1.1. Latar Belakang Masalah
Matematika adalah salah satu ilmu pengetahuan yang mempunyai peranan sangat besar dalam kehidupan nyata. Salah satu bagian dari matematika adalah per-samaan differensial, yang dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang. Perper-samaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan Diferensial terdiri dari dua jenis, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial khususnya persamaan diferensial parsial terus berkembang secara teori maupun aplikasi. Persamaan diferensial parsial banyak digunakan da-lam pemodelan fenomena-fenomena yang ada dada-lam bidang fisika, kimia, biologi maupun bidang-bidang lainnya.
Dalam perkembangan matematika ada banyak matematikawan yang berkon-tribusi, salah satunya adalah matematikawan asal Prancis, Baro Jean Baptise Joseph Fourier (1768-1830). Fourier memberikan kontribusi pada aplikasi persamaan dife-rensial, salah satunya yaitu mengenai persamaan diferensial parsial tentang persa-maan konduksi (persapersa-maan panas). Pada kehidupan nyata banyak ditemui aplikasi persamaan diferensial parsial yang dilengkapi dengan syarat awal dan syarat batas atau masalah syarat awal dan masalah syarat batas.
Persamaan konduksi panas juga tak luput dengan matematikawan yang ikut berkontribusi di dalamnya, yaitu Jean Baptiste Biot (1774-1862), Jean Baptiste Jo-seph Fourier (1768-1830) dan Ernst Schmidt. Persamaan panas dapat diterapkan pada berbagai macam bentuk benda, salah satunya benda berbentuk silinder. Da-lam kehidupan sehari-hari banyak ditemui masalah yang terkait dengan persama-an ppersama-anas pada silinder karena bpersama-anyak benda-benda ypersama-ang berbentuk tabung/silinder yang berkaitan dengan panas, seperti kabel, panci, pipa uap, alat pemanas air, pipa
air dan sebagainya. Persamaan panas ini sering digunakan dalam industri otomotif, industri perminyakkan, reaktor nuklir, dan industri lainnya.
Pada tugas akhir ini, penulis akan membahas persamaan diferensial Bessel, fungsi Bessel, deret Fourier, deret Fourier-Bessel, pembentukkan persamaan panas pada sistem koordinat silinder, syarat awal dan syarat batas pada masalah konduksi panas, model penyelesaian serta beberapa contoh MSAB konduksi panas pada si-linder terbatas, baik MSAB homogen maupun MSAB non homgen masalah steady stateyang disebut Persamaan Laplace.
1.2. Maksud dan Tujuan
Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S-1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk
1. Membahas fungsi Bessel dan deret Fourier-Bessel.
2. Menjelaskan pemodelan persamaan persamaan panas pada sistem koordinat silinder.
3. Menjelaskan syarat awal dan syarat batas yang ada pada masalah konduksi panas pada silinder terbatas.
4. Menjelaskan metode penyelesaian MSAB konduksi panas pada silinder terba-tas homogen dan Persamaan Lapalce serta mengevaluasi penyelesaian MSAB.
1.3. Tinjauan Pustaka
Dalam penulisan skripsi ini, penulis mengacu pada literatur-literatur yang ada dalam daftar pustaka. Definisi dan teorema-teorema mengenai persamaan dife-rensial dipaparkan dalam Ross (1984). Penjelasan mengenai syarat awal dan syarat batas dipaparkan dalam Humi dan Miller (1992). Definisi dan sifat-sifat fungsi Gamma diambil dari Asmar (2004) dan Zill dan Cullen (2005). Definisi mengenai fungsi periodik, fungsi kontinu sepotong-sepotong, fungsi ganjil dan fungsi genap
diambil dari Humi dan Miller (1992). Berikutnya penjelasan mengenai deret Fou-rier untuk menyelesaikan persamaan diferensial mengacu pada penjelasan Powers (2005) dan Asmar (2004). Konsep mengenai masalah nilai eigen Sturm-Liouville mengacu pada penjelasan Asmar (2004). Berikutnya penjelasan mengenai Separasi Variabel mengacu pada penjelasan Zill dan Cullen (2005) dan Nagle (2012). Se-lanjutnya penjelasan mengenai metode Frobenius untuk menyelesaikan persamaan diferensial mengacu pada penjelasan Asmar (2004) dan Nagle (2012).
Penjelasan mengenai persamaan Bessel, fungsi Bessel serta sifat-sifat fung-si Bessel mengacu pada penjelasan yang dipaparkan dalam Asmar (2002) dan Na-gle dkk (2012). Selanjutnya penjelasan deret Fourier-Bessel mengacu pada Asmar (2004) dan Pinsky (2011), dan ide solusi koefisien Fourier-Bessel mengacu pada Asmar (2004) dan Ozisik (2002) yang selanjutnya dikembangkan penulis.
Pada bahasan utama, pembentukan persamaan panas pada koordinat silinder mengacu pada pembahasan Nagle (2012) dan Latif (2009). Selanjutnya masalah syarat awal dan syarat batas yang terdapat pada masalah konduksi panas diambil dari pembahasan Cengel (2007). Selanjutnya pembahasan modifikasi fungsi BEs-sel mengacu pada Haberman (2004). Untuk solusi MSAB homogen, yaitu yang di selesaikan dengan metode separasi variabel dan fungsi Fourier-Bessel mengacu pada Pinsky (2011), sedangkan untuk MSAB non homogen penulis mengacu pada penjelasan Haberman (2004), Pinsky (2011), dan Neta (2012).
1.4. Metodologi Penelitian
Pada skripsi ini penulis membahas mengenai MSAB untuk konduksi panas dalam silinder terbatas. Penelitian dimulai dari konsep dasar matematika yang akan digunakan, yaitu definisi-definisi dan teorema-teorema mengenai syarat awal dan syarat batas, persamaan diferensial, fungsi Gamma, definisi-definisi dan teorema-teorema mengenai fungsi periodik, fungsi kontinu sepotong-sepotong, fungsi ganjil dan fungsi genap, metode pencarian solusi persamaan diferensial khususnya meto-de Frobenius,separasi variabel,dan meto-deret Fourier yang akan digunakan untuk men-cari solusi persamaan Bessel, dan definisi dan teorema masalah nilai eigen
Sturm-Liouville yang digunakan untuk bahasan utama skripsi ini.
Untuk pembahasan selanjutnya dipelajari mengenai persamaan Bessel dan solusi persamaan Bessel yaitu fungsi Bessel yang diperoleh dengan menggunakan metode Frobenius. Kemudian dipelajari sifat-sifat fungsi Bessel yang akan digu-nakan untuk menyelesaikan masalah MSAB. Kemudian dipelajari mengenai modi-fikasi fungsi Bessel yang digunakan untuk menyelesaikan masalah Persamaan La-place.Selanjutnya dipelajari mengenai deret Bessel dan koefisien Fourier-Bessel yang diperoleh dengan memanfaatkansifat orthogonalitas fungsi eigen dalam hal ini fungsi Bessel.
Untuk pembahasan utama dipelajari mengenai pembentukan pada koordinat silinder, serta syarat awal dan syarat batas pada masalah konduksi panas. Selan-jutnya dipelajari metode separasi variabel untuk menyelesaikan MSAB konduksi panas homogen, dan metode untuk menyelesaikan MSB pada persamaan Laplace dengan sumber panas dan syarat batas tidak tergantung pada waktu.
Beberapa pembahasan dalam skripsi ini menggunakan program Matlab un-tuk menyelesaikan masalah. Pada bahasan fungsi Bessel digunakan fungsi tersebut untuk mencari pendekatan pembuat nol dari fungsi Bessel. Selain itu, pada bahasan fungsi Bessel dan modifikasi fungsi Bessel rogram Matlab digunakan untuk mem-buat visualisasi dari fungsi tersebut. Pada MSAB koduksi panas, program Matlab digunakan untuk membuat visualisasi dari solusi MSAB tersebut.
1.5. Sistematika Penulisan
Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai beri-kut.
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan dan batasan ma-salah, maksud dan tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan skripsi.
BAB II DASAR TEORI
Pada bab ini akan dibahas tentang konsep yang menjadi dasar pada pembahasan di bab-bab selanjutnya. Konsep dasar yang dibahas pada bab ini antara lain ada-lah: persamaan diferensial,syarat awal dan syarat batas,fungsi Gamma,fungsi kon-tinu sepotong-potong,fungsi ganjil,fungsi genap,deret Fourier,masalah nilai eigen Sturm-Lioville (MS-L),separasi variabel, dan metode Frobenius.
BAB III FUNGSI BESSEL DAN DERET FOURIER-BESSEL
Pada bab ini dibahas fungsi Bessel yang merupakan solusi dari persamaan Bes-sel,fungsi bessel jenis pertama, fungsi bessel jenis kedua,fungsi bessel jenis ketiga, sifat-sifat fungsi bessel, modifikiasi persamaan Bessel, serta Fourier-Bessel yang digunakan untuk menyelesaikan MSAB Homogen dan persamaan Laplace pada si-inder terbatas, yaitu pada interval 0 ≤ r < a,0 < θ < 2π,0 < z < H dan t > 0. BAB IV MASALAH SYARAT AWAL DAN SYARAT BATAS (MSAB) UN-TUK ARUS PANAS DI SILINDER TERBATAS
Pada bab ini akan dibahas hal-hal yang terkait dengan MSB untuk arus panas di silinder terbatas : pembentukan persamaan panas di koordinat Silinder,syarat batas dan syarat awal pada masalah arus panas, persamaan Laplace di koordinat Silinder, persamaan panas dengan syarat batas nol dan beberapa contoh.
BAB V PENUTUP
