i BAHAN AJAR MATEMATIKA EKONOMI DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO
ii KATA PENGANTAR
ا ِمْسِب ِﷲ مْيِحَّرلا ِن ٰم ْحَّرلا
Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kehidupan bagi kita dan memberkahi kita dengan hidayah dan karunia-Nya yang begitu melimpah.
Shalawat serta salam tetap tercurah kepada Nabi Besar Muhammad SAW yang selalu menjadi panutan untuk kehidupan semua umat Islam.
Adapun isi bahan ajar ini meliputi materi Limit dan Aplikasi dalam Bidang Ekonomi, Diferensial dan Aplikasi dalam Bidang Ekonomi serta Integral dan Aplikasi dalam Bidang Ekonomi.
Semoga bahan ajar ini dapat memberikan manfaat dalam bidang pendidikan khususnya dalam pembelajaran Matematika Ekonomi bagi mahasiswa Pendidikan Matematika
Metro, September 2015
iii DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL …….. ... ……... i
KATA PENGANTAR …….. ... ……... ii
DAFTAR ISI …….. ... ……... iii
BAB I.FUNGSI LINEAR ……... ……... 1
A. Pembentukan Persamaan Linear …….. ... ……... 1
B. Hubungan Garis Lurus……….………….. 2
C. Penyelesaian Akar-akar Fungsi ……… 6
D. Penerapan Ekonomi ………. 7
Latihan I ……….. 25
BAB II.LIMIT FUNGSI …….. ... ……... 25
A. Pengertian Limit …….. ... ……... 25
B. Limit Sisi-Kiri, Limit Sisi-Kanan ……… 26
C. Kaidah Limit ……….. 29
D. Penerepan Ekonomi ……… 31
Latihan II ……….. 36
BAB III. DIFERENSIAL …….. ... ……... 38
A. Diferensial Parsial …….. ... ……... 38
B. Derivatid dari DIferensial Parsial ……… 39
C. Nilai Ektrim ………. 45
D. Penerepan Ekonomi ……… 42
Latihan III ……… 53
BABIV. INTEGRAL …….. ... ……... 55
A. Pengertian Integral …….. ... ……... 55
B. Integral Tak Tentu ……….……… 55
C. Penerapan Ekonomi……….. 58
D. Integral Tertentu ….. ……… 62
E. Kaidah Integral Tertentu ……….. 62
F. Penerapan Ekonomi ……… 65
Latihan IV ……….. 68
1 BAB I
FUNGSI LINEAR A. Pembentukan Persamaan Linear
1. Metode “ dwi- kooordinat”
Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka persamaan linearnya adalah:
Contoh:
Bentuklah persamaan linear yang memenuhi titik A (2, 3) dan B (6, 5) Penyelesaian: 3 5 3 2 6 2 3 2 2 4 4 12 2 4 4 2 8 5 2 Y 5 y = 0,5x + 2 B(6,5) 3 A(2,3) 2 0 2 6 X
2 2. Metode “koordinat – lereng”
Apabila diketahui koordinat titik A(x1, y1) dan lereng garisnya adalah a, maka persamaan gagrisnya adalah:
( ) Contoh :
Bentuklah persamaan linear yang memenuhi titik A(2, 3) dan lereng garisnya a = 0,5.
y-y1 = a (x – x1) y – 3 = 0,5 (x – 2) y = 0,5x – 1 + 3 y = 0,5x + 2
B. Hubungan Dua Garis Lurus 1. Berimpit
Dua buah garis lurus akan berhinpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari persamaan garis yang lain. Dengan demikian, garis ny = n(ax + b) akan berimpit dengan garis y = ax + b untuk n = bilangan positif.
3 2. Sejajar
Dua buah garis lurus akan sejajar apabila lereng garis yang satu sama dengan lereng garis yang lain. Dengan demikian, garis y = a1x + b1 akan sejajar dengan garis y = a2x + b jika a1 = a2. (tentu saja b1 harus tidak sama dengan b2.
Jika b1 = b2 juga, kedua garis itu akan berimpit).
3. Berpotongan
Dua buah garis lurus akan berpotongan apabila lerang garis yang satu tidak sama dengan lereng garis yang lain. Dengan demikian, garis y = a1x + b1 akan berpotongan dengan garis y = a2x + b2 jika
4 4. Tegak lurus
Dua buah garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Dengan demiikian, garis y = a1x + b1 akan tegak lurus dengan garis y = a2x + b2 jika atau 1.
C. Pencarian Akar-Akar Fungsi
Mencari akar-akar fungsi maksudnya ialah menghitung besarnya nilai variabel-variabel tertentu di dalam persamaan sebuah fungsi.
Beberapa persamaa dapat diselsaikan dengan 3 macam cara yaitu: cara substitusi, cara eliminasi dan cara determinan.
1. Cara substitusi Contoh:
Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Penyelsaian:
Selsaikanlah lebih dahulu persamaan kedua untuk variabel x, diperoleh: x = 23 – 4y. Kemudian substitusikan hasil x ( yang masih mengandung y) ini kedalam persamaan pertama:
5 46 – 8y + 3y = 21 46 – 5y = 21 25 = 5y y = 5 atau x + 4(5) = 23 x + 20 = 23 x = 3
Jadi akar-akar persamaan tersebut adalah x = 3 dan y = 5 2. Cara eliminasi
Dua persamaan dengan dua bilangan dapat diselsaikan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan yang ada, sehingga dapat dicari nilai atau harga dari bilangan yang lain.
Contoh:
Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 Penyelsaian: 2x + 3y = 21 x 1 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 x 2 2x + 8y = 46 2x + 3y = 21 2x + 8y = 46 -5y = - 25 y = 5 2x + 3y = 21 2x + 3(5) = 21 2x + 15 = 21 2x = 21 – 15 2x = 6
6 x = 3
Jadi akar-akar persamaan tersebut adalah x= 3 dan y = 5 3. Cara determinan
Secara umum suatu determinan dilambangkan dengan notasi | | di mana unsur-unsur a, b, d, e mencerminkan bilangan-bilangan tertentu. Prinsip pengerjaan determinan adalah dengan mengalikan unsur-unsurnya secara diagonal, dari kiri-atas menurunkan ke kanan-bawah dan dari kiri-kanan-bawah menaiki ke kanan-atas, kemudian mengurangkan hasil perkalian menaik dari hasil perkalian menurun.
|
| |
| ( )( ) Untuk determinan berderajat tiga:
| | Contoh: |2 4 5 7 | (2)(7) (5)( 4) 14 2 34 |31 2 56 4 3 2 7 | (3)( 2)(7) (6)(5)(3) (4)(2)(1) (3)( 2)(4) (1)(6)(7) (3)(5)(2) 42 9 8 24 42 3 8 Dua persamaan dengan dua bilangan
ax + by = c dx + ey = f
maka pencarian harga-harga variabel x dan varabel y dapat dihitung sebagai berikut:
7 | | | | | | | | Contoh:
Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 Penyelsaian: |21 323 4| |2 3 1 4| (21) (4) (23)(3) (2)(4) (1)(3) 84 69 8 3 15 5 3 |2 211 23| |2 31 4| (2) (23) (1)(21) (2)(4) (1)(3) 46 21 8 3 25 5 5 D. PENERAPAN EKONOMI
1. Fungsi Permintaan Dan Fungsi Penawaran
Fungsi permintaan menghubungkan antara variabel harga dengan variabel jumlah (barang/jasa) yang diminta.
8 Grafik fungsi permintaan :
Dalam bentuk permintaan diatas terlihat bahwa variabel P ( Harga / Price ) dan variabel Q ( Jumlah / Quantity ) mempunyai tanda yang berlawanan. Ini mencerminkan berlakunya hukum permintaan ,bahwa apabila harga turun jumlah yang diminta akan naik . Variabel harga berbanding terbalik dengan variabel jumlah , oleh karena itu kurva permintaan berlereng negatif.
Sedangkan fungsi penawaran menghubungkan antara variabel jumlah (barang / jasa) yang ditawarkan.
Bentuk umum fungsi penawaran
9 Dalam bentuk persmaan diatas terlihat bahwa variabel P (harga) dan variabel Q (jumlah) mempunyai tanda yang sama yaitu sama – sama positif . ini mencerminkan berlakunya hukumnya hukum penawaran ,bahwa apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang .jadi variabel harga berbanding lurus dengan variabel jumlah ,oleh karena itu kurva penawaran berlereng positif.
Rumus-rumus untuk mencari fungsi permintaan dan fungsi penawaran:
a. = atau = b. P – P1 = m ( Q – Q1 )
Dimana
c. Syarat harga tertinggi adalah Q = 0 Contoh :
Suatu produk jika harganya Rp 100 maka produk itu terjual 10 unit dan jika harganya Rp 75 terjual 20 unit. Tentukan fungsi permintaan dan grafiknya !
Penyelesaian :
10 Ditanya : Fungsi permintaan dan grafik
Penyelesaian : = = = Q – 10 = (P – 100) Q – 10 = 40 - P Q = 50 - P 2. Keseimbangan Pasar
Pasar suatu barang berada dalam keseimbangan (equlibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan
Bentuk umum keseimbangan pasar :
Qd : jumlah permintaan Qs : jumlah penwaran E : titik keseimbangan Pe : harga keseimbangan
11 Qe : jumlah keseimbangan
Grafik keseimbangan pasar :
3. Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar
Pengenaan pajak atas sesuatu barang akan mempengaruhi keseimbangan pasar barang tersebut baik harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan.
Pajak yang dikenakan atas penjualan sesuatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih mahal. Sebab setelah dikenakan pajak, produsen akan berusaha mengalihkan beban pajak tersebut kepada konsumen,yaitu dengan jalan menawarkan harga jual yang lebih tinggi. Akibatnya harga keseimbangan sebelum pajak,dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit. Pajak yang dikenakan hanya mempengaruhi fungsi penawaran sehingga fungsi permintaan setelah dikenakan pajak adalah tetap.
Fungsi permintaan : Pd = a – bQ
12 fungsi penawaran sesudah pajak : Pst = Ps + t
Titik keseimbangan pasar sebelum pajak : E(Qe , Pe) Harga keseimbangan sebelum pajak : Pe
Jumlah keseimbangan sebelum pajak : Qe
Titik keseimbangan pasar sesudah pajak : Et(Qt , Pt) Harga keseimbangan sesudah pajak : Pt
Jumlah keseimbangan sesudah pajak : Qt
Penerimaan pajak total oleh pemerintah : T = t . Qt
Besarnya pajak yang ditanggung oleh konsumen : T = (Pt - P) . t Besarnya pajak yang ditanggung oleh produsen : T = t . Qt - (Pt - P) . t
Dimana :
T = jumlah penerimaan pajak oleh pemerintah T = pajak yang ditanggung oleh konsumen T = pajak yang ditanggung oleh produsen t = pajak per unit produk
Qt = jumlah keseimbangan setelah dikenakan pajak
Grafik keseimbangan pasar mula-mula dan setelah dikenakan pajak :
13 Contoh :
Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P = 15 – Q dan fungsi penawarannya P = 0,5Q + 3. Produk tersebut dikenakan pajak oleh pemerintah sebesar Rp 3 per unit.
a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak ?
b. Gambarkan harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan setelah pajak dalam satu grafik !
Penyelesaian :
Diketahui : Pd = 15 – Q Ps = 0,5 Q + 3 t = 3 a. Jika Pd = Ps
15 – Q = 0,5 Q + 3
-1,5 Q = -12 maka Q = 8 sehingga P = 15 – 8 = 7
Jadi harga keseimbangan sebelum di kenakan pajak adalah 7 dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dikenakan pajak adalah 8. Sehingga titik keseimbanganya adalah E (8,7).
14 Pst = 0,5 Q + 3 + 3 = 0,5 Q + 6
Jika Pd = Pst
15 – Q = 0,5 Q + 6
-1,5 Q = -9 maka Qt = 6 sehingga Pt = 15 – 6 = 9
Jadi jumlah keseimbangan pasar setelah di kenakan pajak adalah 6 dan hrga keseimbangan pasar setelah dikenakan pajak adalah 9. Sehingga titik keseimbangan pasar setelah di kenakan pajak adalah Et (6,9).
b. Gambar grafik
4. Keseimbangan Pasar Kasus Dua Komoditi
Permintaan suatu barang seringkali tidak hanya dipengaruhi oleh harga barang yang bersangkutan, tetapi juga dipengaruhi oleh harga barang lainnya. Contohnya seperti barang substitusi (kopi dan teh), barang komplementer (gula dan teh)
15 Ketentuan: Qx bisa berubah menjadi Qdx atau Qsx tergantung jenis fungsi tersebut fungsi permintaan atau fungsi penawaran dan begitu pula dengan Px.
Dimana :
Qdx = jumlah permintaan x Qdy = jumlah permintan akan y
Qsx = jumlah penawaran produk x Qsy = jumlah penawaran produk y
P x = harga barang x Py = harga barang y
Contoh :
Permintaan akan barang x ditunjukkan oleh persamaan Qdx =10 – 4Px + 2Py , sedangkan penawarannya Qsx = -6 + 6Px. Sementara itu permintaan akan barang y ditunjukkan oleh persamaan Qdy = 9 + 4Px – 3Py, sedangkan penawarannya Qsy = -3 + 7Py. Berapa harga keseimbangan yang tercipta di pasar untuk masing-masing barang tersebut? Dan berapa jumlah keseimbangan pasar yang tercipta untuk masing-masing barang tersebut?
Pembahasan:
Keseimbangan pasar barang x : Qdx = Qsx
10 – 4Px + 2Py = -6 + 6Px -10Px + 2Py = -16 ...(1) Keseimbnagan pasar barang y : Qdy = Qsy
9 + 4Px – 3Py = -3 + 7Py 4Px – 10Py = -12 ...(2) Dari (1) dan (2)
16 -10Px + 2Py = -16 x 1 -10Px + 2Py = -16 4Px – 10Py = -12 x 2,5 10Px – 25Py = -30 -23Py = -46 Py = 2 Substitusikan Py = 2 ke persamaan (1) 10Px – 2Py = 16 10Px -2.2 = 16 10Px= 16 + 4 10Px= 20 Px= 2 Subtitusikan Px = 2 ke persamaan Qsx Qsx = -6 + 6 Px = -6 + 6(2) = 6 Subtitusikan Py = 2 ke persamaan Qsy Qsy = -3 + 7 Py = -3 + 7 (2) = 11
Jadi harga keseimbangan pasar untuk barang x adalah Rp 2 per unit dan jumlah keseimbanganya adalah 6 unit. Sedangkan harga keseimbangan pasar untuk barang y adalah Rp 2 per unit dan jumlah keseimbanganya adalah 11 unit.
5. Fungsi Biaya dan Fungsi Penerimaan
Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan dalam operasi bisnisnya terdiri dari biaya tetap dan biaya variabel. Biaya tetap adalah tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan. Berapapun jumlah barang yang dihasilkan, jumlah biaya tetap senantiasa tidak berubah.secara matematis biaya tetap bukan merupakan fungsi jumlah barang yang dihasilkan, ia merupakan sebuah konstanta, dan kurvanya berupa garis lurus sejajar sumbu jumlah. Sebaliknya biaya variabel tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan. Semakin banyak jumlah barang yang dihasilkan semakin besar pula biaya
17 variabelnya. Secara matematis biaya variabel merupakan fungsi jumlah barang yang dihasilkan, kurvanya berupa garis lurus berlereng positif dan bermula dari titik pangkal.
Ket :
FC = biaya tetap VC = biaya variabel C = biaya total k = konstanta Q = jumlah barang
Grafik fungsi biaya dan penerimaan
Contoh :
Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp 20rb, sedangkan biaya variabelnya ditunjukan oleh persamaan VC = 100Q. Tunjukkan persamaan dan kurva biaya toalnya ! berapa biaya total
FC = k
VC = f(Q) = vQ
C = f(Q) = FC +VC = k + vQ
18 yang dikeluarkan oleh perusahaan tersebut jika ia memproduksi 500 unit output? Pembahasan: FC = 20.000 VC = 100Q C = FC +VC = 20.000 + 100Q Jika : Q = 500 C = 20.000 + (500) = 70.000 Grafik
Penerimaan sebuah perusahaan dari hasil penjualan barangnya merupakan fungsi dari jumlah barang yang terjual atau diproduksikan. Semakin banyak barang yang diproduksi dan terjual semakin besar pula penerimaannya. Penerimaan total adalah hasil kali jumlah barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut.
19 Contoh:
Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan Rp 200, 00 per unit. Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan ini. Berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 350 unit? Pembahasan: P = Rp 200,00 Q = 350 R = Q x P = Q x 200 = 200Q Bila Q = 350, R = 200(350) = 70.000 Grafik
20 6. Pendapatan Disposabel
Pendapatan disposabel (disposable income) adalah pendapatan nasional yang secara nyata dapat dibelanjakan oleh masyarakat. Pendapatan disposabel dilambangkan dengan Yd. Terdapat dua faktor yang mempengaruhi pendapatan disposabel, yaitu faktor yang memperkecil dan faktor yang memperbesar pendapatan disposabel.
Faktor yang memperkecil pendapatan disposabel adalah pajak. Apabila tidak terdapat pajak maka besar pendapatan disposabel sama dengan pendapatan nasional tetapi karena terdapat pajak maka besar pendapatan disposabel lebih kecil dari pendapatan nasional.
Faktor yang memperbesar pendapatan disposabel adalah pembayaran alihan (tunjangan pensiun, tunjangan hari raya, gajih bulan ke-13, dll). Karena ada pembayaran alihan maka pendapatan disposabel lebih besar dari pendapatan nasional.
Sehingga fungsi konsumsiyang riil adalah :
Uraian pendapatan disposabel berdasarkan ada tidaknya pajak dan pembayaran alihan
Tidak ada pajak maupun pembayaran alihan
Ada pajak tapi tidak ada pembayaran alihan
Tidak ada pajak tapi ada pembayaran alihan
Ada pajak dan ada pembayaran alihan C = a + bYd
Yd = Y
Yd = Y
Yd = Y + R
21 Contoh :
Fungsi konsumsi masyarakat suatu negara ditunjukkan oleh C = 25 + 0,5Yd. jika pemerintah menerima pembayaran pajak sebesar 16 dari masyarakat tetapi juga memberikan pembayaran alihan sebesar 6 kepada warganya, berapa besar konsumsi pada waktu pendapatan nasional negara tersebut berjumlah 300 ?
Penyelesaian : C = 25 + 0,5Yd T = 16 R = 6 Yd = Y – T + R → Yd = Y – 16 + 6 → Yd = Y – 10 C = 25 + 0,5(Y – 10) C = 25 + 0,5Y – 5 C = 20 + 0,5Y Jika Y = 300 maka : C = 20 + 0,5(300) → C 2 15 → C 17 7. Pendapatan Nasional
Pendapatan nasional adalah jumlah seluruh nilai out-put (barang dan jasa) yang dihasilkan oleh suatu negara selama jangka waktu tertentu. Perhitungan pendapatan nasional dapat dilakukan dengan tiga macam pendekatan yaitu pendekatan produksi, pendekatan pendapatan, pendekatan pengeluaran.
Ditinjau dari pendekatan pengeluaran, pendapatan nasional adalah jumlah pengeluaran yang dilakukan oleh seluruh sektor di dalam suatu negara. Pengeluaran sektor rumah tangga dicerminkan oleh konsumsi masyarakat (C), pengeluaran sektor badan usaha dicerminkan oleh investasi yang dilakukan oleh badan-badan usaha (1), pengeluaran sektor pemerintah dicerminkan oleh pengeluaran pemerintah (G),
22 sedangkan pengeluaran perdagangan internasional dicerminkan oleh selisih antara ekspor dan impor negara tersebut (X – M).
Dengan demikian pendapatan nasional: untuk perekonomian 2 sektor
untuk perekonomian 3 sektor untuk perekonomian 4 sektor
dimana :
Y = pendapatan nasional C = konsumsi masyarakat
I = investasi nasional G = pengeluaran pemerintah
X = ekspor M = impor
Contoh :
Hitunglah pendapatan nasional suatu negara jika diketahui autonomous consumption masyarakatnya sebesar 500, MPC = 0,8, investasi yang di lakukan oleh sektor badan usaha sebesar 300 dan pengeluaran pemerintahnya sebesar 250. Sedangkan nilai ekspor dan impornya masing-masing 225 dan 175 !
Pembahasan : a = 500 C = a + bYd Yd = Y – T +R b = MPC = 0,08 C = 500 = 0,8Y Yd = Y – 0 + 0 = Y Y = C + I + G + (X – M) Y = 500 + 0,8Y + 300 + 250 (225 – 175) Y = 1.100 + 0,8Y Y – 0,8Y =N1.100 0,2Y = 1.100 Y = 5.500
23 LATIHAN I
1. Pak Hendrian memiliki pendapatan sebesar Rp 300.000,00. Seluruh pendapatannya akan dianggarkan untuk membeli barang a dan barang b dengan harga masing-masing Rp 7.500,00 per unit dan Rp 5.000,00 per unit. Jika Pak Hendrian membeli barang a sebanyak 20 unit maka berapa unit barang b yang dapat dibeli pak Hendrian ? 2. Gejala penawaran sandal merek “Walet” ditunjukkan oleh data
sebagai berikut : pada harga Rp 35.000,00 ditawarkan sebanyak 50 buah tetapi bila harganya Rp 45.000,00 akan ditawarkan sejumlah 7 buah. Bagaimana fungsi penawaran sandal “Walet” itu ?
3. Di sebuah toko buah N, saat harga salak Rp 10.000,00 per kg permintaan akan apel tersebut sebanyak 500kg, tetapi pada saat harga salak meningkat menjadi Rp 12.000,00 per kg permintaan akan salak menurun menjadi 300kg. Buatlah fungsi permintaannya dan grafiknya !
4. Jumlah investasi yang terdapat di suatu negara sebesar 25. Ketika tingkat bunga yang berlaku 20%, dan sebesar 100 ketika tingkat bunga yang berlaku 5%. Bagaimana fungsi permintaan investasinya dan berapa besar investasi jika tingkat bunga 15% ?
5. Bentuklah persamaan fungsi impor negara “Austria” bila diketahui autonomous import dan marginal propensity to import-nya masing-masing 50 dan 0,25 ! Berapa nilai impor jika pendapatan nasional sebesar 1. 200 ?
6. Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp.10.000, sedangkan biaya variabelnya ditunjukan oleh persamaan VC = 200 Q. Tunjukan persamaan dan kurva biaya totalnya! Berapa biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan tersebut jika ia memproduksi 400 unit output ?
24 7. Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P = 3.600 – 1,25Q dan fungsi penawarannya P = 0,75Q + 1.200. Produk tersebut dikenakan pajak oleh pemerintah sebesar Rp 400 per unit. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak ? dan berapakah pajak yang diterima oleh pemerintah ? serta berapa pajak yang ditanggung oleh konsumen dan produsen ?
8. Permintaan akan barang x ditunjukan oleh persamaan Qdx = 5 - 2Px + 4Py, sedangkan penawarannya Qsx = -5 + Px. Sementara itu permintaan akan barang y ditunjukan oleh persamaan Qdy = 6 + 2Px – 2Py. Sedangkan penawarannya Qsy = -4 + 4Py . berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta dipasar untuk masing-masing barang tersebut ?
9. Fungsi konsumsi masyarakat negara B ditunjukkan oleh C = 1.500 + 0,4Yd. jika pemerintah menerima pajak dari masyarakat sebesar 800 akan tetapi pemerintah juga memberi pembayaran alihan kepada masyarakat sebesar 300. Berapakah konsumsi nasional jika pendapatan nasional pada tahun tersebut 100.000 ? dan berapakah tabungan yang terkumpul ?
10. Konsumsi masyarakat sebuah negara ditunjukkan oleh persamaan C = 4.000 + 1,5Yd. investasi nasionalnya ditunjukkan oleh persamaan I = 3.000 – 800i. pengeluaran pemerintahnya sebesar 1.400, di samping itu pemerintah juga mengeluarkan pembayaran alihan sebesar 200, sedangkan pajak yang diterima pemerintah dicerminkan oleh T = 600 + 0,4Y. besarnya ekspor adalah 3.200, adapun impornya M = 1.800 + 0,1Y. tingkat bunga yang berlaku 30%. Hitunglah pendapatan nasional negara tersebut, konsumsi nasional dan pajak yang diterima oleh pemerintahnya ! Berapa pula nilai impornya ?
25 BAB II
LIMIT FUNGSI A. Pengertian Limit
Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel didalamfungsi yang bersangkutan terus menerus berkembang mendekati nilai tertentu. Sebagai gambaran : dari y = f(x) akan dapat diketahui limit atau batas perkembangan f(x) ini apabila variabel x terus menerus berkembang hingga mendekati suatu nilai tertentu. Jika fungsi f(x) mendekati L manakala variabel x mendekati a (a dan L keduanya konstanta), maka L disebut limit fungsi f(x) untuk x mendekati a. Hubungan ini dilambangkan dengan notasi :
lim
→ ( )
dan dibaca “limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L”. Artinya jika variabel x berkembang secara terus menerus hingga mendekati bilangan tertentu a, maka nilai fungsi f(x) pun akan berkembang pula hingga mendekati L. Atau sebaliknya, fungsi f(x) dapat dibuat mendekati nilai tertentu yang diinginkan L dengan mengembangjan variabel x sedemikian rupa hingga mendekati a.
Dua hal perlu diperhatikan dalam notasi atau pernyataan limit diatas. Pertama, x→ ! Kedua, lim f(x) = L harus dibaca serta ditafsirkan bahwa L adalah limit fungsi f(x), dan bukan berarti L adalah nilai fungsi f(x) !
Ringkasnya,
→ ( ) bukan berarti f(a) = L
Contoh praktis berikut ini akan menjelaskan bagaimana bekerjanya teori limit dan apa sesungguhnya yang dimaksud dengan limit.
26 Maka lim → ( ) lim → (1 2 ) 7 lim → ( )
lim → (1 2 ) 17
Limit sebuah fungsi dapat dapat pula dianalisis untuk perkembangan variabel yang menuju nilai-nilai negatif tertentu, menuju 0, bahkan menuju . Dengan demikian, untuk setiap fungsi f(x) kita dapat menganalisi limit f(x) untuk x→ → → , x→ →
Seiring dengan itu dapat pula terjadi (untuk x mendekati sebarang nilai tertentu) lim f(x) = + L, lim f(x) = lim f(x) = 0, lim f(x) = 0, lim f(x) = atau lim f(x) = . Limit sesuatu fungsi hanya mempunyai dua kemungkinan : ada (terdefinisi, terdefinisi; yakni jika limitnya adalah L, atau – atau 0, atau ) atau tidak ada sama sekali (tidak terdefinisi), dan tidak boleh taktentu ( ).
Contoh:
1) lim → (1 2 ) 7 2) lim → (1 2 ) 1 3) lim → (1 2 ) 4) lim → (1 2 )
B. Limit Sisi-Kiri, Limit Sisi-Kanan
Analisis mengenai limit sesuatu fungsi sesungguhnya dapat dipilih menjadi dua bagian, tergantung dari sisi mana kita melihat gerakan perkembangan variabelnya. Apabila kita menganalisislim → ( ) dari nilai-nilai x yang lebih kecil daripada a (dari x <a ), berarti kita melihatnya dari sisi kanan.
27 Jadi, lim → ( ) terdiri atas lim → ( ) lim → ( )
Limit sebelah kiri dari sebuah fungsi nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang membesar (x→a dari sisi kiri, melalui nilai-nilai-nilai-nilai x < a). Jadi, jika lim → ( ) berarti merupakan limit sisi-kiri dari f(x) untuk x →
Limit sisi-kanan dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang mengecil (x → dari sisi kanan, melalui nilai-nilai x > a). Jadi, jika lim → ( ) berarti merupakan limit sisi-kanan dari f(x) untuk x →
Limit sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit sisi-kiri dan limit sisi-kananya ada serta sama. Dalam kasus semacam ini
lim
→ ( ) lim → ( ) lim → ( )
Apabila salah satu dari ketentuan-ketentuan tersebut diatas tidak dipenuhi, maka limit dari fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi. Dengan demikian limit sebuah fungsi dikatakan tidak ada jika limit salah
(analisis sisi
kanan)𝑥 → 𝑎 dilihat dari nilai –nilai x> a (analisis sisi
kiri)𝑥 → 𝑎 dilihat dari nilai –nilai x< a
28 satu sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya ada tetapi tidak sama.
Contoh:
1) lim → (1 2 ) 7 (terdefinisi)
Sebab lim → (1 2 ) lim → (1 2 ) 7
apabila tabel pada gambar 1.1 diperhatikan kembali dengan seksama, akan terlihat bahwa gerakan x → 2 dari kiri (dari x = 1; x = 1,50; x = 1,90 dan seterusnya) menyebabkab f(x) mendekati nilai 7. 2) Andaikan y = f(x) = maka lim → ( ) lim → 3 lim → ( ) lim → 3 Karena lim → lim → lim → tidak terdefinisi. -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 1 2 3 1 2 3 4 y=f(x) f(x)= -3/x x
29 Pada gambar tersebut, jika x mendekati 0 dari kiri ( dari x = 3 2, x = 1 dan seterusnya), maka f(x) akan menjadi positif tak terhingga. Tetapi jika x mendekati 0 dari kana ( dari x = 3, x = 2, x = 1 dan seterusnya), maka f(x) akan menjadi negatif tak terhingga. Itulah sebabnya untuk x → lim f . / ini tidak terdefinisi.
Konsep limit, yang secara matematik terasa samar-samar, sebenarnya bukanlah sesuatu yang abstrak. Dalam kehidupan bisnis dan ekonomi sehari-hari konsep ini cukup sering diterapkan. Ia menggambarkan batas ideal tertentu (maksimum atau minimum) yang dapat atau harus dipenuhi, dalam kondisi yang juga ideal. Ambillah sebagai contoh tinggakt upah minimum. Ini menggambarkan batas upah terendah yang harus dipenuhi. Kalaupun dalam kenyataan tingkat upah minimum yang ideal ini tidak dipenuhi, karena kondisi ideal yang mendukungnya tidak memadai, namun setidak-tidaknya upah minimum yang langsung akan berkisar ditingkat ideal yang diharapkan (sedikit diatasnya atau sedikit dibawahnya). Gambaran mengenai batas ideal ini dapat pula kita temui dalam hal kapasitas produksi (maksimum), profit (maksimum), biaya (minimum) dan sebagainya.
C. Kaidah-kaidah Limit
1. Jika y = f(x) = xn dan n > 0, maka lim
→ = .
Contoh : lim → 2 8 lim → 5 125 2. Limit dari suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri.
Contoh : lim → 3 3
3. Limit dari suatu penjumlahan (pengurangan) fungsi adalah jumlah (selisih) dari limit fungsi- fungsinya.
lim
30 Contoh : lim → *(1 2 ) ( ) + lim → (1 2 )
lim →
= (1 2. 2 ) 2 7 8 1
4. Limit dari suatu perkalian fungsi adalah perkalian dari limit fungsi-fungsinya. lim → * ( ) . ( )+ lim → ( ) . lim → ( ) Contoh : lim → *(1 2 ) . ( ) + lim → (1 2 ) . lim → ( 7)(8) 56 5. Limit dari suatu pembagian fungsi adalah pembagian dari limit
fungsi-fungsinya, dengan syarat limit fungsi pembagiannya tidak sama dengan nol.
lim → ( ) ( ) → ( )
→ ( ) dengan syarat lim → ( )
Contoh : lim → ( ( ) ) → ( )
→ ( )
= → ( )( )
→ ( ) = lim → ( 5) 1
6. Limit dari suatu fungsi berpangkat n adalah pangkat n dari limit fungsinya. lim → * ( )+ {lim → ( )} Contoh : lim → (1 2 ) {lim → (1 2 )} ( 7) 343
7. Limit dari suatu fungsi terakar berpangkat positif adalah akar dari limit fungsinya.
lim → { √ ( )} √lim → ( ) n > 0 Contoh :
lim
31 D. Penerapan Ekonomi
Penerapan limit dalam bidang ekonomi terbagi menjadi 2 yaitu: a. Produksi Marginal
Produksi fisik marginal (MPP) didefenisikan sebagai output tambahan yang dihasilkan dari adanya penggunaan satu unit tambahan input ( ). Jika perubahan → , maka turunan pertama dari fungsi produksi marginal dinyatakan sebagai:
lim → … … (19)
Produksi fisik rata-rata akan sama dengan marginal produksi fisik ( ) yaitu pada saat produksi rata-rata mencapai maksimum. Secara geometris, dapat ditunjukan oleh perpotongan kurva produksi rata-rata pada posisi maksimum dengan kurva produksi marginalnya.
Contoh:
1. Diketahui fungsi produksi pada persamaan 6 dimana P output produksi dan Q input produksi.
a. Carilah fungsi produksi marginal dan fungsi produksi rata-rata
b. Hitunglah produksi total, produksi marginal dan produksi rata-rata jika digunakan input sebanyak Q=10 unit.
c. Berapa total biaya maksimumnya. Penyelesaian:
6
a. Fungsi produksi marginal, 12 3 Fungsi produksi rata-rata, 6
b. Pada 1 unit, maka
32 12 3 12 (1 ) 3(1 ) 12 3
9
6 6 (1 ) (1 ) 6 1 5 c. Total produksi maksimum (TPP) dicapai pada saat MPP=0,
yaitu:
12 3 → (12 3 ) diperoleh 4 unit Jadi, TPP maksimum
6 6 (4 ) (4 ) 96. 64. 32. b. Elastisitas
Elastisitas dari suatu fungsi ( ) berkenaan dengan x dapat didefinisikan sebagai : lim → ( ) ( ) . … … (23)
Ini berarti bahwa elastisitas ( ) merupakan limit dari rasio antara perubahan relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x.
Elastisitas terbagi menjadi 2 yaitu: 1. Elastisitas Permintaan
Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya :
33 lim → ( ) ( ) . … … (24) Dimana tak lain adalah Q'd atau f'(P)
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila | | 1, elastic – uniter jika | | 1, dan inelastic bila | | 1. Barang yang permintaanya elastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.
Contoh:
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan 25 – 3 . tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5.
25 – 3
. 6 . . 6 6 (5). 3 ( )
ηd = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukan 5, harga naik (turun) sebesar 1 % maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 %.
2. Elastisitas Penawaran
Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka elastisitas penawarannya :
34 lim → ( ) ( ) . … … (25) Dimana tak lain adalah Q's atau f'(P).
Penawaran suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila 1, elastic – uniter jika 1 dan inelastic bila 1. Barang yang penawarannya inelastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya.
Contoh :
Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh
2 7 . Berapa elastisitas penawarannya pada tingkat harga P = 10 dan P = 15 ?
2 7 . 14 . 14 Pada 1 , 14 . 2 8 Pada 15, 21 . 2 3
2 8 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 10, harga naik (turun) sebesar 1 % maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%. Dan 2 3 berarti bahwa apabila dari kedudukan 15, harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,3%
3. Elastisitas Produksi
Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat
35 adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah factor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka efisiensi produksinya :
lim → ( ) ( ) . … … (25) Dimana adalah produk marjinal dari X [P' atau f' (X)]. Contoh:
1. Fungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan 6 – . Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan factor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit.
6 – 12 – 3 . (12 3 ).( )
Pada 3, (36 27) . ( ) 1 Pada 7, (84 147) . ( ) 9
1 berarti bahwa, dari kedudukan 3, maka jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 1 %. Dan 9 berarti bahwa, dari kedudukan 7, maka jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 9 %.
36 LATIHAN II
1. Diketahui biaya tetap untuk produksi barang Q adalah sebesar 10, dan biaya variabelnya 4 per unit. Tentukan persamaan total biayanya (C) dan biaya rata-ratanya (AC)!
2. Perusahaan menaksir biaya memproduksi x unit barang (dalam USD) adalah :C(x)=10.000+5x+0,01x2 .
a. Tulisakan biaya marginalnya!
b. Berapakah biaya marginalnya untuk 500 unit?
3. Diketahui FC = 8 dan AVC = 3 + 5Q. Tentukan total biaya produksi Q, dan biaya rata-rata (AC). Dan hitung nilai limitnya
4. Pertambahan berat badan bayi dalam 30 hari pertama dinyatakan dalam fungsi b(t) = (1400t2+2,5) kg dengan t dalam hari.
Tentukan kecepatan pertambahan berat badan bayi pada hari ke 20!
5. Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x –
0,0003x2 dengan jumlah persatuan x=1000. tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?
6. Dalam suatu pasar diketahui fungsi permintaannya Qd = 40 - 2P dan fungsi penawarannya Ps = Q + 5, berdasarkan informasi tersebut maka harga keseimbangan terjadi pada...
7. Permintaan akan durian di Medan ditunjukkan oleh persamaan Q = 80 - 2P, sedangkan penawarannya dicerminkan oleh persamaan Q = -120 + 8P. Harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan pasar durian di medan adalah...
8. Saat harga Rp . 15.000,00 permintaan lampu adalah untuk 4.000 untuk setiap barang , dan untuk setiap kenaikan harga Rp . 1.000,00 permintaan lampu turun 500 untuk setiap barang . Berdasarkan data , fungsi permintaan adalah ....
37 9. Hitunglah elastisitas produksi dari fungsi produksi P = 5X2 – 5X3
pada tingkat faktor produksi sebanyak 2 unit!
10. Pada saat harga Jeruk Rp. 5.000 perKg permintaan akan jeruk tersebut sebanyak 1000Kg, tetapi pada saat harga jeruk meningkat menjadi Rp. 7.000 Per Kg permintaan akan jeruk menurun menjadi 600Kg, buatlah fungsi permntaannya ?
38 BAB III
DIFERENSIAL A. Difernsiasi Parsial
Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan. Apabila y = f(x) maka turunanya hanyalah turunan y terhadap x dengan kata lain y .
Sedangkan jika sebuah fungsi mengadung lebih dari satu variabel bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, sesuai dengan jumlah macam variabel bebasnya. Jadi, jika sebuah fungsi mempunyai n macam variabel bebas maka ia akan memiliki n macam turunan, yaitu turunan y terhadap x atau dan turunan y terhadap z atau .
dengan demikian : 1. y = f(x,z) a) fx(x,z) = y b) fz(x,z) = dy = dx + dz . p = f(q,r,s) a) fq(q,r,s) = p b) fr(q,r,s) = b) fs(q,r,s) = dp = dq + dr + ds dan
dalam kasus 1serta ,
, dan
dalam kasus 2 masing-masing di namakan derivatif parsial. Sedangkan dx , dz , dq ,
39 dr , dan ds dinamakan diferensial parsial. Adapun dy dan dp dinamakan diferensial total.
Contoh :
y = x3 + 5z2 4x2z 6xz2 + 8z – 7 (1) = 3x2 – 8xz – 6z2
(2) = 10z – 4x2 – 12xz + 8
Dalam menurunkan y terhadap x yang dilambangkan dengan , hanya suku-suku yang mengandung variabel x yang diperhitungkan ; sedangkan suku-suku yang tidak mengandung variabel x dianggap sebagai konstanta dan turunannya adalah nol. Di lain pihak dalam menurunkan y terhadap z yang dilambangkan dengan , hanya suku-suku yang mengandung variabel z yang diperhitungkan ; sedangkan suku-suku yang tidak mengandung variabel z dianggap sebagai konstanta dan turunannya adalah nol.
B. Derivatif Dari Derivatif Parsial
Seperti halnya fungsi dengan satu variabel bebas, fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas pun dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan kata lain masing-masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan lagi . Turunan berikut dari turunan parsial tadi sudah barang tentu bias sangat bervariasi, tergantung dari bentuk turunan parsial tersebut. Apabila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang tinggal mengandung satu macam variabel bebas, maka turunan berikutnya hanya ada satu macam. Akan tetapi bila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang masih mengandung beberapa macam variabel bebas, maka turunan berikutnya masih dapat dipecah-pecah lagi menjadi beberapa turunan parsial pula.
40 Contoh : y = x3 + 5z2 4x2z 6xz2 + 8z – 7 (1) = 3x2 – 8xz – 6z2 (2) = 10z – 4x2 – 12xz + 8
Dalam contoh diatas ∂y/ ∂x maupun ∂y/ ∂z masih dapat
diturunkan secara parsial lagi baik terhadap x maupun terhadap z (1a) terhadap x : = 6x – 8z (1b) terhadap z = -8x – 12z (2a) terhadap x : = -8x – 12z (2b) : = 10 – 12x
Ternyata turuna parsial kedua (1a), (1b), (2a) dan (2b) masih dapat di turunkan secara parsial lagi baik terhadap x maupun terhadap z.
(1a.1) terhadap x : = 6 (1a.2) terhadap z : = -8 (1b.1) terhadap x : = -8 (1b.2) terhadap z : = -12 (2a.1) terhadap x : = -8 (2a.2) terhadap z : = -12 (2b.1) terhadap x : = -12 (2b.2) terhadap z : = 0
Sekarang turunan-turunan parsial ketiga ini tidak dapat lagi diturunkan secara parsial, karena masing-masing hanya tinggal mengandung konstanta.
41 C. Nilai Ekstrim : Maksimum dan Minimum
Nilai-nilai ekstrim dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari dua variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif keduanya.
Syarat di atasadalah syarat yang diperlukan (necessary condition) agar fungsi mencapai titik ekstrim. Guna mengetahui apakah titik ekstrim itu berupa titik maksimum ataukahtitik minimu, dibutuhkan syarat yang mencangkupkan (sufficient condition) , yakni:
Dalam hal dan = 0 , tak bias di tegaskan mengenai nilaiekstrimnya. Untuk kasuasmacamini diperlukan penyelidikan danpengujianlebih lanjut.
Contoh :
Fungsi permintaan akan dua macam barang a dan b, masing-masing ditunjukkan oleh 1 2 4 dan 12 2 4
Hitunglah elastisitas permintaan masing-masing barang dan jelaskan bentuk hubungan antara kedua macam barang tersebut, jika harga a dan b masing-masing sebesar 4 dan 3 per unit.
Untuk y = f(x,y),
Maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika : 𝝏𝒚 𝝏𝒙
=
0dan𝝏𝒚 𝝏𝒛
=
0 Maksimum bila 𝝏 2𝒚 𝝏𝒙20
dan 𝝏2𝒚 𝝏𝒛20
Minimum bila 𝝏 2𝒚 𝝏𝒙20
dan 𝝏2𝒚 𝝏𝒛20
42 Penyelesaian : 1 2 4 12 2 4 2 4 2 2 Jika 4 1 2(4) 4(3) 14 3 12 2(4) 4(3) 8 . 2. = - . 4. = . 4. = - . 2. = 1
Permintaan akan barang a bersifat inelastis karena 1, sedangkan permintaaan akan barang b bersifat elastis 1. Hubungan antara a dan b bersifat subtitutif karena elastisitas silang permintaannya bertanda positif.
D. PENERAPAN EKONOMI
Pendekatan diferensial parsial sangat bermanfaat untuk diterapkan pada model-model ekonomi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas,dalam hal kita hendak menelaah secara parsial pengaruh dari salah satu variabel bebas tadi terhadap vaiabel berikutnya.
1. Permintaan Marjinal dan Elastisitas Permintaan Parsial
Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya,maka permintaan akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua macam barang tersebut.Dengan perkataan lain jika barang a dan barang b mempunyai hubungan penggunaan,maka :
43
da
Q = f (pa,pb) dan Qdb f(pa,pb)
Derivatif pertama dari Qda dan Qdb adalah fungsi – fungsi permintaan marjinalnya,dimana: a da P Q
adalah permintaan marjinal a berkenaan dengan Pa
b da P Q
adalah permintaan marjinal a berkenaan dengan Pb
a db P Q
adalah permintaan marjinal b berkenaan dengan Pa
b db P Q
adalah permintaan marjinal a berkenaan dengan Pb
Dengan dapat diturunkannya fungsi permintaan marjinal tersebut,dapatlah dihitung elastisitas permintaan parsialnya.Dalam hal ini terdapat dua macam elastisitas permintaan,yaitu elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang itu sendiri ( elastisitas harga-permintaan ),dan elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan harga barang lain (elastisitas silang – permintaan ).
da e a da P Q = da a a da a da Q P P Q EP EQ . db b b db b db b db db Q p P Q EP EQ P Q e . da b b da b da b da ab Q P EP Q EP EQ P Q e .
44 db a a db a db a db ba Q P P Q EP EQ P Q e . db dadane
e keduanya merupakan elastisitas harga permintaan. Sedangkan eab dan eba keduanya negatif (eab<0 dan eba< 0 )
untuk Pa dan Pb tertentu ,berarti hubungan antara barang a dan barang b adalah komplementer atau saling melengkapi; sebab penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas keduanya. Sedangkan jika baik eab maupun eba keduannya positif (eab > 0 dan eba > 0) untuk Pa dan Pb tertentu , berarti hubungan antara barang a dan b adalah kompotitif atausuftitutif atau saling menggantikan; sebab penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan permintaaan atas barang tersebut.
Contoh :
Fungsi permintaan akan barang a dan barang b masing-masing ditunjukkan
oleh . . 1 dan . . 1 Berapa elastisitas permintaan masing-masing barang dan bagaimana
hubungan antara kedua barang tersebut? . . 1 . . 2 . 3 . . . 1
45 1 . . . 3 . = . = -2 . . . = 2 = . = . . . = -1 = . = -3 . . . = -3 = . = -3 . . . = -3
Barang a adalah barang elastis karena eda >1. Sedangkan b adalah barang yang unitary-elastic karena eda = 1 ( ingat: dalam dalam menafsirkan elastisitas harga-permintaan cukup dengan melihat besarnya angka hasil perhitungan, tandanya tak perlu dihiraukan ). Adapun hubungan antara a dan b adalh bersifat komplementer karena eab > 0 dan eba > 0 .
2. Perusahaan Dengan Dua Macam Output dan Biaya Produksi Gabungan
Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan biaya yang dikeluarkannya untuk memproduksi kedua macam output itu Merupakan biaya produksi gabungan ( joint production cost ), maka perhitungan keuntungan maksimum yang diperolehnya dapat diselesaikan dengan pendekatan diferensiasi parsial. Dengan metode
46 serupa, pendekatan ini dpat pula digunakan untuk menganalisa kasus perusahaan yang menghasilkan lebih dari dua macam output yang biaya produksinya juga merupakan biaya produksi gabungan.
Andaikan sebuah perusahaan memproduksi dua macam barang, a dan b, dimana fungsi permintaan akan masing-masing barang dicerminkan oleh Qa dan Qb, serta biaya produksinya C = f ( Qa, Qb). Maka
Penerimaan dari memproduksi a : Ra = Qa . Pa = f (Qa) Penerimaan dari memproduksi b : Rb = Qb . Pb = f (Qb) Penerimaan total : R = Ra + Rb = f(Qa) + f(Qb)
Dengan biaya total C = f (Qa + Qb), fungsi keuntungannya : = R – C = f(Qa) + f(Qb) – f (Qa, Qb) = g(Qa, Qb) maksimum bila = 0
(1) Qa = = 0 (2) Qb = = 0
Dari (1) dan (2) nilai Qa dan Qb dapat diperoleh. Selanjutnya nilai maksimum bisa dihitung.
Contoh :
Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaann yang memproduksi dua macam barang, a dan b, ditunjukkan oleh C = + 3 + Qa . Qb . harga jual masing-masing barang per unit adalah Pa = 7 sedangkan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masing-masing barang harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besarnya keuntungan maksimum tersebut.
Penyelesaian : Ra = Qa . Pa = 7 Qa
R = Ra + Rb = 7Qa + 20 Qb Rb = Qb . Pb = 20 Qb
47 Agar maksimum, = 0
(1) = 0 → 7 2 Qa – Qb = 0 (2) = 0 → 20 – 6 Qb – Qa = 0
Dari (10) dan (2) diperoleh Qa = 2 dan Qb = 3 maksimum = 7 Qa + 20 Qb - + 3 + Qa . Qb = 7(2) + 20(3) – 2 - 3(3) – (2) (3) = 37
Jadi agar keuntungan maksimum, perusahaan harus memproduksi 2 unit a dn 3 unit b dengan keuntungan sebesar 37. 3. Produk Marjinal Parsial
Untuk memperoleh sesuatu barang pada dasarnya diperlukan beberapa macam input atau faktor produksi seperti tanah, modal, tenaga kerja, bahan baku, mesin-mesin dan sebagainya. Jika jumlah output yang dihasilkan dilambangkan dengan P dan input-input yang digunakan dilambangkan dengan xi (i = 1,2,..., n), maka fungsi produksinya dapat dituliskan dengan notasi p = f (x1,x2,x3,...,xn).
Sebagian dari input yang digunakan sudah barang tentu merupakan input tetap, sementara sebagian lainnya adalah input variabel. Selanjutnya jika untuk memproduksi suatu barang dianggap hanya ada dua macam input variabel (katakanlah K dan L), maka fungsi produksinya secara pasti dapat dinyatakan dengan :
P = f(K,L)
Derivatif pertama dari P merupakan produk marjinal parsialnya.
adalah produk marjinal berkenaan dengan input K.
adalah produk marjinal berkenaan dengan input L.
Untuk P= konstanta tertentu, fungsi produksi P = f (K,L) merupakan suatu persamaan isoquant, yaitu kurva yang menunjukan
48 berbagai kombinasi penggunaan input K dan L yang menghasilkan output dalam jumlah sama.
4. Keseimbangan produksi
Keseimbangan produksi maksudnya ialah suatu keadaan atau tingkat penggunaaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimum, yakni suatu tingkat pencapaian produksi dengan kombinasi biaya terendah (least cost combination). Secara geometri, keseimbangan produksi terjadi pada persinggungan isocost dengan isoquant. Isocost adalah kurva yang mencerminkan kemampuan produsen membeli berbagai macam input berkenaan dengan harga masing-masing input dan jumlah uang yang dimilikinya. Jika jumlah dana yang dianggarkan untuk membeli input K dan input L adalah sebesar M, serta harga input K dan input L masing-masing Pk dan P1, Persamaan isocostnya dapat dituliskan dengan notasi M = K. Pk +L.P1.
Tingkat kombinasi penggunaan input yang optimum atau “least cost combination” dapat dicari dengan metode lagrange. Dalam hal ini fungsi produksi P = f (K,L) di maksimumkan terhadap fungsi isocost M = K.PK + L.P1.
Fungsi objektif yang hendak di optimumkan : P = f( K,L) Fungsi kendala yang di hadapi : M = K. Pk +L.P1
K. Pk +L.P1-M = 0
Fungsi baru lagrange : F(K,L) + f(K,L) + (K. Pk +L.P - M) Syarat yang diperlukan agar F(K,L) maksimum :
FK (K,L) = 0 → ( ) Pk = 0 . . . . . . .(1) FL (K,L) = 0 → ( ) P1 = 0 . . . . . . (2)
Dari (1) dan (2) nilai K dan nilai L dapat di peroleh. Selanjutnya nilai P maksimum bisa dihitung.
49 Produk total : P = f (K,L)
(i) Produk marjinal input K : MPK = fK(K,L) = (ii) Produk marjinal input L : MPL = fL (K,L) =
Pengembangan lebih lanjut persamaan (1) dan (2) diatas tadi akan menghasilkan :
(1)fk (K,L) + Pk = 0 → fk (K,L) =- Pk, = ( ) (2)fl (K,L) + Pl = 0 → fl (K,L) =- Pl, = ( )
Dengan demikian, syarat keseimbangan produksi dapat juga dirumuskan :
( )
= ( ) =
Jadi dalam rumusan lain dapat pula dinyatakan, bahwa produksi optimum dengan kombinasi biaya terendah akan tercapai apabila hasil bagi produk marjinal masing-masing input terhadap harganya bernilai sama.
Contoh :
Fungsi produksi suatu barang dinyatakan dengan P = 6 . Bentuklah
fungsi produk marjinal untuk masing-masing faktor produksi. Berapa produk
marjinal tersebut jika digunakan 8 unit K dan 27 unit L ? Penyelesaian :
P = 6
MPk = Pk = = 4 = Jika K = 8 dan L = 27,
50 MPk = ( ) = √ √ = ( ) = 6 MPl = ( ) = √ √ = √ √ = ( ) =
5. Utilitas Marjinal Parsial dan Keseimbangan Konsumsi
Dalam kenyataan sehari-hari, seorang konsumen tidak hanya mengkonsumsikan satu macam barang tetapi berbagai macam. Jika kepuasan konsumen dilambangkan dengan U dan barang-barang yang dikonsumsinya dilambangkan dengan Qi = (1,2,3,...,n), maka fungsi utilitas dapat dituliskan dengan notasi U = f (Qi, Q2,Q3,...,Qn).
Seandainya untuk penyederhanaan dianggap bahwa seorang konsumen hanya mengkonsumsi dua macam barang, katakanlah X dan Y, maka fungsi utilitasnya adalah :
U = f( X,Y)
Derivatif pertama dari U merupakan utilitas marjinal parsialnya.
= utilitas marjinal berkenaan dengan barang X.
= utilitas marjinal berkenaan dengan barang Y.
Untuk U adalah konstanta tertentu, fungsi utilitas U = f(X,Y) merupakan suatu persamaan kurva indiferens (indifference curve), yaitu kurva yang menunjukan berbagai kombinasi konsumsi barang X dan Y yang memberikan tingkat kepuasan sama.
Keseimbangan Konsumsi
Keseimbangan konsumsi maksudnya adalah suatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa macam barang yang memberikan kepuasan optimum. Secara geometri, keseimbangan konsumsi terjadi pada persinggungan kurva indiferens dengan garis anggaran konsumen (budget line). Garis anggaran adalah garis yang mencerminkan
51 kemampuan konsumen membeli berbagai macam barang berkenaan dengan harganya masing-masing dan pendapatan konsumen. Jika pendapatan konsumen berjumlah M serta harga barang X dan Y masing-masing Px dan Py per unit, persamaan budget line nya dapat dituliskan dengan notasi M = x.Px + y.Py
Tingkat kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum atau keseimbangan konsumsi dapat dicari dengan metode lagrange. Dalam hal ini, fungsi utilitas U = f(X,Y) dimaksimumkan terhadap fungsi anggaran
M = x.Px + y.Py. analog dengan penyelesaian keseimbangan produksi sebagaimana diuraikan pada seksi sebelum ini, diperoleh fungsi lagrange
:F(X,Y) = f(X,Y) + (x.Px + y.Py – M) Agar F maksimum :
Fx (X,Y) = 0→ fx(X,Y) + Px = 0 . . . (1) Fy (X,Y) = 0→ fy(X,Y) + Py = 0 . . . .(2) Dari (1) dan (2) nilai X dan Y dapat diperoleh, kemudian nilai U maksimum bisa di hitung. Selanjutnya perhatikan :
Utilitas total : U = f(X,Y)
Utilitas marjinal : MU U f (X Y) (i) Utilitas marjinal barang X : MUx = fx(X,Y) = (ii) Utilitas marjinal barang Y : MUy = fy(X,Y) = Menurut (1) : fx(X,Y) + Px = 0 → - = ( )
Menurut (2) : fy(X,Y) + Py = 0 → - = ( ) Dari (1) dan (2)
52 ( )
= ( ) =
Jadi dalam rumusan lain dapat pula dinyatakan, bahwa keseimbangan konsumsi akan tercapai apabila hasil bagi utilitas marjinal seimbang masing-masing barang terhadap harganya bernilai sama.
Contoh :
Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsikan barang X dan Y dicerminkan oleh fungsi utilitas U = X2Y3. Jumlah pendapatan konsumen 1.000 rupiah, harga X dan Y perunit masing-masing 25 rupiah dan 50 rupiah.
a). Bentuklah fungsi utilitas marjinal tiap masing-masing barang. b). Berapa utilitas marjinal tersebut jika konsumen
mengkonsumsikan 14 unit X dan 13 unit Y? Penyelesaian : a) U = X2Y3 MUx = Ux = 2 MUy = Yy = 3 b) Jika X = 14 dan Y = 13, MUx = 2 (14)(13)3 =1=61.516 MUy = 3 (14)2 (13)2 = 99.372 = . 2.46 64 = . 1.987 44
53 LATIHAN III
1. Andaikan kepuasaan total seorang konsumen dari mengkonsumsi barang X dan Y dirumuskan oleh persamaan utilitas . Jika konsumen tersebut menyediakan anggaran sebesar 4000 rupiah untuk membeli X dan Y, sedangkan harga X dan Y masing-masing 150 rupiah dan 200 rupiah per unit, hitunglah berapa unit X dan Y seharusnya ia beli agar kepusaan maksimum?
2. Fungsi permintaan akan dua macam barang a dan b, masing-masing ditunjukkan oleh 1 2 4 dan 12 2 4 . Hitunglah elastisitas permintaan masing-masing barang dan jelaskan bentuk hubungan antara kedua macam barang tersebut, jika harga a dan b masing-masing sebesar 4 dan 3 per unit.
3. Buktikan bawah fungsi produksi Cobb-Douglas P=6 K2/3 L1/3 adalah fungsi homogen berderajat satu (Homogen linier)
4. Jelaskan termasuk fungsi homogen berderajat berapakah fungsi fungsi produksi P = 0,75 K2 + 0,60 L2 – 0,50 KL ini.
5. Fungsi permintaan akan barang A dan barang B masing – masing ditunjukkan oleh Qda . Pa2 . Pb4 – 1 = 0 dan Qdb . Pa . Pb2 – 1 = 0 ,
berapa elastisitas permintaan masing-masing barang
6. Fungsi permintaan akan barang A dan barang B masing – masing ditunjukkan oleh Qda . Pa2 . Pb4 – 1 = 0 dan Qdb . Pa . Pb2 – 1 = 0 ,
bagaimanakah hubungan antara kedua barang tersebut?
7. Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang
memproduksi dua macam barang, A dan B ditunjukkan oleh C = 2Qa2 + Qb2 + Qa . Qb. Harga jual masing-masing barang perunit
adalah Pa = 6 sedangkan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masing –
masing barang harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besarnya keuntungan maksimum tersebut?
54 8. Seorang produsen mencadangkan 96 rupiah untuk membeli input K dan input L. Harga per unit input K adalah 4 rupiah dan input L adalah 3 rupiah. Fungsi produksinya P = 12 KL. Berapa unit masing-masing input seharusnya ia gunakan agar produksinya optimum, dan berapa unit output yang dihasilkannya dari kombinasi tersebut ?
9. kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsikan barang X dan Y dicerminkan oleh fungsi utilitas U = XY2. Harga X dan Y perunit masing masing 20 rupiah dan 50 rupiah.
10. Fungsi produksi suatu barang dinyatakan dengan P = 2X2 Y3.
Bentuklah fungsi produksi marjinal utnuk masing-masing factor produksi. Berapa produk marjinal tersebut jika digunakan 6 unit X dan 12 unit Y ?
55 BAB IV
INTEGRAL A. Pengertian Integral
Dalam kalkulus integral di kenal dua macam pengertian integral, Yaitu integral tak tentu ( indefinite integral ) dan integral tertentu ( definite integral). Integral tak tentu adalah keblikan dari diferensial yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungi asal apabila turunan atau derivative dari fungsinya di ketahui. Sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas-batas atau limit dari area tersebut sudah tertentu .
B. Macam-Macam Integral 1. Integral tak Tentu
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(X) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu f(X) yang apabila di derefisiasikan menghasilkan f(X) . Bentuk umum integral f(X) adalah
Di mana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertntu . dalam rumusan di atas tanda ∫ adalah tanda integral f(X) dX adalah diferensial dari f (X) ; f(X) sendirian di sebut integran , dX sendirian di sebut diferensial , f(X) adalah integral particular, k adalah konstanta pengintegralan dan F(X) + k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses mengintegralkan di sebut juga integrasi. Dalam diferensial kita menemukan , bahwa jika misalnya suatu fungsi asal di lambangkan dengan f(X) dan fungsi turunya di lambangkan dengan f(X) maka,
Fungsi asal : F(X) = X2 + 5
Fungsi turunanya f(x) = ( ) 2 𝑓(𝑋)𝑑𝑋 𝐹 (𝑋) 𝑘
56 Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(X) di integralkan maka
∫ ( ) ( ) X2 + k
Karena derivative dari setiap konstantan adalah 0 , maka dalam mengintegralkan setiap fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k. artinya nilai konstanta tersebut tidak dengan sendirinya bisa di isi dengan bilangan tertentu, kecuali di dalam soal memang sudah di tentukan nilai konstantanya.
a. Kaidah-kaidah Integrasi tak tentu 1. Formula Pangkat Contoh : ∫ X4 dX = + k = + k 2. Formula Logaritmis Contoh : ∫ dX = 3 ln x + k 3. Formula eksponensial Contoh : ∫ ex+2 dX ∫ e x+2 d(x+2) = e x+2 + k ∫ 𝑥
dX = ln x + k
∫ ex dx = ex + k ∫ eu du = eu + k , u∫ X
ndX =
𝑋 𝑛 𝑛+ k , n
57 4. Formula Penjumlahan Contoh : ∫ ( x4 + 3x2) dx ∫ x4 dx ∫ 3x2 dx = 0,25 x5 + x3 + k 5.Formula perkalian Contoh : ∫ 3x2 dx 3 ∫ x2 dx = 3 + k = x3 + k 6. Formula Subtitusi Contoh : Selesaikanlah 1. ∫ 6x (3x2 – 1 ) dx … ∫ 6x (3x2 – 1 ) dx ∫ (18x3 – 60x) dx = 4,5x4 – 30x2 + k ∫ { f(x) + g(x) } dx = ∫ f (x) dx + ∫ g(x) dx = F(x) + G(x) + k ∫ nf (x) dx = n ∫ f( x ) dx n ≠ 0 ∫ f( u) 𝑑𝑢 𝑑𝑥
dx =
∫ f(u) du = F (u) + kDi mana u = g(x) , dan ∫ du merupakan substitusi bagi ∫ dx
58 C. Penerapan Dalam Bidang Ekonomi
Sudah dijelaskan bahwa integral tak tentu dalam dunia ekonomi fungsi sering diterapkan untuk mencari persamaan fungsi biaya,
penerimaan, fungsi produksi,fungsi utilitas,fungsi konsumsi dan tabungan .
Berikut ini adalah langakah – langakah untuk cara penerapan integral tak tentu :
1. Fungsi Biaya
Biaya total : C =f (Q)
Biaya marjinal : MC C f (Q)
Biaya total tak lain adalah integral dari biaya marjinal Contoh :
Biaya marjinal suatu perusahaan di tunjukkan oleh MC = 3Q2- 6Q + 4
Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya?
Penyelesaian :
Biaya total : C ∫ MC dQ
∫ ( 3 Q2 – 6Q + 4) dQ = Q3 – 3Q2 + 4Q + k
Biaya rata-rata : AC = = Q2 – 3Q + 4 +K / Q
Konstanta k tak lain adalah biaya tetap . jika di ketahui biaya tetap tersebut adalah 4 , maka:
C = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4 AC = Q2 – 3Q + 4 + 4 / Q
59 2. Fungsi Penerimaan
fungsi penerimaan dapat kita cari dengan integral tak tentu dengan langakah seperti berikut :
Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR).
Contoh :
Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0 ?
TR ∫ MR dQ ∫ 15Q2 + 10Q – 5 dQ = 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c Jika c = 0 TR = 5Q3 + 5Q2 – 5Q 3. Fungsi Produksi
Fungsi produksi dapat kita cari dengan integaral tak tentu dapat dilakukan dengan langkah – langakah sebagai berikut ini.
1. Produk Total : P = f(Q), dimana P = keluaran dan Q = masukan
2. Produk Marjinal : MP P f (Q)
3. Produk Total adalah integral dari produk marjinal. F(Q) = ∫ f(Q) dQ
TR = ∫ MR dQ
60
Contoh: :
Diketahui produk marjinalnya 2Q2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ? penyelesaian : P ∫ MP dQ ∫ ( 2Q2 + 4 ) dQ = Q3 + 4Q + c Jika c = 0 P = Q3 + 4Q
Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P = 2/3 Q3 + 4Q
4. Fungsi Utilitas
Utilitas total : U = f(Q)
Utilitas marjinal : MU U f (Q)
Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal
Contoh :
Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marjinal MU = 90 – 10 Q ? Penyelesaian : Utilitas Total : U ∫ MU dQ ∫ ( 9 – 10Q) dQ = 90Q – 5 Q2 U = ∫ MU dQ = ∫ f’ (Q) dQ
