Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom

138

BAB 9

RING POLINOM

Tujuan Instruksional Umum :

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom

Tujuan Instruksional Khusus :

Setelah diberikan penjelasan mengenai gabungan dari ring-ring, mahasiswa minimal 80% dapat :

a. Menjelaskan definisi dari Ring Polinom

b. Menjelakan definisi algoritma pembagian dari Ring Polinom c. Menentukan hasil penjumlahan dari Ring Polinom

d. Menentukan pengurangan dari Ring Polinom e. Menentukan perkalian dari Ring Polinom f. Menentukan pembagian dari Ring Polinom

g. Menentukan unsur-unsur tereduksi dari Ring Polinom h. Menentukan unsur-unsur tidak tereduksi dari Ring Polinom

Deskripsi Singkat :

Ring Polinom merupakan gabungan dari dua atau lebih Ring. Bab ini akan membahas mengenai sifat-sifat dari Ring Polinom, algoritma pembagian dan unrur tereduksi dan tidak tereduksi dari Ring Polinom.

139

9.2. Ring Polinom

Salah satu kegunaan yang terpenting dari teori Ring dan Field adalah perluasan dari suatu Field menjadi Field yang lebih besar atau lebih luas sehingga suatu polinom (suku banyak) yang diketahui mempunyai akar. Sebagai contoh Field bilangan kompleks dapat diperoleh dengan memperluas Field bilangan real sehingga semua persamaan kuadrat akan mempunyai solusi.

Pada sub pokok bahasan ini, akan dibahas mengenai struktur dari Ring Polinom yang merupakan gabungan dari ring-ring (suku banyak-suku banyak). Berikut ini akan merupakan definisi dari Ring Polinom, yaitu sebagai berikut :

Definisi 9.1 :

Bentuk umum dari suatu polinom (suku banyak) adalah p(x) = a₀ + a₁x¹ + a₂x² + … + a_nxⁿ =

∑

ⁿ_i= a_ix_i

0 , dimana a_i adalah koefisien dari p(x).

Bila xⁿ ≠ 0 maka derajat dari p(x) adalah n dan bila n = 0 maka derajat p(x) adalah nol.

Contoh 9.1 :

p(x) = 3x⁶ + x⁴ – 2x +1, adalah polinom yang mempunyai derajat 6.

Berikut merupakan definisi dari kesamaan dua buah polinom, yaitu :

Definisi 9.2 :

Misalkan dua buah polinom p(x) = a₀ + a₁x¹ + a₂x² + … + a_nxⁿ dan q(x)

= b₀ + b₁x¹ + b₂x² + … + b_mx^m dikatakan sama jika dan hanya jika a_i = b_i untuk semua i ≥ 0.

140 Contoh 9.2 :

3x⁶ + x⁴ – 2x +1 ≠ 3x⁶ + 2x⁴ – 2x +1 karena terdapat koefisien yang tidak sama, yaitu koefisien x⁴ di ruas kiri tidak sama dengan koefisien x⁴ di ruas kanan. Sedangkan 3x⁶ + x⁴ – 2x +1 = 3x⁶ + x⁴ – 2x +1 karena untuk masing-masing suku yang bersesuaian mempunyai koefisien yang sama.

Untuk perkalian dan penjumlahan dua buah polinom didefinisikan sebagai berikut :

Definisi 9.3 :

Misalkan dua buah polinom p(x) = a₀ + a₁x¹ + a₂x² + … + a_nxⁿ dan q(x) = b₀ + b₁x¹ + b₂x² + … + b_mx^m, p(x) + q(x) = c₀ + c₁x¹ + c₂x²

+ … + c_kx^k dimana k = maks{n,m} untuk setiap i, c_i = a_i + b_i, untuk 0 ≤ i ≤ k.

Definisi 9.4 :

Misalkan dua buah polinom p(x) = a₀ + a₁x¹ + a₂x² + … + a_nxⁿ dan q(x) = b₀ + b₁x¹ + b₂x² + … + b_mx^m, p(x) . q(x) = c₀ + c₁x¹ + c₂x² +

… + c_kx^k dimana k = n + m untuk setiap i, c_i = a_ib₀ + a_i-1b₁ + … + a₁b_i-1 + a₀b_i.

Dari definisi dan sifat-sifat polinom-polinom tersebut, berikut merupakan definisi dari Ring Polinom.

Definisi 9.5 :

Misalkan R adalah suatu Ring Komutatif. R[x] dikatakan sebagai Ring Polinom atas R dengan R[x] = {p(x), q(x), r(x), … } untuk p(x) =

∑

ⁿ_i= a_ix_i

0 , q(x) =

∑

ⁿ_i= b_ix_i

0 , … dan a_i ∈ R.

141 Contoh 9.3 :

Misalkan p(x) dan q(x) dengan p(x) = 2x² + 2 dan q(x) = 2x + 2, maka : p(x) + q(x) = (2x² + 2) + (2x + 2)

= 2x² + 2x + 4

Contoh 9.4 :

Misalkan p(x) dan q(x) dengan p(x) = 2x² + 2 dan q(x) = 2x + 2, maka : p(x) + q(x) = (2x² + 2) . (2x + 2)

= 4x³ + 4x² + 4x + 4

Contoh 9.5 :

Misalkan p(x) dan q(x) adalah polinom-polinom pada Z₃[x], dengan p(x) = 2x² + 2 dan q(x) = 2x + 2, maka :

p(x) + q(x) = (2x² + 2) + (2x + 2)

= 2x² + 2x + (2+2)

= 2x² + 2x + 1

Contoh 9.6 :

Misalkan p(x) dan q(x) adalah polinom-polinom pada Z₃[x], dengan p(x) = 2x² + 2 dan q(x) = 2x + 2, maka :

p(x) . q(x) = (2x² + 2) . (2x + 2)

= (2.2)x⁽²⁺¹⁾ + (2.2)x + (2.2)x² + (2.2)

= x⁰ + x + x² + 1

= x² + x + 2

Dari contoh-contoh tersebut, bila tidak ada penjelasan mengenai koefisien maka polinomnya dianggap sebagai bilangan real. Tetapi bila ada penjelasan lebih lanjut, maka koefisien sesuai dengan Ring yang ditunjuk. Pada Z₃[x], artinya koefisiennya adalah hanya 0, 1 dan 2 saja.

142

9.2. Algoritma Pembagian Polinom

Pada bab terdahulu telah dibahas mengenai algoritma pembagian bilangan bulat, dimana bila suatu bilangan bulat dibagi oleh bilangan bulat yang lainnya, maka diperoleh suatu hasil bagi (faktor) dan sisa. Dalam sub pokok bahasan ini, akan dibahas mengenai algoritma pembagain polinom- polinom, adapun tentang pembagian itu dapat dinyatakan dalam algoritma pembagian sebagai berikut :

Teorema 9.1 : (Algoritma Pembagian Polinom-Polinom)

Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua buah polinom, f(x), g(x) ∈ R[x] dan g(x) ≠ 0, maka terdapat polinom-polinom yang unik q(x), r(x) ∈ R[x]

sedemikian sehingga:

f(x) = q(x).g(x) + r(x)

dengan r(x) = 0 atau derajat r(x) < derajat g(x).

Polinom-polinom q(x) dan r(x) ditentukan secara tunggal oleh f(x) dan g(x) yang diperlukan. Selanjutnya f(x) disebut polinom yang dibagi, g(x) disebut polinom pembagi, q(x) disebut hasil bagi polinom, dan r(x) disebut sisa hasil bagi polinom.

Bukti :

Bila f(x) adalah polinom nol, maka q(x) = 0 dan r(x) = 0 adalah polinom- polinom dari R[x] sehingga :

f(x) = q(x).g(x) + r(x) dengan r(x) = 0

Bila f(x) adalah bukan polinom nol, dimana f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0 Misalkan :

p(x) = a₀ + a₁x¹ + a₂x² + … + a_nxⁿ, a_n ≠ 0 dan

q(x) = b₀ + b₁x¹ + b₂x² + … + b_mx^m, b_m≠ 0

143 Berarti derajat f(x) = n dan derajat g(x) = m

• Bila n < m berarti derajat f(x) < derajat g(x)

Maka terdapat q(x) = 0 dan r(x) = f(x) di R[x] sehingga f(x) = q(x).g(x) + r(x)

dengan derajat r(x) = derajat f(x) < derajat g(x)

• Bila n ≥ m berarti derajat f(x) ≥ derajat g(x) Misalkan :

Pembagian f(x) dan g(x) menghasilkan:

f(x) = (a_nb_m^-1x^n-m)g(x) + f₁(x)

dengan f₁(x) adalah polinom berderajat (n – 1) di R[x]

Pembagian f₁(x) dan g(x) pada R[x] terdapat q₁(x) dan r(x) di R[x], sehingga :

f₁(x) = q₁(x).g(x) + r(x)

dengan derajat r(x) = derajat f(x) < derajat g(x) Sehingga diperoleh :

f(x) = (a_nb_m^-1x^n-m)g(x) + q₁(x).g(x) + r(x)

= [(a_nb_m^-1x^n-m) + q₁(x)]g(x) + r(x)

= q(x).g(x) + r(x)

dengan q(x) = (anbm-1x^n-m) + q1(x) dan derajat r(x) = derajat f(x) <

derajat g(x). Hasil ini diulang terus sehingga diperoleh hasil yang diinginkan.

Untuk membuktikan membuktikan keunikan dari q(x) dan r(x), kita misalkan polinom-polinom lain q’(x) dan r’(x) sehingga :

f(x) = q’(x).g(x) + r’(x)

dengan r’(x) = 0 atau derajat r’(x) < derajat g(x) Karena berlaku juga :

f(x) = q(x).g(x) + r(x0)

dengan r(x) = 0 atau derajat r(x) < derajat g(x)

144 diperoleh :

q(x).g(x) + r(x) = q’(x).g(x) + r’(x) karena itu

[q(x) – q’(x)]g(x) = r’(x) – r(x)

Sehingga ada kemungkinan yang didapat :

o q(x) – q’(x) = 0 dan r’(x) – r(x) = 0, sehingga q(x) = q’(x) dan r’(x) = r(x)

o q(x) – q’(x) ≠ 0 dan r’(x) – r(x) ≠ 0 Jadi terbukti bahwa q(x) dan r(x) adalah unik.

Keunikan dari faktor g(x) dan keunikan sisa r(x) sama seperti ditunjukan oleh faktor dan sisa dalam algoritma pembagian bilangan- bilangan bulat. Polinom faktor dan polinom sisa dapat dihitung dengan pembagian panjang dari polinom-polinom tersebut.

Contoh 9.7 :

Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut, dimana p(x) = 2x² + 2 dan q(x) = 2x + 2, p(x) adalah polinom yang dibagi dan g(x) polinom pembagi.

Penyelesaian : Diketahui :

p(x) = 2x² + 2 adalah polinom yang dibagi g(x) = 2x + 2 adalah polinom pembagi

Artinya koefisien-koefisien dari polinom-polinom tersebut adalah bilangan real R[x].

p(x) / g(x) =

2 2x

2 2x²

+

+ , selanjutnya :

145

1

4 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

−

−

− +

− + + +

x

x x x x

x x

Dari pembagian polinom-polinom tersebut didapat hasil bagi q(x) = x – 1 dan sisa r(x) = 4.

Sehingga :

p(x) = q(x).g(x) + r(x)

= (x – 1).(2x + 2) + 4

= 2x² – 2x + 2x – 2 + 4

= 2x² + 2

Jadi terbukti bahwa hasil bagi dari p(x) / g(x) =

2 2x

2 2x²

+

+ adalah

x – 1 dengan sisa 4.

Bila tidak ada penjelasan mengenai koefisien dari polinom- polinomnya, maka polinom-polinomnya dianggap sebagai bilangan real.

Tetapi bila koefisien polinom-polinomnya ditentukan seperti pada contoh berikut ini, maka koefisien dan derajat dari polinom-polinomnya sesuai dengan koefisien sesuai dengan Ring yang ditunjuk. Misalkan dalam contoh berikut ditentukan koefisien dengan Ring Z₃[x].

Contoh 9.8 :

Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut terhadap Z₃[x], dimana p(x) = 2x² + 2 dan q(x) = 2x + 2, p(x) adalah polinom yang dibagi dan g(x) polinom pembagi.

146 Penyelesaian :

Diketahui :

p(x) = 2x² + 2

adalah polinom yang dibagi dalam Z₃[x]

g(x) = 2x + 2

adalah polinom pembagi dalam Z₃[x]

Artinya koefisien-koefisien dari polinom-polinom tersebut adalah hanya bernilai 0, 1 dan 2 saja.

p(x) / g(x) =

2 2x

2 2x²

+

+ , selanjutnya :

x

x x x

x x

2 2 2

2 2 2 2 2 2

+ + + +

Dari pembagian polinom-polinom tersebut dalam Z₃[x] didapat hasil bagi q(x) = x dan sisa r(x) = x + 2.

Sehingga :

p(x) = q(x).g(x) + r(x)

= x.(2x + 2) + (x + 2)

= 2x² + 2x + x + 2

= 2x² + (2 +1)x + 2

= 2x² + 0x + 2

= 2x² + 2

Jadi terbukti bahwa hasil bagi dalam Z₃[x] dari p(x) / g(x) =

2 2x

2 2x²

+ + adalah x dengan sisa x + 2.

147 Contoh 9.9 :

Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut terhadap Z₄[x], dimana p(x) = 3x³ + 3x² + 2x + 1 dan q(x) = x² + 2 , p(x) adalah polinom yang dibagi dan g(x) polinom pembagi.

Penyelesaian : Diketahui :

p(x) = 3x³ + 3x² + 2x + 1 adalah polinom yang dibagi dalam Z₄[x]

g(x) = x² + 2 adalah polinom pembagi dalam Z₄[x]

Artinya koefisien-koefisien dari polinom-polinom tersebut adalah hanya bernilai 0, 1, 2 dan 3 saja.

p(x) / g(x) =

2 x

1 2x 3x 3x

2 2 3

+ + +

+ , selanjutnya :

3 2 3

3 3

1 3

2 3

1 2x 3x 3x 2

2 2 3

2 3 2

+ +

+ +

+ + + +

x

x

x

x x

x

Dari pembagian polinom-polinom tersebut dalam Z₄[x] didapat hasil bagi q(x) = 3x + 3 dan sisa r(x) = 3.

Sehingga :

p(x) = q(x).g(x) + r(x)

= (3x + 3).(x² + 2) + 3

= 3x³ + 3x² + (3.2)x + (3.2) + 3

= 3x³ + 3x² + 2x + 2 + 3

= 3x³ + 3x² + 2x + 1

Jadi terbukti bahwa hasil bagi dalam Z₄[x] dari p(x) / g(x) =

2 x

1 2x 3x 3x

2 2 3

+ + +

+ adalah 3x + 3 dengan sisa 3.

148

9.3. Unsur Tereduksi dan Tidak Tereduksi

Pada sub pokok bahasan ini kita akan mempelajari tentang unsur tereduksi dan tidak tereduksi pada Ring Polinom. Adapun definisi- definisinya adalah sebagai berikut :

Definisi 9.6 :

Misalkan f(x) adalah suatu polinom dan R[x] adalah merupakan Ring Polinom, f(x) ∈ R[x] dikatakan polinom monik (monic polinomial) bila koefisien x dengan pangkat tertingginya adalah 1.

Contoh 9.10 :

Polinom f(x) = xⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ adalah merupakan polinom monik.

Definisi 9.7 :

Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua buah polinom dan R[x] merupakan Ring Polinomnya, sehingga f(x), g(x) ∈ R[x]. Polinom g(x) dikatakan membagi f(x) dengan g(x) ≠ 0, ditulis g(x) | f(x), bila f(x) = a(x).g(x) untuk suatu a(x) ∈ R[x].

Contoh 9.11 :

Misalkan f(x) = x² + 2 ∈ R[x] dikatakan membagi g(x) = 2x² + 4 ∈ R[x], ditulis x² + 2 | 2x² + 4 karena 2x² + 4 = 2(x² + 2).

Contoh 9.12 :

Misalkan f(x) = x + 1 ∈ R[x] dikatakan membagi g(x) = x² + 3x + 2

∈ R[x], ditulis x + 1 | x² + 3x + 2 karena x² + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1).

149 Definisi 9.8 :

Polinom d(x) ∈ R[x] disebut pembagi sekutu terbesar dari f(x), g(x) ∈ R[x], dinotasikan dengan (f(x),g(x)) = d(x) dengan f(x) dan g(x) tidak boleh keduanya nol, bila d(x) adalah polinom monik sehingga :

• d(x) | f(x) dan d(x) | g(x)

• Jika (x) | f(x) dan (x) | g(x), maka (x) | d(x)

Contoh 9.13 :

Pembagi sekutu terbesar antara p(x) = x⁶ + x³ + x + 1 dengan q(x) = x² + 1 adalah x² + 1. Karena x² + 1 adalah bukan polinom monik,

sehingga (x) ‡ (x⁶ + x³ + x + 1) dan (x) ‡ (x² + 1), maka (x) ‡ (x² + 1)

Definisi 9.9 :

Polinom-polinom f(x), g(x) ∈ R[x] dikatakan relatif prima jika pembagi sekutu terbesarnya adalah 1.

Contoh 9.14 :

p(x) = x – 1 dengan g(x) = x + 1 adalah merupakan relatif prima.

Definisi 9.10 :

Suatu polinom tak konstan f(x) ∈ R[x] dikatakan tak tereduksi atas R

jika f(x) tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian dua polinom g(x), h(x) ∈ R[x] dengan derajat (g,h) < derajat (f)

Contoh 9.15 :

f(x) = x³ – 3 tidak tereduksi di R[x], karena x³ – 3 tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian dua polinom g(x), h(x) ∈ R[x] dengan derajat (g,h) <

derajat (f).

150 Contoh 9.16 :

f(x) = x² – 3 tereduksi di R[x], karena x² – 3 dapat dinyatakan sebagai perkalian dua polinom g(x), h(x) ∈ R[x] dengan derajat (g,h) <

derajat (f), sehingga x² – 3 = (x + 3 )(x – 3 ).

Berikut ini adalah suatu teorema yang dapat digunakan untuk mempermudah atau dapat merupakan suatu teknik untuk menentukan suatu polinom kuadratik (berderajat 2) atau polinom kubik (berderajat 3) tereduksi atau tidak tereduksi.

Teorema 9.2 :

Bila f(x) ∈ R[x] dan misalkan derajat (f(x)) = 2 atau 3, maka berlaku f(x) tereduksi atas R jika dan hanya jika f mempunyai pembuat nol di R.

Bukti :

⇒ Misalkan f(x) tereduksi atas R

Berarti f(x) = g(x).h(x) dengan 0 < derajat (g(x)) dan derajat (h(x)) < derajat (f(x)). Diperoleh g(x) atau h(x) berderajat 1.

Misalkan g(x) berderajat 1, maka g(x) = x – a, untuk a ∈ R, berarti g(a) = 0 sehingga f(a) = 0.

Jadi f mempunyai pembuat nol di R.

⇐ Misalkan f(a) = 0 dan a ∈ R

Berarti (x – a) adalah faktor dari f(x) Jadi f(x) tereduksi atas R.

Contoh 9.17 :

Tunjukan bahwa polinom p(x) = x² + x + 2 tidak tereduksi atas Z₃. Penyelesaian :

Z₃ = {0, 1, 2}, maka diperoleh : p(0) = 0² + 0 + 2

151

= 2

p(1) = 1² + 1 + 2

= 1 + 0

= 1

p(2) = 2² + 2 + 2

= 1 + 1

= 2

karena tidak terdapat x ∈ Z₃ sehingga p(x) = 0 Jadi p(x) tidak tereduksi atas Z3.

Contoh 9.18 :

Tunjukan bahwa polinom p(x) = x² + x + 1 tereduksi atas Z₃. Penyelesaian :

Z₃ = {0, 1, 2}, maka diperoleh : p(0) = 0² + 0 + 1

= 1

p(1) = 1² + 1 + 1

= 1 + 2

= 0

p(2) = 2² + 2 + 1

= 1 + 0

= 1

karena terdapat x = 1 ∈ Z3 sehingga p(1) = 0 Jadi p(x) tereduksi atas Z₃.

152

9.4. Rangkuman

1. Bentuk umum dari suatu polinom (suku banyak) adalah p(x) = a₀ + a₁x¹ + a₂x² + … + a_nxⁿ =

∑

_iⁿ₌ a_ix_i

0 , dimana a_i adalah koefisien dari p(x). Bila xⁿ ≠ 0 maka derajat dari p(x) adalah n dan bila n = 0 maka derajat p(x) adalah nol.

2. Misalkan dua buah polinom p(x) = a₀ + a₁x¹ + a₂x² + … + a_nxⁿ dan

q(x) = b₀ + b₁x¹ + b₂x² + … + b_mx^m dikatakan sama jika dan hanya jika a_i = b_i untuk semua i ≥ 0. Penjumlahan polinom-polinom

p(x) + q(x) = c₀ + c₁x¹ + c₂x² + … + c_kx^k dimana k = maks{n,m}

untuk setiap i, c_i = a_i + b_i, untuk 0 ≤ i ≤ k. Perkalian polinom-polinom p(x) . q(x) = c₀ + c₁x¹ + c₂x² + … + c_kx^k dimana k = n + m untuk setiap i, c_i = a_ib₀ + a_i-1b₁ + … + a₁b_i-1 + a₀b_i.

3. Misalkan R adalah suatu Ring Komutatif. R[x] dikatakan sebagai Ring Polinom atas R dengan R[x] = {p(x), q(x), r(x), … } untuk p(x) =

∑

ⁿ_i= a_ix_i

0 , q(x) =

∑

ⁿ_i= b_ix_i

0 , … dan a_i ∈ R.

4. Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua buah polinom, f(x), g(x) ∈ R[x] dan g(x) ≠ 0, maka terdapat polinom-polinom yang unik q(x), r(x) ∈ R[x]

sedemikian sehingga:

f(x) = q(x)g(x) + r(x)

dengan r(x) = 0 atau derajat r(x) < derajat g(x).

Polinom-polinom q(x) dan r(x) ditentukan secara tunggal oleh f(x) dan g(x) yang diperlukan.

153 Selanjutnya f(x) disebut polinom yang dibagi, g(x) disebut polinom pembagi, q(x) disebut hasil bagi polinom, dan r(x) disebut sisa hasil bagi polinom.

5. Misalkan f(x) adalah suatu polinom dan R[x] adalah merupakan Ring Polinom, f(x) ∈ R[x] dikatakan polinom monik (monic polinomial) bila koefisien x dengan pangkat tertingginya adalah 1.

6. Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua buah polinom dan R[x] merupakan Ring Polinomnya, sehingga f(x), g(x) ∈ R[x]. Polinom g(x) dikatakan membagi f(x) dengan g(x) ≠ 0, ditulis g(x) | f(x), bila f(x) = a(x).g(x) untuk suatu a(x) ∈ R[x].

7. Polinom d(x) ∈ R[x] disebut pembagi sekutu terbesar dari f(x), g(x) ∈ R[x], dinotasikan dengan (f(x),g(x)) = d(x) dengan f(x) dan g(x) tidak boleh keduanya nol, bila d(x) adalah polinom monik sehingga :

• d(x) | f(x) dan d(x) | g(x)

• Jika (x) | f(x) dan (x) | g(x), maka (x) | d(x)

8. Suatu polinom tak konstan f(x) ∈ R[x] dikatakan tak tereduksi atas R

jika f(x) tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian dua polinom g(x), h(x) ∈ R[x] dengan derajat (g,h) < derajat (f).

9. Bila f(x) ∈ R[x] dan misalkan derajat (f(x)) = 2 atau 3, maka berlaku f(x) tereduksi atas R jika dan hanya jika f mempunyai pembuat

nol di R.

154

9.5. Soal-soal Latihan

1. Diketahui polinom-polinom f(x) = 3x³ + x² + 2x + 2 dan g(x) = x² + 3.

Carilah:

a. f(x) + g(x) dalam Q[x]

b. f(x) – g(x) dalam Q[x]

c. f(x) x g(x) dalam Q[x]

d. f(x) : g(x) dalam Q[x]

2. Diketahui polinom-polinom f(x) = 3x³ + x² + 2x + 2 dan g(x) = x² + 3.

Carilah:

a. f(x) + g(x) dalam Z₄[x]

b. f(x) – g(x) dalam Z₄[x]

c. f(x) x g(x) dalam Z₄[x]

d. f(x) : g(x) dalam Z₄[x]

3. Diketahui polinom-polinom f(x) = 3x⁴ + 4x³ – x² + 3x – 1 dan g(x) = 2x² + x + 1. Carilah:

a. f(x) + g(x) dalam Q[x]

b. f(x) – g(x) dalam Q[x]

c. f(x) x g(x) dalam Q[x]

d. f(x) : g(x) dalam Q[x]

4. Diketahui polinom-polinom f(x) = 3x⁴ + 4x³ – x² + 3x – 1 dan g(x) = 2x² + x + 1. Carilah:

a. f(x) + g(x) dalam Z5[x]

b. f(x) – g(x) dalam Z₅[x]

c. f(x) x g(x) dalam Z₅[x]

d. f(x) : g(x) dalam Z₅[x]

155

5. Diketahui polinom-polinom f(x) = x⁷ + x⁶ + + x⁵ + x⁴ + x + 1 dan g(x) = x³ + x + 1. Carilah:

a. f(x) + g(x) dalam Z2[x]

b. f(x) – g(x) dalam Z₂[x]

c. f(x) x g(x) dalam Z₂[x]

d. f(x) : g(x) dalam Z₂[x]

6. Periksalah apakah polinom-polinom berikut tereduksi atau tidak tereduksi

a. p(x) = x⁵ + 3x⁴ + x³ + 4x² + 2x + 5 di Z6[x]

b. p(x) = x² – 4 di R[x]

c. p(x) = x⁷ + 3 di Z₁₀[x]

d. p(x) = x⁶ + 1 di Z₁₁[x]

♠♣♥♣♠

156

DAFTAR PUSTAKA

Durbin J.R. 1985. Modern Algebra. New York: John Willey & Sons

Herstein, I.N. 1975. Topics in Algebra, 2^nd Edition, New York: John Willey & Sons

Hidayanto, Erry. 2001. Struktur Aljabar. Malang: Universitas Negeri Malang

Soebagio, A.S. 1993. Materi Pokok Struktur Aljabar. Jakarta:

Universitas Terbuka, Depdikbud

Wahyudin, 1989. Aljabar Modern. Bandung: Tarsito

♠♣♥♣♠