07 Integral Fungsi Eksponen dan Logaritma

(1)

TEKNIK PENGINTEGRALAN

I. Integral Fungsi Eksponen dan Logaritma

Sebelum membahas Integral fungsi eksponen dan logaritma, akan dikenalkan dulu bilangan e yang kemudian disebut sebagai bilangan Euler, yakni sebuah bilangan yang

merupakan pendekatan dari bentuk

n n 1 1

  

  untuk n menuju tak hingga yang ditemukan pada tahun 1683 oleh Jacob Bernoulli

Pada tahun 1748, Euler memberikan ide mengenai bilangan e, yaitu :

e =

n n 1 1

  

  = 1 +

1! 1

+

2! 1

+

3! 1

+

4! 1

+ ... ... (1)

Bentuk ini dapat juga diubah menjadi

e =

 

1 n 1/n ... (2) Dari formulasi tersebut Euler memperoleh pendekatan untuk nilai e sampai 18 digit, yaitu

e = 2,718281828459045235

Suatu logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural dan ditulis dengan ln. Sehinga ln x = elogx

Untuk mendapatkan rumus integral fungsi eksponen, akan diuraikan terlebih dahulu turunan fungsi ekponen sederhana, yaitu turunan fungsi f(x) = f(x) = ex

Jika f(x) = ex maka f’(x) =

h e exh  x

f’(x) =

h e e ex h  x

=

h ) 1 (e . e

h

x  _{... (3)}

(2)

Misalkan ln(1 + x) = n maka 1 + x = en maka x = en – 1 Jika x  0 maka n  0

Dari (4) diperoleh :

1 e

n

n _ = 1 atau _n

) 1 (en 

= 1

Dari (3) diperoleh f ’(x) =

h ) 1 (e . e

h

x  ₌ x

e . 1 = ex

Jadi Jika f(x) = ex maka f ’(x) = ex

Karena integral adalah balikan dari turunan maka diperoleh rumus :

Selanjutnya akan diuraikan turunan dari fungsi logaritma natural, untuk mendapatkan rumus integral dari balikannya, yakni sebagai berikut :

Jika f(x) = ln x maka f’(x) =

h ln h) ln(x  x

f’(x) =

h x

h x ln 

f’(x) =

.x x h

x h x ln 

f’(x) =

x/h

x h 1 ln x 1

  

  =

x 1

. 1 =

x 1

Jadi jika f(x) = ln x maka f’(x) =

x 1

Hal ini mengakibatkan bahwa :

Pengembangan dari rumus diatas adalah dengan menggunakan aturan substitusi dan parsial.

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini : = + C

(3)

01. Tentukanlah hasil dari



12x.e3x25 dx Jawab

Misalkan u = 1 – e2x maka du = 2e2x dx sehingga dx =

2x

e du  Sehingga

2x 2x

e 2

du .e u2





= 



u du

2 1 ₂

=

   

 2

u 3 1 2 1

+ C

= u3 6 1

 + C

=

 

1 e2x 3 6

1 

 + C

02. Tentukanlah hasil dari



 

1e2x 2.e2x dx Jawab

Misalkan u = 1 – e2x maka du = 2e2x dx sehingga dx =

2x

e du  Sehingga

2x 2x

e 2

du .e u2





= 



u du

2

1 2

=

   

 2

u 3 1 2 1

+ C

= u3 6 1

 + C

=

 

1 e2x 3 6

1 

 + C

03. Tentukan hasil dari dx 5 4 x

12 6x

2



__x_

Jawab

Misalkan u = x2– 4x + 5 maka du = (2x – 4) dx sehingga dx =

4 2x

du



12 6x



 6x12 du

(4)

04. Tentukan hasil dari



ln x) (5 x

dx

Jawab

Misalkan u = 5 + ln x maka du =

x 1

dx sehingga dx = x.du

Sehingga



x (5_ln x) dx

=



u x x.du

=



u du

+ C

= ln u + C

= ln (5 + ln x) + C



1 e

dx

x

Jawab

Misalkan u = 1 + ex maka du = ex dx sehingga dx = ex.du

u = _x

x

e e

+ _x

e 1

u = _x

x

e 1 e 

x

e + 1 = u. ex

Sehingga



e _1 dx

x =



 .u e

.du e

x x

= 



u du

+ C

= ln(1ex)1 + C

= _

  

 

1 e

e ln _x

x

+ C



  _dx

3 e

1 e

2x 2x

Jawab

Misalkan u = e2x maka du = 2. e2x dx sehingga dx =

2x

2.e du

=

2.u du

Sehingga



  _dx

3 e

1 e

2x 2x

=



 2u du 3 u

1 u

=



  _du

) 3 u(u

(5)