BAB 2. RELASI
Jurusan Teknik Informatika
Fakultas Teknik
Universitas Muhammadiyah Jember
1 Relasi
MATEMATIKA DISKRIT
1 Relasi
Definisi Relasi
Definisi
Definisi
1 Relasi biner R antara himpunanXdanY adalah himpunan bagian dari X×Y.
2 Notasi:R⊆(X×Y).
3 x R yadalah notasi untuk(x,y)∈Ryang artinyaxdihubungkan
denganyolehR.
4 x6R yadalah notasi untuk(x,y)6∈Ryang artinyaxtidak dihubungkan
denganyolehR.
5 HimpunanX disebut daerah asal (domain) dariR, dan himpunanY
Definisi
1 Relasi biner R antara himpunanXdanY adalah himpunan bagian dari
X×Y.
2 Notasi:R⊆(X×Y).
3 x R yadalah notasi untuk(x,y)∈Ryang artinyaxdihubungkan denganyolehR.
4 x6R yadalah notasi untuk(x,y)6∈Ryang artinyaxtidak dihubungkan
denganyolehR.
5 HimpunanX disebut daerah asal (domain) dariR, dan himpunanY
Definisi
1 Relasi biner R antara himpunanXdanY adalah himpunan bagian dari
X×Y.
2 Notasi:R⊆(X×Y).
3 x R yadalah notasi untuk(x,y)∈Ryang artinyaxdihubungkan denganyolehR.
4 x6R yadalah notasi untuk(x,y)6∈Ryang artinyaxtidak dihubungkan denganyolehR.
5 HimpunanX disebut daerah asal (domain) dariR, dan himpunanY
Definisi
1 Relasi biner R antara himpunanXdanY adalah himpunan bagian dari
X×Y.
2 Notasi:R⊆(X×Y).
3 x R yadalah notasi untuk(x,y)∈Ryang artinyaxdihubungkan
denganyolehR.
4 x6R yadalah notasi untuk(x,y)6∈Ryang artinyaxtidak dihubungkan denganyolehR.
Definisi
1 Relasi biner R antara himpunanXdanY adalah himpunan bagian dari
X×Y.
2 Notasi:R⊆(X×Y).
3 x R yadalah notasi untuk(x,y)∈Ryang artinyaxdihubungkan
denganyolehR.
4 x6R yadalah notasi untuk(x,y)6∈Ryang artinyaxtidak dihubungkan
denganyolehR.
Definisi
1 Relasi biner R antara himpunanXdanY adalah himpunan bagian dari
X×Y.
2 Notasi:R⊆(X×Y).
3 x R yadalah notasi untuk(x,y)∈Ryang artinyaxdihubungkan
denganyolehR.
4 x6R yadalah notasi untuk(x,y)6∈Ryang artinyaxtidak dihubungkan
denganyolehR.
5 HimpunanX disebut daerah asal (domain) dariR, dan himpunanY
Contoh
Misalnya variabelxdanyadalah bilangan real dalam interval tertutup[x1,x2]
dan[y1,y2], sehingga :X= [x1,x2]danY = [y1,y2]
maka:
X
×
Y
=
{
(
x
1,
y
1)
,
(
x
1,
y
2)
,
(
x
2,
y
1)
,
(
x
2,
y
2)
}
Y
×
X
=
{
(
y
1,
x
1)
,
(
y
1,
x
2)
,
(
y
2,
x
1)
,
(
y
2,
x
2)
}
X
×
X
=
{
(
x
1,
x
1)
,
(
x
1,
x
2)
,
(
x
2,
x
1)
,
(
x
2,
x
2)
}
Y
×
Y
=
{
(
y
1,
y
1)
,
(
y
1,
y
2)
,
(
y
2,
y
1)
,
(
y
2,
y
2)
}
maka relasi
R
antara elemen-elemen dalam himpunan
X
dan
Y
adalah
R
⊆
X
×
Y
. Pasangan - pasanan elemen dalam
R
MATEMATIKA DISKRIT
1 Relasi
Definisi Relasi
Representasi Relasi
1. Pemetaan
2. Koordinat
3. Matriks
4. Graf berarah
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah(directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga
simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur(arc)
4 Jika(a,b)∈R, maka sebuah busur dibuat dari simpulake simpulb.
Simpuladisebut simpul asal(initial vertex) dan simpul bdisebut simpul tujuan (terminal vertex)
5 Pasangan terurut(a,a)dinyatakan dengan busur dari simpul ake
4. Graf berarah
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis
dengan graf berarah(directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur(arc)
4 Jika(a,b)∈R, maka sebuah busur dibuat dari simpulake simpulb.
Simpuladisebut simpul asal(initial vertex) dan simpul bdisebut simpul tujuan (terminal vertex)
5 Pasangan terurut(a,a)dinyatakan dengan busur dari simpul ake
4. Graf berarah
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis
dengan graf berarah(directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari
suatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur(arc)
4 Jika(a,b)∈R, maka sebuah busur dibuat dari simpulake simpulb. Simpuladisebut simpul asal(initial vertex) dan simpul bdisebut simpul tujuan (terminal vertex)
5 Pasangan terurut(a,a)dinyatakan dengan busur dari simpul ake
4. Graf berarah
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis
dengan graf berarah(directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari
suatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga
simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur(arc)
4 Jika(a,b)∈R, maka sebuah busur dibuat dari simpulake simpulb. Simpuladisebut simpul asal(initial vertex) dan simpul bdisebut simpul tujuan (terminal vertex)
4. Graf berarah
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis
dengan graf berarah(directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari
suatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga
simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur(arc)
4 Jika(a,b)∈R, maka sebuah busur dibuat dari simpulake simpulb.
Simpuladisebut simpul asal(initial vertex) dan simpul bdisebut simpul tujuan (terminal vertex)
4. Graf berarah
1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis
dengan graf berarah(directed graph atau digraph)
2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari
suatu himpunan ke himpunan lain
3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga
simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur(arc)
4 Jika(a,b)∈R, maka sebuah busur dibuat dari simpulake simpulb.
Simpuladisebut simpul asal(initial vertex) dan simpul bdisebut simpul tujuan (terminal vertex)
5 Pasangan terurut(a,a)dinyatakan dengan busur dari simpul ake
4. Graf berarah
MATEMATIKA DISKRIT
1 Relasi
Definisi Relasi Representasi Relasi
Sifat-sifat Relasi Biner
1. Refleksif
reflexive
a RelasiRpada himpunanAdisebut refleksif jika(a,a)∈Runtuk setiap a∈A
b RelasiRpada himpunanAtidak refleksif jika adaa∈Asedemikian sehingga(a,a)6∈R.
contoh : Misalkan
A
=
{1
,
2
,
3
,
4}, dan relasi
R
di bawah ini
didefinisikan pada himpunan
A, maka:
X
Relasi
R
=
{
(
1
,
1
),
(
1
,
3
),
(
2
,
1
),
(
2
,
2
),
(
3
,
3
),
(
4
,
2
),
(
4
,
3
),
(
4
,
4
)
}
bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk
(
a
,
a
)
, yaitu
(
1
,
1
),
(
2
,
2
),
(
3
,
3
),
dan
(
4
,
4
)
X
Relasi
R
=
{
(
1
,
1
),
(
2
,
2
),
(
2
,
3
),
(
4
,
2
),
(
4
,
3
),
(
4
,
4
)
}
tidak
1. Refleksif
reflexive
a RelasiRpada himpunanAdisebut refleksif jika(a,a)∈Runtuk setiap a∈A
b RelasiRpada himpunanAtidak refleksif jika adaa∈Asedemikian sehingga(a,a)6∈R.
contoh : Misalkan
A
=
{1
,
2
,
3
,
4}, dan relasi
R
di bawah ini
didefinisikan pada himpunan
A, maka:
X
Relasi
R
=
{
(
1
,
1
),
(
1
,
3
),
(
2
,
1
),
(
2
,
2
),
(
3
,
3
),
(
4
,
2
),
(
4
,
3
),
(
4
,
4
)
}
bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk
(
a
,
a
)
, yaitu
(
1
,
1
),
(
2
,
2
),
(
3
,
3
),
dan
(
4
,
4
)
X
Relasi
R
=
{
(
1
,
1
),
(
2
,
2
),
(
2
,
3
),
(
4
,
2
),
(
4
,
3
),
(
4
,
4
)
}
tidak
1. Refleksif
reflexive
a RelasiRpada himpunanAdisebut refleksif jika(a,a)∈Runtuk setiap a∈A
b RelasiRpada himpunanAtidak refleksif jika adaa∈Asedemikian sehingga(a,a)6∈R.
contoh : Misalkan
A
=
{
1,
2,
3,
4
}
, dan relasi
R
di bawah ini
didefinisikan pada himpunan
A, maka:
X
Relasi
R
=
{
(1,
1),
(1,
3),
(2,
1),
(2,
2),
(3,
3),
(4,
2),
(4,
3),
(4,
4)
}
bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk
(a,
a), yaitu
(1,
1),
(2,
2),
(3,
3),
dan(4,
4)
X
Relasi
R
=
{
(1,
1),
(2,
2),
(2,
3),
(4,
2),
(4,
3),
(4,
4)
}
tidak
1. Refleksif
reflexive
a RelasiRpada himpunanAdisebut refleksif jika(a,a)∈Runtuk setiap a∈A
b RelasiRpada himpunanAtidak refleksif jika adaa∈Asedemikian sehingga(a,a)6∈R.
contoh : Misalkan
A
=
{
1,
2,
3,
4
}
, dan relasi
R
di bawah ini
didefinisikan pada himpunan
A, maka:
X
Relasi
R
=
{
(1,
1),
(1,
3),
(2,
1),
(2,
2),
(3,
3),
(4,
2),
(4,
3),
(4,
4)
}
bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk
(a,
a), yaitu
(1,
1),
(2,
2),
(3,
3),
dan(4,
4)
X
Relasi
R
=
{
(1,
1),
(2,
2),
(2,
3),
(4,
2),
(4,
3),
(4,
4)
}
tidak
1. Refleksif
reflexive
a RelasiRpada himpunanAdisebut refleksif jika(a,a)∈Runtuk setiap a∈A
b RelasiRpada himpunanAtidak refleksif jika adaa∈Asedemikian sehingga(a,a)6∈R.
contoh : Misalkan
A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
, dan relasi
R
di bawah ini
didefinisikan pada himpunan
A
, maka:
X
Relasi
R
=
{
(
1
,
1
)
,
(
1
,
3
)
,
(
2
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
3
,
3
)
,
(
4
,
2
)
,
(
4
,
3
)
,
(
4
,
4
)
}
bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk
(
a,
a
)
, yaitu
(
1
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
3
,
3
)
,
dan
(
4
,
4
)
2. Menghantar
Transitive
RelasiRpada himpunanAdisebut menghantar jika(a,b)∈Rdan
(b,c)∈R, maka(a,c)∈R, untuka,b,c∈A.
a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya
b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c
contoh : Misalkan
A
=
{1
,
2
,
3
,
4}, dan relasi
R
di bawah ini
2. Menghantar
Transitive
RelasiRpada himpunanAdisebut menghantar jika(a,b)∈Rdan
(b,c)∈R, maka(a,c)∈R, untuka,b,c∈A.
a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya
b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c
contoh : Misalkan
A
=
{1
,
2
,
3
,
4}, dan relasi
R
di bawah ini
2. Menghantar
Transitive
RelasiRpada himpunanAdisebut menghantar jika(a,b)∈Rdan
(b,c)∈R, maka(a,c)∈R, untuka,b,c∈A.
a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya
b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c
2. Menghantar
Transitive
RelasiRpada himpunanAdisebut menghantar jika(a,b)∈Rdan
(b,c)∈R, maka(a,c)∈R, untuka,b,c∈A.
a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya
b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c
2. Menghantar
Transitive
RelasiRpada himpunanAdisebut menghantar jika(a,b)∈Rdan
(b,c)∈R, maka(a,c)∈R, untuka,b,c∈A.
a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya
b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c
contoh : Misalkan
A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
, dan relasi
R
di bawah ini
2. Menghantar
Transitive
contoh 1 :
X
R
=
{
(2,
1),
(3,
1),
(3,
2),
(4,
1),
(4,
2),
(4,
3)
}
bersifat
2. Menghantar
Transitive
contoh 1 :
X
R
=
{
(2,
1),
(3,
1),
(3,
2),
(4,
1),
(4,
2),
(4,
3)
}
bersifat
2. Menghantar
Transitive
contoh 1 :
2. Menghantar
Transitive
contoh 1 :
X
R
=
{
(
1
,
1
)
,
(
2
,
3
)
,
(
2
,
4
)
,
(
4
,
2
)
}
tidak manghantar karena
(
2
,
4
)
dan
(
4
,
2
)
∈
R
, tetapi
(
2
,
2
)
6∈
R
, begitu juga
(
4
,
2
)
dan
(
2
,
3
)
∈
R
, tetapi
(
4
,
3
)
6∈
R
.
X
Relasi
R
=
{
(
1
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
3
,
3
)
,
(
4
,
4
)
}
jelas menghantar.
X
Relasi
R
=
{
(
1
,
2
)
,
(
3
,
4
)
}
menghantar karena tidak ada
3. Setangkup
Symmetric dan Tolak Setangkup
antisymmetric
1 RelasiRpada himpunanAdisebut setangkup jika(a,b)∈R, maka
(b,a)∈Runtuka,b∈A.
2 RelasiRpada himpunanAtidak setangkup jika(a,b)∈Rsedemikian sehingga(b,a)6∈R
3 RelasiRpada himpunanAsedemikian sehingga(a,b)∈Rdan
(b,a)∈Rhanya jikaa=buntuka,b∈Adisebut tolaksetangkup
3. Setangkup
Symmetric dan Tolak Setangkup
antisymmetric
1 RelasiRpada himpunanAdisebut setangkup jika(a,b)∈R, maka
(b,a)∈Runtuka,b∈A.
2 RelasiRpada himpunanAtidak setangkup jika(a,b)∈Rsedemikian sehingga(b,a)6∈R
3 RelasiRpada himpunanAsedemikian sehingga(a,b)∈Rdan
(b,a)∈Rhanya jikaa=buntuka,b∈Adisebut tolaksetangkup
3. Setangkup
Symmetric dan Tolak Setangkup
antisymmetric
1 RelasiRpada himpunanAdisebut setangkup jika(a,b)∈R, maka
(b,a)∈Runtuka,b∈A.
2 RelasiRpada himpunanAtidak setangkup jika(a,b)∈Rsedemikian sehingga(b,a)6∈R
3 RelasiRpada himpunanAsedemikian sehingga(a,b)∈Rdan
(b,a)∈Rhanya jikaa=buntuka,b∈Adisebut tolaksetangkup
3. Setangkup
Symmetric dan Tolak Setangkup
antisymmetric
1 RelasiRpada himpunanAdisebut setangkup jika(a,b)∈R, maka
(b,a)∈Runtuka,b∈A.
2 RelasiRpada himpunanAtidak setangkup jika(a,b)∈Rsedemikian sehingga(b,a)6∈R
3 RelasiRpada himpunanAsedemikian sehingga(a,b)∈Rdan
(b,a)∈Rhanya jikaa=buntuka,b∈Adisebut tolaksetangkup
3. Setangkup
Symmetric dan Tolak Setangkup
antisymmetric
1 RelasiRpada himpunanAdisebut setangkup jika(a,b)∈R, maka
(b,a)∈Runtuka,b∈A.
2 RelasiRpada himpunanAtidak setangkup jika(a,b)∈Rsedemikian sehingga(b,a)6∈R
3 RelasiRpada himpunanAsedemikian sehingga(a,b)∈Rdan
(b,a)∈Rhanya jikaa=buntuka,b∈Adisebut tolaksetangkup
3. Setangkup
Symmetric dan Tolak Setangkup
antisymmetric
Sifat
1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang
elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama.
2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jikamij =1
dengani6=j, makamji=0. Dengan kata lain, matriks dari relasi
tolak-setangkup adalah jika salah satu darimij=0 ataumji=0 bila
i6=j
4 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak setangkup
3. Setangkup
Symmetric dan Tolak Setangkup
antisymmetric
Sifat
1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang
elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama.
2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jikamij =1 dengani6=j, makamji=0. Dengan kata lain, matriks dari relasi
tolak-setangkup adalah jika salah satu darimij=0 ataumji=0 bila
i6=j
4 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak setangkup
3. Setangkup
Symmetric dan Tolak Setangkup
antisymmetric
Sifat
1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang
elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama.
2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan
oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jikamij =1 dengani6=j, makamji=0. Dengan kata lain, matriks dari relasi
tolak-setangkup adalah jika salah satu darimij=0 ataumji=0 bila
i6=j
3. Setangkup
Symmetric dan Tolak Setangkup
antisymmetric
Sifat
1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang
elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama.
2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan
oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jikamij =1
dengani6=j, makamji=0. Dengan kata lain, matriks dari relasi
tolak-setangkup adalah jika salah satu darimij=0 ataumji=0 bila
i6=j
3. Setangkup
Symmetric dan Tolak Setangkup
antisymmetric
Sifat
1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang
elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama.
2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan
oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jikamij =1
dengani6=j, makamji=0. Dengan kata lain, matriks dari relasi
tolak-setangkup adalah jika salah satu darimij=0 ataumji=0 bila
i6=j
4 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak setangkup
MATEMATIKA DISKRIT
1 Relasi
Definisi Relasi Representasi Relasi Sifat-sifat Relasi Biner
Operasi Relasi Binary
1. Relasi Inversi
MisalkanRadalah relasi dari himpunanAke himpunanB. Invers dari relasi R, dilambangkan denganR−1, adalah relasi dariBkeAyang didefinisikan
oleh
R
−1=
{
(
a,
b
)
|
(
a,
b
)
∈
R}
Contoh: Misalkan
P
=
{
2
,
3
,
4
}
dan
Q
=
{
2
,
4
,
8
,
9
,
15
}
. Jika
kita definisikan relasi
R
dari
P
ke
Q
dengan
(
p,
q
)
∈
R
jika
p
habis membagi
q
maka kita peroleh
R
=
{
(
2
,
2
)
,
(
2
,
4
)
,
(
4
,
4
)
,
(
2
,
8
)
,
(
4
,
8
)
,
(
3
,
9
)
,
(
3
,
15
)
}
R
−1adalah invers dari relasi
R
, yaitu relasi dari
Q
ke
P
dengan
1. Relasi Inversi
Jika
M
adalah matriks yang merepresentasikan relasi
R
M
=
maka matriks yang merepresentasikan relasi
R
−1, misalkan
N
,
diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks
M
2. Mengkombinasikan Relasi
Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.
JikaR1danR2masing-masing adalah relasi dari himpunaAke himpunanB,
2. Mengkombinasikan Relasi
Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.
JikaR1danR2masing-masing adalah relasi dari himpunaAke himpunanB,
2. Mengkombinasikan Relasi
Contoh
MisalkanA={a,b,c}danB={a,b,c,d}
Relasi
R
1=
{
(
a,
a
)
,
(
b,
b
)
,
(
c,
c
)
}
Relasi
R
2=
{
(
a,
a
)
,
(
a,
b
)
,
(
a,
c
)
,
(
a,
d
)
}
R
1∩
R
2=
{
(
a,
a
)
}
R
1∪
R
2=
{
(
a,
a
)
,
(
b,
b
)
,
(
c,
c
)
,
(
a,
b
)
,
(
a,
c
)
,
(
a,
d
)
}
R
1−
R
2=
{
(
b,
b
)
,
(
c,
c
)
}
R
2−
R
1=
{
(
a,
b
)
,
(
a,
c
)
,
(
a,
d
)
}
3. Komposisi Relasi
Contoh
MisalkanRadalah relasi dari himpunanAke himpunan B, danSadalah relasi dari himpunanBke himpunanC. KomposisiRdanS, dinotasikan denganS◦R, adalah relasi dariAkeCyang didefinisikan oleh
S
◦
R
=
{
(
a,
c
)
|a
∈
A,
c
∈
C
, dan untuk beberapa
Maka komposisi relasi
R
dan
S
adalah
3. Komposisi Relasi
Contoh
3. Komposisi Relasi
Contoh
Misalkan bahwa relasiR1danR2pada himpunanAdinyatakan oleh matriks
3. Komposisi Relasi
Contoh
maka matriks yang menyatakanR2◦R1adalah
MR
2◦R1=
MR
1·
MR
2=
1 1 1
0 1 1
0 0 0
MATEMATIKA DISKRIT
1 Relasi
Definisi Relasi Representasi Relasi Sifat-sifat Relasi Biner Operasi Relasi Binary
Relasi
n-ary
Contoh
1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan.
2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasin-ary (baca: ener)
3 MisalkanA1,A2, ...,Anadalah himpunan. Relasin-ary R pada
himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari A1×A2×...×An, atau dengan notasi R⊆A1×A2×...×An.
Relasi
n-ary
Contoh
1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan. 2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah
himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasin-ary (baca: ener)
3 MisalkanA1,A2, ...,Anadalah himpunan. Relasin-ary R pada himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari A1×A2×...×An, atau dengan notasi R⊆A1×A2×...×An.
Relasi
n-ary
Contoh
1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan. 2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah
himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasin-ary (baca: ener)
3 MisalkanA1,A2, ...,Anadalah himpunan. Relasin-ary R pada himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari A1×A2×...×An, atau dengan notasi R⊆A1×A2×...×An.
Relasi
n-ary
Contoh
1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan. 2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah
himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasin-ary (baca: ener)
3 MisalkanA1,A2, ...,Anadalah himpunan. Relasin-ary R pada
himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari A1×A2×...×An, atau dengan notasi R⊆A1×A2×...×An.
Relasi
n-ary
Contoh:
Misalkan
NIM
=
{
13598011
,
13598014
,
13598015
,
13598019
,
13598021
,
13598025
}
Nama
=
{Amir,
Santi
,
Irwan,
Ahmad,
Cecep,
Hamdan}
MatKul
=
{MatematikaDiskrit
,
Algoritma,
StrukturData,
ArsitekturKomputer
}
Nilai
=
{A,
B,
C,
D,
E}
Relasi MHS terdiri dari 5-tupel (NIM, Nama, MatKul, Nilai):
Relasi
n-ary
Beberapa keterangan
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel
2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata
relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasin-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap
kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.
4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai
sebuah file.
5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap
atribut menyatakan sebuah field.
6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah
Relasi
n-ary
Beberapa keterangan
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel 2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata
relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasin-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.
4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai
sebuah file.
5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap
atribut menyatakan sebuah field.
6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah
Relasi
n-ary
Beberapa keterangan
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel 2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata
relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasin-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.
4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai sebuah file.
5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap
atribut menyatakan sebuah field.
6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah
Relasi
n-ary
Beberapa keterangan
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel 2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata
relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasin-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap
kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.
4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai sebuah file.
5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap atribut menyatakan sebuah field.
6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah
Relasi
n-ary
Beberapa keterangan
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel 2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata
relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasin-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap
kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.
4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai
sebuah file.
5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap atribut menyatakan sebuah field.
Relasi
n-ary
Beberapa keterangan
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel 2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata
relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasin-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap
kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.
4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai
sebuah file.
5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap
atribut menyatakan sebuah field.
Relasi
n-ary
Beberapa keterangan
1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel 2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata
relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasin-ary.
3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap
kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.
4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai
sebuah file.
5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap
atribut menyatakan sebuah field.
6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah
Relasi
n-ary
Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen relasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata
kuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM=13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata kuliah yang diambil”
4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasin-ary.
5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalah
Relasi
n-ary
Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen
relasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM=13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata kuliah yang diambil”
4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasin-ary.
5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalah
Relasi
n-ary
Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen
relasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah
pertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM=13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata kuliah yang diambil”
4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasin-ary.
5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalah
Relasi
n-ary
Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen
relasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah
pertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata
kuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM=13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata kuliah yang diambil”
4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasin-ary.
Relasi
n-ary
Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen
relasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah
pertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata
kuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM=13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata kuliah yang diambil”
4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasin-ary.
Relasi
n-ary
Beberapa keterangan
1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen
relasi disebut kunci(key).
2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah
pertanyaan yang disebut query.
3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata
kuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan NIM=13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan mata kuliah yang diambil”
4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasin-ary.
5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalah
Relasi
n-ary
Beberapa contoh operasi
1 Seleksi : Operasi seleksiσmemilih baris tertentu dari suatu tabel yang memenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit. Operasi seleksinya adalahσMatkul=”Matematika Diskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan (13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)
2 Proyeksi : Operasi proyeksiΠmemilih kolom tertentu dari suatu tabel. Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satu kali.
3 Join : Operasi joinΓmenggabungkan dua buah tabel menjadi satu bila
Relasi
n-ary
Beberapa contoh operasi
1 Seleksi : Operasi seleksiσmemilih baris tertentu dari suatu tabel yang
memenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit. Operasi seleksinya adalahσMatkul=”Matematika Diskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan (13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)
2 Proyeksi : Operasi proyeksiΠmemilih kolom tertentu dari suatu tabel. Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satu kali.
Relasi
n-ary
Beberapa contoh operasi
1 Seleksi : Operasi seleksiσmemilih baris tertentu dari suatu tabel yang
memenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit. Operasi seleksinya adalahσMatkul=”Matematika Diskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan (13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)
2 Proyeksi : Operasi proyeksiΠmemilih kolom tertentu dari suatu tabel.
Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satu kali.
Relasi
n-ary
Beberapa contoh operasi
1 Seleksi : Operasi seleksiσmemilih baris tertentu dari suatu tabel yang
memenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit. Operasi seleksinya adalahσMatkul=”Matematika Diskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan (13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)
2 Proyeksi : Operasi proyeksiΠmemilih kolom tertentu dari suatu tabel.
Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satu kali.
3 Join : Operasi joinΓmenggabungkan dua buah tabel menjadi satu bila
