A. PANGKAT
A.1 PENGERTIAN PANGKAT BULAT POSITIF
Jika a adalah sembarang bilangan riil dan n adalah sembarang bilangan bulat positif yang lebih dari 1 , maka a pangkat n ( ditulis an ) dapat ditulis sebagai perkalian n buah faktor dimana setiap faktornya adalah bilangan a.
Pengertian diatas dapat ditulis dengan definisi :
Kompetensi Dasar 1 :
• Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar 2:
• Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan pangkat, akar dan logaritma
Indikator 1:
• Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya
• Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya
• Mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya
• Melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, akar dan logaritma Indikator 2:
• Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional
• Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat logaritma
• Merasionalkan bentuk akar
• Membuktikan sifat-sifat yang sederhana tentang bentuk pangkat, akar dan logaritma
Materi Pokok
BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA
an =
faktor n dari terdiri perkalian
...xa
axaxaxax
Keterangan :
a dinamakan bilangan pokok ( basis ) n dinamakan pangkat ( eksponen ) jika n = 1 maka a1 = a
jika n = 0 maka a0 = 1
Contoh 1 :
Nyatakan dalam bentuk faktor-faktornya :
a. 52 c.
3
2 1
b. ( -3 )4 d.
( )
3 4Penyelesaian :
a. 52 = 5 x 5 c.
3
2 1
=
2
1 x
2
1 x
2 1
b. ( -3 )4 = ( -3 )x( -3 )x( -3 )x( -3 ) d.
( )
3 4 = 3 x 3x 3x 3A.2. PENGERTIAN PANGKAT BULAT NEGATIF
Bilangan dengan pangkat bulat negatif bukan merupakan bilangan berpangkat yang sebenarnya, misalnya 4-2 tidak dapat diartikan sebagai perkalian faktor-faktornya. Oleh karena itu bilangan dengan pangkat negatif sering disebut sebagai bilangan dengan pangkat tak sebenarnya.
Definisi bilangan dengan pangkat bulat negatif :
Contoh 1 :
Nyatakan bilangan pangkat bulat negatif berikut dalam bentuk pangkat positif :
a. 4-2 c.
5−4
1
b. a-3 d. 5
4 3 −
p Penyelesaian :
a. 4-2 = 2 4
1 c.
5−4
1 = 54
Jika a bilangan riil dan ≠ 0 maka a-n adalah kebalikan dari an , dapat ditulis :
n n
a a1
− =
atau n n a = a1− CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
b. a-3 = 13
a d.
5
4 3 −
p = 5
4 3 p
1. Tulislah dalam bentuk perkalian faktor-faktornya:
a. 63 d.
5
3 2
b. 74 e.
( )
5 7c. (-4)6 f. ( ab )2
2. Nyatakan dalam bentuk pangkat bulat positif
a. 3-6 f. 4
3 12 d−
b. a-3 g.
( )
234−2c. 2
1b-4 h. 6
2 25
p−
d. 7
5 1
− i.
( )
( )
45423
−
e. 35
c− j.
25 3 4 −5
3. Hitunglah nilai dari :
a. 5-2 d. 2
3 5
− g. 3-4 x 4-2
b.
3
3 1 −
e.
4 7−3
h. 5-3 + 2-1
c. 4
5 1
− f. 81 x 3-3 i. 4
3
3 5
−
−
4. Nyatakan barisan bilangan berikut dalam bentuk pangkat :
a. 16, 8, 4, 2, 1 d.
4 ,1 8 ,1 16 , 1 64
1
UJI KOMPETENSI 1 PENGERTIAN
PANGKAT BULAT POSITIF DAN
NEGATIF
b. 3, 9, 27, 81 e.
216 , 1 36 , 1 6 1
c. 32
, 1 16 , 1 8 ,1 4 ,1 2
1 f.
4 ,9 2 ,3 0 9, 4
5. Nyatakan barisan bilangan berikut tidak dalam bentuk pangkat : a. 23 , 22 , 21 , 20 , 2-1 , 2-2 , 2-3 c.
1 0 1 2 3
5 , 1 5 , 1 5 , 1 5 , 1 5
1 −
b. 44 , 42 , 40 , 4-2 , 4-4 , 4-6 d.
1 1 3 5
2 , 3 2 , 3 2 , 3 2
3
− − −
A.3. SIFAT - SIFAT BILANGAN PANGKAT BULAT
Contoh :
Dengan menggunakan sifat bilangan pangkat bulat tersebut diatas , sederhanakan bentuk berikut :
1. 76 x 72 4. ( 5 x 4 )3
2. 2
7
8
8 5.
5
3 4
3. ( 35 )2 Penyelesaian :
1. 76 x 72 = 76 + 2 3. ( 35 )2 = 35 x 2 = 310
= 78 4. ( 5 x 4 )3 = 53 x 43
2. 2
7
8
8 = 87 – 2 5.
5
3 4
= 5
5
3 4
= 85
1. ap x aq = ap + q 2. q
p
a a
= ap – q 3. ( ap )q = ap x q 4. ( a x b )p = ap x bp 5.
p
b a
= p
p
b a
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
1. Dengan menggunakan sifat pangkat a p x a q = a p + q, sederhanakan bentuk berikut ini
a. 52 x 53 f.
4 3
2 1 2
1
x
b. a4 x a5 g.
5 4
4 3 4
3
x
c. (-2)3 x (-2)6 h.
4
2 1
1
x p p d. 2b4 x b5
e. 8c5 x (-2)c6 i.
7 3
b x a b a
2. Dengan menggunakan sifat pangkat a p : a q = a p - q, sederhanakan bentuk berikut ini
a. 48 : 43 f.
3 8
2 : 1 2
1
b. a6 : a2 g.
5 18
4 : 3 4
3
c. (-3)7 : (-3)4 h.
5
14 1
1 :
p p
d. 8b9 : b5
e. 12c6 : (-2)c2 i.
7 12
:
b a b
a
3. Dengan menggunakan sifat pangkat (a p) q = a p x q, sederhanakan bentuk berikut ini
a. ( 43 )5 e.
5 4
1
d
b. ( a4 )2 f.
7 5
1
q c. ( b3 )4
d.
4 3
3 1
g.
2 3
2 1
UJI KOMPETENSI 2
SIFAT PANGKAT BULAT
4. Dengan menggunakan sifat pangkat (a x b) p = a p x a q, sederhanakan bentuk berikut ini
a. ( 4p3 )5 e.
4 5
4 1
3
d
b. ( 8a4 )2 f.
5
42
1
q c. ( -2b3 )4
d.
5 3
3 1
q g.
3 2
2
1
p
5. Dengan menggunakan sifat pangkat (a : b) p = a p : a q, sederhanakan bentuk berikut ini a.
3
7 2
e.
5 4
3 5
34
d c
b.
5
3
2
a f.
5 2 3 2
4
q p
c.
2
3 8
b a
d.
3 5 4
3 2
q g.
3 2 7 5
2
3
p
6. Nyatakan bentuk berikut ini dalam bentuk pangkat positif a.
3 2
7 5 2
−
e.
5 6
3 5
6 2
− −
−
d c
b.
5
3
4 −
−
a f.
5 7 3
4
6
− −
q p
c.
4
3
5 −
−
b a
d.
5 4 3 7
3 2
−
q− g.
6 2 5 5
2
3 − −
−
p
B. BENTUK AKAR
B.1 PENGERTIAN BENTUK AKAR
Bentuk-bentuk seperti 4, 25, 100,dan seterusnya bukan merupakan bentuk akar, sebab bilangan tersebut jika ditarik akarnya merupakan bilangan rasional ( 4=2, 25=5, 100 =10). Namun bialangan-bilangan seperti 2, 3, 8, 12 dan seterusnya merupakan bilangan bentuk akar, sebab jika bilangan-bilangan tersebut ditarik akarnya hasilnya bukan bilangan rasional ( irasional ). Dengan demikian dapat didefinisikan :
1. Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bentuk akar ?
a. 15 d. 0,4 g. 72
b. 0,04 e. 2,56 h. 2 8
c. 4
1 f. 1024 i.
4 9
2. Dengan menggunakan teorema Phytagoras, tentukan sisi yang belum diketahui dari segitiga ABC siku-siku siku-siku di B berikut ini jika diketahui panjang sisinya sebagai berikut . Mana diantara panjang sisi yang dicari tersebut yang merupakan bentuk akar ?
a. a = 3, b = 5 c. b = 6 , c = 1 e. a = 23, c = 12 b. a = 5, b = 12 d. b = 12 , c = 13 f. a = 2, c = 7
B.2. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR
Untuk menyederhanakan bilngan bentuk akar dapat dilakukan dengan cara mengubah bilangan dalam akar tesebut dalam bentuk perkalian dari faktor-faktornya, dimana salah faktor harus merupakan bilangan bentuk kuadrat
Bentuk Akar : adalah akar dari suatu bilangan rasional, dimana hasilnya berupa bilangan irasional
UJI KOMPETENSI 3 BENTUK AKAR
Contoh 1 :
Sederhanakan bentuk akar berikut ini
a. 8 b.
8
25 c. 3 12
Penyelesaian :
a. 8 = 4x2 b.
8 25=
8
25 c. 3 12= 3 4x3
= 4x 2 =
2 2
5 = 3 x 4x 3
= 2 2 = 3 x 2 x 3
= 6 3
1. Sederhanakan bentuk akar berikut ini
a. 24 f. 50 k. 2 120
b. 72 g. 98 m. 3 300
c. 18 h. 63 n. 4 147
d. 75 i. 200 o. 5 432
e. 48 j. 192 p. 6 5000
2. Sederhanakan bentuk akar berikut ini
a. 4p f. 2 12d
b. 8pq g. 3 98a
c. 75a2b h. 4 96b2
d. 5a2 i. 5 63p
e. 48y j. 6 150q2
UJI KOMPETENSI 4
MENYEDER-HANAKAN BENTUK AKAR CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
B.3. OPERASI BENTUK AKAR
B.3.1. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK AKAR
Bentuk akar yang dapat dijumlahkan adalah yang sejenis ( bilangan dalam tanda akar sama ), namun jika tidak sejenis maka bentuk akar tersebut tidak dapat dijumlahkan / dikurangkan.
Contoh :
Sederhanakan bentuk berikut ini
a. 3+2 3 c. 3 2+4 3− 3
b. 6 5−4 5 d. 5 7−2 7− 98
Penyelesaian :
a. 3+2 3 = (1+2) 3 c. 3 2+4 3− 3 = 3 2+(4−1) 3
= 3 3 = 3 2+3 3
b. 6 5−4 5 = (6-4) 5 d. 5 7−2 7− 98 = (5−2) 7− 49x2
= 2 5 = (5−2) 7−7 2
= 3 7−7 2
B.3.2. Perkalian Bentuk Akar
Perkalian bentuk akar dapat didefinisikan :
Contoh :
Sederhanakan bentuk berikut ini b c a b c b
a + =( + ) b c a b c b
a − =( − )
axb b
x
a =
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
a. 3x 5 c. 5(1− 6)
b. 12x 2 d. ( 3+2)(2− 3)
Penyelesaian :
a. 3x 5 = 5x3= 15
b. 12x 2 = 24x2 = 48= 16x3=4 3 c. 5(1− 6) = 5− 30
d. ( 3+2)(2− 3) = 3(2− 3)+2(2− 3)= 2 3− 9+4−2 3= - 3 + 4 = 1
B.3.3. MENARIK AKAR KUADRAT
Bentuk umum menarik akarkuadrat adalah sebagai berikut :
dan
catatan : syarat harus a > b
Contoh :
Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk a+ batau a− b
a. 8+2 15 b. 12−2 35 c. 9+ 56
Penyelesaian :
a. 8+2 15 = (5+3)+2 5x3= 5+ 3 b. 12−2 35= (7+5)−2 7x5 = 7− 5
c. 9+ 56 = 9+ 4x14= 9+2 14= (7+2)+2 7x2 = 7+ 2
.
1. Sederhanakan bentuk penjumlahan / pengurangan dibawah ini
a. 2+3 2 f. 5 2+3 72
b. 2 8+5 32 g. 4 27−3 50
c. 4 75− 3 h. 6 5+ 50−5 75
d. 6 50−2 125 i. 3 24−4 12+5 125
e. 7 72+ 108−3 6 j. 5 200+3 72−2 500−4 128
2. Sederhanakan bentuk perkalian dibawah ini
a. 2x 2 f. 5 2x3 12
UJI KOMPETENSI 5
b a axb b
a+ )+2 = +
( (a+b)−2 axb = a− b
OPERASI BENTUK AKAR CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN