persamaan non linier dengan menggunakan
metode Newton membutuhkan sebuah nilai tebakan awal dan rumusan
derivative persamaan. Pada metode secant, rumusan derivative persamaan
buah titik tebakan yang berada pada persamaan non linier yang diselesaikan
(Atkinson, 1998). Dengan cara ini maka pada metode secant dibutuhkan dua
tebakan awal. Penyelesaian persamaan non linier dengan menggunakan metode
Secton terbukti dapat mengambil kelebihan dari masing-masing metode Newton
dan metode Secant. Pada metode secton hanya diperlukan sebuah tebakan awal
dan tidak perlu rumusan derivative masing-masing persamaan non linier
pembentuk sistem (Rokhman, 2011). Penyelesaian sistem persamaan non linier
dikembangkan dari penyelesaian persamaan non linier.
I.2. Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan membangun algoritma untuk penerapan metode
Secton pada pencarian penyelesaian suatu sistem persamaan non linier.
I.3. Manfaat Penelitian
Penelitian ini akan memberikan sebuah cara yang mudah dalam
penyelesaian sistem persamaan non linier tanpa harus melakukan perumusan
derivative fungsi penyusun sistem. Cara ini akan sangat berguna pada
sistem-sistem yang fungsi penyusunnya tidak dapat dinyatakan secara eksplisit dengan
model matematik.
I.4. Hipotesis
Penerapan metode Secton untuk penyelesaian persamaan non linier
sudah dapat dilakukan. Mengingat sebuah persamaan non linier merupakan
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Sistem persamaan non linier muncul pada berbagai permasalahan nyata
di alam. Riza dkk (2011) meneliti tentang global warming dengan membuat
pemodelan ilkim untuk mengetahui pengaruh gas rumah kaca terhadap
pemanasan global. Selanjutnya diuji tingkat akurasi penyelesaian terhadap
model iklim yang berbentuk sistem persamaan linier ini oleh Multiple-Equation
Newton-Raphson dan Steepest Descent Method.
Mohammadiun dan Kianifar (2011) meneliti tentang sistem perlindungan
panas pada berbagai material. Untuk keperluan ini dibuat pemodelan numeric terhadap tingkat resesi dan distribusi panas. Selanjutnya dibuat penyelesaian
atas sistem persamaan non linier yang terbentuk dengan manggunakan metode
Newton-Raphson.
Sumarni dan Purwanti (2009) menggunakan metode Newton-Raphson
untuk menentukan konversi kesetimabngan dan suhu operasi pada reactor alir
tangki berpengaduk. Penentuan hal ini sangat penting untuk memberikan harga
reactor yang paling kecil.
Penelitian tentang penyelesaian persamaan non linier sampai sekarang
terus berkembang. Subash dan Sathya (2011) melakukan modifikasi terhadap
metode Newton-Raphson dengan memasukkan unsur fuzzy. Dalam modifikasi
ini, unsur fuzzy digunakan untuk menggantikan penghitungan derivatif. Melalui
pendekatan ini dapat diselesaikan persamaan fuzzy dan persamaan aljabar yang
Rokhman (2011) berhasil menggabungkan metode Newton dan metode
Secant kedalam metode Secton. Melalui penggabungan ini, penyelesaian
sebuah persamaan non linier dapat ditentukan dengan sebuah tebakan awal dan
tanpa harus mencari rumus derivative persamaan tersebut.
Abraham dan Gosan (2008) memandang permasalahan penyelesaian
persamaan non linier ini sebagai masalah optimisasi multiobyektif. Setiap
persamaan dalam sistem menyatakan sebuah fungsi obyektif yang bertujuan
meminimalkan perbedaan antara suku sebelah kanan dan suku sebelah kiri.
Nakaya dan Oishi (1998) menggunakan program linier untuk menemukan
seluruh penyelesaian dari sistem persamaan non linier. Dalam metode ini,
program linier dimanfaatkan untuk menghapus area-area yang tidak memuat
BAB III
LANDASAN TEORI
III.1. Penyelesaian persamaan non linier
Penyelesaian sebuah persamaan f(x)0 adalah perpotongan grafik
fungsi y f(x) dengan sumbu X. Misalkan Assuming the initial value of the
solution is x0, adalah sebuah nilai awal penyelesaian, maka penyelesaian yang
lebih akurat dapat diperloleh melalui iterasi titik awal tersebut dengan
menggunakan persamaan (1), yang dikemnal dengan metode Newton.
Perhatikan Gambar 1.
Penggunaan metode Newton ternyata memunculkan masalah lain. Perumusan
derivative pada beberapa fungsi ternyata sulit dilakukan. Seperti fungsi-fungsi hasil interpolasi numeric, polynomial Wilkinson, dan lain sebagainya.
Metode Secant mengatasi hal ini melalui pendekatan terhadap nilai
derivative f'(xn), yakni dengan menggunakan gradient garis singgung yang
menghubungkan dua buah titik pada fungsi. Dengan cara demikian maka Metode
Secant tidak memerlukan perumusan derivative, namun memerlukan dua buah
Gambar 1. Metode Newton
Gambar 2. Metode Secant
Pengembangan metode Secton didasari pada kenyataan bahwa sebuah
penyelesaian numeric selalu diperoleh dari iterasi tebakan awal. Iterasi akan
dihentikan setelah mencapai toleransi error tertentu (
), atau dinyatakan tidakada penyelesaian setelah dilakukan sejumlah iterasi tidak mencapi toleransi error
(
) yang diinginkan.Ketetapan nilai toleransi error (
) yang selalu ada dalam penyelesaiannumeric dapat dimanfaatkan dalam perhitungan nilai derivative. Nilai derivative
sebuah fungsi dihitung dengan mengunakan persamaan (3).
x0
x0
x1 x2
x3
h
Penerapan persamaan (4) ke dalam persamaan (1) menghasilkan metode
Secton, seperti pada persamaan (5).
)
III.2. Penyelesaian numeric sistem persamaan non linier
Sebuah sistem persamaan adalah sebuah sistem simultan yang terdiri
atas sejumlah persamaan. Penyelesaian sebuah sistem persamaan adalah nilai
tertentu atas variable-variabel yang memenuhi seluruh persamaan pembangun
sistem tersebut. Berikut ini bentuk umum sistem persamaan atas dua variable.
( ) (6)
persamaan (6). Pendekatan terhadap penyelesaian dibangun dengan
menggunakan bidang singgung pada ( ( )), yakni ( ) dengan
( ) ( )
( ) ( )
Cara yang sama dapat dilakukan untuk permukaan ( ).
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8)
( ) ( )
( ) ( )
Penyelesaian dari sistem ini adalah perpotongan “zero curve” yang terbentuk.
Bila ( ) dan ( ) , maka penyelesaian dari persamaan
( ) ( ) ( ) (9)
( ) ( ) ( )
akan menghasilkan dan yang merupakan perbaikan dari tebakan
sebelumnya. Tebakan berikutnya menjadi :
Penyelesaian ini merupakan bentuk umum dari Metode Newton.
dengan and diperoleh dari solusi
( ) ( ) ( ) (10)
BAB IV
CARA PENELITIAN
Penelitian ini merupakan kelanjutan dari penelitian sebelumnya yang
mengupas tentang metode Secton untuk penyelesaian persamaan non linier f(x)
= 0. Sebuah sistem persamaan non linier terdiri atas sejumlah persamaan non
linier sebagai sebuah kesatuan. Penyelesaian sistem persamaan non linier ini
akan memenuhi seluruh persamaan linier pembangun sistem. Bertitik-tolak dari
pengertian ini maka penelitian ini terdiri atas sejumlah tahapan :
1. Studi pustaka
Pada langkah ini dipelajari bebagai metode terkait dengan penerapan
metode Newton-Raphson dalam penyelesaian sistem persamaan non
linier. Langkah ini akan menghasilkan pengetahuan tentang sejumlah
varian metode Newton-Raphson berikut dengan motivasi yang
melatarbelakanginya.
2. Pengembangan model
Setelah mengetahui berbagai varian metode Newton-Raphson dan
motivasi pengembangannya, maka dikembangkan metode
penyelesaian sistem persamaan non linier dengan menggunakan
metode Secton. Pada tahap ini dikaji berbagai pendekatan numeric
sebuah algoritma penyelesaian sistem persamaan non linear dengan
menggunakan metode secton.
3. Pembuatan program
Pada tahap ini, dibuat program sesuai dengan algoritma yang telah
dikembangkan pada tahap sebelumnya. Program dibuat dengan
perangkat lunak matematis Scilab.
4. Pemilihan kasus
Pada tahap ini dipilih sejumlah kasus yang akan diuji-cobakan pada
program yang telah dibuat. Berbagai varian kasus akan digunakan.
Dimulai dari kasus yang sederhana (dapat diselesaikan secara
analitik) sampai dengan kasus nyata yang harus diselesaikan secara
numeric.
5. Pengamatan unjuk kerja
Pengamatan unjuk kerja program ditujukan untuk mengamati kebenaran program dan kecepatan program. Kebenaran program diuji
melalui sejumlah kasus yang diselesaikan yang sudah diketahui
penyelesaiannya. Kecepatan program diamati melalui variasi ukuran
sistem yang diselesaikan. Disamping itu, kecepatan ini diukur melalui
kompleksitas algoritma.
Penyelesaian persamaan non linier f(x)=0 dengan menggunakan metode
Secton dimotivasi oleh penghilangan rumusan derivative dari fungsi f(x).
ada dalam setiap penyelesaian numerik dan x0 untuk penghitungan nilai
derivative fungsi f(x) pada x = x0.
Proses interpolasi dimaksudkan untuk menentukan fungsi yang melalui
sejumlah titik kontrol. Gambar 3 memberikan ilustrasi penyelesaian persamaan
non linier f(x)=0, dari fungsi hsail interpolasi.
Gambar 3
Skema penyelesaian f(x)= 0 menggunakan metode Secton
Sebuah sistem persamaan non linier berderajat n terdiri atas n buah
persamaan non linier F1(x1,x2,…, xn)=0, F2(x1,x2,…, xn)=0, …. Fn(x1,x2,…, xn)=0.
Penyelesaian sistem persamaan non linier ini adalah X(x1,x2,…, xn) yang
memenuhi n buah persamaan pembangun sistem. Dalam penelitian ini, skema
penyelesaian pada Gambar 3 akan digeneralisir sehingga bersifat lebih umum
BAB V
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
V.1. Pengembangan metode
Penyelesaian numeric sistem persamaan non linier dua variable
( ) (11)
( )
diperoleh melalui iterasi
dengan and diperoleh dari solusi
( ) ( ) ( ) (12)
( ) ( ) ( )
Penerapan metode Secton dalam permasalahan ini dilakukan dengan
penghitungan ( ), ( ), ( ) and ( ), melalui rumus :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Penyelesaian untuk sistem persamaan non linier n variable dapat
dikembangkan dengan mekanisme berikut.
( )
Selanjutnya didefinisikan
[ ] ,
tebakan awal dan tebakan ke i dinyatakan sebagai
[
Melalui penerapan metode Secton, ( ) dapat diganti dengan
( ) [ ]
dimana
( )
sehingga persamaan (12) menjadi
( ) ( )
V.2. Pengembangan algoritma
Berikut ini algoritma penyelesaian persamaan non liner n variable dengan
menggunakan metode Secton :
2) Siapkan vector F untuk menampung nilai fungsi ( ) [
( )
( )]
3) fungsi FX(i,x) adalah untuk menghitung nilai fungsi ke i dengan argument vector x.
4) Siapkan matrik DF untuk menampung nilai derivative
( )
5) Siapkan matrik INVDF untuk menampung invers matrik DF
6) Siapkan vector DX untuk menampung besar vector perubahan pada setiap iterasi
[
]
7) Tentukan toleransi error tertentu (EPS) 8) Lakukan langkah berikut
a. Dari i =1 sampai n kerjakan i. XX = X
ii. XX[i] = XX[i]+eps
iii. Dari j =1 sampai n kerjakan
V.3. Studi kasus
Algoritma di atas selanjutnya digunakan untuk menyelesaiakan sistem
persamaan non linier 2 variabel berikut ini.
Program untuk keperluan ini dapat dilihat pada Lampiran 1. Nilai tebakan awal
digunakan (1,-1). Iterasi terhadap titik ini 10 kali dapat dilihat pada Tabel 1.
Luaran program dapat dilihat pada Gambar 4. Tabel 2 menunjukkan capaian seluruh penyelesaian dengan menggunakan berbagai tebakan awal dengan
tingkat ketelitian ε=1x10-15
.
Tabel 1. Iterasi penyelesaian sistem persamaan non linier
iterasi x y
Tabel 2. Penyelesian sistem persamaan non linier
No Tebakan awal Banyak iterasi penyelesaian
1 (10,10) 24 (2.137217, 1.052652)
2 (10,-10) 20 (1.203167, -1.374081)
3 (-10,10) 23 (-2.137217, 1.052652)
4 (-10,-10) 21 (-1.203167, -1.374081
V.4. Pembahasan
Sebuah sistem persamaan non linier derajat n terdiri atas n buah fungsi
non linier atas variable sebanyak n. Melalui generalisasi metode Newton,
penyelesaian sistem persamaan non linier ini akan melibatkan pencarian
derivative parsial fungsi sebanyak n2. Hal ini akan memberikan kesulitan
tersendiri.
Sebuah penyelesaian numeric lebih focus pada nilai-nilai yang
diiterasikan, bukan pada ekspresi fungsi yang terlibat. Penerapan metode Secton menjadikan proses yang terjadi lebih focus pada besaran nilai yang diolah, bukan
pada rumusan fungsi.
Pada penelitian ini dicoba untuk menentukan penyelesaian dari sistem
persamaan non linier :
Secara analitik sistem persamaan non linier ini dapat diselesaikan dengan cara
di bawah ini.
---
√ ( )
√
√
---
Untuk
( )
atau
Penyelesaian ( ) dan ( )
Untuk
( )
atau
BAB V
KESIMPULAN
1. Telah dapat diterapkan metode Secton pada penyelesaian sistem
persamaan non linier.
2. Penerapan metode secton meniadakan perlunya proses derivative fungsi
DAFTAR PUSTAKA
Grosan, C. dan Abraham, A., 2008, “A New Approach for Solving Nonlinear Equations Systems”, IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS—PART A: SYSTEMS AND HUMANS, VOL. 38, NO. 3, MAY 2008
Mohammadiun, H. dan Kianifar, A., 2011, “Numerical Modeling of Non-Charring Material Ablation with Considering Chemical Reaction Effects, Mass Transfer and
Surface Heat Transfer”, European Journal of Scientific Research, ISSN 1450-216X Vol.54 No.3 (2011), pp.435-447
.
Nakaya, Y. dan Oishi, S., 1998, “Finding All Solutions of Nonlinear Systems of Equations Using Linear Programming with Guaranteed Accuracy”, Journal of Universal Computer Science, vol. 4, no. 2 (1998), 171-177
Rahman, NHA, Ibrahim, A., dan, Jayes, MI., 2011, “Newton Homotopy Solution
for Nonlinear Equations Using Maple14”, Journal of Science and Technology | ISSN 2229-8460 | Vol. 3 No. 2 December 2011
Riza, R., Ariwahjoedi, B., dan Sulaiman, S.A., 2011, “On the Numerical
Exploration of Zero-Dimensional Greenhouse Model using Newton-Raphson and Steepest Descent Methods”, International Journal of Environmental Science and Development, Vol. 2, No. 3, June 2011.
Rokhman, N., 2011, “SECTON : A combination of Newton Method and Secant Method for solving non linear equations”, Proceeding SNATI 2011.
Subash, R. dan Sathya, S., 2011, “Numerical Solution of Fuzzy Modified Newton-RAphson Method for Solving Nonlinear Equations”, International Journal of Current Research, Vol. 3, Issue, 11, pp.390-392, October, 2011
Sumarni dan Purwanti, A., 2009, “Pemanfaatan Metoda Newton-RAphson dalam
Perancangan Reaktor Alir Tangki Berpengaduk”, Jurnal Teknologi, Volume 2
Nomor 2 , Desember 2009, 185- 193.
Subash, R., and Sathya, S., 2011, “Numerical Solution of Fuzzy Modified
LAMPIRAN
Kode program penyelesian sistem persamaan non linier
#include<cstdio>
double pangkat(double c,int d){ //c pangkat d double hasil=1;
for (int k=0;k<(int)funct.var.size();k++){
double df(char variabel, ff funct, double tebak){ //diferensialterhadapsuatuvariabel double satu = f(variabel,funct,tebak+eps);
if (abs(A[i][p])>abs(A[max][p])) max = i; }
for (int j=p;j<n;j++) A[i][j] -= alpha*A[p][j]; }
// x^2+4y^2+9 = 0
for (int i=0;i<n;i++) b[i] = -fb(fungsi[i]); //mengisimatriksb
{
char u=it->first; double v=it->second; tebakan[u]=v+x[i++];
error+=(tebakan[u]-v)*(tebakan[u]-v); printf("%c[%d] = %lf\n",u,ii+1,tebakan[u]); //cetaknilai
}
error=sqrt(error);
printf("Error[%d] = %le\n",ii,error); //cetakerror }else printf("Matriks singuler\n");
}while (error>eps); return 0;
