BAB II
KUANTIFIKASI
Tujun Instruksional Umum
Mahasiswa memahami kuantifikasi dan simbolisme logika.
Tujuan Instruksional Khusus
1) Mahasiswa dapat menggunakan kuantor
2) Mahasiswa dapat menyebutkan hubungan antara kuantor eksistensial dan kuantor universal
3) Mahasiswa dapat menyatakan kuantifikasi terbatas
4) Mahasiswa dapat menggunakan rumus-rumus tautologi dalam teori kuantifikasi 5) Mahasiswa dapat menterjemahkan kalimat matematika ke dalam bentuk simbolisme
logika.
2.1 Kuantor
Pembicaraan terdahulu memperlihatkan bahwa suatu kalimat terbuka dapat dijadikan kalimat deklaratif dengan mengganti variabel dengan konstan. Cara lain untuk mengubah kalimat terbuka menjadi kalimat deklaratif adalah dengan mnggunakan kuantor “(x)” dan “(x)” yang berturut-turut dibaca “terdapat suatu x sedemikian sehingga” dan “untuk semua x berlaku”.
Dalam penggunaannya kuantor diikuti oleh sifat tertentu. Misal : (x) P(x)
(x) Q(x)
Dalam contoh di atas P(x) dan Q(x) adalah sifat-sifat yang mengikuti kuantor , dimana sifat tersebut digunakan dalam membentuk kalimat deklarataif.
Bentuk (x) P(x) dibaca :
1) Untuk semua x berlakulah x mempunyai sifat P 2) Semua x mempunyai sifat P
Bentuk (x) Q(x) dapat dibaca :
1) Terdapatlah suatu x sedemikian sehingga x mempunyai sifat Q 2) Ada sekurang-kurangnya satu x yang mempunyai sifat Q 3) Beberapa x mempunyai sifat Q
Bentuk (x) P(x) disebut kuantor universal. Bentuk (x) Q(x) disebut kuantor eksistensial.
Bentuk-bentuk kalimat di atas benar-benar merupakan kalimat deklaratif karena nantinya bisa menjadi kalimat yang bernilai benar atau salah. Sebagai contoh :
Misal, himpunan bilangan asli sebagai semesta pembicaraannya. Sedangkan “P” menyatakan sifat bilangan prima.
Dengan demikian :
Kalimat (x) P(x) adalah kalimat yang salah , karena mengatakan bahwasemua bilangan asli mempunyai sifat prima.
Kalimat (x) P(x) adalah kalimat yang benar , karena menyatakan adanya suatu bilangan prima dalam bilangan asli.
Huruf “x” yang terdapat pada kalimat diatas disebut juga variabel walaupun variabel tak sejati (bound variabel) , sebab “x” tersebut terbatas pada bilangan-bilangan asli. Ada juga yang dikatakan sebagai variabel bebas (free variabel) yaitu pada umumnya terdapat pada kalimat terbuka.Dikatakan juga bahwa variabel “x” diikat oleh kuantor yang bersangkutan atau “x” berada dalam pengaruh kuantor yang bersangkutan.
Kalimat-kalimat dengan semua variabel di dalamnya terkait disebut kalimat tertutup. Kalimat-kalimat yang demikian disebut kalimat deklaratif.
Selanjutnya suatu kuantor mengikat lebih kuat dari pada tanda-tanda perangkai (penghubung) kalimat apapun.
Sebagai contoh :
(x) P(x) & (A B) berarti ((x) P(x)) & (A B).
Juga disini tanda-tanda titik dapat mengambil alih peranan tanda-tanda kurung.
Didalam praktek matematika sehari-hari, sering kuantor-kuantor universal yang terletak pada permulaan suatu kalimat tidak ditulis, walaupun dipikirkan ada.
Sebagai contoh :
(x2 - y2) = (x + y) (x - y), dimana x, y adalah variabel dari bilangan.
Yang dimaksud sebenarnya adalah :
(x) (y). (x2 - y2) = (x + y) (x - y) atau
(x,y). (x2 - y2) = (x + y) (x - y), dimana (x,y) dibaca “untuk
semua x dan untuk semua y berlakulah”.
Untuk kuantor-kuantor universal yang tidak terletak pada permulaan suatu kalimat, kita harus berhati-hati karena dapat menimbulkan keragu-raguan.
Dalam buku ini akan banyak menggunakan simbolisme logika, untuk memberikan presisi pada kalimat-kalimat. Dalam latihan-latihan berikut kita dilatih membaca kalimat-kalimat yang ditulis dengan simbolisme logika. Untuk menangkap arti kalimat-kalimat itu, diucapkan terlebih dahulu kuantor-kuantor dengan lengkap, kemudian renungkan artinya.
Sebagai contoh :
(x) [(y)(y2 x) (z) (x -z2 )]
kalimat diatas dibaca :
Untuk semua x berlakulah, bahwa, apabila ada suatu y sedemikian sehingga y2
lebih kecil dari pada x itu, maka, untuk semua z, x tadi lebih besar dari pada -z2.
Atau :
Untuk semua x berlakulah bahwa, apabila x itu positif, maka x lebih besar dari setiap bilangan yang tidak positif.
Jadi kalimat dalam simbolisme logika diatas tidak lain mengatakan bahwa setiap bilangan positif pasti lebih besar dari pada setiap bilangan yang tidak positif atau nol.
2.1.1 Urutan Kuantor-Kuantor
Kalimat (x)(y)P(x,y) yang juga ditulis (x,y)P(x,y) diucapkan : ada suatu x, dan ada suatu y sedemikian sehingga x berada dalam relasi P dengan y. Kalimat di atas mempunyai arti yang sama dengan kalimat (y)(x)P(x,y). Sehingga kalimat-kalimat di atas mempunyai nilai kebenaran yang sama dan disebut dengan kalimat yang ekuipolen. Jadi kedua kalimat tersebut dapat ditulis
(x)(y)P(x,y) (y)(x)P(x,y).
Rumus di atas tidak hanya berlaku untuk predikat tertentu “P” saja, melainkan untuk setiap predikat. Untuk menyatakan hal ini maka digunakan variabel predikat (predicate-variables) yitu huruf-hutuf kecil “g” dan seterusnya.
Sehingga didapat rumus :
(x)(y)g(x,y) (y)(x)g(x,y) dan (x)(y)g(x,y) (y)(x)g(x,y).
Rumus-rumus tersebut menyatakan bahwa kuantor-kuantor yang sejenis bisa ditukar tempatnya.
Sebaliknya, kalimat (x)(y)R(x,y)
mempunyai arti yang berbeda dengan (y)(x)R(x,y). Sebagai contoh :
Misalnya diambil semesta pembicaraannya himpunan bilangan asli, sedangkan R(x,y) diartikan y x.
Kalimat yang pertama menyatakan tidak ada bilangan asli yang terbesar bernilai benar, sedangkan kalimat kedua yang menyatakan adanya bilangan asli terbesar bernilai salah. Jadi kedua kalimat tersebut tidak ekuipolen.
Kuantor universal dalam kalimat pertama diatas digunakan secara distributif dan dalam bahasa sehari-hari digunakan susunan kata-kata “untuk setiap x dapat ditemukan suatu y”dan seterusnya, sedangkan dalam kalimat kedua penggunaannya adalah secara kolektif dengan susunan kata-kata “ada suatu y sedemikian sehingga untuk semua x berlakulah” dan seterusnya.
Sekarang kita selidiki kebenaran kalimat (y)(x)R(x,y). Misalkan semesta pembicaraannya diambil himpunan bilangan asli 1 sampai dengan 10,sedangkan R adalah relasi . Kalimat tersebut menyatakan adanya anggota-anggota yang lebih besar daripada atau sama dengan anggota-anggota lainnya, ini suatu kalimat yang benar, karena bilangan 10 memenuhi hal tersebut.Dengan demikian, untuk setiap anggota dapat ditemukan anggota lainnya (yaitu 10 tadi) yang lebih besar atau sama dengannya, sehingga kalimat (x)(y)R(x,y) menjadi benar.
Jadi didapat : (y)(x)R(x,y) (x)(y)R(x,y)
Dengan menggunakan predicate variables rumus diatas menjadi (y)(x)g(x,y) (x)(y)g(x,y)
2.1.2 Hubungan Antara Kuantor Eksistensial Dan Kuantor Universal
Menentukan ingkaran semua anggota yang mempunyai sifat g, dari suatu semesta adalah sama dengan menyatakan bahwa ada anggota (sekurang-kurangnya satu) yang tidak mempunyai sifat g.
Sehingga ingkaran dari
(x)g(x) = (x)g(x) ,karena nilai kebenarannya sama. Mengingat tabel untuk tanda “” maka didapat rumus :
(x)g(x) (x)g(x)
Demikian juga ingkaran dari : (x)g(x) = (x)g(x). Sehingga didapat rumus :
(x)g(x) (x)g(x) Contoh :
Semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan-bilangan asli, sedangkan G(x,y,z) adalah terjemahan dari simbul “z terletak diantara x dan y”. Dengan mengingat aturan atau cara menentukan suatu kuantor , maka selidiki ingkaran dari : (x)(y). x y (z)G(x,y,z).
Jawab , ingkarannya adalah :
(x)(y). x y (z)G(x,y,z) (x)(y). x y (z)G9x,y,z) (x)(y). x y (z)G(x,y,z) (x)(y). x y (z)G(x,y,z) (x)(y). x y (z)G(x,y,z) 2.1.3 Kuantor-Kuantor Lain
Didalam matematika masih digunakan kuantor-kuantor lainnya, akan tetapi untuk kuantor-kuantor itu biasanya tidak diadakan simbul-simbul, karena semuanya dapat dinyatakan dengan kuantor-kuantor eksistensial dan universal.
Sebagai contoh :
Ada satu dan tidak lebih dari satu x yang mempunyai sifat P. Kalau diterjemahkan secara simbolis menjadi :
(x) [P(x) & (y) (P(y) x = y)]
artinya : ada suatu x sedemikian sehinggga, x itu mempunyai sifat P dan untuk semua y dari semestanya, apabila y mempunyai sifat P juga, maka y = x.
Susunan kata seperti diatas banyak terdapat dalam pembicaraan sehari-hari,sehingga diperlukan suatu kuantor khusus dengan simbul “(!x)”,dimana simbul tersebut dibaca “terdapat satu dan hanya satu x yang mempunyai sifat P” atau “terdapat dengan tunggal x yang mempunyai sifat P”.
