BAB 2. RELASI - BAB 3 RELASI

86 

Teks penuh

(1)

BAB 2. RELASI

Jurusan Teknik Informatika

Fakultas Teknik

Universitas Muhammadiyah Jember

(2)

1 Relasi

(3)

MATEMATIKA DISKRIT

1 Relasi

Definisi Relasi

(4)

Definisi

(5)

Definisi

1 Relasi biner R antara himpunanXdanY adalah himpunan bagian dari X×Y.

2 Notasi:R(X×Y).

3 x R yadalah notasi untuk(x,y)Ryang artinyaxdihubungkan

denganyolehR.

4 x6R yadalah notasi untuk(x,y)6∈Ryang artinyaxtidak dihubungkan

denganyolehR.

5 HimpunanX disebut daerah asal (domain) dariR, dan himpunanY

(6)

Definisi

1 Relasi biner R antara himpunanXdanY adalah himpunan bagian dari

X×Y.

2 Notasi:R(X×Y).

3 x R yadalah notasi untuk(x,y)Ryang artinyaxdihubungkan denganyolehR.

4 x6R yadalah notasi untuk(x,y)6∈Ryang artinyaxtidak dihubungkan

denganyolehR.

5 HimpunanX disebut daerah asal (domain) dariR, dan himpunanY

(7)

Definisi

1 Relasi biner R antara himpunanXdanY adalah himpunan bagian dari

X×Y.

2 Notasi:R(X×Y).

3 x R yadalah notasi untuk(x,y)Ryang artinyaxdihubungkan denganyolehR.

4 x6R yadalah notasi untuk(x,y)6∈Ryang artinyaxtidak dihubungkan denganyolehR.

5 HimpunanX disebut daerah asal (domain) dariR, dan himpunanY

(8)

Definisi

1 Relasi biner R antara himpunanXdanY adalah himpunan bagian dari

X×Y.

2 Notasi:R(X×Y).

3 x R yadalah notasi untuk(x,y)Ryang artinyaxdihubungkan

denganyolehR.

4 x6R yadalah notasi untuk(x,y)6∈Ryang artinyaxtidak dihubungkan denganyolehR.

(9)

Definisi

1 Relasi biner R antara himpunanXdanY adalah himpunan bagian dari

X×Y.

2 Notasi:R(X×Y).

3 x R yadalah notasi untuk(x,y)Ryang artinyaxdihubungkan

denganyolehR.

4 x6R yadalah notasi untuk(x,y)6∈Ryang artinyaxtidak dihubungkan

denganyolehR.

(10)

Definisi

1 Relasi biner R antara himpunanXdanY adalah himpunan bagian dari

X×Y.

2 Notasi:R(X×Y).

3 x R yadalah notasi untuk(x,y)Ryang artinyaxdihubungkan

denganyolehR.

4 x6R yadalah notasi untuk(x,y)6∈Ryang artinyaxtidak dihubungkan

denganyolehR.

5 HimpunanX disebut daerah asal (domain) dariR, dan himpunanY

(11)

Contoh

Misalnya variabelxdanyadalah bilangan real dalam interval tertutup[x1,x2]

dan[y1,y2], sehingga :X= [x1,x2]danY = [y1,y2]

maka:

X

×

Y

=

{

(

x

1

,

y

1

)

,

(

x

1

,

y

2

)

,

(

x

2

,

y

1

)

,

(

x

2

,

y

2

)

}

Y

×

X

=

{

(

y

1

,

x

1

)

,

(

y

1

,

x

2

)

,

(

y

2

,

x

1

)

,

(

y

2

,

x

2

)

}

X

×

X

=

{

(

x

1

,

x

1

)

,

(

x

1

,

x

2

)

,

(

x

2

,

x

1

)

,

(

x

2

,

x

2

)

}

Y

×

Y

=

{

(

y

1

,

y

1

)

,

(

y

1

,

y

2

)

,

(

y

2

,

y

1

)

,

(

y

2

,

y

2

)

}

maka relasi

R

antara elemen-elemen dalam himpunan

X

dan

Y

adalah

R

X

×

Y

. Pasangan - pasanan elemen dalam

R

(12)

MATEMATIKA DISKRIT

1 Relasi

Definisi Relasi

Representasi Relasi

(13)

1. Pemetaan

(14)

2. Koordinat

(15)

3. Matriks

(16)

4. Graf berarah

1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah(directed graph atau digraph)

2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain

3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga

simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur(arc)

4 Jika(a,b)R, maka sebuah busur dibuat dari simpulake simpulb.

Simpuladisebut simpul asal(initial vertex) dan simpul bdisebut simpul tujuan (terminal vertex)

5 Pasangan terurut(a,a)dinyatakan dengan busur dari simpul ake

(17)

4. Graf berarah

1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis

dengan graf berarah(directed graph atau digraph)

2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain

3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur(arc)

4 Jika(a,b)R, maka sebuah busur dibuat dari simpulake simpulb.

Simpuladisebut simpul asal(initial vertex) dan simpul bdisebut simpul tujuan (terminal vertex)

5 Pasangan terurut(a,a)dinyatakan dengan busur dari simpul ake

(18)

4. Graf berarah

1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis

dengan graf berarah(directed graph atau digraph)

2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari

suatu himpunan ke himpunan lain

3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur(arc)

4 Jika(a,b)R, maka sebuah busur dibuat dari simpulake simpulb. Simpuladisebut simpul asal(initial vertex) dan simpul bdisebut simpul tujuan (terminal vertex)

5 Pasangan terurut(a,a)dinyatakan dengan busur dari simpul ake

(19)

4. Graf berarah

1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis

dengan graf berarah(directed graph atau digraph)

2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari

suatu himpunan ke himpunan lain

3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga

simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur(arc)

4 Jika(a,b)R, maka sebuah busur dibuat dari simpulake simpulb. Simpuladisebut simpul asal(initial vertex) dan simpul bdisebut simpul tujuan (terminal vertex)

(20)

4. Graf berarah

1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis

dengan graf berarah(directed graph atau digraph)

2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari

suatu himpunan ke himpunan lain

3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga

simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur(arc)

4 Jika(a,b)R, maka sebuah busur dibuat dari simpulake simpulb.

Simpuladisebut simpul asal(initial vertex) dan simpul bdisebut simpul tujuan (terminal vertex)

(21)

4. Graf berarah

1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis

dengan graf berarah(directed graph atau digraph)

2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari

suatu himpunan ke himpunan lain

3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga

simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur(arc)

4 Jika(a,b)R, maka sebuah busur dibuat dari simpulake simpulb.

Simpuladisebut simpul asal(initial vertex) dan simpul bdisebut simpul tujuan (terminal vertex)

5 Pasangan terurut(a,a)dinyatakan dengan busur dari simpul ake

(22)

4. Graf berarah

(23)

MATEMATIKA DISKRIT

1 Relasi

Definisi Relasi Representasi Relasi

Sifat-sifat Relasi Biner

(24)

1. Refleksif

reflexive

a RelasiRpada himpunanAdisebut refleksif jika(a,a)∈Runtuk setiap aA

b RelasiRpada himpunanAtidak refleksif jika adaaAsedemikian sehingga(a,a)6∈R.

contoh : Misalkan

A

=

{1

,

2

,

3

,

4}, dan relasi

R

di bawah ini

didefinisikan pada himpunan

A, maka:

X

Relasi

R

=

{

(

1

,

1

),

(

1

,

3

),

(

2

,

1

),

(

2

,

2

),

(

3

,

3

),

(

4

,

2

),

(

4

,

3

),

(

4

,

4

)

}

bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk

(

a

,

a

)

, yaitu

(

1

,

1

),

(

2

,

2

),

(

3

,

3

),

dan

(

4

,

4

)

X

Relasi

R

=

{

(

1

,

1

),

(

2

,

2

),

(

2

,

3

),

(

4

,

2

),

(

4

,

3

),

(

4

,

4

)

}

tidak

(25)

1. Refleksif

reflexive

a RelasiRpada himpunanAdisebut refleksif jika(a,a)∈Runtuk setiap aA

b RelasiRpada himpunanAtidak refleksif jika adaaAsedemikian sehingga(a,a)6∈R.

contoh : Misalkan

A

=

{1

,

2

,

3

,

4}, dan relasi

R

di bawah ini

didefinisikan pada himpunan

A, maka:

X

Relasi

R

=

{

(

1

,

1

),

(

1

,

3

),

(

2

,

1

),

(

2

,

2

),

(

3

,

3

),

(

4

,

2

),

(

4

,

3

),

(

4

,

4

)

}

bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk

(

a

,

a

)

, yaitu

(

1

,

1

),

(

2

,

2

),

(

3

,

3

),

dan

(

4

,

4

)

X

Relasi

R

=

{

(

1

,

1

),

(

2

,

2

),

(

2

,

3

),

(

4

,

2

),

(

4

,

3

),

(

4

,

4

)

}

tidak

(26)

1. Refleksif

reflexive

a RelasiRpada himpunanAdisebut refleksif jika(a,a)∈Runtuk setiap aA

b RelasiRpada himpunanAtidak refleksif jika adaaAsedemikian sehingga(a,a)6∈R.

contoh : Misalkan

A

=

{

1,

2,

3,

4

}

, dan relasi

R

di bawah ini

didefinisikan pada himpunan

A, maka:

X

Relasi

R

=

{

(1,

1),

(1,

3),

(2,

1),

(2,

2),

(3,

3),

(4,

2),

(4,

3),

(4,

4)

}

bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk

(a,

a), yaitu

(1,

1),

(2,

2),

(3,

3),

dan(4,

4)

X

Relasi

R

=

{

(1,

1),

(2,

2),

(2,

3),

(4,

2),

(4,

3),

(4,

4)

}

tidak

(27)

1. Refleksif

reflexive

a RelasiRpada himpunanAdisebut refleksif jika(a,a)∈Runtuk setiap aA

b RelasiRpada himpunanAtidak refleksif jika adaaAsedemikian sehingga(a,a)6∈R.

contoh : Misalkan

A

=

{

1,

2,

3,

4

}

, dan relasi

R

di bawah ini

didefinisikan pada himpunan

A, maka:

X

Relasi

R

=

{

(1,

1),

(1,

3),

(2,

1),

(2,

2),

(3,

3),

(4,

2),

(4,

3),

(4,

4)

}

bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk

(a,

a), yaitu

(1,

1),

(2,

2),

(3,

3),

dan(4,

4)

X

Relasi

R

=

{

(1,

1),

(2,

2),

(2,

3),

(4,

2),

(4,

3),

(4,

4)

}

tidak

(28)

1. Refleksif

reflexive

a RelasiRpada himpunanAdisebut refleksif jika(a,a)∈Runtuk setiap aA

b RelasiRpada himpunanAtidak refleksif jika adaaAsedemikian sehingga(a,a)6∈R.

contoh : Misalkan

A

=

{

1

,

2

,

3

,

4

}

, dan relasi

R

di bawah ini

didefinisikan pada himpunan

A

, maka:

X

Relasi

R

=

{

(

1

,

1

)

,

(

1

,

3

)

,

(

2

,

1

)

,

(

2

,

2

)

,

(

3

,

3

)

,

(

4

,

2

)

,

(

4

,

3

)

,

(

4

,

4

)

}

bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk

(

a,

a

)

, yaitu

(

1

,

1

)

,

(

2

,

2

)

,

(

3

,

3

)

,

dan

(

4

,

4

)

(29)

2. Menghantar

Transitive

RelasiRpada himpunanAdisebut menghantar jika(a,b)∈Rdan

(b,c)∈R, maka(a,c)∈R, untuka,b,cA.

a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c

contoh : Misalkan

A

=

{1

,

2

,

3

,

4}, dan relasi

R

di bawah ini

(30)

2. Menghantar

Transitive

RelasiRpada himpunanAdisebut menghantar jika(a,b)∈Rdan

(b,c)∈R, maka(a,c)∈R, untuka,b,cA.

a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c

contoh : Misalkan

A

=

{1

,

2

,

3

,

4}, dan relasi

R

di bawah ini

(31)

2. Menghantar

Transitive

RelasiRpada himpunanAdisebut menghantar jika(a,b)∈Rdan

(b,c)∈R, maka(a,c)∈R, untuka,b,cA.

a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c

(32)

2. Menghantar

Transitive

RelasiRpada himpunanAdisebut menghantar jika(a,b)∈Rdan

(b,c)∈R, maka(a,c)∈R, untuka,b,cA.

a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c

(33)

2. Menghantar

Transitive

RelasiRpada himpunanAdisebut menghantar jika(a,b)∈Rdan

(b,c)∈R, maka(a,c)∈R, untuka,b,cA.

a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c

contoh : Misalkan

A

=

{

1

,

2

,

3

,

4

}

, dan relasi

R

di bawah ini

(34)

2. Menghantar

Transitive

contoh 1 :

X

R

=

{

(2,

1),

(3,

1),

(3,

2),

(4,

1),

(4,

2),

(4,

3)

}

bersifat

(35)

2. Menghantar

Transitive

contoh 1 :

X

R

=

{

(2,

1),

(3,

1),

(3,

2),

(4,

1),

(4,

2),

(4,

3)

}

bersifat

(36)

2. Menghantar

Transitive

contoh 1 :

(37)

2. Menghantar

Transitive

contoh 1 :

X

R

=

{

(

1

,

1

)

,

(

2

,

3

)

,

(

2

,

4

)

,

(

4

,

2

)

}

tidak manghantar karena

(

2

,

4

)

dan

(

4

,

2

)

R

, tetapi

(

2

,

2

)

6∈

R

, begitu juga

(

4

,

2

)

dan

(

2

,

3

)

R

, tetapi

(

4

,

3

)

6∈

R

.

X

Relasi

R

=

{

(

1

,

1

)

,

(

2

,

2

)

,

(

3

,

3

)

,

(

4

,

4

)

}

jelas menghantar.

X

Relasi

R

=

{

(

1

,

2

)

,

(

3

,

4

)

}

menghantar karena tidak ada

(38)

3. Setangkup

Symmetric dan Tolak Setangkup

antisymmetric

1 RelasiRpada himpunanAdisebut setangkup jika(a,b)R, maka

(b,a)∈Runtuka,bA.

2 RelasiRpada himpunanAtidak setangkup jika(a,b)∈Rsedemikian sehingga(b,a)6∈R

3 RelasiRpada himpunanAsedemikian sehingga(a,b)∈Rdan

(b,a)∈Rhanya jikaa=buntuka,bAdisebut tolaksetangkup

(39)

3. Setangkup

Symmetric dan Tolak Setangkup

antisymmetric

1 RelasiRpada himpunanAdisebut setangkup jika(a,b)R, maka

(b,a)∈Runtuka,bA.

2 RelasiRpada himpunanAtidak setangkup jika(a,b)∈Rsedemikian sehingga(b,a)6∈R

3 RelasiRpada himpunanAsedemikian sehingga(a,b)∈Rdan

(b,a)∈Rhanya jikaa=buntuka,bAdisebut tolaksetangkup

(40)

3. Setangkup

Symmetric dan Tolak Setangkup

antisymmetric

1 RelasiRpada himpunanAdisebut setangkup jika(a,b)R, maka

(b,a)∈Runtuka,bA.

2 RelasiRpada himpunanAtidak setangkup jika(a,b)∈Rsedemikian sehingga(b,a)6∈R

3 RelasiRpada himpunanAsedemikian sehingga(a,b)∈Rdan

(b,a)∈Rhanya jikaa=buntuka,bAdisebut tolaksetangkup

(41)

3. Setangkup

Symmetric dan Tolak Setangkup

antisymmetric

1 RelasiRpada himpunanAdisebut setangkup jika(a,b)R, maka

(b,a)∈Runtuka,bA.

2 RelasiRpada himpunanAtidak setangkup jika(a,b)∈Rsedemikian sehingga(b,a)6∈R

3 RelasiRpada himpunanAsedemikian sehingga(a,b)∈Rdan

(b,a)∈Rhanya jikaa=buntuka,bAdisebut tolaksetangkup

(42)

3. Setangkup

Symmetric dan Tolak Setangkup

antisymmetric

1 RelasiRpada himpunanAdisebut setangkup jika(a,b)R, maka

(b,a)∈Runtuka,bA.

2 RelasiRpada himpunanAtidak setangkup jika(a,b)∈Rsedemikian sehingga(b,a)6∈R

3 RelasiRpada himpunanAsedemikian sehingga(a,b)∈Rdan

(b,a)∈Rhanya jikaa=buntuka,bAdisebut tolaksetangkup

(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)

3. Setangkup

Symmetric dan Tolak Setangkup

antisymmetric

Sifat

1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang

elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama.

2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jikamij =1

dengani6=j, makamji=0. Dengan kata lain, matriks dari relasi

tolak-setangkup adalah jika salah satu darimij=0 ataumji=0 bila

i6=j

4 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak setangkup

(49)

3. Setangkup

Symmetric dan Tolak Setangkup

antisymmetric

Sifat

1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang

elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama.

2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jikamij =1 dengani6=j, makamji=0. Dengan kata lain, matriks dari relasi

tolak-setangkup adalah jika salah satu darimij=0 ataumji=0 bila

i6=j

4 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak setangkup

(50)

3. Setangkup

Symmetric dan Tolak Setangkup

antisymmetric

Sifat

1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang

elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama.

2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan

oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jikamij =1 dengani6=j, makamji=0. Dengan kata lain, matriks dari relasi

tolak-setangkup adalah jika salah satu darimij=0 ataumji=0 bila

i6=j

(51)

3. Setangkup

Symmetric dan Tolak Setangkup

antisymmetric

Sifat

1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang

elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama.

2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan

oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jikamij =1

dengani6=j, makamji=0. Dengan kata lain, matriks dari relasi

tolak-setangkup adalah jika salah satu darimij=0 ataumji=0 bila

i6=j

(52)

3. Setangkup

Symmetric dan Tolak Setangkup

antisymmetric

Sifat

1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang

elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama.

2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan

oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jikamij =1

dengani6=j, makamji=0. Dengan kata lain, matriks dari relasi

tolak-setangkup adalah jika salah satu darimij=0 ataumji=0 bila

i6=j

4 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak setangkup

(53)

MATEMATIKA DISKRIT

1 Relasi

Definisi Relasi Representasi Relasi Sifat-sifat Relasi Biner

Operasi Relasi Binary

(54)

1. Relasi Inversi

MisalkanRadalah relasi dari himpunanAke himpunanB. Invers dari relasi R, dilambangkan denganR−1, adalah relasi dariBkeAyang didefinisikan

oleh

R

−1

=

{

(

a,

b

)

|

(

a,

b

)

R}

Contoh: Misalkan

P

=

{

2

,

3

,

4

}

dan

Q

=

{

2

,

4

,

8

,

9

,

15

}

. Jika

kita definisikan relasi

R

dari

P

ke

Q

dengan

(

p,

q

)

R

jika

p

habis membagi

q

maka kita peroleh

R

=

{

(

2

,

2

)

,

(

2

,

4

)

,

(

4

,

4

)

,

(

2

,

8

)

,

(

4

,

8

)

,

(

3

,

9

)

,

(

3

,

15

)

}

R

−1

adalah invers dari relasi

R

, yaitu relasi dari

Q

ke

P

dengan

(55)

1. Relasi Inversi

Jika

M

adalah matriks yang merepresentasikan relasi

R

M

=

maka matriks yang merepresentasikan relasi

R

−1

, misalkan

N

,

diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks

M

(56)

2. Mengkombinasikan Relasi

Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.

JikaR1danR2masing-masing adalah relasi dari himpunaAke himpunanB,

(57)

2. Mengkombinasikan Relasi

Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.

JikaR1danR2masing-masing adalah relasi dari himpunaAke himpunanB,

(58)

2. Mengkombinasikan Relasi

Contoh

MisalkanA={a,b,c}danB={a,b,c,d}

Relasi

R

1

=

{

(

a,

a

)

,

(

b,

b

)

,

(

c,

c

)

}

Relasi

R

2

=

{

(

a,

a

)

,

(

a,

b

)

,

(

a,

c

)

,

(

a,

d

)

}

R

1

R

2

=

{

(

a,

a

)

}

R

1

R

2

=

{

(

a,

a

)

,

(

b,

b

)

,

(

c,

c

)

,

(

a,

b

)

,

(

a,

c

)

,

(

a,

d

)

}

R

1

R

2

=

{

(

b,

b

)

,

(

c,

c

)

}

R

2

R

1

=

{

(

a,

b

)

,

(

a,

c

)

,

(

a,

d

)

}

(59)

3. Komposisi Relasi

Contoh

MisalkanRadalah relasi dari himpunanAke himpunan B, danSadalah relasi dari himpunanBke himpunanC. KomposisiRdanS, dinotasikan denganSR, adalah relasi dariAkeCyang didefinisikan oleh

S

R

=

{

(

a,

c

)

|a

A,

c

C

, dan untuk beberapa

Maka komposisi relasi

R

dan

S

adalah

(60)

3. Komposisi Relasi

Contoh

(61)

3. Komposisi Relasi

Contoh

Misalkan bahwa relasiR1danR2pada himpunanAdinyatakan oleh matriks

(62)

3. Komposisi Relasi

Contoh

maka matriks yang menyatakanR2◦R1adalah

MR

2R1

=

MR

1

·

MR

2

=

1 1 1

0 1 1

0 0 0

(63)

MATEMATIKA DISKRIT

1 Relasi

Definisi Relasi Representasi Relasi Sifat-sifat Relasi Biner Operasi Relasi Binary

(64)

Relasi

n-ary

Contoh

1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan.

2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasin-ary (baca: ener)

3 MisalkanA1,A2, ...,Anadalah himpunan. Relasin-ary R pada

himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari AA2×...×An, atau dengan notasi RAA2×...×An.

(65)

Relasi

n-ary

Contoh

1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan. 2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah

himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasin-ary (baca: ener)

3 MisalkanA1,A2, ...,Anadalah himpunan. Relasin-ary R pada himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari AA2×...×An, atau dengan notasi RAA2×...×An.

(66)

Relasi

n-ary

Contoh

1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan. 2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah

himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasin-ary (baca: ener)

3 MisalkanA1,A2, ...,Anadalah himpunan. Relasin-ary R pada himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari AA2×...×An, atau dengan notasi RAA2×...×An.

(67)

Relasi

n-ary

Contoh

1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan. 2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah

himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasin-ary (baca: ener)

3 MisalkanA1,A2, ...,Anadalah himpunan. Relasin-ary R pada

himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari AA2×...×An, atau dengan notasi RAA2×...×An.

(68)

Relasi

n-ary

Contoh:

Misalkan

NIM

=

{

13598011

,

13598014

,

13598015

,

13598019

,

13598021

,

13598025

}

Nama

=

{Amir,

Santi

,

Irwan,

Ahmad,

Cecep,

Hamdan}

MatKul

=

{MatematikaDiskrit

,

Algoritma,

StrukturData,

ArsitekturKomputer

}

Nilai

=

{A,

B,

C,

D,

E}

Relasi MHS terdiri dari 5-tupel (NIM, Nama, MatKul, Nilai):

(69)

Relasi

n-ary

Beberapa keterangan

1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel

2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata

relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasin-ary.

3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap

kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.

4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai

sebuah file.

5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap

atribut menyatakan sebuah field.

6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah

(70)

Relasi

n-ary

Beberapa keterangan

1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel 2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata

relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasin-ary.

3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.

4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai

sebuah file.

5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap

atribut menyatakan sebuah field.

6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah

(71)

Relasi

n-ary

Beberapa keterangan

1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel 2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata

relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasin-ary.

3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.

4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai sebuah file.

5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap

atribut menyatakan sebuah field.

6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah

(72)

Relasi

n-ary

Beberapa keterangan

1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel 2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata

relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasin-ary.

3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap

kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.

4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai sebuah file.

5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap atribut menyatakan sebuah field.

6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah

(73)

Relasi

n-ary

Beberapa keterangan

1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel 2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata

relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasin-ary.

3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap

kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.

4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai

sebuah file.

5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap atribut menyatakan sebuah field.

(74)

Relasi

n-ary

Beberapa keterangan

1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel 2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata

relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasin-ary.

3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap

kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.

4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai

sebuah file.

5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap

atribut menyatakan sebuah field.

(75)

Relasi

n-ary

Beberapa keterangan

1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel 2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata

relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasin-ary.

3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap

kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.

4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai

sebuah file.

5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap

atribut menyatakan sebuah field.

6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah

(76)

Relasi

n-ary

Beberapa keterangan

1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen relasi disebut kunci(key).

2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut query.

3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata

kuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM=13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata kuliah yang diambil”

4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasin-ary.

5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalah

(77)

Relasi

n-ary

Beberapa keterangan

1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen

relasi disebut kunci(key).

2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut query.

3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM=13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata kuliah yang diambil”

4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasin-ary.

5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalah

(78)

Relasi

n-ary

Beberapa keterangan

1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen

relasi disebut kunci(key).

2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah

pertanyaan yang disebut query.

3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM=13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata kuliah yang diambil”

4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasin-ary.

5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalah

(79)

Relasi

n-ary

Beberapa keterangan

1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen

relasi disebut kunci(key).

2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah

pertanyaan yang disebut query.

3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata

kuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM=13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata kuliah yang diambil”

4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasin-ary.

(80)

Relasi

n-ary

Beberapa keterangan

1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen

relasi disebut kunci(key).

2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah

pertanyaan yang disebut query.

3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata

kuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM=13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata kuliah yang diambil”

4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasin-ary.

(81)

Relasi

n-ary

Beberapa keterangan

1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen

relasi disebut kunci(key).

2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah

pertanyaan yang disebut query.

3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata

kuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM=13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata kuliah yang diambil”

4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasin-ary.

5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalah

(82)

Relasi

n-ary

Beberapa contoh operasi

1 Seleksi : Operasi seleksiσmemilih baris tertentu dari suatu tabel yang memenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit. Operasi seleksinya adalahσMatkul=”Matematika Diskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan (13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)

2 Proyeksi : Operasi proyeksiΠmemilih kolom tertentu dari suatu tabel. Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satu kali.

3 Join : Operasi joinΓmenggabungkan dua buah tabel menjadi satu bila

(83)

Relasi

n-ary

Beberapa contoh operasi

1 Seleksi : Operasi seleksiσmemilih baris tertentu dari suatu tabel yang

memenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit. Operasi seleksinya adalahσMatkul=”Matematika Diskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan (13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)

2 Proyeksi : Operasi proyeksiΠmemilih kolom tertentu dari suatu tabel. Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satu kali.

(84)

Relasi

n-ary

Beberapa contoh operasi

1 Seleksi : Operasi seleksiσmemilih baris tertentu dari suatu tabel yang

memenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit. Operasi seleksinya adalahσMatkul=”Matematika Diskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan (13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)

2 Proyeksi : Operasi proyeksiΠmemilih kolom tertentu dari suatu tabel.

Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satu kali.

(85)

Relasi

n-ary

Beberapa contoh operasi

1 Seleksi : Operasi seleksiσmemilih baris tertentu dari suatu tabel yang

memenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit. Operasi seleksinya adalahσMatkul=”Matematika Diskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan (13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)

2 Proyeksi : Operasi proyeksiΠmemilih kolom tertentu dari suatu tabel.

Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satu kali.

3 Join : Operasi joinΓmenggabungkan dua buah tabel menjadi satu bila

(86)

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...