A. PANGKAT. Materi Pokok BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA

(1)

A. PANGKAT

A.1 PENGERTIAN PANGKAT BULAT POSITIF

Jika a adalah sembarang bilangan riil dan n adalah sembarang bilangan bulat positif yang lebih dari 1 , maka a pangkat n ( ditulis aⁿ ) dapat ditulis sebagai perkalian n buah faktor dimana setiap faktornya adalah bilangan a.

Pengertian diatas dapat ditulis dengan definisi :

Kompetensi Dasar 1 :

• Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar 2:

• Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan pangkat, akar dan logaritma

Indikator 1:

• Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya

• Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya

• Mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya

• Melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, akar dan logaritma Indikator 2:

• Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional

• Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat logaritma

• Merasionalkan bentuk akar

• Membuktikan sifat-sifat yang sederhana tentang bentuk pangkat, akar dan logaritma

Materi Pokok

BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA

aⁿ =

faktor n dari terdiri perkalian

...xa

axaxaxax

(2)

Keterangan :

a dinamakan bilangan pokok ( basis ) n dinamakan pangkat ( eksponen ) jika n = 1 maka a¹ = a

jika n = 0 maka a⁰ = 1

Contoh 1 :

Nyatakan dalam bentuk faktor-faktornya :

a. 5² c.

3

2 1



 





b. ( -3 )⁴ d.

( )

³ ⁴

Penyelesaian :

a. 5² = 5 x 5 c.

3

2 1



 



 = 



 



 2

1 x 



 



 2

1 x 



 



 2 1

b. ( -3 )⁴ = ( -3 )x( -3 )x( -3 )x( -3 ) d.

( )

³ ⁴ ⁼ ³^x ³^x ³^x ³

A.2. PENGERTIAN PANGKAT BULAT NEGATIF

Bilangan dengan pangkat bulat negatif bukan merupakan bilangan berpangkat yang sebenarnya, misalnya 4^-2 tidak dapat diartikan sebagai perkalian faktor-faktornya. Oleh karena itu bilangan dengan pangkat negatif sering disebut sebagai bilangan dengan pangkat tak sebenarnya.

Definisi bilangan dengan pangkat bulat negatif :

Contoh 1 :

Nyatakan bilangan pangkat bulat negatif berikut dalam bentuk pangkat positif :

a. 4^-2 c. 



 



 5−4

1

b. a^-3 d. ⁵

4 3 ₋

p Penyelesaian :

a. 4^-2 = ₂ 4

1 c. 



 



 5−4

1 = 5⁴

Jika a bilangan riil dan ≠ 0 maka a^-n adalah kebalikan dari aⁿ , dapat ditulis :

n n

a a1

− =

atau ⁿ _n a = a1₋ CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN

(3)

b. a^-3 = 1₃

a ^d.

5

4 3 −

p = ₅

4 3 p

1. Tulislah dalam bentuk perkalian faktor-faktornya:

a. 6³ d.

5

3 2



 





b. 7⁴ e.

( )

⁵ ⁷

c. (-4)⁶ f. ( ab )²

2. Nyatakan dalam bentuk pangkat bulat positif

a. 3^-6 f. ₄

3 12 d−

b. a^-3 g.

( )

²₃⁴⁻²

c. 2

1b^-4 h. ₆

2 25

p−

d. ₇

5 1

− i.

( )

⁴₅⁴²

3

−

e. 3₅

c− ^j.

25 3 4 ⁻⁵



 





3. Hitunglah nilai dari :

a. 5^-2 d. ₂

3 5

− g. 3^-4 x 4^-2

b.

3

3 1 ⁻



 



 e.

4 7⁻³

h. 5^-3 + 2^-1

c. ₄

5 1

− f. 81 x 3^-3 i. ₄

3

3 5

−

4. Nyatakan barisan bilangan berikut dalam bentuk pangkat :

a. 16, 8, 4, 2, 1 d.

4 ,1 8 ,1 16 , 1 64

1

UJI KOMPETENSI 1 PENGERTIAN

PANGKAT BULAT POSITIF DAN

NEGATIF

(4)

b. 3, 9, 27, 81 e.

216 , 1 36 , 1 6 1

c. 32

, 1 16 , 1 8 ,1 4 ,1 2

1 f.

4 ,9 2 ,3 0 9, 4

5. Nyatakan barisan bilangan berikut tidak dalam bentuk pangkat : a. 2³ , 2² , 2¹ , 2⁰ , 2^-1 , 2^-2 , 2^-3 c.

1 0 1 2 3

5 , 1 5 , 1 5 , 1 5 , 1 5

1 ⁻



 



 



 



 



 



 



 



 



 





b. 4⁴ , 4² , 4⁰ , 4^-2, 4^-4 , 4^-6 d.

1 1 3 5

2 , 3 2 , 3 2 , 3 2

3 



 



 



 



 



 



 



 



 ⁻ ⁻ ⁻

A.3. SIFAT - SIFAT BILANGAN PANGKAT BULAT

Contoh :

Dengan menggunakan sifat bilangan pangkat bulat tersebut diatas , sederhanakan bentuk berikut :

1. 7⁶ x 7² 4. ( 5 x 4 )³

2. ₂

7

8

8 5.

5

3 4



 





3. ( 3⁵ )² Penyelesaian :

1. 7⁶ x 7² = 7^{6 + 2} 3. ( 3⁵ )² = 3^{5 x 2} = 3¹⁰

= 7⁸ 4. ( 5 x 4 )³ = 5³ x 4³

2. ₂

7

8

8 = 8^{7 – 2} 5.

5

3 4



 



 = ₅

5

3 4

= 8⁵

1. a^p x a^q = a^{p + q} 2. ^q

p

a a

= a^{p – q} 3. ( a^p )^q = a^{p x q} 4. ( a x b )^p = a^p x b^p 5.

p

b a



 



 = _p

p

b a

(5)

1. Dengan menggunakan sifat pangkat a ^p x a ^q = a ^{p + q}, sederhanakan bentuk berikut ini

a. 5² x 5³ f.

4 3

2 1 2

1 



 



 



 



 x

b. a⁴ x a⁵ g.

5 4

4 3 4

3 



 



 



 



 x

c. (-2)³ x (-2)⁶ h.

4

2 1

1 















 x p p d. 2b⁴ x b⁵

e. 8c⁵ x (-2)c⁶ i.

7 3



 



 



 





b x a b a

2. Dengan menggunakan sifat pangkat a ^p : a ^q = a ^{p - q}, sederhanakan bentuk berikut ini

a. 4⁸ : 4³ f.

3 8

2 : 1 2

1 



 



 



 





b. a⁶ : a² g.

5 18

4 : 3 4

3 



 



 



 





c. (-3)⁷ : (-3)⁴ h.

5

14 1

1 :

















p p

d. 8b⁹ : b⁵

e. 12c⁶ : (-2)c² i.

7 12

: 



 



 



 





b a b

a

3. Dengan menggunakan sifat pangkat (a ^p) ^q = a ^{p x q}, sederhanakan bentuk berikut ini

a. ( 4³ )⁵ e.

5 4

1















 



 d

b. ( a⁴ )² f.

7 5

1



















 q c. ( b³ )⁴

d.

4 3

3 1















 



 g.

2 3

2 1











 



 



 UJI KOMPETENSI 2

SIFAT PANGKAT BULAT

(6)

4. Dengan menggunakan sifat pangkat (a x b) ^p = a ^p x a ^q, sederhanakan bentuk berikut ini

a. ( 4p³ )⁵ e.

4 5

4 1

3 













 



 d

b. ( 8a⁴ )² f.

5

42

1 



 











 q c. ( -2b³ )⁴

d.

5 3

3 1















 



q g.

3 2

2

1 



 



 



 



 p

5. Dengan menggunakan sifat pangkat (a : b) ^p = a ^p : a ^q, sederhanakan bentuk berikut ini a.

3

7 2



 



 e.

5 4

3 5

34



















 d c

b.

5

3

2 



 





a ^f.

5 2 3 2

4 



 











 q p

c.

2

3 8







 b a

d.

3 5 4

3 2



















q g.

3 2 7 5

2

3 



 











 p

6. Nyatakan bentuk berikut ini dalam bentuk pangkat positif a.

3 2

7 5 2



 



− 

e.

5 6

3 5

6 2

− −

−



















 d c

b.

5

3

4 ⁻

− 



 





a ^f.

5 7 3

4

6 



 











 ⁻ ₋

q p

c.

4

3

5 −

−







 b a

d.

5 4 3 7

3 2



















 ⁻

q− g.

6 2 5 5

2

3 ₋ ⁻

− 



 











 p

(7)

B. BENTUK AKAR

B.1 PENGERTIAN BENTUK AKAR

Bentuk-bentuk seperti 4, 25, 100,dan seterusnya bukan merupakan bentuk akar, sebab bilangan tersebut jika ditarik akarnya merupakan bilangan rasional ( 4=2, 25=5, 100 =10). Namun bialangan-bilangan seperti 2, 3, 8, 12 dan seterusnya merupakan bilangan bentuk akar, sebab jika bilangan-bilangan tersebut ditarik akarnya hasilnya bukan bilangan rasional ( irasional ). Dengan demikian dapat didefinisikan :

1. Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bentuk akar ?

a. 15 d. 0,4 g. 72

b. 0,04 e. 2,56 h. 2 8

c. 4

1 f. 1024 i.

4 9

2. Dengan menggunakan teorema Phytagoras, tentukan sisi yang belum diketahui dari segitiga ABC siku-siku siku-siku di B berikut ini jika diketahui panjang sisinya sebagai berikut . Mana diantara panjang sisi yang dicari tersebut yang merupakan bentuk akar ?

a. a = 3, b = 5 c. b = 6 , c = 1 e. a = 23, c = 12 b. a = 5, b = 12 d. b = 12 , c = 13 f. a = 2, c = 7

B.2. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR

Untuk menyederhanakan bilngan bentuk akar dapat dilakukan dengan cara mengubah bilangan dalam akar tesebut dalam bentuk perkalian dari faktor-faktornya, dimana salah faktor harus merupakan bilangan bentuk kuadrat

Bentuk Akar : adalah akar dari suatu bilangan rasional, dimana hasilnya berupa bilangan irasional

UJI KOMPETENSI 3 ^BENTUK_AKAR

(8)

Contoh 1 :

Sederhanakan bentuk akar berikut ini

a. 8 b.

8

25 c. 3 12

Penyelesaian :

a. 8 = 4x2 b.

8 25=

8

25 c. 3 12= 3 4x3

= 4x 2 =

2 2

5 = 3 x 4x 3

= 2 2 = 3 x 2 x 3

= 6 3

1. Sederhanakan bentuk akar berikut ini

a. 24 f. 50 k. 2 120

b. 72 g. 98 m. 3 300

c. 18 h. 63 n. 4 147

d. 75 i. 200 o. 5 432

e. 48 j. 192 p. 6 5000

2. Sederhanakan bentuk akar berikut ini

a. 4p f. 2 12d

b. 8pq g. 3 98a

c. 75a²b h. 4 96b²

d. 5a² i. 5 63p

e. 48y j. 6 150q²

UJI KOMPETENSI 4

MENYEDER-HANAKAN BENTUK AKAR CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN

(9)

B.3. OPERASI BENTUK AKAR

B.3.1. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK AKAR

Bentuk akar yang dapat dijumlahkan adalah yang sejenis ( bilangan dalam tanda akar sama ), namun jika tidak sejenis maka bentuk akar tersebut tidak dapat dijumlahkan / dikurangkan.

Contoh :

Sederhanakan bentuk berikut ini

a. 3+2 3 c. 3 2+4 3− 3

b. 6 5−4 5 ^d.5 7−2 7− 98

Penyelesaian :

a. 3+2 3 = (1+2) 3 c. 3 2+4 3− 3 = 3 2+(4−1) 3

= 3 3 = 3 2+3 3

b. 6 5−4 5 = (6-4) 5 d. 5 7−2 7− 98 = (5−2) 7− 49x2

= 2 5 = (5−2) 7−7 2

= 3 7−7 2

B.3.2. Perkalian Bentuk Akar

Perkalian bentuk akar dapat didefinisikan :

Contoh :

Sederhanakan bentuk berikut ini b c a b c b

a + =( + ) b c a b c b

a − =( − )

axb b

x

a =

(10)

a. 3x 5 c. 5(1− 6)

b. 12x 2 d. ( 3+2)(2− 3)

Penyelesaian :

a. 3x 5 = 5x3= 15

b. 12x 2 = 24x2 = 48= 16x3=4 3 c. 5(1− 6) = 5− 30

d. ( 3+2)(2− 3) ⁼ 3(2− 3)+2(2− 3)⁼2 3− 9+4−2 3= - 3 + 4 = 1

B.3.3. MENARIK AKAR KUADRAT

Bentuk umum menarik akarkuadrat adalah sebagai berikut :

dan

catatan : syarat harus a > b

Contoh :

Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk a+ b^atau a− b

a. 8+2 15 b. 12−2 35 c. 9+ 56

Penyelesaian :

a. 8+2 15⁼ (5+3)+2 5x3⁼ 5+ 3 b. 12−2 35⁼ (7+5)−2 7x5 ⁼ 7− 5

c. 9+ 56 ⁼ 9+ 4x14⁼ 9+2 14⁼ (7+2)+2 7x2 ⁼ 7+ 2

.

1. Sederhanakan bentuk penjumlahan / pengurangan dibawah ini

a. 2+3 2 ^f.5 2+3 72

b. 2 8+5 32 g. 4 27−3 50

c. 4 75− 3 ^h.6 5+ 50−5 75

d. 6 50−2 125 ^i.3 24−4 12+5 125

e. 7 72+ 108−3 6 j. 5 200+3 72−2 500−4 128

2. Sederhanakan bentuk perkalian dibawah ini

a. 2x 2 f. 5 2x3 12

UJI KOMPETENSI 5

b a axb b

a+ )+2 = +

( (a+b)−2 axb = a− b

OPERASI BENTUK AKAR CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN