BAB 5. MODEL RELIABILITAS PARAMETRIK

BAB 5. MODEL RELIABILITAS PARAMETRIK Perhitungan Laju Hazard dengan Penyensoran

Sebagaimana dibahas di bab 1, laju hazard untuk suatu interval waktu adalah rasio antara banyaknya kerusakan yang terjadi selama interval waktu dan banyaknya yang hidup pada awal interval dibagi dengan panjang interval. Unit tersensor selama interval tidak boleh dihitung sebagai bagian dari unit rusak selama selang waktu tersebut. Jika tidak, laju hazard akan meningkat. Contoh berikut menggambarkan perhitungan yang diperlukan untuk laju hazard dan kumulatif hazard.

Contoh 5.1:

Dua ratus kapasitor keramik dikenakan uji hidup sangat dipercepat. Waktu kerusakan dari beberapa kapasitor tersensor karena peralatan yang digunakan selama pengujian kapasitor ini rusak selama tes. Banyaknya unit yang bertahan hidup dan yang tersensor ditunjukkan dalam tabel 5.1. Hitung baik laju hazard dan kumulatif hazard.

Jawab:

Laju hazard pada waktu ti dihitung sebagai

𝑕(𝑡_𝑖) = 𝑁_𝑓(∆𝑡_𝑖) 𝑁_𝑠(𝑡_𝑖−1)∆𝑡_𝑖′ di mana h(t_i) = Laju bahaya saat t_i

Nf (∆𝑡_𝑖) = Jumlah unit rusak selama interval ∆𝑡_𝑖 N_s (𝑡_𝑖−1) = Jumlah korban pada awal interval ∆𝑡_𝑖 ∆𝑡_𝑖 = Panjang interval waktu (ti−1, ti).

N_f (Δt_i) tidak termasuk unit yang tersensor. Rata-rata laju hazard konstan adalah 0,0319.

Waktu kerusakan rata-rata adalah 31,35 jam.

Tabel 5.1. Laju Hazard dan Kumulatif Hazard Interval

Waktu

Banyak unit yang rusak

Banyak unit yang tersensor

Survive sampai akhir interval

Laju Hazard

× 10⁻¹

Kumulatif

× 10⁻¹

1−10 0 3 197 0,0000 0,0000

10−20 6 8 183 0,0304 0,0304

20−30 7 9 167 0,0382 0,0686

30−40 6 8 153 0,0359 0,1045

40−50 6 15 132 0,0392 0,1437

50−60 5 20 107 0,0373 0,1810

60−70 4 18 85 0,0373 0,2183

70−80 3 20 62 0,0352 0,2535

80−90 2 30 30 0,0322 0,2857

90−100 1 29 0 0,0333 0,3190

Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial memiliki laju kerusakan konstan, sering digunakan dalam praktek. Berikut adalah cara menilai validitas menggunakan distribusi eksponensial sebagai model waktu kerusakan. Misal

t1 = saat kerusakan pertama

ti = waktu antara kerusakan ke i-1 dan ke i (i = 2,3, ...) atau waktu sampai kerusakan ke i (tergantung pada waktu yang diamati)

r = banyaknya kerusakan selama tes (dengan asumsi tidak ada sensor) T = jumlah waktu antara kerusakan, 𝑇 = 𝑡^𝑟_{𝑖 𝑖}, dan

X = variabel acak untuk mewakili waktu untuk kerusakan.

Untuk pemeriksaan apakah waktu kerusakan mengikuti distribusi eksponensial atau tidak, digunakan uji Bartlett yang mempunyai statistik uji

𝐵_𝑟 =2𝑟 𝑙𝑛 𝑇 𝑟 −

1

𝑟 ^𝑟_𝑖=1𝑙𝑛 𝑡_𝑖 1 + 𝑟 + 1 /6𝑟

di mana statistik B_r berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat kebebasan r-1.

Uji Bartlett tidak menolak hipotesis yaitu distribusi Eksponensial dapat digunakan untuk memodelkan suatu data waktu kerusakan yang diberikan jika nilai Br, terletak di antara dua nilai kritis dari dua ekor uji Khi-kuadrat dengan tingkat signifikasi 100 (1-α ) persen. Nilai kritis yang lebih rendah adalah 𝜒 1−𝛼/2 ,𝑟−1 2 dan nilai titik atas adalah 𝜒 _{𝛼/2 ,𝑟−1} ² .

Contoh 5.2:

Dua puluh transistor diuji pada lima volt dan 100^oC. Ketika transistor rusak, waktu kerusakan dicatat dan unit yang rusak diganti dengan yang baru. Waktu antara kerusakan (dalam jam) dicatat dalam urutan meningkat seperti yang ditunjukkan dalam Tabel 5.2. Uji validitas menggunakan laju hazard konstan untuk transistor ini.

Tabel 5.2 Waktu antara Kerusakan dari Transistor Times between failures in hours (t_i)

200 9,000 26,000 36,000 48,000

400 13,000 29,000 39,000 50,000

2,000 20,000 32,000 42,000 54,000

6,000 24,000 34,000 43,000 60,000

Jawab:

Karena semua transistor rusak selama pengujian, waktu kerusakan dapat diasumsikan berasal dari sampel 20 transistor, dan setiap ti adalah nilai variabel random, X, waktu

sampai terjadi kerusakan:

ln 𝑡_i = 193,28

20

𝑖=1

, 𝑇 = 𝑡_i = 567600

20

𝑖=1

𝐵₂₀ = 2 × 20 ln 567600 20 − 1

20 × 193,28 1 + 21

6 × 20

= 20,065 Nilai-nilai kritis untuk uji dua sisi dengan α = 0,10 adalah 𝜒_{0,95 ,19}² = 10,117 dan 𝜒_{0,05 ,19}² = 30,144. Jadi, B20 tidak menolak hipotesis yakni waktu kerusakan dapat dimodelkan dengan distribusi Eksponensial.

Contoh 5.3: (Tersensor tipe 2)

Dalam uji yang serupa dengan contoh sebelumnya, dilakukan uji kerusakan dipercepat (suhu 200^oC dan 2,0 volt) terhadap 20 transistor. Uji dihentikan pada saat terjadi kerusakan kesepuluh. Data waktu antara kerusakan (dalam jam) dari 10 transistor yang rusak sebagai berikut 600, 700, 1000, 2000, 2500, 2800, 3000, 3100, 3300, 3600. Tentukan apakah data kerusakan tsb mengikuti distribusi Eksponensial.

Jawab:

ln 𝑡_i= 75,554 ,

10

𝑖=1

𝑇 = 𝑡_i = 22600

10

𝑖=1

𝐵₂₀ = 2 × 10 ln 22600 10 −

1

10 × 75,554 1 + 10 + 1

6 × 10

= 2,834.

Nilai-nilai kritis untuk uji dua sisi dengan α = 0,10 adalah

𝜒_{0,95 ,9}² = 3,325 dan 𝜒_{0,05 ,9}² = 16,919.

Jadi B₁₀ menolak hipotesis bahwa waktu kerusakan dapat dimodelkan dengan distribusi eksponensial. Namun, pada saat tingkat signifikansi 98 persen, nilai-nilai kritis uji dua sisi menjadi 𝜒_{0,99 ,9}² = 2,088 dan 𝜒_{0,01 ,9}² = 21,666. Uji tidak menolak hipotesis bahwa waktu kerusakan dapat dimodelkan dengan distribusi Eksponensial.

Pengujian untuk Waktu Kerusakan Singkat Secara Abnormal

Waktu kerusakan singkat (Short failure times) dapat terjadi karena cacat

manufaktur seperti kasus kerusakan aneh. Waktu kerusakan tidak benar-benar mewakili waktu kerusakan populasi. Oleh karenanya, penting untuk menentukan apakah waktu

kerusakan singkat secara abnormal sebelum melakukan kesesuaian data untuk distribusi Eksponensial. Jika waktu kerusakan singkat secara abnormal, data tsb harus dibuang dan tidak dipertimbangkan dalam menentukan parameter distribusi waktu kerusakan.

Ambil (t₁, t₂,...,t_r) suatu barisan r variabel random independen dan identik

terdistribusi Eksponensial yang mewakili waktu antara kerusakan untuk r kerusakan yang pertama. Kemudian kuantitas 2ti / θ adalah berdistribusi Khi Kuadrat dengan dua derajat kebebasan, di mana θ adalah rata-rata dari distribusi Eksponensial. Jika t adalah waktu untuk kerusakan pertama yang mengikuti distribusi Eksponensial dengan mean = θ, maka

𝑓(𝑡) = 1 𝜃𝑒^−𝑡/𝜃

Variabel acak y= 2t/θ berdistribusi 𝜒² dengan dua derajat bebas, dengan 𝑔 𝑦 =1

2𝑒^{− 𝑦2} 𝑦 ≥ 0

Jumlah dari dua atau lebih variabel random independen berdistribusi 𝜒² adalah variabel baru yang mengikuti 𝜒² dengan derajat kebebasan sama dengan jumlah derajat kebebasan dari variabel-variabel random individu (Kapur dan Lamberson,1977). Maka ²

𝜃 ^𝑟_𝑖=2𝑡_𝑖 adalah 𝜒² dengan derajat kebebasan 2𝑟 − 2. Jadi

𝐹 =

2 θ 𝑡¹/2 2

θ ^𝑟_𝑖=1𝑡_i/ 2r − 2 Ini berarti bahwa distribusi F dapat dibentuk sebagai

𝐹_2,2𝑟−2 = r − 1 𝑡₁ 𝑡_𝑖

𝑟𝑖=2

dimana t1, waktu kerusakan singkat, mengikuti distribusi F dengan derajat kebebasan 2 dan 2r -2. Jika t1 kecil, maka rasio F menjadi sangat kecil yaitu,

𝐹_{1−𝛼,2,2𝑟−2} > 𝑟 − 1 𝑡₁ 𝑡_𝑖

𝑟𝑖=2

Ketidaksamaan ini ekuivalen dengan

𝐹_{𝛼 ,2𝑟−2,2} < ^𝑟_𝑖=2𝑡_𝑖 𝑟 − 1 𝑡₁

Catatan bahwa data kerusakan harus diurutkan sesuai dengan pengaturan waktu kerusakan meningkat. Dengan kata lain, waktu kerusakan tersingkat terdaftar pertama, diikuti oleh waktu kerusakan tersingkat kedua, dan seterusnya.

Contoh 5.4:

Pandang data kerusakan yang mewakili siklus kerusakan pada 20 bilah turbin. Pengujian dilakukan dengan memperlakukan turbin ke beban dipercepat, menggantinya dengan turbin baru pada kerusakan dan mencatat waktu kerusakan. Berikut adalah data kerusakan sidu turbin: 120, 1300, 1680, 1990, 2010, 2112, 2192, 2215, 2290, 2581,

2689, 2892, 2999, 3565, 3873, 4256, 4368, 4657, 4933, 5832.

Apakah waktu kerusakan pertama merupakan waktu kerusakan singkat secara abnormal?

Jawab:

Total waktu kerusakan (kecuali yang pertama) adalah ^𝑟_𝑖=2𝑡_𝑖 = 58554 dan 𝑡₁ = 120.

𝐹_{𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔} = 58554

19 120= 25,69 .

Nilai kritis F pada keyakinan 95 persen adalah 𝐹_0,05,38,2 = 19,47. Jadi kerusakan pertama bukan merupakan representasi dari sisa data. Dengan kata lain, hipotesis bahwa waktu kerusakan pertama tidak merupakan waktu kerusakan singkat secara abnormal harus ditolak.

Pengujian untuk Waktu Kerusakan Lama secara Abnormal

Mengikuti prosedur di atas, waktu kerusakan tab dipandang sebagai waktu kerusakan lama secara abnormal jika

𝐹_α,2,2r−2< (𝑟 − 1)𝑡_𝑎𝑏 𝑡_𝑖

𝑟𝑖≠𝑎𝑏

Jika t_r adalah waktu kerusakan terbesar, maka persamaan di atas dapat ditulis 𝐹_{α,2,2𝑟−2}< (𝑟 − 1)𝑡_𝑟

𝑡_𝑖

𝑟−1𝑖=1

Contoh 5.5:

Ujilah apakah waktu kerusakan terakhir adalah lama secara abnomal pada tingkat signifikansi 5 persen, untuk data waktu kerusakan berikut:

30000, 34500, 37450, 39950, 43760, 46585, 49970, 54430, 57600, 59990, 63200, 66600, 70000, 73120, 75690, 77990, 80330, 84450, 88960, 99550.

Jawab:

Untuk memeriksa apakah waktu kerusakan dari unit waktu 99550 adalah lama secara abnormal, maka ditentukan

𝑡_𝑖

𝑟

𝑖=2

= 1134575 dan 𝐹_{𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔} =19 × 99550

1134575 = 1,667 .

Karena 𝐹_{𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔} < 𝐹_0.05,2,38 = 3,25 , maka waktu kerusakan terakhir (99550) adalah tidak lama secara abnormal.

Misalkan n unit akan dilakukan pengujian dan waktu kerusakan unit secara teliti dicatat. Sebut, t1, t2, ...., tn. Karena semua unit telah rusak dan tidak ada yang tersensor, maka estimasi maksimum likelihood (MLE) dari λ adalah 𝜆 = ⁿ

t_i 𝑛 𝑖=1

, dimana 𝜆 adalah estimator maksimum likelihood dari laju kerusakan.

Rata-rata μ dari distribusi eksponensial adalah 1 / λ dan MLE dari μ adalah µ =1

λ= ⁿ_𝑖=1t_i

n = t . µ disebut sebagai estimator maksimum likelihood dari rata-rata hidup.

Contoh 5.6:

Anggap bahwa data dalam Contoh 5.2 merupakan waktu kerusakan unit yang diuji.

Tentukan rata-rata hidup transistor dari populasi ini.

Jawab:

𝑡 =567600

20 = 28380

Hal ini dapat menunjukkan bahwa 2𝑛µ /µ memiliki distribusi Khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 2n. Karena 𝜆 = 1/µ dan 𝜆 = 1/µ , maka selang kepercayaan 100(1-α) persen untuk 𝜆 (dengan asumsi hidup minimum nol) yaitu

𝜆 𝜒_{1−𝛼/2,2𝑛}²

2𝑛 < 𝜆 < 𝜆 𝜒_𝛼/2,2𝑛²

2𝑛 di mana 𝜒_{𝛼 ,2𝑛}² adalah titik persentase 100α dari distribusi Khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 2n yaitu, 𝑃 𝜒_2𝑛² > 𝜒_{𝛼 ,2𝑛}² = 𝛼.

Selang kepercayaan dari rata-rata hidup sesuai adalah ^{2𝑛 µ}

𝜒_{𝛼 /2,2𝑛}² < 𝜇 < ^{2𝑛 µ}

𝜒_{1−𝛼 /2,2𝑛}² .

Jika n besar (n ≥ 25), perkiraan selang untuk λ dengan pendekatan 𝜆 oleh distribusi normal yang mempunyai rata-rata λ dan varians 𝜆²/𝑛. Dengan demikian diperoleh

𝜆 −𝜆 𝑍_𝛼/2

𝑛 < 𝜆 < 𝜆 + 𝜆 𝑍_𝛼/2

𝑛

dimana 𝑍_{𝛼 /2} adalah titik 100 (α /2) % , 𝑃 𝑍 > 𝑍_{𝛼 /2} = 𝛼/2 dari distribusi normal standar.

Contoh 5.7:

Tentukan selang kepercayaan dua sisi 95% untuk rata-rata hidup transistor pada contoh 5.6.

Jawab:

𝜇 = 28380 jam, pada tingkat kepercayaan 95%, 𝜒_0,975,40² = 24,423 ; 𝜒_0,025,40² = 59,345, batas μ: ^2×567600

59,345

< µ <

^2×567600

24,423 atau 19218 < µ < 46480 jam.

Contoh 5.8:

Seorang insinyur mekanik melakukan uji kelelahan untuk menentukan harapan hidup dari batang yang terbuat dari jenis baja khusus dengan memperlakukan 25 bahan percobaan ke beban aksial yang menyebabkan tegangan 9000 pon per inci persegi. Banyak siklus dicatat pada waktu kerusakan dari setiap bahan percobaan. Anggap bahwa uji tsb dijalankan pada 10 siklus per menit, tentukan reliabilitas dari batang yang terbuat dari baja ini pada 10 jam.

Hasil uji tersebut (banyak siklus kerusakan) sebagai berikut:

200, 280, 340, 460, 590, 720, 850, 990, 1200, 1420, 1950, 2460, 2590, 3520, 4560, 5570, 6590, 7600, 8630, 9650, 10660, 11670, 12680, 13685, 14690.

Jawab:

Pertama-tama dilakukan pemeriksaan apakah data kerusakan dapat diwakili oleh distribusi eksponensial, dengan menggunakan B25. Selanjutnya dilakukan penentuan siklus antara kerusakan dari data sebagai berikut:

Tabel 5.3 Jumlah Siklus Kerusakan dan Antar Kerusakan No.

Batang

Siklus Kerusakan

Siklus Antara Kerusakan

No.

Batang

Siklus Kerusakan

Siklus Antara Kerusakan

1 200 200 14 3520 930

2 280 80 15 4560 1040

3 340 60 16 5570 1010

4 460 120 17 6590 1020

5 590 130 18 7600 1010

6 720 130 19 8630 1030

7 850 130 20 9650 1020

8 990 140 21 10660 1010

9 1200 210 22 11670 1010

10 1420 220 23 12680 1010

11 1950 530 24 13685 1005

12 2460 510 25 14690 1005

13 2590 130

𝑇 = CBF_𝑖 = 14690

25

𝑖=1

dan ln CBF_𝑖 = 149,221

25

𝑖=1

𝐵₂₅ =2 × 25 ln14690 25 − 1

25× 149,211 1 + 26

6 × 25

= 17,370

Nilai-nilai kritis untuk uji dua sisi dengan α = 0,10 adalah χ_0,95,24² = 13,848 dan

χ_0,05,24² = 36,418. Oleh karena itu statistik B₂₅ tidak bertentangan dengan hipotesis bahwa waktu kerusakan dapat dimodelkan dengan distribusi Eksponensial. Reliabilitas batang pada 10 jam adalah 𝑅(𝑡 = 10 jam) = 𝑒^{−𝜆𝑡𝑖} , di mana

𝜆 adalah 25

14690 kegagalan per siklus.

𝑅 𝑡 = 10 jam = 𝑒^{14690−25 ×60×10×10} = 0,3676 × 10⁻⁴. Data Tersensor Tipe 1

Anggap bahwa n unit diambil untuk diuji dan waktu kerusakan ti dari unit yang rusak dicatat dan diurutkan dalam urutan naik. Misal T waktu penyensoran dari uji. Dengan demikian, 𝑡₁ ≤ 𝑡₂ ≤ 𝑡₃ ≤ ⋯ ≤ 𝑡_𝑟 ≤ 𝑡₁⁺= ⋯ = 𝑡_𝑛−𝑟⁺ = 𝑇 di mana 𝑡_𝑖⁺ adalah waktu penyensoran dari unit tersensor i. Dengan menggunakan metode MLE untuk λ diperoleh

𝜆 = 𝑟

𝑡_𝑖

𝑟𝑖=1 − ^𝑛−𝑟_𝑖=1 𝑡_𝑖⁺ Dan rata-rata hidup unit dapat diperkirakan sebagai

𝜇 =1 𝜆 = 1

𝑟 𝑡_𝑖

𝑟

𝑖=1

− 𝑡_𝑖⁺

𝑛−𝑟

𝑖=1

Statistik 2𝑟𝜆/𝜆 memiliki diatribusi Khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 2r. Mean dan varians dari 𝜆 berturut-turut adalah 𝑟𝜆 /(𝑟 − 1)dan 𝜆 ²/(𝑟 − 1) , (Lee, 1992). Selang kepercayaan 100(1-α)% untuk λ adalah

𝜆 𝜒_{1−𝛼/2,2𝑟}²

2𝑟 < 𝜆 <𝜆 𝜒_𝛼/2,2𝑟²

2𝑟 Selang kepercayaan untuk rata-rata hidup, μ, adalah

2𝑟𝜇

𝜒_𝛼/2,2𝑟² < 𝜇 < 2𝑟𝜇 𝜒_{1−𝛼/2,2𝑟}²

Jika n besar (n ≥ 25), distribusi 𝜆 dapat didekati dengan distribusi normal dengan mean λ dan varians 𝜆 ²/(𝑟 − 1).

Selang Kepercayaan 100(1-α)% adalah 𝜆 −

𝜆 𝑍^𝛼

2

𝑟 − 1< 𝜆 < 𝜆 + 𝜆 𝑍^𝛼

2

𝑟 − 1 . Contoh 5.9:

Seorang produsen ujung cutter memperkenalkan material cutter keramik yang baru. Untuk mengestimasi harapan hidup dari sebuah cutter, produsen menempatkan 10 unit yang diuji terus menerus dan dipantau pemakaian alat tsb. Suatu kerusakan cutter terjadi ketika pemakaian melebihi suatu nilai yang telah ditentukan. Karena keterbatasan anggaran, produsen memutuskan untuk menjalankan uji selama 50000 menit. Waktu sampai terjadi kerusakan cutter dicatat, yakni sebagai berikut:

3000, 7000, 12000, 18000, 20000, 30000.

Tentukan rata-rata hidup dari sebuah cutter yang terbuat dari bahan ini. Tentukan selang kepercayaan 90% untuk harapan hidup? Tentukan pula reliabilitas pada 60000 menit?

Jawab:

Hasil pemeriksaan data waktu antara kerusakan (dari Tabel 5.4) diperoleh 𝑇 = 𝑇𝐵𝐹_𝑖

6

𝑖=1

= 30000 ; ln 𝑇𝐵𝐹_𝑖

6

𝑖=1

= 50,33 dan 𝐵₆ = 1,2973 . Tabel 5.4 Waktu Kerusakan dan Antara Kerusakan Cutters No.

Batang

Waktu Kerusakan

Waktu Antara Kerusakan

No.

Batang

Waktu Kerusakan

Waktu Antara Kerusakan

1 3000 3000 4 18000 6000

2 7000 4000 5 20000 2000

3 12000 5000 6 30000 10000

Statistik Khi-kuadrat adalah χ_0,95,5² = 1,145 dan χ_0,05,5² = 11,070. Jadi, data mengikuti distribusi Eksponensial. Estimasi μ diperoleh:

𝜇 =1

6 30000 + 4 × 50000 = 38333 menit . dan selang kepercayaan 90% untuk μ adalah

2 × 6 × 38333

18,307 < 𝜇 <2 × 6 × 38333

3,940 atau 25127 < 𝜇 < 116750 Peluang bahwa cutter akan bertahan selama 60000 menit adalah

𝑅 60000 = 𝑒^{−𝜆 𝑡} = 𝑒^{38333−1 ×60000} = 0,209 . di mana 𝑅 (𝑡) adalah estimasi reliabilitas pada waktu t.

Data dengan Penyensoran Tipe 2

Misalkan n unit ditempatkan untuk diuji pada waktu nol dan waktu kerusakannya dicatat dalam urutan naik. Misalkan bahwa tes dihentikan ketika r dari n unit rusak. Waktu kerusakan dari n unit, 𝑡₁ ≤ 𝑡₂ ≤ 𝑡₃ ≤ ⋯ ≤ 𝑡_𝑟 ≤ 𝑡₁⁺= ⋯ = 𝑡_𝑛−𝑟⁺ , di mana ti adalah waktu kerusakan unit i dan 𝑡_𝑖⁺ adalah waktu penyensoran dari unit tersensor i yang mana

merupakan waktu penyensoran dari uji. MLE dari λ dan μ untuk penyensoran tipe 2 menghasilkan persamaan yang sama seperti penyensoran tipe 1.

Pemeriksa situasi penyensoran secara random ketika n unit menjalani suatu uji reliabilitas pada waktu nol. Uji dihentikan pada waktu T. Misalkan r adalah banyaknya unit yang rusak sebelum T dan n-r adalah banyaknya unit yang bertahan sampai waktu uji T atau peralatan uji rusak selama T sedangkan unit sedang beroperasi. Data tsb dikumpulkan dan diamati sebagai berikut: 𝑡₁, 𝑡₂, 𝑡₃, … , 𝑡_𝑟, 𝑡₁⁺, 𝑡₂⁺, … , 𝑡_𝑛−𝑟⁺ . Tanda + menunjukkan

penyensoran. Waktu kerusakan dan waktu sensor disusun dalam urutan 𝑡₁ ≤ 𝑡₂ ≤ ⋯ ≤ 𝑡_𝑟, 𝑡₁⁺𝑡₂⁺, … , 𝑡_𝑛−𝑟⁺ . Menggunakan metode MLE diperoleh

𝜆 = 𝑟

𝑡_𝑖

𝑟𝑖=1 − ^𝑛−𝑟_𝑖=1 𝑡_𝑖⁺ ,

Hasilnya sama seperti pada penyensoran tipe 1. Ketika semua pengamatan tersensor, maka estimasi untuk μ adalah 𝜇 = ^𝑛_𝑖=1𝑡_𝑖⁺. Dalam praktek nilai estimasi ini kurang baik, uji reliabilitas yang dirancang dianggap buruk. Metode untuk menangani semua data yang tersensor akan dibahas dalam bab berikutnya.

Ketika banyaknya unit yang diuji besar (n ≥ 25), distribusi dari 𝜆 adalah sekitar normal dengan mean λ dan varians (Lee, 1980): 𝑉𝑎𝑟 𝜆 = ^𝜆2

1−𝑒^{−𝜆𝑇 𝑖} 𝑛𝑖=1

,

di mana T_i adalah waktu bahwa komponen ke i berada dalam pengamatan (waktu sampai kerusakan atau akhir test). Jika T_i tidak diketahui karena adanya penghentian abnormal dari pengujian, maka varians dapat diperkirakan sebagai 𝑉𝑎 𝑟(𝜆 ) ≅ ^𝜆2

𝑟

, d

i mana r adalah banyaknya komponen rusak sebelum berakhirnya pengujian.

Selang kepercayaan 100(1-α)% adalah 𝜆 − 𝑍_{𝛼 /2} 𝑉𝑎 𝑟 𝜆 < 𝜆 < 𝜆 + 𝑍_{𝛼 /2} 𝑉𝑎 𝑟 𝜆 dan distribusi 𝜇 diperkirakan dengan distribusi normal dengan rata-rata μ dan estimasi varians diperkirakan dari 𝑉𝑎 𝑟( 𝜇 ) = ^𝜇2

1−𝑒^{−𝜆𝑇 𝑖}

𝑛𝑖=1

.

Jika Ti diketahui, maka

𝑉𝑎 𝑟 𝜇 =

^𝜇2

𝑟

.

Batas-batas μ adalah 𝜇 − 𝑍_{𝛼 /2} 𝑉𝑎 𝑟 𝜇 < 𝜇 < 𝜇 + 𝑍_{𝛼 /2} 𝑉𝑎 𝑟 𝜇 .

Distribusi Rayleigh

Distribusi Rayleigh menunjukkan suatu fungsi hazard meningkat secara linear terhadap waktu. Distribusi Rayleigh berguna dalam pemodelan amplitudo sinyal dari saluran komunikasi memudar secara cepat.

Misalkan n perangkat dikenai uji hidup dipercepat dengan waktu kerusakan t1, t2, ..., tn. maka estimasi maksimum likelihood (MLE) parameter dan variansi distribusi Raylaigh untuk data lengkap adalah:

𝜆 = 2𝑛 𝑡_𝑖²

𝑛𝑖=1

dan 𝑉𝑎𝑟 𝑡 =2 𝜆 1 −𝜋

4 . Contoh 5.10:

Suatu produsen sensor kecepatan otomotif melakukan uji reliabilitas terhadap 10 sensor yang mensimulasikan kondisi lingkungan (suhu dan kecepatan) di mana sensor akan beroperasi secara normal. Sebuah sensor diklasifikasikan rusak ketika output berada di luar toleransi 5 persen. Jumlah mil diakumulasi sebelum kerusakan dari sensor adalah

110000, 130000, 150000, 155000, 159000, 163000, 166000, 168000, 169000, 170000.

Asumsikan bahwa mil sampai terjadi kerusakan mengikuti distribusi Rayleigh. Tentukan parameter distribusi, rata-rata hidup suatu sensor, dan varians dari hidupnya.

Jawab:

Estimasi parameter distribusi Rayleigh adalah 𝜆 = 2𝑛

𝑡_𝑖²

𝑛𝑖=1

= 2 × 10

2,40616 × 10¹¹ = 8,31199 × 10⁻¹¹. Rata-rata hidup adalah

rata − rata hidup = 𝜋

2𝜆 = 𝜋

2 × 8,31199 × 10⁻¹¹ = 137470 mil.

Dan varians hidup adalah

Variansi =2 𝜆 1 −𝜋

4 = 5,1636 × 10⁹. Standar deviasi adalah 71859.

Misalkan dilakukan uji terhadap n perangkat dan waktu kerusakan r unit yang rusak dicatat dalam urutan naik seperti t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tr. Sedangkan n-r unit sisanya tersensor karena belum rusak sampai pengujian berakhir. Diasumsikan bahwa penyensoran adalah hanya tipe 1 atau tipe 2 dan waktu tersensor adalah 𝑡₁⁺= 𝑡₂⁺= ⋯ 𝑡_𝑛−𝑟⁺ .

Estimasi maksimum likelihood (MLE) dari parameter λ (untuk data tersensor) adalah

𝜆 = 2𝑟

𝑡_𝑖²

𝑟𝑖=1 + ^𝑛−𝑟_𝑖=1 𝑡_𝑖⁺² . Contoh 5.11:

Sebagai alternatif untuk pengujian tabrakan mobil kantong udara, seorang perekayasa tes mengembangkan sistem tes sensor yang menggunakan pengocok getaran mekanis untuk memutar ulang tabrakan yang diukur secara tepat. Sensor dikenakan untuk kondisi yang sama diukur selama tes tabrakan. Sepuluh sensor diuji selama 50 jam dan waktu kerusakan dicatat sebagai berikut: 10, 20, 30, 35, 39, 42, 44, 50⁺, 50⁺, 50⁺. Tentukan parameter Rayleigh, rata-rata hidup suatu sensor, dan standar deviasi dari hidupnya.

Jawab:

Estimasi parameter distribusi Rayleigh adalah 𝜆 = ^2×7

7846 +7500 = 9,12289 × 10⁻⁴. Rata − rata hidup = 𝜋

2 × 9,12289 × 10⁻⁴= 41,49 jam.

Standar deviasi = 2 𝜆 1 −𝜋

4 = 21,70 jam.

Estimasi Best Linier Unbiased (BLUE) untuk Parameter Rayleigh untuk Data dengan dan tanpa Pengamatan Tersensor

MLE dari parameter Rayleigh adalah bias ketika banyaknya pengamatan kecil. Bias meningkat selama banyaknya pengamatan menurun. Jika pdf dari waktu kerusakan dapat dilinierisasi, bias dalam mengestimasi parameter distribusi dapat menurun ketika metode kuadrat terkecil digunakan dalam mengestimasi parameter.

Misalkan waktu kerusakan untuk n alat yang dikenai uji reliabilitas adalah 𝑡₍₁₎ ≤ 𝑡₍₂₎≤ ⋯ ≤ 𝑡 _𝑛 di mana 𝑡_(𝑖) adalah statistik urutan ke i. Diasumsikan bahwa waktu kerusakan n alat tersebut mengikuti distribusi Rayleigh dengan

𝑓 𝑡 = 1

𝜃₂² 𝑡 − 𝜃₁ 𝑒

− 𝑡−𝜃₁ ²

2𝜃₂² 𝑡 > 𝜃₁≥ 0, 𝜃₂> 0 dan 𝑓 𝑡 = 0 , untuk t, 𝜃₁ dan 𝜃₂ yang lain,

dimana 𝜃₁ adalah parameter lokasi (threshold) dan 𝜃₂adalah parameter skala.

BLUE 𝜃₂^∗ dari 𝜃₂ ketika 𝜃₁ diketahui dapat diperkirakan dengan 𝜃₂^∗= 𝑏_𝑖𝑡_(𝑖)

𝑛

𝑖=1

− 𝜃₁𝐾₃ 𝐾₂

Jika parameter lokasi 𝜃₁ = 0, pdf menjadi 𝑓 𝑡 = ¹

𝜃₂²𝑡𝑒^{−𝑡2/2𝜃22}.

Dan estimasi 𝜃₂^∗ menjadi 𝜃₂^∗= ^𝑛_𝑖=1𝑏_𝑖𝑡 _𝑖 . Koefisien bi diberikan pada Lampiran B untuk i=1, ...,n dan sampel tak tersensor, dan untuk sampel tersensor dengan pengamatan tersensor sebesar r, di mana r = 0,1,2, ..., (n-2) dan n adalah ukuran sampel untuk n=5(1)25(5)45. Varians dari 𝜃₂^∗ dalam term 𝜃₂²/𝑛 dan K3/K2 diberikan dalam Lampiran C.

Contoh 5.12:

Sebuah pembuatan biosensor menghasilkan serangkaian sensor elektrokimia yang kecil cukup sesuai dalam pembuluh darah. Perangkat ini dimasukkan ke dalam arteri dalam kateter yang memiliki diameter dalam 650 mikron. Alat ini mengukur tingkat oksigen, karbon dioksida, dan pH dalam darah. Produsen melakukan tes fungsional terhadap 20 sensor untuk dan mengamati waktu kerusakan (dalam jam) sebagai berikut:

0,9737 3,3161 8,0833 11,1886 14,0578 19,4369 24,9225 1,0950 5,2076 8,1957 13,1911 14,8812 22,5168 30,0000 3,3152 8,0327 9,3706 13,4695 17,9624 24,4470

(Catatan: Data ini sebenarnya dihasilkan secara acak dari distribusi Rayleigh dengan 𝜃₁ = 0 dan 𝜃₂ = 10,5). Tentukan estimasi parameter Rayleigh dan variansinya!

Jawab:

Untuk estimasi parameter skala θ2, digunakan koefisien bi dalam Lampiran B dan K3/K2

dalam Lampiran C untuk n = 20.

𝜃₂^∗= 0,00767 0,9737 + ⋯ + 0,072142 30,0000 − 0 0,63995 = 10,7303 = 10,73.

Menggunakan Lampiran C untuk n = 20 dan r = 0, di mana variansi diberikan dalam term 𝜃₂², diperoleh: 𝑉𝑎𝑟(𝜃₂^∗) = 0,01260 × 𝜃₂^∗2 = 0,01260 × (10,73)²= 1,4507 = 1,45

Standar deviasi dari 𝜃₂^∗ adalah = 1,45 = 1,20.

Contoh 5.13:

Sebuah pabrik sensor kecepatan otomotif melakukan uji reliabilitas terhadap 10 sensor untuk yang mensimulasikan kondisi lingkungan (suhu dan kecepatan) di mana sensor akan beroperasi secara normal. Sebuah sensor diklasifikasikan rusak ketika output berada di luar toleransi 5 persen. Jumlah akumulasi mil sebelum kerusakan sensor adalah

110000, 130000, 150000, 155000, 159000, 163000, 166000, 168000, 169000, 170000.

Asumsikan bahwa mil sampai terjadi kerusakan mengikuti distribusi Rayleigh dengan parameter lokasi=0. Cari perkiraan untuk parameter θ2, rata-rata hidup sensor, dan standar deviasi dari perkiraan θ2.

Jawab:

Menggunakan Lampiran B untuk n = 10 dan r = 0, diperoleh

𝜃₂^∗= 110000 0,02149 + 130000 0,03171 + ⋯ + 170000 0,13149

− 0 0,65170 = 105061,18 = 105061 jam.

Rata − rata hidup = 𝜃₂^{∗ 𝜋}

2= 131674 mil.

Menggunakan Lampiran C, untuk n = 10 dan r = 0, di mana variansi yang diberikan dalam term 𝜃₂² didapatkan 𝑉𝑎𝑟 𝜃₂^∗ = 0,02537𝜃₂^∗= 0,02537 105061 ²= 2,8 × 10⁸.

Standar deviasi untuk estimate 𝜃₂^∗ adalah 16733 jam.

Contoh 5.14:

Pandang data Contoh 5.13, asumsikan bahwa nilai enam terbesar dari waktu kerusakan tersensor. Mil yang terakumulasi sebelum kerusakan sensor adalah 110000, 130000, 150000, dan 155000. Perkirakan parameter dan deviasi standarnya.

Jawab:

Menggunakan Lampiran B untuk n = 10 dan r = 6 (di mana r dalam Lampiran ini mengacu pada jumlah pengamatan tersensor dari kanan) kita menemukan

𝜃₂^∗= 110000 0,05301 + 130000 0,07777 + 150000 0,09821 + 155000 0,90085 − 0 (1,12984) = 170304,5

Menggunakan Lampiran C untuk n = 10 dan r = 6, diperoleh

𝑉𝑎𝑟 𝜃₂^∗ = 0,06434𝜃₂^∗= 0,06434 × (170304)²= 1,866 × 10⁹ Standar deviasi dari perkiraan 𝜃₂^∗ adalah 43198 mil.

Estimasi Selang Kepercayaan untuk 𝜃₂² untuk Pengamatan Bukan Tersensor.

Jika𝑡₍₁₎ ≤ ⋯ ≤ 𝑡_(𝑛) adalah urutan statistik dari Rayleigh distirbusi 𝑓 𝑡 = ¹

𝜃₂²𝑡𝑒^{−𝑡2/2𝜃22}. Kemudian 𝑦₁= 𝑡₍₁₎² /2, 𝑦₍₂₎= 𝑡₍₂₎² /2, … , 𝑦_(𝑛)= 𝑡_(𝑛)² /2adalah urutan statistik dari distribusi eksponensial yang berbentuk 𝑓 𝑦 = ¹

𝜃₂²𝑒^{−𝑦/𝜃22}. Juga, 2/𝜃₂^{2 𝑛}_𝑖=1𝑦_(𝑖)² = 1/𝜃₂^{2 𝑛}_𝑖=1𝑡_(𝑖)² mengikuti distribusi χ2 dengan derajat kebebasan (2n).

Jadi, selang kapercayaan 100 (1-α)% untuk 𝜃₂² dan 𝜃₂ berturut-turut adalah 1

𝜒_{𝛼 /2}² 𝑡_(𝑖)²

𝑛

𝑖=1

≤ 𝜃₂²≤ 1

𝜒_1−𝛼/2² 𝑡_(𝑖)²

𝑛

𝑖=1

dan 1

𝜒_𝛼/2² . 𝑡_(𝑖)²

𝑛

𝑖=1

≤ 𝜃₂≤ 1

𝜒_1−𝛼/2² . 𝑡_(𝑖)²

𝑛

𝑖=1

Di mana 𝜒_𝛼/2² dan 𝜒_1−𝛼/2² berturut-turut titik bawah dan titik atas 𝛼/2 dari distribusi 𝜒² dengan derajat kebebasan 2n.

Estimasi Selang Kepercayaan untuk 𝜃₂² untuk Pengamatan Tersensor.

Misalkan ukuran sampel n dengan pengamatan tersensor r terbesar. Selang kepercayaan 100(1-α)% untuk 𝜃₂² dan 𝜃₂, dengan menggunakan (n-r) pengamatan tak tersensor adalah

1

𝜒_{𝛼 /2}² . 𝑡_(𝑖)²

𝑛−𝑟

𝑖=1

≤ 𝜃₂²≤ 1

𝜒_1−𝛼/2² . 𝑡_(𝑖)²

𝑛−𝑟

𝑖=1

dan 1

𝜒_𝛼/2² . 𝑡_(𝑖)²

𝑛−𝑟

𝑖=1

≤ 𝜃₂≤ 1

𝜒_1−𝛼/2² . 𝑡_(𝑖)²

𝑛−𝑟

𝑖=1

di mana 𝜒_{𝛼 /2}² dan 𝜒_1−𝛼/2² berturut-turut titik bawah dan titik atas 𝛼/2 dari distribusi 𝜒² dengan derajat kebebasan 2(n-r).

Contoh 5.15:

Tentukan 95% selang kepercayaan untuk BLUE dari 𝜃₂^∗ untuk data Contoh 5.13.

Jawab:

Karena data tak tersensor maka, ¹⁰_𝑖=1𝑡_𝑖² = 2406,16 10⁸. Dari tabel persentil distribusi χ2 untuk derajat kebebasan 20, diperoleh 𝜒_0,025² = 34,17 dan 𝜒_0,925² = 9,59.

Jadi selang kepercayaan 95% untuk 𝜃₂^∗ adalah 1

34,17× 2406,16 × 10⁸≤ 𝜃₂^∗≤ 1

9,59× 2406,16 × 10⁸ 88181,17 ≤ 𝜃₂^∗≤ 158399,18

Contoh 5.16:

Untuk data contoh 5.14 di mana enam nilai terbesar dari waktu kerusakan tersensor.

Tentukan selang kepercayaan 95% untuk 𝜃₂^∗. Jawab:

Karena data tersensor maka ⁴_𝑖=1𝑡_𝑖² = 755,25 10⁸. Dari tabel persentil distribusi χ² untuk derajat kebebasan 8, diperoleh 𝜒_0,025² = 17,53 dan 𝜒_0,925² = 2,18.

Jadi selang kepercayaan 95% untuk 𝜃₂^∗ adalah 1

17,53× 755,25 × 10⁸≤ 𝜃₂^∗≤ 1

2,18× 755,25 × 10⁸ 65637,86 ≤ 𝜃₂^∗≤ 186130,31.

Distribusi Weibull

Pdf dari distribusi Weibull adalah 𝑓 𝑡 = ^𝛾

𝜃𝑡^{𝛾 −1}𝑒𝑥𝑝 − ^𝑡𝛾

𝜃 , 𝑡 ≥ 0, 𝛾 ≥ 1, 𝜃 > 0, di mana γ dan θ berturut-turut adalah parameter bentuk dan skala. Menurut Cohen (1965),

Harter dan Moore (1965) dan Lee (1980,1992), estimasi parameter distribusi Weibull, θ dan γ, dapat diperoleh dengan menggunakan prosedur MLE.

Data Kerusakan Tanpa Penyensoran

Waktu kerusakan yang tepat dari n unit yang diuji dicatat sebagai t1, t2, ..., tn. Diasumsikan bahwa data kerusakan mengikuti distribusi Weibull. MLE dari γ dan θ berturut-turut:

𝐷 𝛾 = ^𝑛_𝑖=1𝑡_𝑖^𝛾ln 𝑡_𝑖 𝑡_𝑖^𝛾

𝑛𝑖=1

−1 𝛾 −1

𝑛 ln 𝑡_𝑖

𝑛

𝑖=1

dan 𝜃 = 𝑡_𝑖^𝛾 𝑛

𝑛

𝑖=1

𝛾 dapat diselesaikan secara numerik dengan menggunakan metode Newton-Raphson atau dengan trial dan error. Setelah 𝛾 diperkirakan, maka 𝜃 dapat diestimasi.

Selang kepercayaan 100(1-α)% untuk γ dan θ adalah 𝛾 − 𝑍𝛼

2 𝑉𝑎𝑟 𝛾 < 𝛾 < 𝛾 + 𝑍^𝛼

2 𝑉𝑎𝑟 𝛾 𝜃 − 𝑍𝛼

2 𝑉𝑎𝑟 𝜃 < 𝜃 < 𝜃 + 𝑍^𝛼

2 𝑉𝑎𝑟 𝜃 di mana untuk n besar, Var (𝛾 ) dan Var (𝜃 ) berturut-turut adalah

𝑉𝑎𝑟 𝛾 = 𝛾 ²𝑆₀²

𝑛 𝑆₀²+ 𝛾 ²𝑆₀𝑆₂− 𝛾 ²𝑆₁² dan 𝑉𝑎𝑟 𝜃 = 𝑆₀ 𝑛²

𝑆₀

𝛾 ²+ 𝑆₂ 𝑉𝑎𝑟 𝛾 , 𝐶𝑜𝑣(𝛾 , 𝜃 ) ≅𝑆₁

𝑛 𝑉𝑎𝑟(𝛾 )

dengan 𝑆₀ = ^𝑛_𝑖=1𝑡_𝑖^𝛾 , 𝑆₁ = ^𝑛_𝑖=1𝑡_𝑖^𝛾(ln 𝑡_𝑖) , 𝑆₂ = ^𝑛_𝑖=1𝑡_𝑖^𝛾(ln 𝑡_𝑖)². Data Kerusakan dengan Penyensoran

Diasumsikan bahwa unit yang diuji dikenakan sensor tipe 1 atau tipe 2. Data kerusakan dapat diwakili oleh 𝑡₁ ≤ 𝑡₂ ≤ 𝑡₃ ≤ ⋯ ≤ 𝑡_𝑟 = 𝑡_𝑟+1⁺ = ⋯ = 𝑡_𝑛⁺. Misalkan data kerusakan mengikuti distribusi Weibull, MLE dari γ dan θ berturut-turut:

𝐷 𝛾 = ^𝑟_𝑖=1𝑡_𝑖^𝛾ln 𝑡_𝑖+ 𝑛 − 𝑟 𝑡_𝑟^𝛾ln 𝑡_𝑟 𝑡_𝑖^𝛾 + 𝑛 − 𝑟 𝑡_𝑟^𝛾

𝑟𝑖=1

−1

𝑟 ln 𝑡_𝑖 −1 𝛾 = 0 ;

𝑟

𝑖=1

𝜃 =1

𝑟 𝑡_𝑖^𝛾+ 𝑛 − 𝑟 𝑡_𝑟^𝛾

𝑟

𝑖=1

𝛾 dapat diselesaikan secara numerik dengan menggunakan metode Newton-Raphson atau dengan trial dan error. Setelah 𝛾 diperkirakan, maka 𝜃 dapat diestimasi.

Pedugaan Tak Bias dari Parameter Weibull

Diasumsikan bahwa waktu kerusakan untuk sekelompok komponen yang diuji mengikuti distribusi Weibull. Menggunakan MLE, γ dan 𝜃₁ adalah solusi dari persamaan

𝑡_𝑖^𝛾ln 𝑡_𝑖 + 𝑛 − 𝑟 𝑡_𝑟^𝛾ln 𝑡_𝑟

𝑟𝑖=1

𝑡_𝑖^𝛾 + 𝑛 − 𝑟 𝑡_𝑟^𝛾

𝑟𝑖=1

−1 𝛾 = 1

𝑟 ln 𝑡_𝑖

𝑟

𝑖=1

dan 𝜃 ₁ = 𝑡_𝑖^𝛾 + 𝑛 − 𝑟 𝑡_𝑟^𝛾

𝑟

𝑖=1

1 𝛾

𝛾 dapat diselesaikan secara numerik dengan menggunakan metode Newton-Raphson atau dengan trial dan error. Setelah 𝛾 diperkirakan, maka 𝜃 dapat diestimasi. Kedua persamaan dapat digunakan baik untuk data tersensor atau lengkap. Dalam kasus data lengkap, r = n dan semua term yang meliputi (n - r) dieliminasi.

Varians dari Estimasi MLE

Karena MLE tidak dapat disajikan dalam ekspresi bentuk tertutup, menentukan sifat-sifat estimator seperti bias, distribusi, dan sebagainya tidak dapat secara langsung. Namun, Bain dan Engelhardt (1991) mengatasi sifat-sifat ini melalui simulasi Monte Carlo. Berikut prosedur untuk penyusunan matriks informasi, variansi asimptotik dan covariances dari MLE untuk sampel lengkap atau tersensor diperoleh sebagai

𝑉𝑎𝑟(𝜃 ₁) 𝐶𝑜𝑣 (𝜃 ₁, 𝛾 )

𝐶𝑜𝑣 (𝜃 ₁, 𝛾 ) 𝑉𝑎𝑟(𝛾 ) = 𝑐₁₁𝜃 ₁²/𝑛𝛾 ² 𝑐₁₂𝜃 ₁/𝑛 𝑐₁₂𝜃 ₁/𝑛 𝑐₂₂𝛾 ²/𝑛

di mana 𝑐₁₁, 𝑐₂₂ dan 𝑐₁₂ tergantung pada p = r / n dan ditunjukkan dalam Tabel 5.5.

Tabel 5.5. Nilai asimptotik dari koefisien yang digunakan untuk menghitung Variansi dan Kovariansi MLE untuk sampel Lengkap dan Tersensor

p c11 c22 c12 p c11 c22 c12

1,0 1,108665 0,607927 0,257022 0,5 2,510236 1,716182 -0,935766 0,9 1,151684 0,767044 0,176413 0,4 3,933022 2,224740 -1,785525 0,8 1,252617 0,928191 0,049288 0,3 7,190427 3,065515 -3,438610 0,7 1,447258 1,122447 -0,144825 0,2 16,478771 4,738764 -7,375310 0,6 1,811959 1,372781 -0,446603 0,1 60,517110 9,744662 -22,187207

Pendugaan Tak Bias 𝜸 .

MLE dapat digunakan untuk estimasi titik 𝛾 , tetapi cukup bias untuk n kecil, terutama ketika terjadi penyensoran hebat. Bain dan Engelhardt (1991) menyarankan penggunaan faktor tak bias Gn, untuk estimasi tak bias 𝛾 yakni 𝛾 = 𝐺_𝑛𝛾 _𝑀𝐿𝐸. Gn dapat dihitung dengan menggunakan pendekatan: 𝐺_𝑛 = 1,0 − 1,346 𝑛 − 0,8334 𝑛² .

Untuk sampel lengkap, hasil asimptotis Var(𝛾 ) ketika 𝑛 → ∞ adalah Var 𝛾 = 𝑐₂₂𝛾 ² = 0,6079𝛾 ². Namun, jika n <100, daripada menggunakan 𝑐₂₂= 0,6079, perkiraan Var(𝛾 ) lebih akurat diperoleh dengan menggunakan Cn. Cn dapat dihitung dengan menggunakan 𝐶_𝑛 = 0,617 − 1,8 𝑛 − 78,25 𝑛³ dan 𝑉𝑎𝑟(𝛾 ) = 𝐶_𝑛𝛾 ² . 𝑛

Selang Kepercayaan untuk 𝜸

Hasil asimptotik yang diturunkan oleh Bain dan Engelhardt (1991) menunjukkan bahwa untuk 𝛾 penyensoran hebat kira-kira mengikuti suatu distribusi Khi-kuadrat dengan df (derajat kebebasan) 2(r - 1), dan mengikuti distribusi Khi-kuadrat dengan df (n -1) ketika sampel lengkap.

Agar supaya perhitungan transisi ini akurat, Bain dan Engelhardt (1991) menyarankan pendekatan berikut: 𝑑𝑓 = 𝑐 𝑟 − 1 , di mana 𝑐 = 2/ 1 + 𝑝^{2 2}𝑝𝑐22 .

Selang konfidensi 100(1-α)% untuk 𝛾 dapat dihitung dengan menggunakan

𝛾 ^𝐿 = 𝛾 𝜒 _{1−𝛼 ,𝑑𝑓}² 𝑐𝑟

1 1+𝑝²

dan 𝛾 ^𝑈 = 𝛾 𝜒_{𝛼 ,𝑑𝑓}² 𝑐𝑟

1 1+𝑝²

Superscripts L dan U masing-masing menunjukkan batas bawah dan atas.

Inferensi untuk 𝜽_𝟏

Bias dari 𝜃 ₁ adalah fungsi dari 𝜃₁ dan γ dan tidak mudah dinilai. Untungnya, pada umumnya, 𝜃₁ tidak sangat bias dan penggunaan suatu 𝛾 yang tidak bias memberikan suatu estimasi yang beralasan dari 𝜃 ₁.

Selang kepercayaan untuk 𝜃 ₁ dapat dibangun dengan menggunakan distribusi 𝑈 = 𝑛𝛾 ln 𝜃 1/𝜃₁ . Dapat ditunjukkan bahwa 100(1 - α)% selang kepercayaan untuk 𝜃 ₁ adalah 𝜃₁^𝐿 = 𝜃 ₁ 𝑒𝑥𝑝 −𝑈_1−𝛼/2/ 𝑛𝛾 dan 𝜃1𝑈 = 𝜃 ₁ 𝑒𝑥𝑝 −𝑈_{𝛼 /2}/ 𝑛𝛾 .

Bain dan Engelhardt (1991) memberikan tabel dengan titik-titik persentase Uα sedemikian sehingga 𝑃(𝑈 ≤ 𝑈_𝛼) = 𝛼. Sebagai alternatif U_0,05 dan U_0,95 dapat dihitung dengan menggunakan pendekatan berikut

𝑈_0,05 = −1,715 − 3,868

𝑛 − 44,23

exp 𝑛 ; 𝑈_0,95= 1,72 + 3,163

𝑛 + 18,25 exp 𝑛 Distribusi Lognormal

Ketika waktu kerusakan diasumsikan mengikuti distribusi lognomal, pdf diberikan oleh:

𝑓 𝑡 = 1

𝜎𝑡 2𝜋𝑒𝑥𝑝 −1 2

ln 𝑡 − 𝜇 𝜎

2

𝑡 ≥ 0

Misal 𝑥 = ln 𝑡, di mana x berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan standar deviasi σ yaitu, 𝐸 𝑥 = 𝐸 ln 𝑡 = 𝜇 dan 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝑉𝑎𝑟 ln 𝑡 = 𝜎².

Ketika 𝑡 = 𝑒², maka 𝐸 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 𝜇 +^𝜎2

2 , 𝐸 𝑡² = 𝐸 𝑒^2𝑥 = exp 2 𝜇 + 𝜎² dan 𝑉𝑎𝑟 𝑡 = 𝑒^{2𝜇 +𝜎2} 𝑒^𝜎2− 1 .

Data Kerusakan Tanpa Penyensoran.

Ketika T waktu kerusakan mengikuti distribusi lognormal dengan pdf seperti di atas, estimasi parameter 𝜇 dan 𝜎 dapat diperoleh secara langsung dari persamaan fungsi pdf. Namun, salah satu cara paling sederhana untuk mendapatkan 𝜇 dan 𝜎² dengan sifat yang optimal adalah dengan mempertimbangkan distribusi dari 𝑌 = ln 𝑡.

Diasumsikan bahwa waktu kerusakan 𝑡₁, 𝑡₂, … , 𝑡_𝑛 adalah waktu kerusakan yang tepat dari unit n yang dikenakan tes. MLE dari 𝜇 dan 𝜎² dari Y adalah

𝜇 =1

𝑛 ln 𝑡_𝑖

𝑛

𝑖=1

dan 𝜎 ² = 1

𝑛 ln 𝑡_𝑖 ²

𝑛

𝑖=1

− ^𝑛_𝑖=1ln 𝑡_𝑖 ²

𝑛

Estimasi 𝜇 tak bias tapi estimasi 𝜎 ² bias. Karena itu untuk memastikan bahwa 𝜎 ² tak bias, digunakan 𝑠² = 𝜎 ² 𝑛/ 𝑛 − 1 , di mana 𝑠² adalah ragam sampel. Jelas, 𝑠² ≈ 𝜎² ketika n besar. Estimasi mean T adalah exp μ + σ²/2 dan ragam adalah 𝑒^𝜎2 − 1 𝑒^{2𝜇 +𝜎2} .

Selang kepercayaan 100(1- 𝛼)% untuk μ adalah 𝜇 − 𝑍_𝛼/2 ^𝜎

𝑛 < 𝜇 < 𝜇 + 𝑍_𝛼/2 ^𝜎

𝑛 . Jika σ tidak diketahui atau ketika ukuran sampel relatif kecil (n <25), maka σ diganti dengan s dan distribusi Z diganti distribusi student t. Selang kepercayaan menjadi

𝜇 − 𝑡_{𝛼/2,𝑛−1} 𝑠

𝑛 < 𝜇 < 𝜇 + 𝑡_{𝛼 /2,𝑛−1} 𝑠 𝑛 .

Demikian pula, selang kepercayaan 100(1-α)% untuk 𝜎 ²[𝑛𝜎 ²/𝜎² memiliki distribusi chi- kuadrat dengan derajat kebebasan (n-1)] adalah ^{𝑛 𝜎}

2 𝜒𝛼

2, 𝑛 −1

2 < 𝜎² < ^𝑛𝜎2

𝜒1−𝛼 2, 𝑛 −1

2 .

Selang kepercayaan 100(1-α)% untuk T (rata-rata waktu kerusakan populasi) dapat ditentukan dengan: 𝑒𝑥𝑝 𝜏 − 𝑍₁₋^𝛼

2 𝜎_𝜏 < 𝑇 < 𝑒𝑥𝑝 𝜏 + 𝑍₁₋^𝛼

2 𝜎_𝜏 ,

di mana untuk sampel besar, 𝜏 diperkirakan dengan distribusi normal dengan ragam 𝜎_𝜏 ² dengan 𝜏 = 𝜇 + ^𝑛

(𝑛−1) 𝜎²

2 merupakan estimator untuk 𝜏 = 𝜇 +^𝜎2

2 dan 𝜇 dan 𝜎 berturut- turut adalah MLE dari 𝜇 dan 𝜎 serta 𝜎_𝜏 ² = 𝑉𝑎𝑟 𝜇 + 𝑉𝑎𝑟 ^𝑛𝜎2

𝑛−1 4 = ^𝜎2

𝑛−1+ ^𝑛2𝜎4

4(𝑛−1)³ . Contoh 5.17:

Seorang produsen melakukan tes burn-in pada 8 video display terminals (VDT).Waktu kerusakan (dalam jam) dicatat sebagai berikut: 20, 28, 35, 39, 42, 44, 46, 47.

Misal waktu kerusakan mengikuti distribusi lognormal. Tentukan rata-rata waktu kerusakan dan deviasi standarnya. Bagaimana selang kepercayaan 95% untuk 𝜇 dan 𝜎²?