Matematika untuk Machine Learning. Vektor. Definisi Vektor (1) Panjang (Magnitudo) Arah (Amplitudo)

(1)

Program Fresh Graduate Academy Digital Talent Scholarship 2019 | Machine Learning

Matematika untuk Machine Learning

Nama pembicara dengan gelar

Vektor

Bagian 1

22/07/2019 Matematika untuk Machine Learning- Aljabar Linier

2 Definisi Vektor (1)

• Vektor merupakan suatu tanda panah yang mengarah pada satu titik di sebuah ruang.

• Penulisan vektor umumnya menggunakan huruf kecil dengan panah di atasnya ( ⃗ ).

Arah (Amplitudo) Panjang

(Magnitudo)

(2)

Definisi Vektor (2)

• Secara matematika, vektor merupakan sekumpulan nilai yang berupa angka.

• Misalkan, untuk kasus sistem zonasi bahan pertimbangan seorang anak dapat terdaftar dalam suatu sekolah adalah rata-rata nilai UN dan jarak rumah ke sekolah.

4

Nilai UN

Jarak

Definisi Vektor (2)

5

Nilai UN : 5

Jarak : 3 km

Vektor Dua Dimensi (2D)

⃗ = 5 3

(3)

Vektor Dua Dimensi (2D)

⃗ = 5 3

Panjang Vektor (Magnitudo):

⃗ = 5 + 3 = 5.8

7 Penjumlahan Vektor

8

Arah pesawat

?

Penjumlahan Vektor

Arah pesawat

(4)

Penjumlahan Vektor

10 Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan setiap componen pada dua atau lebih vektor.

11

⃗= 3 0

= −3

−3

Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan setiap componen pada dua atau lebih vektor.

⃗= 3 0

= −3

−3

Penjumlahan Vektor :

⃗ + = 3 + (−3) 0 + (−3) = 0

−3

(5)

Perkalian Vektor

13

Vektor dengan Skalar

Vektor dengan Vektor

Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian Silang (Cross Product)

Vektor dengan Skalar

14

• Perkalian vektor dengan skalar hanya mengubah panjang vektor (magnitudo), tidak mengubah arah vektor.

⃗= 3 1

⃗x 2 = 3 2 1 2 = 6

2

Perkalian Titik (Dot Product)

⃗= 3

2 = 10 5

⃗. = (3 10)

+ (2 5)

= 30 + 10 = 40

• Perkalian titik antara dua vektor menghasilkan nilai skalar.

• Misalkan, penjualan hari ini berhasil menjual 3 pensil dengan harga 10 per satuan dan 2 penghapus dengan harga 5 per satuan. Maka total keuntungan penjualan dapat diketahui dengan perkalian titik antara vektor barang dan vektor harga.

(6)

Perkalian Silang (Cross Product)

16

• Perkalian silang menghasilkan vektor baru yang tegak lurus dengan vektor-vektor tersebut pada Dimensi Tiga (3D).

Perkalian Silang (Cross Product)

17

⃗= 1 2 3

= 3 2 1

⃗x =

2 1 − (3 2)

Perkalian Silang (Cross Product)

⃗= 1 2 3

= 3 2 1

⃗ x = 2 1 − (3 2) 3 3 − (1 1)

(7)

Perkalian Silang (Cross Product)

19

⃗= 1 2 3

= 3 2 1

⃗ x =

2 1 − (3 2) 3 3 − (1 1) 1 2− (2 3)

= ^{2 − 6}9 − 1 2 − 6

=

−4 8

−4

Vektor

Praktikum Lab

20

Matriks

Bagian 2

(8)

Matriks

• Vektor-vektor direpresentasikan dalam bentuk matriks.

• Matriks adalah sebuah array berisi angka yang disusun menjadi baris dan kolom.

• Penulisan matriks umumnya menggunakan huruf kapital (A).

22 Matriks

23

• Misalkan, untuk kasus sistem zonasi bahan pertimbangan seorang anak dapat terdaftar dalam suatu sekolah adalah rata-rata nilai UN dan jarak rumah ke sekolah.

Nilai UN

Jarak

Matriks

Nilai UN:

5

Jarak: 3 km

Nilai UN:

7

Jarak: 4 km

⃗ = 5 7 3 4

Nilai UN

Jarak

(9)

Penjumlahan Matriks

25

• Operasi penjumlahan pada matriks dilakukan pada matriks dengan ukuran yang sama (ukuran baris dan kolom).

= 3 5 1

1 4 3 = 2 −2 4

−1 3 1

A + B = 3 + 2 5 + (−2) 1 + 4 1 + (−1) 4 + 3 3 + 1

A + B = 5 3 5

0 7 4

Perkalian Matriks

26

Matriks dengan Skalar

Matriks dengan Matriks

Perkalian Matriks dengan Skalar

•Perkalian matriks dengan skalar merepresentasikan transformasi matriks

“Scaling”.

= 3 5 1 1 4 3

2A = 2 3 5 1 1 4 3

2A = 2 3 2 5 2 1 2 1 2 4 2 3

2A = 6 10 2

2 8 6

(10)

Perkalian Matriks dengan Matriks

28

• Pada perkalian antar matriks, ukuran kolom matriks pertama harus sama dengan ukuran baris pada matriks kedua.

• Ukuran matriks hasil dari operasi ini adalah ukuran baris matriks pertama dan ukuran kolom matriks kedua.

Perkalian Matriks dengan Matriks

29

• Contoh:

Matriks A dengan ukuran 3x2 (3 baris 2 kolom) dapat dikalikan dengan matriks B ukuran 2x3.

3 5 1 1 4 3 .

2 2

1 −1

3 4

=

A(2x3) . B(3x2) = C(2x2)

Perkalian Matriks dengan Matriks

Latihan :

1. A_(3x3). B_(3x2)=

2. A_(2x1). B_(1x3)=

3. A_(1x2). B_(1x2)=

4. A_(3x2). B_(2x1)=

5. A_(2x2). B_(2x2)= C(3x2)

C(2x3)

Tidak dapat dikalikan

C(3x1)

C(2x2)

(11)

Perkalian Matriks dengan Matriks

31

= 3 5 1 1 4 3 =

2 2 1 −1 3 4 (3x2) + (5x1) + (1x3) = 14

A . B = 14

Perkalian Matriks dengan Matriks

32

= 3 5 1 1 4 3 =

2 2

1 −1

3 4

(3x2) + (5x(-1)) + (1x4) = 5

A . B = 14 5

Perkalian Matriks dengan Matriks

= 3 5 1 1 4 3 =

2 2 1 −1 3 4 (1x2) + (4x1) + (3x3) = 15

A . B = 14 5 15

(12)

Perkalian Matriks dengan Matriks

34

= 3 5 1 1 4 3 =

2 2

1 −1

3 4

(1x2) + (4x(-1)) + (3x4) = 10

A . B = 14 5 15 10

Perkalian Matriks dengan Matriks

35

Latihan:

1.

2 2

1 −1

3 4

3 5 1 1 4 3 =

2. 1 2 −1

2 3 2

=

8 18 8

2 1 −2

13 23 15

6

Invers Matriks

• Penulisan invers matriks menggunakan pangkat negatif satu ( )

• Contoh invers matriks ukuran 2x2 :

B = 2 3 1 4

= ₍ ₎ 4 −3

−1 2

(13)

Invers Matriks

37

Latihan:

1. A = 5 4

1 2 , =

2. B = −2 2 2 1 , =

2 −4

−1 5 = ⁄ − ⁄

− ⁄ ⁄

− −2 2

2 1 = ⁄ − ⁄

− ⁄ − ⁄

Transpose Matriks

38

• Transpose matriks merupakan transformasi baris dan kolom pada matriks.

• Transpose Matriks A(3x2)adalah A(2x3)

• Contoh :

= 3 5 1

1 4 3

= 3 1 5 4 1 3

Matriks

Praktikum Lab

(14)

EigenValues dan EigenVector

A = 2 0

0 2 ⃗= 1 0

A⃗= 2 0 0 2.1

0 = 2 0

40

• Hasil transformasi vektor ⃗dengan matriks transformasi A adalah memperbesar panjang vektor ⃗tetapi tidak mengubah arahnya.

EigenValues dan EigenVector

41

• Hasil transformasi vektor ⃗dengan matriks transformasi A adalah memperbesar panjang vektor ⃗tetapi tidak mengubah arahnya.

A = 2 0

0 2 ⃗= 1 0

A⃗= 2 0 0 2.1

0 = 2 0

EigenValues dan EigenVector

• Transformasi vektor ⃗ dengan matriks A adalah sama dengan transformasi vektor ⃗ dengan skalar λ .

A = 2 0

0 2 ⃗= 1 0

A⃗= 2 0 0 2.1

0 = 2 0

2 x1 0 = 2

0

A⃗= λ⃗

λ

(15)

EigenValues dan EigenVector

43

Matriks A = 2 0

0 2 Vektor ⃗ = 1

0 Skalar λ = 2

A ⃗ = λ ⃗

EigenVector

EigenValue

EigenValues dan EigenVector

44

• Satu matriks dapat memiliki lebih dari satu pasangan EigenVector dan EigenValue.

A = 2 0

0 2 ⃗= 0 1

A⃗= 2 0 0 2.0

1 = 0 2

2 x0 1 = 0

2

A⃗= λ⃗

λ

EigenValues dan EigenVector

Matriks A = 2 0 0 2

EigenVektor : ⃗ = 1 0 EigenValues : λ = 2

(16)

EigenValues dan EigenVector

46

• Suatu matriks = memiliki matriks EigenVector dengan

EigenVector di setiap kolomnya = 1 2

1 2 dan EigenValues di

diagonal matriksnya λ= λ 0

0 λ

EigenValues dan EigenVector

47

Matriks A = 2 0 0 2

Matriks :

A = 2 0 0 2

EigenVektor:

Q = 1 0 0 1 EigenValue:

λ =2 0 0 2

EigenVektor dan EigenValue

Praktikum Lab