DIFERENSIASI VEKTOR
Fungsi Vektor
Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau , yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t.
Dalam R2, fungsi vektor biasa ditulis dengan,
dalam R3, fungsi vektor ditulis dengan,
Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3 dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor sebagai berikut:
Setelah kita mengetahui fungsi vektor, maka selanjutnya kita pelajari turunan biasa dari fungsi vektor.
Turunan Biasa
Masih ingat apa saja yang termasuk vektor? Coba sebutkan! Ya, kecepatan, percepatan, gaya, dan perpindahan termasuk vektor. Sekarang pada kegiatan belajar ini, kita fokuskan pada perpindahan, kecepatan, dan percepatan.
Pernahkah Anda naik alat transportasi pada gambar di samping? Kalau pernah, kemana saja Anda pergi menggunakan alat transportasi tersebut? Pernahkah Anda ke Jakarta menggunakannya? Pesawat yang terbang dengan rute Padang-Jakarta berarti pesawat Materi pokok pertemuan ke 5 : 1. Turunan biasa fungsi vektor
URAIAN MATERI
tersebut melakukan perpindahan dengan titik awalnya Padang dan titik akhirnya Jakarta. Pesawat melakukan perpindahan karena pesawat memiliki kecepatan dan percepatan.
Hubungan apa yang kita dapatkan dari perpindahan, kecepatan, dan percepatan? Kecepatan merupakan perpindahan benda tiap selang waktu tertentu atau bisa dikatakan turunan dari perpindahan sebagai fungsi waktu. Percepatan merupakan hasil bagi antara perubahan kecepatan dengan selang waktu berubahnya kecepatan tersebut atau dapat dikatakan turunan kecepatan sebagai fungsi waktu.
Berikut definisi turunan vektor: Definisi Turunan Vektor
adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah variabel , didefinisikan turunan dari sebagai berikut:
... 3.1
jika limitnya ada.
Jika fungsi vektor dengan fungsi skalar-fungsi skalar , , dan dapat diferensialkan terhadap variabel , maka mempunyai turunan variabel terhadap yang dirumuskan sebagai berikut:
... 3.2
Selanjutnya, Anda pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan fungsi vektor.
Bukti:
Untuk membuktikan sifat-sifat dari turunan biasa, kita dapat menggunakan definisi turunan biasa dari fungsi vektor 3.1.
i.
diferensiabel dan sebuah fungsi skalar dari t yang diferensiabel, maka
Pembuktian iii, v, dan vi dijadikan latihan untuk Anda.
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini
Contoh 3
Jika . Tentukan
di t = 0
Penyelesaian
Cara 1
pada saat t = 0, maka
Cara 2 (menggunakan sifat turunan)
pada saat t = 0, maka
Contoh 4
Jika tentukan vektor singgung satuan pada titik .
Vektor singgung satuan (T)
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong
(d)
Latihan 2
Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepanjang kurva pada sebarang saat . Carilah besarnya kecepatan dan percepatan
Penyelesaian
Vektor posisi dari pergerakan partikel
Kecepatan diperoleh dari turunan pertama
Misalkan
Percepatan diperoleh dari turunan pertama
Misalkan
Jadi, besarnya kecepatan adalah dan percepatan .
Latihan 3
Jika dan , carilah
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia
Latihan 1
Jika dan .
Tentukan pada saat .
Penyelesaian
Latihan 2
Carilah
Penyelesaian
Latihan 3
Carilah vektor singgung satuan di sebarang titik pada kurva dimana adalah konstanta-konstanta.
Penyelesaian
Latihan 4
Jika , carilah A bila saat diketahui bahwa dan saat
Kunci Jawaban
Latihan 1 : -30i + 14j + 20k
Latihan 2 :
Latihan 3 :
Latihan 4 :
Kesimpulan
Turunan parsial
Turunan parsial untuk fungsi vektor dua variabel atau lebih, prinsipnya sama dengan definisi turunan fungsi vektor satu variabel, dimana semua variabel dianggap konstan, kecuali satu, yaitu variabel terhadap apa fungsi vektor itu diturunkan.
Misalkan adalah sebuah fungsi vektor yang tergantung kepada variabel skalar , , dan , maka kita tuliskan . Ketiga turunan parsialnya mempunyai turunan variabel terhadap , , dan yang dirumuskan sebagai berikut:
... 3.4
Selanjutnya pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan parsial: Materi pokok pertemuan ke 6 : 2. Turunan parsial fungsi vektor
Bukti:
ii. Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan definisi 3.3. Maka
Misalkan dan adalah fungsi-fungsi vektor dan adalah fungsi skalar ,
Pembuktian iii, iv, dan v dijadikan tugas buat Anda. Aturan Rantai
Contoh 3
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia
Latihan 1
Jika , carilah
Penyelesaian
Latihan 2
Jika dan , carilah
di titik (1,0,-2)
Penyelesaian
Latihan 3
Misalkan , dimana . Tentukan (a) , (b) , (c)
Penyelesaian
Latihan 4
Jika , tentukanlah (a)
, (b) , (c)
Kunci Jawaban
Latihan 1 :
,
,
,
,
Latihan 2 :
Latihan 3 : (a) (b) (c) Latihan 4 : (a)
(b) (c)
Kesimpulan
Vektor Singgung Satuan
Misalkan adalah vektor posisi yang menghubungkan titik pangkal dengan sebarang titik dalam ruang R3.
Jika berubah, maka
adalah sebuah vektor yang searah dengan .
Sedangkan
adalah sebuah vektor yang searah dengan arah garis singgung pada kurva ruang di .
Jika adalah vektor singgung satuannya, maka
Materi pokok pertemuan ke 7 : 3. Rumus Frenet-Serret
URAIAN MATERI
Rumus Frenet-Serret
Jika kurva C dalam ruang adalah sebuah kurva ruang yang didefinisikan
oleh kurva , maka kita telah mengetahui bahwa adalah sebuah vektor yang searah dengan garis singgung pada C. Jika skalar u diambil sebagai panjang busur s yang diukur dari suatu titik pada C, maka
... 3.6
adalah sebuah vektor singgung satuan pada C.
Laju perubahan terhadap s adalah ukuran dari kelengkungan C dan dinyatakan dengan
Arah dari pada sebarang titik pada C adalah normal terhadap kurva pada
titik tersebut. Jika adalah sebuah vektor satuan dalam arah normal ini, maka disebut normal utama pada kurva.
Jadi
dimana disebut kelengkungan dari C pada titik yang dispesifikasikan. Besaran
... 3.7
disebut jari-jari kelengkungan.
Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang dan sedemikian rupa sehingga
... 3.8
disebut binormal terhadap kurva. Dari sini diperoleh bahwa , , dan membentuk sebuah sistem koordinat tegak lurus tangan kanan pada sebarang titik dari C.
Himpunan relasi-relasi yang mengandung turunan-turunan dari vektor-vektor , , dan dikenal sebagai rumus Frenet-Serret yang diberikan oleh
... 3.9
dimana adalah sebuah skalar yang disebut torsi. Besaran
... 3.10
disebut jari-jari torsi.
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini
Contoh 1
Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) normal utama N, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan , (c) Binormal B, torsi , dan jari-jari torsi untuk kurva ruang .
Penyelesaian
(a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah , maka
CONTOH SOAL
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong
Latihan 1
Diketahui . Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) kelengkungan , (c) normal utama N, dan (d) Binormal B
Penyelesaian
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia
Latihan 1
Tentukan torsi dari
Penyelesaian
Latihan 2
Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) kelengkungan , (c) jari-jari kelengkungan , (d) normal utama N, (e) Binormal B, dan (f) torsi , untuk kurva
Kunci Jawaban
Latihan 1 :0
Latihan 2 :
Kesimpulan
