LAMPIRAN IV KARTU SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN FUNGSI NAIK DAN TURUN Soal Jawaban

(1)

LAMPIRAN IV

KARTU SOAL DAN JAWABAN

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN FUNGSI NAIK DAN TURUN

Soal Jawaban

1. Tentukan persamaan garis singgung fungsi 𝑓 𝑥 =𝑥2

di titik (2, 4).

Diketahui: 𝑓 𝑥 =⋯ dan titik (2, ...) Ditanya : Persamaan garis singgung fungsi Jawab:

𝑓 𝑥 =⋯

𝑓′_𝑥_{= 2}_𝑥 Gradien: 𝑓′ 2 = 2𝑥= 2.2 = 4

Persamaan garis singgung:

𝑦 − ⋯ =𝑓′ 𝑎 ⋯ − ⋯

𝑦 −4 = 4 𝑥 −2

𝑦 = 4𝑥 −4

2. Tentukan persamaan garis singgung fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥2−3𝑥 di titik (3

2, 0)

Diketahui: 𝑓 𝑥 =⋯ dan titik (3

2,…)

Ditanya : Persamaan garis singgung fungsi Jawab:

𝑓 𝑥 =⋯

𝑓′_𝑥_{= 4}_{𝑥 −}₃

Gradien: 𝑓′ 3

2 = 4𝑥 −3 = 4 3

2 −3

= 3

𝑦 − ⋯ =𝑓′ 𝑎 ⋯ − ⋯

𝑦 −0 = 3 𝑥 −3 2

𝑦 = 3𝑥 −9 2

3. Tentukan persamaan garis singgung fungsi 𝑔 𝑥 =

𝑥2₍₂_{− 𝑥}₎_{di titik (2, 0)}

Diketahui: 𝑔 𝑥 =⋯dan titik (…, 0)

𝑔 𝑥 =⋯

𝑔 𝑥 = 4𝑥 −3𝑥2

Gradien: 𝑔′ 2 = 4.2−3(2)2 =−4

𝑦 − ⋯= 𝑔′ 𝑎 ⋯ − ⋯

𝑦 −0 = −4 𝑥 −2

(2)

Soal Jawaban 4. Tentukan persamaan garis

singgung fungsi 𝑓 𝑥 =

𝑥3 _{− 𝑥}2_{+ 4}_{𝑥 −}₃_{di titik}

(1, 4)

Diketahui: 𝑓 𝑥 =⋯ dan titik (…, 4)

Ditanya : Persamaan garis singgung fungsi Jawab: 𝑓 𝑥 = ⋯

5. Carilah persamaan garis singgung kurva 𝑦= 𝑥2

yang tegak lurus (⊥) garis

6𝑥+ 3𝑦 −4 = 0.

Diketahui: kurva 𝑓 𝑥 =⋯ tegak lurus dengan garis 6𝑥+⋯ − ⋯ = 0

Ditanya: persamaan garis singgung kurva Jawab: Kurva 𝑦 =𝑥2

Sehingga koordinat titik singgung kurva (…,1

6. Tentukan persamaan garis singgung fungsi 𝑦= 2𝑥2− 1 di titik (4, 3)

Diketahui: 𝑓 𝑥 =⋯dan titik (4,…)

(3)

Soal Jawaban 7. Tentukan persamaan garis

singgung pada kurva 𝑦= 𝑥2 −5𝑥+ 1 dengan titik absisnya −1

Diketahui: kurva 𝑦 =⋯ − ⋯+ 1 dengan 𝑥= −1

Dengan 𝑥 =−1 maka:

𝑦 =−12 −5 −1 + 1 = 7

Diperoleh koordinat titik singgung (−1,7) 𝑦 =⋯ − ⋯+ 1

𝑦′ _{= 2}_{𝑥 −}₅

Untuk 𝑥 =−1 gradien: 𝑦′ = 2𝑥 −5

= −7

𝑦 − ⋯ =𝑓′ 𝑎 ⋯ − ⋯

𝑦 −7 = −7 𝑥 −(−1)

𝑦 =−7𝑥

8. Temukanlah persamaan garis singgung pada kurva 𝑦= 2𝑥3 −5𝑥2 − 𝑥+ 6 di titik yang berabsis 1

Diketahui: kurva 𝑦 =. . .3− …2+⋯ dengan 𝑥= 1

Dengan 𝑥 = 1 maka:

𝑦= 2.13−5 1 2−1 + 6 = 2

Diperoleh koordinat titik singgung (1,2) 𝑦=…3− …2− ⋯+⋯

𝑦′ _{= 6}_𝑥2₋₁₀_{𝑥 −}₁

Untuk 𝑥= 1 gradien: 𝑦′ = 6𝑥2−10𝑥 −1 =

−5

𝑦 − ⋯ =𝑓′ 𝑎 ⋯ − ⋯

𝑦 −2 = −5 𝑥 −1

𝑦= −5𝑥+ 7

9. Diketahui persamaan kurva 𝑓 𝑥 = 𝑥2−3𝑥+ 1

tentukan persamaan garis singgung kurva di 𝑥 = 3

Diketahui: 𝑓 𝑥 =⋯ dengan 𝑥= 3

Dengan 𝑥 = 3 maka:

𝑦= 32 −3 3 + 1 = 1

Diperoleh koordinat titik singgung (3,1) 𝑦 =⋯ − ⋯+ 1

𝑦′ _{= 2}_{𝑥 −}₃ Untuk 𝑥 = 3 gradien: 𝑦′ = 2.3−3

= 3

𝑦 − ⋯ =𝑓′ 𝑎 ⋯ − ⋯

𝑦 −1 = 3 𝑥 −3

(4)

Soal Jawaban 10.Diketahui sebuah fungsi

𝑦= 𝑥2 + 8𝑥+ 15.

Tentukan interval-interval x supaya fungsi f(x) merupakan fungsi naik dan f(x) merupakan fungsi turun.

Diketahui: fungsi 𝑦= 𝑓(𝑥) =…2+⋯+⋯

Ditanya: interval agar fungsi merupakan fungsi naik dan fungsi turun

Jawab:

𝑓′_𝑥_{= 2}_𝑥_{+ 8}

Fungsi naik ketika 𝑓′ 𝑥 > 0 2𝑥+ 8 > 0

2𝑥>−8

𝑥>−4

Fungsi turun ketika 𝑓′ 𝑥 < 0 2𝑥+ 8 < 0

2𝑥<−8

𝑥<−4

Maka fungsi 𝑓(𝑥) akan naik ketika 𝑥>−4

dan turun ketika 𝑥 <−4

11.Tentukan interval agar fungsi 𝑓 𝑥 =𝑥2+ 5𝑥 −4 merupakan fungsi naik

Diketahui: fungsi 𝑓 𝑥 = …2+⋯ − ⋯

Ditanya: interval agar fungsi merupakan fungsi naik

Jawab:

𝑓′_𝑥_{= 2}_𝑥_{+ 5}

Fungsi naik ketika 𝑓′ 𝑥 > 0 2𝑥+ 5 > 0

2𝑥>−5

𝑥> −5 2

12.Tentukan interval agar fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥2−8𝑥+ 3 merupakan fungsi turun.

Diketahui: fungsi 𝑦= 𝑓 𝑥 = …2− ⋯+⋯

Ditanya: interval agar fungsi merupakan fungsi turun

Jawab:

𝑓′_𝑥_{= 4}_{𝑥 −}₈

Fungsi naik ketika 𝑓′ 𝑥 < 0 4𝑥 −8 < 0

4𝑥 < 8

𝑥< 2

13.Pada interval berapa fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥3−6𝑥2+ 9𝑥+ 2

akan turun?

Diketahui: fungsi 𝑓 𝑥 = …3− …2+⋯+⋯

Ditanya: interval agar fungsi merupakan fungsi turun

Jawab:

𝑓′_𝑥_{= 3}_𝑥2₋₁₂_𝑥_{+ 9}

Fungsi naik ketika 𝑓′ 𝑥 < 0 3𝑥2−12𝑥+ 9 < 0

𝑥2₋₄_𝑥_{+ 3 < 0}

(5)

Soal Jawaban 14.Jika diketahui fungsi

𝑓 𝑥 = 2𝑥2 −3𝑥+ 1. Tentukan interval-interval x supaya fungsi f(x) merupakan fungsi naik dan fungsi turun

Diketahui: fungsi 𝑦= 𝑓 𝑥 = …2− ⋯+⋯

Ditanya: interval agar fungsi merupakan fungsi naik dan fungsi turun

Jawab:

𝑓′_𝑥_{= 4}_{𝑥 −}₃

Fungsi naik ketika 𝑓′ 𝑥 > 0 4𝑥 −3 > 0

4𝑥 > 3

𝑥> 3 4

Fungsi turun ketika 𝑓′ 𝑥 < 0 4𝑥 −3 < 0

4𝑥 < 3

𝑥< 3 4

Maka fungsi 𝑓(𝑥) akan naik ketika 𝑥> 3 4 dan

turun ketika 𝑥<3 4

15.Grafik fungsi 𝑓 𝑥 =

𝑥(6− 𝑥)2 akan naik dalam interval berapa?

Diketahui: fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥(…)2

Ditanya: interval agar fungsi merupakan fungsi naik

Jawab:

𝑓 𝑥 =𝑥(…)2 = 36𝑥 −12𝑥2+𝑥3 =𝑥3−12𝑥2+ 36𝑥

𝑓′_𝑥_{= 3}_𝑥2₋₂₄_𝑥_{+ 36} = 𝑥2−8𝑥+ 12

Fungsi naik ketika 𝑓′ 𝑥 > 0

𝑥2₋₈_𝑥_{+ 12 > 0}

(6)

NILAI STASIONER

1. Tentukan nilai stasioner dari fungsi 𝑓 𝑥 = 6𝑥2 + 3𝑥 −1 2. Tentukan nilai stasioner dari fungsi

𝑦= 4𝑥+ 2𝑥2

(7)

Soal Jawaban 4. Tentukan nilai stasioner dari fungsi

𝑓 𝑥 = 𝑥3−3𝑥+ 30

Jawab:

Nilai stasioner 𝑓′ 𝑥 = 0

𝑓′_𝑥_{= 3}_𝑥2₋_{3 = 0} 3𝑥3 = 3

𝑥= ±1

𝑓 1 =𝑥3−3𝑥+ 30

= 1 3 −3 1 + 30

= 28

𝑓 −1 = 𝑥3−3𝑥+ 30

= −1 3−3 −1 + 30

= 32

Maka nilai stasioner fungsi 𝑓(𝑥) =⋯

adalah 28 dan 32 5. Tentukan nilai stasioner dari fungsi

𝑓 𝑥 = 𝑥2+ 8𝑥+ 15

Jawab:

𝑓′_𝑥_{= 2}_𝑥_{+ 8 = 0}

2𝑥= −8

𝑥= −4

𝑓 −4 = 𝑥2+ 8𝑥+ 15

= −4 2+ 8 −4 + 15

=−1

adalah −1

6. Tentukan nilai stasioner dari fungsi 𝑓 𝑥 = 5− 𝑥2

Jawab:

𝑓′_𝑥₌ ₋₂_𝑥_{= 0}

2𝑥= 0

𝑥= 0

𝑓 0 = 5− 𝑥2

= 5− 0 2

= 5

adalah 5

7. Nilai stasioner dari fungsi 𝑦 = 4𝑥+ 2𝑥2

Jawab:

𝑓′_𝑥_{= 4 + 4}_𝑥_{= 0}

4𝑥= −4

𝑥= −1

𝑓 −1 = 4𝑥 −2𝑥2

= 4 −1 + 2 −1 2

=−2

(8)

Soal Jawaban 8. Tentukan nilai stasioner dari fungsi

𝑦= 3𝑥2 −4

Jawab:

𝑓′_𝑥_{= 6}_𝑥 _{= 0} 𝑥= 0

𝑓 0 = 3𝑥2−4

= 3(0)2 −4

=−4

adalah −4

9. Tentukan nilai stasioner dari fungsi 𝑦= 3−3𝑥2

Jawab:

𝑓′_𝑥₌₋₆_𝑥_{= 0} 6𝑥 = 0

𝑥= 0

𝑓 0 = 3− 𝑥2

= 3− 0 2

= 3

adalah 3

10.Tentukan nilai stasioner dari fungsi 𝑦= 2𝑥2 + 4𝑥+ 1

Jawab:

𝑓′_𝑥₌ _𝑦′_{= 4}_𝑥_{+ 4 = 0}

4𝑥= −4

𝑥= −1

𝑓 −1 = 2𝑥2+ 4𝑥+ 1

= 2 −1 2+ 4 −1 + 1

=−1

adalah −1

11.Tentukan nilai stasioner dari fungsi 𝑓 𝑥 = −(𝑥 −1)2_{+ 4}

Jawab:

𝑓′_𝑥₌₋₂₍_{𝑥 −}_{1) = 0} −2𝑥+ 2 = 0

2𝑥 = 2

𝑥= 1

𝑓 1 =−(𝑥 −1)2+ 4

=− 1−1 2+ 4

= 4

(9)

Soal Jawaban 12.Nilai stasioner dari 𝑓 𝑥 = 3𝑥2−

6𝑥+ 5 adalah

Jawab:

𝑓′_𝑥_{= 6}_{𝑥 −}_{6 = 0}

6𝑥= 6

𝑥= 1

𝑓 1 = 3𝑥2−6𝑥+ 5

= 3 1 2 −6 1 + 5

= 2

adalah 2

13.Tentukan nilai stasioner dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥3+ 4𝑥2−3𝑥+ 2

Jawab:

𝑓′_𝑥_{= 3}_𝑥2_{+ 8}_{𝑥 −}_{3 = 0} 3𝑥 −1 𝑥+ 3 = 0

𝑥=1

3 atau 𝑥 =−3

𝑓 1₃ =𝑥3+ 4𝑥2−3𝑥+ 2

= 1 3

3

+ 4 1 3

2

−3 1

3 + 2

=40 27

𝑓 −3 = 𝑥3+ 4𝑥2 −3𝑥+ 2

= −3 3+ 4 −3 2−3 −3 + 2

= 20

adalah 40

27 dan 20

14.Tentukan nilai stasioner dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥2+ 2𝑥 −3

Jawab:

𝑓′_𝑥_{= 2}_𝑥_{+ 2 = 0}

2𝑥= −2

𝑥= −1

𝑓 −1 = 𝑥2+ 2𝑥 −3

= −1 2+ 2 −1 −3

=−4

(10)

Soal Jawaban 15.Tentukan nilai stasioner dari fungsi

𝑓 𝑥 = 𝑥3−12𝑥

Jawab:

𝑓′_𝑥_{= 3}_𝑥2₋_{12 = 0} 3𝑥2 = 12

𝑥2 _{= 4}

𝑥= ±2

𝑓 −2 = 𝑥3−12𝑥

= −2 3−12 −2

= 16

𝑓 2 =𝑥3−12𝑥

= 2 3₋₁₂ ₂

=−16

(11)

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM

1. Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥2 pada interval 𝑥 −1 <

𝑥< 2}

Jawab:

Nilai fungsi pada interval: 𝑓 𝑥 =𝑓 −1 = 2𝑥 − 𝑥2

= 2 −1 − −1 2 = −3

𝑓 2 = 2 2 −22 = 4−4 = 0

𝑓′_𝑥_{= 2}₋₂_𝑥_{= 0}

2 = 2𝑥

𝑥= 1

𝑓 1 = 2 1 −12 = 1

Maka nilai maksimum : 1 dan nilai minimum dari fungsi : −3

2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥 −

𝑥3_{pada interval}_{_𝑥_{|1 <}_𝑥_{< 2}}

Jawab:

Nilai fungsi pada interval: 𝑓 𝑥 =𝑓 1 = 2𝑥 − 𝑥3

= 2 1 − 1 3 = 1

𝑓 2 = 2 2 −23 = 4−8 =−4

𝑓′_𝑥_{= 2}₋₃_𝑥2 _{= 0} 2 = 3𝑥2

𝑥= 2 3

1 2

𝑓 2

3 1 2

= 2 2 3

1 2

− 2

3 1 2

3

= 2 0,816496

− 0,54431

= 1,63299−0,54431 = 1,0886

(12)

Soal Jawaban 3. Tentukan nilai maksimum dan

minimum dari fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥2−8𝑥 pada interval −1 <𝑥< 4

Jawab:

Nilai fungsi pada interval: 𝑓 𝑥 =𝑓 −1 = 2𝑥2−8𝑥

= 2 −1 2−8(−1) = 10

𝑓 4 = 2𝑥2−8𝑥= 2 4 2−8(4) = 0

𝑓′_𝑥_{= 4}_{𝑥 −}_{8 = 0}

4𝑥= 8

𝑥= 2

𝑓 2 = 2 2 2−8 2 = −8

4. Pada interval [1,5] tentukan nilai minimum dan maksimum dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥+9_𝑥

Jawab:

Nilai fungsi pada interval: 𝑓 𝑥 = 𝑓 1 =𝑥+ 9𝑥−1

= 1 + 9 1 −1

= 10

𝑓 5 = 𝑥+ 9𝑥−1 _{= 5 + 9} ₅ −1 = 2,8

𝑓′_𝑥_{= 1}₋₉_𝑥−2 _{= 0} 1 = 9𝑥−2

1 = 9

𝑥2

𝑥2 _{= 9}

𝑥= 3

𝑓 3 =𝑥+9

𝑥= 3 +

9 3= 6

(13)

Soal Jawaban 5. Tentukan nilai maksimum dan

minimum 𝑓 𝑥 = (𝑥3−1)2 pada interval −1 <𝑥< 1

Jawab:

Nilai fungsi pada interval: 𝑓 𝑥 =𝑓 −1 = (𝑥3−1)2

=𝑥6−2𝑥3+ 1

= −1 6−2 −1 3+ 1 = 4

𝑓 1 = 1 6−2 1 3 + 1 = 3

𝑓′_𝑥_{= 6}_𝑥5 ₋₆_𝑥2 _{= 0}

𝑥5_{− 𝑥}2 _{= 0}

𝑥2₍_𝑥3₋_{1) = 0}

𝑥= 0 atau 𝑥= 1

𝑓 0 = 0 6−2 0 3 + 1 = 1

Maka nilai maksimum : 4 dan nilai minimum dari fungsi : 1

6. Tentukan nilai maksimum dari 𝑦= 𝑥3 −3𝑥+ 2 pada interval −2 < 𝑥< 2

Jawab:

Nilai fungsi pada interval:

𝑦=𝑓 𝑥 = 𝑓 −2 = 𝑥3−3𝑥+ 2 = −2 3−3 −2 + 2 = 0

𝑓 2 =𝑥3−3𝑥+ 2

= 2 3−3 2 + 2 = 4

𝑓′_𝑥_{= 3}_𝑥2₋_{3 = 0} 3𝑥2 = 3

𝑥2 _{= 1}

𝑥= ±1

𝑓 1 =𝑥3−3𝑥+ 2

= 1 3−3 1 + 2 = 0

𝑓 −1 = 𝑥3−3𝑥+ 2

= −1 3−3 −1 + 2 = 4

Maka nilai maksimum : 4 7. Tentukan nilai minimum dari

fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥3−6𝑥2−48𝑥+ 5 dalam interval −3≤ 𝑥 ≤4

Jawab:

Nilai fungsi pada interval: 𝑓 −3 = 2𝑥3−6𝑥2 −48𝑥+ 5

= 2 −3 3−6 −3 2−48 −3 + 5

=−139

𝑓 4 = 2𝑥3−6𝑥2−48𝑥+ 5

= 2 4 3 −6 4 2−48 4 + 5

=−155

𝑓′_𝑥_{= 6}_𝑥2₋₁₂_{𝑥 −}_{48 = 0}

(14)

(15)

Soal Jawaban =−27

Maka fungsi 𝑓(𝑥) =⋯ akan memiliki nilai maksimum di titik (−1,5)

11.Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥3− 3𝑥+ 1 pada interval [-2, 3]

Jawab:

Nilai fungsi pada interval: 𝑓 𝑥 = 𝑓 −2 = 𝑥3 −3𝑥+ 1

= −2 3−3 −2 + 1 =−1

𝑓 3 =𝑥3−3𝑥+ 1

= 3 3−3 3 + 1 = 19

𝑓′_𝑥_{= 3}_𝑥2₋_{3 = 0} 3𝑥2 = 3

𝑥2 _{= 1}

𝑥= ±1

𝑓 −1 = −1 3−3 −1 + 1 = 3

𝑓 1 = 1 3−3 1 + 1 =−1

12.Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥2+ 3 pada interval [-2, 1]

Jawab:

Nilai fungsi pada interval: 𝑓 𝑥 = 𝑓 −2 =𝑥2+ 3

= −2 2+ 3 = 7

𝑓 1 =𝑥2+ 3 = 1 2+ 3 = 4

𝑓′_𝑥_{= 2}_𝑥 _{= 0} 𝑥= 0

𝑓 0 = 0 2_{+ 3 = 3}

Maka nilai maksimum : 7 dan nilai minimum dari fungsi : 3

13.Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi 𝑓 𝑥 =

−𝑥2_{+ 4}_{𝑥 −}₁_{pada interval [0, 3]}

Jawab:

Nilai fungsi pada interval: 𝑓 𝑥 =𝑓 0 =−𝑥2+ 4𝑥 −1

= − 0 2+ 4 0 −1 = −1

𝑓 3 =−𝑥2+ 4𝑥 −1

= − 3 2+ 4 3 −1 = 2

(16)

2𝑥= 4

𝑥= 2

𝑓 2 =−𝑥2+ 4𝑥 −1

=− 2 2+ 4 2 −1 = 3

14.Tentukan nilai maksimum dari fungsi 𝑓 𝑥 =−2𝑥3+ 3𝑥2 pada interval −1

2, 2

Jawab:

Nilai fungsi pada interval: 𝑓 𝑥 = 𝑓 −1

2 = −2𝑥

3_{+ 3}_𝑥2

=−2 −1₂

3

+ 3 −1₂

2

= 1

𝑓 2 = −2𝑥3+ 3𝑥2

= −2(2)3+ 3 2 2 = −4

𝑓′_𝑥₌ ₋₆_𝑥2_{+ 6}_𝑥_{= 0}

−𝑥2₊_𝑥_{= 0}

𝑥 𝑥 −1 = 0

𝑓 0 =−2𝑥3+ 3𝑥2

=−2(0)3+ 3 0 2 = 0

𝑓 1 =−2𝑥3+ 3𝑥2

=−2(1)3+ 3 1 2 = 1

Maka nilai maksimum :1 15.Tentukan nilai maksimum dari

fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥2+ 2𝑥 pada interval [-2, 2]

Jawab:

Nilai fungsi pada interval: 𝑓 𝑥 = 𝑓 −2 = 𝑥2 + 2𝑥

= −2 2+ 2(−2) = 0

𝑓 2 = 𝑥2 + 2𝑥= 2 2+ 2(2) = 8

𝑓′_𝑥_{= 2}_𝑥_{+ 2 = 0}

2𝑥= −2

𝑥= −1

𝑓 −1 = −1 2+ 2 −1 =−1

(17)

PENGGUNAAN MAKSIMUM DAN MINIMUM

Soal Jawaban yang dicapai bola itu.

Jawab: berbentuk bujursangkar dengan rusuk 20 cm, dengan jalan memotong bujursangkar kecil pada ke empat sudutnya. Tentukan berbentuk persegi panjang. Tentukan ukuran kolam agar terdapat luas yang maksimum dan berapa luas yang maksimum itu

(18)

𝑦 = 200− 𝑥 = 200−100 = 100

𝐿𝑚𝑎𝑘𝑠 =𝑥𝑦= 100 × 100 = 10000

Maka ukuran kolam agar luas maksimum yaitu: panjang 100 m dan lebar 100 m dengan luas 10000 𝑚2 4. Dino mempunyai 200 m kawat

berduri yang ia rencanakan untuk memagari halaman berbentuk persegi panjang untuk anjingnya. Jika ia ingin agar luas maksimum, berapa ukuran yang seharusnya?

Jawab:

Misalkan panjang : x dan lebar : y Keliling kolam: kll = 2𝑥+ 2𝑦 = 200

𝑦= 100− 𝑥

Luas: 𝑥𝑦 =𝑥 100− 𝑥 = 100𝑥 − 𝑥2

Agar luas maksimum, maka 𝐿′ _{= 100}₋₂_𝑥_{= 0}

100 = 2𝑥

𝑥= 50

𝑦 = 100− 𝑥 = 100−50 = 50

Maka ukuran halaman agar luas maksimum yaitu: panjang 50 m dan lebar 50 m .

5. Carilah dua bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya maksimum. Jika x suatu bilangan, maka yang lainnya

10− 𝑥

Jawab: Jumlah:

𝑥+𝑦= 10 → 𝑦= 10− 𝑥

Hasil kali:

𝐻= 𝑥𝑦=𝑥 10− 𝑥

= 10𝑥 − 𝑥2

Hasil kali maksimum: 𝐻′ = 0

𝐻′ _{= 10}₋₂_𝑥_{= 0}

10 = 2𝑥

𝑥 = 5

𝑦 = 10− 𝑥 = 10−5 = 5

Maka kedua bilangan itu masing-masing adalah 5.

6. Dua buah bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan 2𝑚 − 𝑛= 40, nilai minimum dari 𝑝= 𝑚2 +

𝑛2 adalah…

Jawab:

2𝑚 − 𝑛= 40 → 𝑛= 2𝑚 −40

𝑃 =𝑚2+ (2𝑚 −40)2

P minimum: 𝑃′ = 0

𝑃′ _{= 2}_𝑚_{+ 2} ₂_{𝑚 −}₄₀ _{. 2 = 0}

= 10𝑚 −160 = 0 10𝑚= 160

𝑚= 16

𝑛 = 2 16 −40 = 32−40 = −8

𝑃 = (16)2 + (−8)2 = 320

(19)

Soal Jawaban 7. Sebuah perusahaan memproduksi x

buah barang. Setiap barang yang

diproduksi memberikan

keuntungan (225𝑥 − 𝑥2) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah…

Jawab:

Keuntungan dalam x:

𝑈 𝑥 = 225𝑥 − 𝑥2

Keuntungan x barang: 𝑈 𝑥 = 225𝑥 − 𝑥2 𝑥

= 225𝑥2 − 𝑥3

Keuntungan maksimum jika 𝑈′ 𝑥 = 0

𝑈′_𝑥_{= 450}_{𝑥 −}₃_𝑥2 _{= 0} 3𝑥 150− 𝑥 = 0

𝑥= 0 atau 𝑥= 150

Maka banyak barang yang harus diprduksi adalah 150 barang

8. Jumlah dua bilangan adalah 6. Tentukan hasil kali terbesar dari kedua bilangan tersebut?

Jawab: Jumlah:

𝑥+𝑦= 6 → 𝑦= 6− 𝑥

Hasil kali:

𝐻= 𝑥𝑦=𝑥 6− 𝑥

= 6𝑥 − 𝑥2

𝐻′ _{= 6}₋₂_𝑥_{= 0}

6 = 2𝑥

𝑥 = 3

𝑦 = 6− 𝑥 = 6−3 = 3

Hasil kali terbesar dari kedua bilangan: 𝐻 =𝑥𝑦= 3.3 = 9

Maka hasil kali maksimum kedua bilangan itu adalah 9

9. Jumlah dua bilangan sama dengan 100. Tentukan hasil kali maksimum kedua bilangan tersebut

Jawab: Jumlah:

𝑥+𝑦= 100 → 𝑦= 100− 𝑥

Hasil kali:

𝐻 = 𝑥𝑦=𝑥 100− 𝑥

= 100𝑥 − 𝑥2

𝐻′ _{= 100}₋₂_𝑥_{= 0}

100 = 2𝑥

𝑥= 50

𝑦 = 100− 𝑥 = 100−50 = 50

Hasil kali terbesar dari kedua bilangan: 𝐻= 𝑥𝑦= 50 × 50 = 2500

(20)

Soal Jawaban 10.Keliling persegi panjang sama

dengan 60 cm, maka luas maksimum persegi panjang tersebut adalah

Jawab:

Keliling persegi panjang (kll)

𝐾𝑙𝑙 = 2𝑝+ 2𝑙= 60 → 𝑝+𝑙= 30

𝑝= 30− 𝑙

𝐿=𝑝×𝑙 = 30− 𝑙 𝑙 = 30𝑙 − 𝑙2

Luas maksimum 𝐿′ = 0

𝐿′ _{= 30}₋₂_𝑙_{= 0}

30 = 2𝑙

𝑙 = 15

𝑝 = 30− 𝑙 = 30−15 = 15

𝐿𝑚𝑎𝑘𝑠 = 𝑝×𝑙= 15 × 15 = 225𝑐𝑚2

Maka luas maksimum persegi panjang tersebut adalah 225𝑐𝑚2

11.Sebuah persegi panjang mempunyai panjang (20− 𝑎) dan lebarnya 2a, maka tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut

Jawab:

Panjang persegi panjang: 𝑝 = 20− 𝑎

Lebar persegi panjang: 𝑙 = 2𝑎

Luas persegi panjang:

𝐿= 𝑝×𝑙= 20− 𝑎 2𝑎

= 40𝑎 −2𝑎2

Luas maksimum jika 𝐿′ = 0

𝐿′ _{= 40}₋₄_𝑎 _{= 0} −4𝑎 =−40

𝑎 = 10

𝐿𝑚𝑎𝑘𝑠 =𝑝×𝑙 = 40𝑎 −2𝑎2 = 40 10 −2(10)2

= 200

Maka luas maksimum persegi panjang tersebut adalah 200

12.Dua buah bilangan jumlahnya 40. Tentukan nilai minimum dari kuadrat bilangan pertama ditambah enam kali bilangan kedua

Jawab:

Jumlah: 𝑥+𝑦= 40 → 𝑦= 40− 𝑥

Jumlah kuadrat bilangan pertama ditambah enam kali bilangan kedua:

𝐻 =𝑥2+ 6𝑦=𝑥2+ 6 40− 𝑥

=𝑥2 −6𝑥+ 240

H minimum jika: 𝐻′ = 0

𝐻′ _{= 2}_{𝑥 −}_{6 = 0}

2𝑥= 6 → 𝑥= 3

Hasil kali terbesar dari kedua bilangan: 𝐻= 𝑥2−6𝑥+ 240

= 3 2−6 3 + 240

= 231

(21)

Soal Jawaban 13.Sebuah industri rumah tangga

memproduksi x buah donat dengan biaya total Rp. 2𝑥2−200𝑥+ 1000 jika tiap donat diual dengan harga (1000−10𝑥) maka tentukan keuntungan masksimum yang didapat

Jawab:

Biaya produksi dalam x:

𝑃 𝑥 = 2𝑥2−200𝑥+ 1000

Harga jual x donat: 𝐽 𝑥 = 1000−10𝑥 𝑥

= 1000𝑥 −10𝑥2

Keuntungan:

𝑈 𝑥 = 𝐽 𝑥 − 𝑃 𝑥

= (1000𝑥 −10𝑥2)−(2𝑥2− 200𝑥+ 1000)

= 1200𝑥 −12𝑥2−1000

Keuntungan maksimum jika 𝑈′ 𝑥 = 0

𝑈′_𝑥_{= 1200}₋₂₄_𝑥_{= 0}

1200 = 24𝑥

𝑥= 50

𝑈𝑚𝑎𝑘𝑠 = 1200𝑥 −12𝑥2−1000 = 1200(50)−12(50)2−1000

= 29000

Maka keuntungan maksimum yang didapat adalah 29000

14.Jumlah dua bilangan positif adalah 60, tentukan nilai minimum dari lima kali bilangan pertama ditambah kuadrat bilangan kedua

Jawab: Jumlah:

𝑥+𝑦= 60 → 𝑦= 60− 𝑥

Hasil lima kali bilangan pertama ditambah kuadrat bilangan kedua:

𝐻= 5𝑥+𝑦2 = 5𝑥+ 60− 𝑥 2

= 3600−115𝑥+𝑥2

H minimum jika: 𝐻′ = 0

𝐻′ ₌₋_{115 + 2}_𝑥_{= 0}

2𝑥= 115

𝑥= 57,5

𝑦= 60− 𝑥 = 60−57,5 = 2,5

Hasil dari lima kali bilangan pertama ditambah kuadrat bilangan kedua:

𝐻= 5𝑥+𝑦2 = 5 57,5 + 2,5 2 = 293,75

(22)

Soal Jawaban 15.Jumlah dua bilangan positif adalah

40 tentukan nilai maksimum dari hasil kali bilangan pertama dan pangkat tiga bilangan kedua

Jawab: Jumlah:

𝑥+𝑦= 40 → 𝑥= 40− 𝑦

Hasil kali bilangan pertama dan pangkat tiga bilangan kedua:

𝐻 =𝑥𝑦3 = (40− 𝑦)𝑦3 = 40𝑦3− 𝑦4

H maksimum jika: 𝐻′ = 0

𝐻′ _{= 120}_𝑦2₋₄_𝑦3 _{= 0} 4𝑦2 30− 𝑦 = 0

𝑥= 40−30 = 10

Hasil kali maksimum bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua:

𝐻 =𝑥𝑦3 = 10(30)3 = 270000

(23)

NILAI KECEPATAN DAN PERCEPATAN

1. Sebuah benda bergerak dengan persamaan gerak 𝑦 = 5𝑡2 −4𝑡+ 8

dengan y dalam meter dan t dalam satuan detik. Tentukan kecepatan benda saat 𝑡= 2 detik.

ditempuh dalam waktu t detik oleh benda yang jatuh dinyatakan oleh

(24)

Soal Jawaban 5. Sebuah benda bergerak menurut

lintasan sepanjang s meter pada waktu t detik dan dirumuskan dengan 𝑠 =𝑡3−6𝑡. Tentukanlah besarnya kecepatan dan percepatan benda pada saat 𝑡 = 2 detik

6. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dirumuskan 𝑠 = 16− bawah pada suatu permukaan yang miring dengan persamaan gerak 𝑠 =𝑡3−6𝑡2+ 12𝑡+ 1. Tentukan percepatan 48 m/detik adalah 10 detik 8. Sebuah benda bergerak sepanjang

(25)

Soal Jawaban 9. Sebuah benda bergerak sepanjang

garis mendatar menuruti persamaan 𝑠 = 2𝑡3− 𝑡2+ 5 dimana s cm adalah jarak berarah benda dari suatu titik tetap pada t detik. Tentukan kecepatan dan percepatan benda saat 𝑡= −1

10.Sebuah bola dilemparkan vertikal ke atas dari tanah dengan kecepatan awal 80m/detik. Jika arah positif diambil ke atas, persamaan gerak adalah 𝑠=

−16𝑡2 + 80𝑡. Misalkan t menyatakan waktu dalam detik dan s dalam meter. Tentukan kecepatan dan percepatan sesaat bola setelah 2 detik.

11.Suatu benda bergerak sepanjang garis mendatar mengikuti persamaan 𝑠 = 𝑡3−6𝑡2 + 9𝑡+ 4

dengan s diukur dalam cm dan t dalam detik. Dari persamaan gerak itu, tentukan kecepatan dan

12.Suatu perusahaan telah menaksir bahwa biaya (dalam ribuan rupiah) memproduksi x barang adalah 𝐶 𝑥 = 10000 + 5𝑥+ 0,01𝑥2. Tentukan fungsi biaya marginal (laju perubahan biaya sesaat terhadap banyak barang) dan carilah biaya marjinal pada tingkat

Jawab:

(26)

produksi 500 barang = 15 ribu / barang Jadi fungsi biaya marjinal barang adalah 5 + 0,02𝑥 dan biaya biaya marjinal 500 barang adalah 15000/ barang.

13.Sebuah roket ditembakkan vertikal ke atas, dan tingginya dari tanah setelah t detik adalah s meter degnan 𝑠 = 560𝑡 −16𝑡2 dan arah positif diambil ke atas. Tentukan kecepatan roket setelah 2 detik.

Jawab: 𝑣= 𝑑𝑠

𝑑𝑡 =

𝑑 560𝑡 −16𝑡2

𝑑𝑡 = 560−32𝑡

Kecepatan saat 𝑡= 2 detik adalah: 𝑣= 560−32 2 = 496 𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘

Jadi kecepatan pada 𝑡= 2 adalah

496 𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 14.Misalkan jumlah penduduk pada

suatu kota setelah t tahun sejak 1 Januari 2000 adalah sebesar 𝑝= 40𝑡2+ 200𝑡+ 10000.

Tentukan laju pertumbuhan penduduk pada 1 Januari 2010

Jawab:

Laju pertumbuhan penduduk: 𝑣=𝑑𝑝

𝑑𝑡 =

𝑑 40𝑡2_{+ 200}_𝑡_{+ 10000}

𝑑𝑡 = 80𝑡+ 200

Kecepatan saat 𝑡= 10 tahun adalah: 𝑣= 80 10 + 200

= 1000 jiwa/ tahun

Jadi laju pertumbuhan penduduk setelah 10 tahun adalah 1000 𝑗𝑖𝑤𝑎/

𝑡𝑎𝑕𝑢𝑛 15.Suatu perusahaan mulai beroperasi

pada 1 Oktober 2003. Pendapatan kotor tahunan perusahaan itu setelah beroperasi t tahun adalah p juta, dengan 𝑝= 50000 + 18000𝑡+ 600𝑡2. Tentukan laju pertumbuhan pendapatan kotor pada 1 Oktober 2005

Jawab:

Laju pertumbuhan pendapatan kotor t tahun:

𝑣=𝑑𝑝

𝑑𝑡 =

𝑑 50000 +18000𝑡+600𝑡2

𝑑𝑡 = 18000 + 1200𝑡

Laju pertumbuhan pendapatan kotor setelah 2 tahun:

𝑣= 18000 + 1200 2

= 20400 juta/ tahun