1/7
Darpublic
Nopember 2013 www.darpublic.com11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi,
Fungsi Rasional, Fungsi Implisit
11.1. Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi
Misalkan kita memiliki dua fungsi x, v(x) dan w(x), dan kita hendak mencari turunan terhadap x dari fungsi y=vw. Misalkan nilai x berubah sebesar ∆x, maka fungsi w berubah sebesar ∆w, fungsi v berubah sebesar ∆v, dan fungsi y berubah sebesar ∆y. Perubahan ini terjadi sedemikian rupa sehingga setelah perubahan sebesar ∆x hubungan y=vw tetap berlaku, yaitu
Dari sini kita dapatkan
x
Persamaan (11.2) akan memberikan
dx
Inilah formulasi turunan fungsi yang merupakan hasilkali dari dua fungsi.
Contoh: Kita uji kebenaran formulasi ini dengan melihat suatu fungsi mononom y=6x5 yang kita
Ternyata sesuai dengan apa yang diharapkan.
Bagaimanakah dx uvw
d( ) jika u, v, w ketiganya adalah fungsi x. Kita aplikasikan (11.3) secara bertahap
seperti berikut.
2/7 Sdaryatno Sudirham,
Turunan Perkalian Fungsi
Ternyata sesuai dengan yang kita harapkan.
11.2. Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi
Yang dimaksud di sini adalah bagaimana turunan
dx
dy jika y = vn
dengan v adalah fungsi x, dan n
adalah bilangan bulat. Kita ambil contoh fungsi y1=v6=v3×v2×v dengan v merupakan fungsi x.
Jika kita aplikasikan formulasi (11.4) akan kita dapatkan
dx
Contoh ini memperlihatkan bahwa
dx
yang secara umum dapat kita tulis
dx dv nv dx
dvn = n−1 (11.5)
Contoh: Kita ambil contoh yang merupakan gabungan antara perkalian dan pangkat dua fungsi.
2
Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi.
)
11.3. Fungsi Rasional
Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi
w v
y= (11.6)
3/7
Kalau kita aplikasikan (11.3) pada (11.7) kita peroleh
Contoh:
1).
y (agar penyebut tidak nol)
2
11.4. Fungsi Implisit
Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat didiferensiasi terhadap x. Kita akan mengambil beberapa contoh.
Contoh:
1). x2+xy+y2=8. Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi
4/7 Sdaryatno Sudirham,
Turunan Perkalian Fungsi
y x dx dy yx+2 ) =−2 − (
Untuk titik-titik di mana (x+2y)≠0 kita peroleh turunan
y x
y x dx dy
2 2
+ + − =
Untuk suatu titik tertentu, misalnya [1,2], maka
8 , 0 4 1
2 2
− = + + − = dx
dy .
Inilah kemiringan garis singgung di titik [1,2] pada kurva fungsi y bentuk implisit yang sedang kita hadapi.
2). x4+4xy3−3y4 =4 . Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan
diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh
0 12
4 ) 3 ( 4 4
0 ) 3 ( ) 4 ( 4
4
3 3 2
3
4 3
3 3
= −
+ +
= −
+ +
dx dy y y dx dy y x x
dx y d dx
x d y dx dy x x
) ( 4 ) 12 12
( 2 3 x3 y3
dx dy y
xy − =− +
Di semua titik di mana (xy2−y3)≠0 kita dapat memperoleh turunan
) (
3
) (
3 2
3 3
y xy
y x dx dy
− + − =
11.5. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat
Pada waktu kita mencari turunan fungsi yang merupakan pangkat dari suatu fungsi lain, y = vn , kita syaratkan bahwa n adalah bilangan bulat. Kita akan melihat sekarang bagaimana jika n merupakan
sebuah rasio
q p
n= dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0, serta v adalah fungsi yang bisa
diturunkan.
q p v
y= / (11.9)
Fungsi (11.9) dapat kita tuliskan
p
q v
y = (11.10)
yang merupakan bentuk implisit fungsi y. Jika kita lakukan diferensiasi terhadap x di kedua ruas (11.10) kita peroleh
dx dv pv dx dy
qyq−1 = p−1
Jika y≠ 0, kita dapatkan
dx dv
qy pv dx
v d dx dy
q p q
p
1 1 /
) (
− −
=
= (11.11)
Akan tetapi dari (11.9) kita lihat bahwa
( )
/ 1 ( / )1 p q q p p q
q v v
y − = − = −
5/7
Darpublic
Nopember 2013 www.darpublic.comdx dv v
q p
dx dv v
q p
dx dv qv
pv dx
v d dx dy
q p
q p p p
q p p
p q
p
1 ) / (
) / ( ) 1 (
) / (
1 /
) (
− + − − −
−
= = = =
(11.12)
Formulasi (11.12) ini mirip dengan (11.5), hanya perlu persyaratan bahwa v≠ 0 untuk p/q < 1.
11.6. Kaidah Rantai
Apabila kita mempunyai persamaan
) ( dan )
(t y f t
f
x= = (11.13)
maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk
) (x F
y= (11.14)
Bagaimanakah F (x)
dx dy ′
= dari (11.14) ber-relasi dengan
) ( dan )
( f t
dt dx t
g dt dy
′ = ′
= ?
Pertanyaan ini terjawab oleh kaidah rantai berikut ini.
Jika y=F(x) dapat diturunkan terhadap x dan x= f(t) dapat diturunkan terhadap t,
maka y=F
( )
f(t) =g(t) dapat diturunkan terhadap t menjadidt dx dx dy dt dy
= (11.15)
Relasi ini sudah kita kenal.
11.7. Diferensial dx dan dy
Pada pembahasan fungsi linier kita tuliskan kemiringan garis, m, sebagai
) (
) (
1 2
1 2
x x
y y x y m
− − = ∆ ∆
=
kita lihat kasus jika ∆x mendekati nol namun tidak sama dengan nol. Limit ini kita gunakan untuk menyatakan turunan fungsi y(x) terhadap x pada formulasi
) ( lim
0
x f x y dx
dy
x
′ = ∆ ∆ =
→ ∆
Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx≠0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x:
) (x F
y= (11.16)
Kita ambil definisi sebagai berikut
1. dx, kita sebut sebagai diferensial x, merupakan bilangan nyata berapapun nilainya, dan merupakan peubah bebas yang lain selain x;
6/7 Sdaryatno Sudirham,
Turunan Perkalian Fungsi
Kita telah terbiasa menuliskan turunan fungsi y terhadap x sebagai
) (x f dx dy ′
= .
Perhatikanlah bahwa ini bukanlah rasio dari dy terhadap dx melainkan turunan fungsi y terhadap x. Akan tetapi jika kita bersikukuh memandang relasi ini sebagai suatu rasio dari dy terhadap dx maka kita juga akan memperoleh relasi (11.17), namun sesungguhnya (11.17) didefinisikan dan bukan berasal dari relasi ini.
Pengertian terhadap dy lebih jelas jika dilihat secara geometris seperti terlihat pada Gb.11.1. Di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx satuan, maka di sepanjang garis singgung di titik P nilai y akan berubah sebesar dy. Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.
Gb.11.1. Penjelasan geometris tentang diferensial.
θ =tan
dx dy
; dy=(tanθ)dx
1.
dx dy
adalah laju perubahan y terhadap perubahan x.
2. dy adalah besar perubahan nilai y sepanjang garis singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx skala.
Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam Tabel-10.1. Dalam tabel ini v adalah fungsi x.
P dx
dy
θ
P dx dy
θ
P dx
dy
θ
P
dx dy
θ y
x
x x
x y
7/7
Darpublic
Nopember 2013 www.darpublic.comTabel-11.1
Turunan Fungsi Diferensial
1. =0 dx dc
; c = konstan 1.dc=0; c = konstan
2.
dx dv c dx dcv
= 2.dcv=cdv
3.
dx dw dx dv dx
w v d
+ =
+ )
( 3.d(v+w)=dv+dw
4.
dx dv w dx dw v dx
dvw = + 4.d(vw)=vdw+wdv
5.
2 w
dx dw v dx dv w
dx w
v
d −
=
5.
2 w
vdw wdv w
v
d = −
6.
dx dv nv dx
dvn = n−1 6.dvn=nvn−1dv
7. = n−1
n cnx dx
dcx 7.d(cxn)=cnxn−1dx
Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.
1. Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri Tabel-11.1), kemudian dikalikan dengan dx.
2. Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan Tabel-10.1)
Kita ambil suatu contoh: cari dy dari fungsi
6 5 3 2
3− + −
=x x x y
Turunan y adalah : y′=3x2 −6x+5
sehingga dy=(3x2 −6x+5)dx
Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas:
dx x x
dx xdx dx x d
x d x d x d dy
) 5 6 3 (
5 6 3 ) 6 ( ) 5 ( ) 3 ( ) (
2
2 2
3
+ − =
